Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 81 Pohditaan seuraavaksi maksimi-operaatiota jonka funktio antaa kuvan pikselien maksimiarvon. Tämä on epälineaarinen joka osoitetaan vastaesimerkillä lineaarisuudelle. Olkoot kaksi kuvaa. Olkoot edelleen a 1 =1 ja a 2 =-1. Kätetään lineaarisuuden määritelmää edeltä. 7 4 5 6 ja 3 2 2 0 f 1 f 2 2 4 2 3 6 ma 7 4 5 6 1 3 2 2 0 1 ma
Toisaalta katsottaessa lineaarisuuden määritelmän oikeaa puolta saadaan seuraava tulos. 0 2 6 5 1 ma 1 ma 3 17 4 2 3 4 7 Koska vasen ja oikea puoli saivat eri arvot lineaarisuus ei vallitse vaan ma on epälineaarinen operaattori. Kun epälineaariset operaattorit ovat monimutkaisempia ja huonommin tunnettuja kuin lineaariset monesti pritään lineaaristen soveltamiseen. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 82
Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 83 Kuvien väliset taulukko-operaatiot suoritetaan pikseliparittain. Tällöin aritmeettiset operaatiot ovat oheiset. Operaatiot suoritetaan siis pikseleittäin kun =012 M-1 ja =012 N-1. Tuloskuvat ovat s dpja v. Kuvien koko on M N. / g f v g f p g f d g f s
Olkoon g korruptoitunut kuva joka on saatu lisäämällä alkuperäiseen f kohinaa g f jossa oletetaan että jokaisessa koordinaattiparissa kohina on korreloimatonta ja sen keskiarvo on 0. Satunnaismuuttujan z varianssi on E[z-m 2 ] missä m on sen keskiarvo ja E on odotusarvo. Kahden muuttujan kovarianssi määritellään vastaavasti E[z i m i z j m j ]. Jos muuttujat ovat korreloimattomia niiden kovarianssi on 0. Seuraavan proseduurin tarkoitus on vähentää kohinaa summaamalla hteen kohinaisten kuvien joukkoa. Tätä kätetään monesti kuvan korostamisessa. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 84
Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 85 Em. rajoittein muodostettaessa kuva keskiarvoistamalla K kertaa kohteen kohinaltaan hieman erilaista kuvaa saadaan jolloin seuraa että ja missä E{ } on keskiarvoistetun kuvan odotusarvo ja 2 :t ovat kuvan ja kohinan varianssit. Keskihajonta kuvan pisteissä on seuraava. 1 1 K i i g K g f g E 2 2 1 g K
g 1 K Kun K kasvaa nämä osoittavat että pikseliarvojen varianssi ja keskihajonta jokaisessa pisteessä vähenee. Tulee kuitenkin huomata että K:n kasvaessa kohinan keskihajonta pienenee vain suhteessa K:n neliöjuureen. Jotta kuvatut toimenpiteet olisivat mahdollisia kuvat pitää tietsti kohdistaa päällekkäin toisiinsa nähden. Todellisuudessa kohinaa ei tietsti tunneta koska se on leensä satunnaista mutta sitä voidaan vähentää näin keskiarvoistamalla ja möhemmin kuvattavalla suodattamisella. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 86
Tärkeä keskiarvoistamisen kättökohde on esim. astronomisessa datassa kun samaa kohdetta on kuvattu useilla kuvilla lhin aikavälein jos on kuvattu maasta maan liike korjattu sinä aikana ms.. Kuva 2.22. esittää 8 bitin tilannetta jossa korruptiota simuloitiin lisäämällä normaalijakautunutta kohinaa 0-keskiarvo ja keskihajonta 64 intensiteettitasoa. Alkuperäisen kuvan ollessa heikko jo keskiarvoistamalla K=50 kertaa kuva puhdistui kohtalaisesti mutta K=100 ei juurikaan siitä parantunut huom. K:n neliöjuuri ed. kaavassa. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 87
Kuva 2.22. a Erään galaksin kuva johon on lisätt kohinaa. Keskiarvoistamista on suoritettu b 5 c 10 d 20 e 50 ja f 100 kertaa NASA. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 88
Kuvan erojen korostamiseksi voidaan kättää kuvien vähentämistä. Kuvasta 2.23a muodostetussa kuvassa 2.23b jokaisen pikselin vähiten merkitsevä bitti on asetettu 0:ksi. Nämä ovat visuaalisesti samannäköisiä. Kuva 2.23c osoittaa kuitenkin kun kuva on vähennett toisesta niiden erot. Mustat 0 arvot osoittavat erotuskuvan paikat joissa ei ole eroa kuvissa 2.23a ja b. Kuva 2.23. a Infrapunakuva Washington D.C. alueesta b kuvan pikselien vähiten merkitsevät bitit asetettu nolliksi ja c edellisten erotus. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 89
