Vaasan yliopisto, syksy 2014 Lineaarialgebra, MAH. lo4o 7. harjoitus, (viikko 2, 5.1.-9.1.2015 R01: ma 12-14 Dl15, R02: ke 14-16 D115, R03: to 10-12 F651 Viimeisellä luennolla käsiteltiin opetusmonisteen sivut 116-120, sekä kalvosarja PNS, joka löytyy kurssin verkkosivulta. Näiden avulla käsittele seuraavat tehtävät. Alla olevien tehtävien lisäksi harjoituksissa käydään lyhyesti läpi toisen välikokeen tehtävät. 1. Laske vektoreiden d :2î + Zj -i iat : 5î - Zj + +i, virittämän suunnikkaan pinta-ala. 2. Suora Z kulkee pisteiden Pr : (1,2,-3 ja P2: (0, -1,4 kautta. Mikä on pisteen Q : (3,2,0 etäisyys suorasta L? 3. Suora Z1 kulkee pisteiden Pr : (1,2,-3 ja P2: (0,-1,4 kautta ja suora Z2 kulkee pisteiden P: : (5, -1, 1 ja Pa: (-2,1,1 kautta. Laske suorien välinen etäisyys. 4. Etsi muuttujille x ja y sellaiset arvot, että seuraavat yhtälöt toteutuvat niin hyvin kuin mahdollista "Pienimmän Neliösumman Mielessä" (Voit ottaa mallia PNS-kalvosarjan sivulta 9. 2x + Y: 4 3x 2y:2 -x+y:-1 3x + y:5 -x +2y:2 4x + Y: 4 5. PNS -kalvosarjan lopussa käsiteltiin monen tuotteen yhteiskysynnän vaikutusta tuottoihin. Esimerkissä ei lainkaan huomioitu kustannuksia. Jos kustannuksetkin huomioidaan, niin yrityksen voittoa voidaan yksinkertaisessa tapauksessa mallintaa lausekkeella voitto : qr Aq+ rr q. Voidaan osoittaa, että voiton lauseke'saa suurimman mahdollisen arvonsa, kun valmistusmäärä vektoriksi q valitaan Qoptimi : -!A_'r. 2 Sijoita eoptimi:nlauseke voiton lausekkeese en q:îpaikalle ja sievennä lauseketta niin paljon kuin mahdollista. Voit nyt olettaa, etta A on symmetrinen (Ar : A. 6. Tiarkastellaan esimerkkinä kahden tuotteen tilannetta, jossa 41 on ensimmåiisen tuotteen valmistusmäärä viikoss a ja qz on toisen tuotteen valmistusmä2irä viikossä, ja voitto-lausekkeessa edellä esiintyvät matriisit ja vektorit ovat q: ('r:, ^: ( ;,i,j,:yr, 1: ( ;S a Laske nyt optimaalinen tuotantovektori qoo, ^ ja voitto (kuukaudessa kun tuotanto on optimivektorin mukainen.
b Antamalla q1:le ja q2:lle enlausia arvoja, yritä löytää arvot, joilla voitto tulisi vielä isommaksi kuin a-kohdassa. 7. Laske voiton lausekkeen voitto:qraq+,rq: ( qt,,1(;ié t;fr G:+ ( 50 ^ (rr: matriisitulot niin, että saat voiton lausekkeen kahden muuttujan tavallisena funktiona.
llli llt- Vaasan yliopisto, syksy 2014 iillllil bra, MATH.to4o 7. harjoitus, (viikko 2, 5.1.-9.1.2015 R01: ma l2-l4 Dl15, R02: ke 14-16 Dl15, R03: to 10-12 F651 Viimeisellä luennolla käsiteltiin opetusmonisteen sivut 1lÇ120, sekä kalvosarja PNS, joka löytyy kurssin verkkosivulta. Nåüden avulla käsittele seuraavat tehtävät. Alla olevien tehtävien lisäksi harjoituksissa käydään lyhyesti läpi toisen välikokeen tehtävät. 1. Laske vektoreiden d:2-í+li_i,iat:5-í-zî++i virittämän suunnikkaan pinta-ala.
i-l,i''l 3. Suora L1 kulkee pisteiden Pr : (1,2,-3 ja P2: (0,-1,4 kautta ja suora kulkee pisteiden P3 : (5,- 1, 1 ja Pa: (-2,1,1 kautta. Laske suorien välüen etåiisyys. a 3 l/ x ù (
4. Etsi muutfiille x ja y sellaiset arvot, että seuraavat yhtälöt toteutuvat niin hyvin kuin mahdollista "Pienimmän Neliösumman Mielessä" (Voit ottaa mallia PNS-kalvosarjan sivulta 9. 2x + y - 4 3x 2y: 2 -x + Y: -l 3x + y:5 -x +2Y:2 4x + y: 4
5. PNS -kalvosarjan lopussa käsiteltiin monen tuotteen yhteiskysynnän vaikutusta tuottoihin. Esimerkissä ei lainkaan huomioitu kustannuksia. Jos kustannuksetkin huomioidaan, niin yrityksen voittoa voidaan yksinkertaisessa tapauksessa mallintaa lausekkeella voitto: qraq+ rr q. Voidaan osoittaa, että voiton lauseke saa suurimman mahdollisen arvonsa, kun valmistusmäärä vektoriksi q valitaan 1, QoPtimi : --A-'f ' Sijoita eoptimi;ír lauseke voiton lausekkeeseen q:n paikalle ja sievennä lauseketta niin paljon kuin mahdollista. Voit nyt olettaa, etta A on symmetrinen (,,1r : A. Vt- A o X;6 c L(ñ ' t'r Æ l * l"r 4\' f (- A l J z ðx yl 2_ -t rira- t 4 r t.rá-' r 6. Tarkastellaan esimerkkinä kahden tuotteen tilannetta, jossa 41 on ensimmäisen tuotteen valmistusmäåirä viikossa ja qz on toisen tuotteen valmistusmäåirâ viikossä, ja voitto-lausekkeessa edellä esiintyvät matriisit ja vektorit ovat A- -0,1 0,02 0,02-0,2, l: 50 20 a Laske nyt optimaalinen tuotantovektori qoo, ^ ja voitto (kuukaudessa kun tuotanto on optimivektorin mukainen. b Antamalla q1:lle ja q2:lle enlusia arvoja, yritä löytää arvot, joilla voitto tulisi vielä isommaksi kuin a-kohdassa. A (: o,t ('csrr- o,qz -( -O o? - O' o - oo!? C Oot oa toi 6 Lõ -z 7 -tò a? o -c
o E z Ò ô L, 6 0Z + 2 f 4/ 4 ( Ò T 4 z -f? \ ldl ø t l (..\ q o o + l vl
+ q_l= q_2= voitto = 265,3 76,5 7397,96 250 76,5 7374,55 240 76,5 7333,95 270 76,5 7395,75 280 76,5 7376,35 300 76,5 7277,55 265,3 70 7399,43 265,3 60 7343,3L 265,3 g0 7395,55 265,3 g0 736L,67 265,3 100 7297,79 265,3 70 7399,43 300 100 7200,00 300 50 7100,00 200 100 6800,00 200 200 3600,00 50 50 2850,00 lr 7. Laske voiton lausekkeen voitto : qr Aq + rr q : ( er * (;i; \fr G:+ ( so ^ (rr: -L matriisitulot nün, että saat voiton lausektceen kahden muuttujan tavallisena funktiona. o z + o 2 -l ò o