Kuvan kertomisen ja jakamisen tärkeä sovellus on sävnkorjaus. Oletetaan että kuvausjärjestelmä tuottaa kuvia jotka voidaan mallintaa tädellisen kuvan f ja sävtsfunktion h tulona ts. g =fh. Jos h tunnetaan f saadaan kertomalla kuva h:n käänteisfunktiolla tässä jaetaan gh:lla. Jos h:ää ei tunneta mutta kuvausjärjestelmän ominaisuuksista on tietoa sävtsfunktiota voidaan approksimoida kuvaamalla kohde vakiointensiteetillä. Jos tällaista tietoa ei ole sävtshahmoa voidaan estimoida suoraan kuvastakin. Kuva 2.24. esittää esimerkin sävnkorjauksesta. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 90
a b c Kuva 2.24. Sävnkorjaus: a sävtett wolframikuitu tukivarren mpärillä 130-kertainen suurennos b sävtshahmo ja c alkuperäisen kuvan a ja b:n käänteiskuvauksen tulo. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 91
Toinen kuvan kertomisen kättö on maskaus- eli kiinnostavuusalueoperaatiot region of interest ROI. Sötekuva kerrotaan maskilla jossa on 1:siä ROI:ssa ja 0:ia muualla. Maskissa voi olla useita ROI:ta joiden muoto voi olla mikä tahansa vaikka kätännössä luonnollisesti tpillisesti suorakulmio. Kuva 2.25. on tästä esimerkki. a b c Kuva 2.25. a Digitaalinen hammasröntgenkuva b ROI-maski paikattujen hampaiden erottamiseksi muista valkoinen vastaa 1:iä ja musta 0:ia ja c edellisten tulo. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 92
Joukko-operaatioita voidaan soveltaa kuviin tarkemmin näiden pikseleihin. Kun universumi U on htä kuin koko kuva koordinaattijoukot A ja B ovat rajat sisältäen esim. kuten kuvassa 2.26. Näille voidaan suorittaa tavallisia joukko-operaatioita. Yllä oletettiin itse asiassa että pikselien intensiteetti on sama. Ym. oletuksen ollessa paikkansapitämätön on määriteltävä miten toimia alkioiden intensiteettien vaihdellessa sovellettaessa saman kuvan eri versioita. Unioni ja leikkaus intensiteetti- eli harmaasävarvojen htedessä määritellään kättäen pikseliparien maksimia ja minimiä. Komplementti määritellään pikselin intensiteetin ja vakion parittaisina erotuksina. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 93
a b c d e Kuva 2.26. a Kaksi koordinaattijoukkoa A ja B tasolla b joukkojen unioni c leikkaus d A:n komplementti ja e joukkojen erotus. Tummennetut alueet edustavat tulosjoukkoja. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 94
Tarkastellaan joukon A alkioita jotka ovat kolmikkoja z. Tässä z on intensiteettiarvo. A:n komplementti voidaan määritellä A c { K z z A} jossa pikselien intensiteetit on vähennett vakiosta K=2 k -1 kun k on z:n esittämiseen kätett bittien lukumäärä. Tämä on monesti 8-bittinen harmaasävkuvaa varten. Esim. kuvasta 2.27.a halutaan muodostaa A:n negaatio joukko-operaatioilla. Muodostetaan seuraava. A n A c { 255 z z A} Saadaan kuva 2.27.b. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 95
Kahden harmaasävpikselijoukon A ja B unioni määritellään joukkona A B a b a A b }. { ma B z A edustakoon kuvaa 2.27.a. B on samankokoinen suorakulmiotaulukko jonka kaikki z-arvot ovat htä kuin kolme kertaa A:n alkioiden intensiteettien keskiarvo m. Kuva 2.27.c on näiden unioni jossa kaikki 3m:n littävät arvot esiintvät sellaisenaan A:n arvoina ja kaikki muut arvoina 3m keskiharmaa arvo. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 96
a b c Kuva 2.27. a Alkuperäinen kuva b komplementilla saatu kuvan negaatio ja c alkuperäisen ja vakiokuvan unionikuva. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 97
Käsiteltäessä binäärikuvia edusta 1-arvot ja tausta 0-arvot voidaan mieltää pikselijoukkona. Määriteltäessä kuvan kohteiden olevan 1-arvoista muodostettuja esim. kuvan 2.26. joukko-operaatiot ovat operaatioita kohteiden koordinaattien välillä. Binäärikuville on tavallista joukko-operaatioiden asemesta soveltaa loogisia operaattoreita OR AND ja NOT kun 1 tarkoittaa arvoa tosi ja 0 arvoa epätosi. Joukkojen tai alueiden A ja B tapauksessa sovellettaessa esim. OR:ia tuloksessa ovat kummankin alkiot. Tavanomaiset periaatteet ovat voimassa tietsti muillekin loogisille operaatioille joissa on mukana mös XOR. Kuva 2.28. havainnollistaa tärkeimpiä operaatioita joissa neljäs rivi vastaa joukko-operaatioiden erotusta. Huomattakoon että nämä ovat alueiden välisiä operaatioita toisin kuin joukkojen htedessä samankokoisten kuvien taulukkooperaatioita joten harmaasävtasoista ei tarvitse nt välittää. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 98
Kuva 2.28. Loogisten operaatioiden kättöä. Musta vastaa 0:ia ja valkoinen 1:siä. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 99
Spatiaaliset operaatiot suoritetaan suoraan kuvan pikseleille. Niitä on kolmea lajia: ksittäispikselien operaatiot 2 naapurustooperaatiot ja 3 geometriset muunnokset. Yksittäisiä pikseleitä voidaan muuntaa muunnoksilla s = Tz jossa z on pikselin alkuperäinen intensiteetti ja s on prosessoidun kuvan pikselin intensiteetti. Esim. kuva 2.29. esittää 8-bittisen kuvan pikselin negaation kuvan 2.27.b tapaan. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 100
Kuva 2.29. Intensiteettimuunnosfunktio 8-bittisen kuvan negaation muodostamista varten. Katkonuolet osoittavat mielivaltaisesti valitun intensiteettiarvon z 0 muunnoksen. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 101
Olkoon S johonkin pisteeseen keskitetn naapuruston koordinaattijoukko. Naapurustokäsittel generoi vastaavan pikselin tuloskuvan g samoille koordinaateille niin että pikselin arvo määrätään jollakin joukolle S suoritetulla operaatiolla. Esim. kätetään pikselien keskiarvoa suorakulmionmuotoisessa naapurustossa kokoa m n. Kuva 2.30. havainnollistaa. Operaatio on nt muotoa g 1 mn r c f S r c jossa r ja c ovat joukon S pikselirivien ja -sarakkeiden lukumäärät. Kuva g on luotu liu uttamalla ikkunaa pikseleittäin pitkin kutakin riviä vuorollaan ja laskemalla joka pisteessä tuloskuvan vastaavan kohdan arvo. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 102
a b Kuva 2.30. Lokaalinen keskiarvoistaminen soveltaen naapurustokäsittelä. a ja b Yksittäinen suorakulmio eli ikkuna sekä c alkuperäinen aorttakuva ja d sama keskiarvoistettuna kun m=n=41 ja kuvan koko 790 686 pikseliä. c d Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 103
Geometriset muunnokset muuntavat kuvassa pikselien välisiä spatiaalisia suhteita. Kahta perusoperaatiotppiä kätetään: spatiaaliset koordinaattien muunnokset ja intensiteettien interpolointi joka määrää spatiaalisesti muunnettujen pikselien intensiteettiarvot. Koordinaattien muunnos ilmaistaan T{ v w} jossa vw:t ovat alkuperäisen kuvan pikselikoordinaatteja ja :t ovat vastaavasti muunnetun. Esim. muunnos =T{vw}= v/2w/2 kutistaa alkuperäistä puoleen kummankin suunnan suhteen. Tavallinen spatiaalinen on affiini muunnos leisesti oheisessa muodossa. 1v w 1T v w 1 t t t 11 21 31 t t t 12 22 32 0 0 1 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 104
Edellinen kaava kattaa muunnokset skaalaus rotaatio translaatio ja shearing. Taulukko 2.2. esittää nämä joita voidaan hdistää peräkkäin. Voidaan esim. muuttaa kuvan kokoa kiertää sitä ja siirtää uuteen paikkaan laskemalla näiden operaatioiden matriisien tulo. Edellistä kaava kätetään kahdella eri tavalla. Eteenpäinkuvauksessa selataan kuvaa pikseleittäin ja jokaiselle pisteelle vw lasketaan tuloskuvan vastaavan pikselin spatiaalinen paikka. Ongelmana on että kaksi tai useampaa pikseliä saattaa kuvautua samaan paikkaan tuloskuvassa jolloin tämä on jotenkin ratkaistava. Niinpä monesti kätetään käänteiskuvausta selaten tulospikselipaikkoja ja laskien vastaavan sötekuvan paikan vw =T -1. Interpoloidaan esitetillä menetelmillä sitten lähimpien naapuripikselien avulla tulospikselin intensiteettiarvo. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 105
Taulukko 2.2. Affiinit muunnokset. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 106
Käänteiskuvaus on tehokkaampi vaihtoehto. Sitä kätetään leisemmin kuin eteenpäinkuvausta. Esim. Matlab-ohjelmisto soveltaa sitä. Tarkastellaan esimerkkinä kuvaa 2.31 jossa kierretään kohdetta 21 kättäen lähimmän naapurin bilineaaria ja kaksoiskuutiollista interpolointia. Rotaatio eli kierto on vaativa muunnos koska suorien säilminen suorannäköisinä on monesti ongelma. Katsomalla suurennettuja osia kuvan 2.31. osissa c ja d voi havaita että edellisessä on enemmän intensiteetin harmaita välimuotopikseleitä mustan ja valkoisen väliltä. Täten d on parempi tuloskuva. Tässä oli kätett käänteiskuvausta. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 107
Kuva 2.31. a Tarkkuuden 300 dpi kuva b kuva kierrettnä soveltaen lähimmän naapurin c bilineaaria ja d kaksoiskuutiollista interpolointia. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 108
Kuvanrekisteröinti on hödllinen menetelmä rinnastaa kaksi tai useampaa kuvaa samaan näkmään. Tällöin tunnetaan söte- ja tuloskuva mutta niiden välinen muunnos on tuntematon joka halutaan selvittää. Viitekuvaa vasten halutaan sötekuva rekisteröidä. Tällainen on hödllistä esim. lääketieteellisen kuvantamisen htedessä rinnastettaessa saman kohteen MRI-kuva ja PET-kuva edellinen anatominen ja jälkimmäinen pikemmin funktionaalinen. Kuvauskohde ja -väline voivat toisaalta olla samoja mutta kohteesta otetaan määräväliajoin kuvia. Hvä esimerkki on tähtitieteelliset kohteet joissa kuvauksen väliaika voi nousta jopa vuosiin. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 109
Pääasiallinen keino ratkaista esitett ongelma on kättää sidos- eli kontrollipisteitä. Nämä ovat pisteitä joiden sijainti tiedetään tarkkaan sekä söte- että viitekuvissa. Pisteet voidaan valita vaihtelevin tavoin kuten vuorovaikutteisesti tai soveltamalla algoritmia joka rittää havaita nämä pisteet automaattisesti. Muunnosfunktion estimointiongelma on mallintamistehtävä. Olkoon neljän sidospisteen joukko jokaisessa söte- ja viitekuvassa. Bilineaaria approksimointia soveltaen saadaan ja c c 1v c2w c3vw c4 jossa estimointivaiheen aikana vw ja ovat söte- ja viitekuvan sidospisteiden koordinaatit. 5v c6w c7vw c8 Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 110
Kun on neljä paria sidospisteitä kahdessa kuvassa kahdeksan htälöä voidaan kirjoittaa eo. tapaan ja ratkaista niistä kahdeksan tuntematonta kerrointa c 1 c 8. Kertoimet muodostavat mallin joka muuntaa kuvan pikselit toisen kuvan pikselien paikkoihin rekisteröinnin aikaansaamiseksi. Jos neljä sidospistettä ovat riittämättömiä tdttävän rekisteröinnin tuottamiseksi voidaan kättää suurempaa sidospisteiden määrää ja käsitellä neljän pisteen joukkojen muodostamia nelikulmioita alikuvina. On mahdollista kättää mös monimutkaisempia alueita ja malleja esim. polnomeja jotka on sovitettu pienimmän neliösumman menetelmällä. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 111
Kuva 2.32.a esittää viitekuvan ja kuva 2.32.b saman mutta geometrisesti vääristettnä horisontaalisen ja vertikaalisen shearingoperaation avulla. Viitekuvan avulla määrättiin manuaalisesti neljä sidospistettä pienet valkoiset nurkissa ja sitten näitä kättäen rekisteröitiin kuva. Neljä sidospistettä riitti koska kumpikin muunnos on lineaarinen. Kuva 2.32. c esittää rekisteröintituloksen joka ei ole tädellinen minkä osoittaa kuvan mustat reunat. Erotuskuva 2.32.d osoittaa rekisteröinnin puutteet viite- ja korjatun kuvan välillä. Nämä johtuivat sidospisteiden hieman epätarkasta manuaalisesta asettamisesta. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 112
a b sidospiste c d Kuva 2.32. Rekisteröinti: a viitekuva b söte geometrisesti vääristett c rekisteröit kuva ja d vaiheiden a ja c erotuskuva joka sisältää virheitä. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 113
Värikuvien htedessä tarvitaan vektori- ja matriisioperaatioita. Värikuvat muodostetaan RGB-väriavaruudessa kättäen kolmea komponenttia: punainen vihreä ja sininen kuva 2.33.. Jokaisella värikuvan pikselillä on tällöin pstvektori z z z z 1 2 3 jossa komponentit vastaavat pikselin kolmen värin intensiteettejä. Näin koon M N RGB-kuva edustaa kaikkiaan MN 3-ulotteista vektoria. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 114
Kuva 2.33. Vektorin muodostaminen kolmen RGBkomponenttikuvan vastaavista pikseliarvoista. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 115
Euklidinen etäiss voidaan määrätä pikselivektorin z ja mielivaltaisesti valitun pisteen a välillä n-ulotteisessa avaruudessa. D T z a z a z a 1 2 1 2 z a... z a 2 2 1 1 n n Tärkeät lineaariset muunnokset ovat tehtävissä muotona w A z a jossa A on m n-matriisi sekä z ja a ovat m 1-pstvektoreita. Koko kuva on esitettävissä matriisina M N tai vaihtoehtoisesti vektorina kokoa MN 1. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 116
Tällä tavalla voidaan kuvaan soveltaa monia lineaarisia prosesseja merkitsemällä g Hf n jossa f on MN 1-vektori esittäen sötekuvaa n on MN 1-vektori esittäen kohinaa g on MN 1-vektori esittäen prosessoitua kuvaa ja H on MN MN-matriisi esittäen sötekuvaan sovellettua lineaarista prosessia. Käsitellt muunnokset ovat kättäneet suoraan pikselejä eli operoineet spatiaalisesti. Toisinaan on kuitenkin parempi toimia epäsuorasti ensiksi muuntamalla sötekuvat muunnosavaruuteen käsittelemällä siellä kuvaa ja muuntamalla takaisin käänteismuunnoksella spatiaaliseen. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 117
Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 118 Näin leisen muodon kaksiulotteinen lineaarinen muunnos on 5 jossa f on sötekuva ruv on muunnoskerneli ja kaava evaluoidaan arvoille u=012 M-1 ja v=012 N-1. Muuttujat ja ovat spatiaalisia sekä u ja v muunnosmuuttujia. Tuv on f:n muunnos. Tunnettaessa Tuv voidaan muodostaa f käänteismuunnoksen 6 avulla jossa on =012 M-1 ja =012 N-1. Tässä suv on käänteismuunnoskerneli. Kaavat 5 ja 6 muodostavat muunnosparin. 1 0 1 0 M N v u r f v u T 1 0 1 0 M u N v v u s v u T f
f spatiaalinen määritsalue muunnos Tuv operaatio R R[Tuv] käänteismuunnos g spatiaalinen kuvausalue Kuva 2.34. Yleinen lähestmistapa ja prosessointia lineaarisessa muunnosavaruudessa. Kuva 2.34. esittää miten kuvalle suoritetaan muunnos operointi muunnosavaruudessa ja käänteismuunnos. Kuvassa 2.35. esitetään edellisen mukaan eritisesti Fourier-muunnos. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 119
Kuvassa 2.35.b on Fourier-muunnoksen itseisarvoesits joka on kuvan 2.34. ensimmäisen vaiheen tulos. Spatiaalisen datan puhtaasti sinimuotoinen kohina ilmenee kirkkaina intensiteettipurskeina Fourier-muunnoksen kuvausavaruudessa. Tässä tapauksessa purskeet ovat mpränmuotoisia kuva 2.35.b. Kuva 2.35.c esittää maskin suodin eli filtteri jossa on vain valkoista ja mustaa ts. 1- ja 0-arvoja. Kuvan 2.34. toisessa vaiheessa laatikko kerrotaan maskilla muunnoksen tulos suodattaen täten häiriön aiheuttamat purskeet. Kuva 2.35.d esittää lopullisen tuloksen jota varten on laskettu vielä modifioidun muunnoksen käänteismuunnos eli palautettu muunnosavaruudesta takaisin määritsalueen avaruuteen kuvaksi. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 120
a b c d Kuva 2.35. a Sinimuotoisella häiriöllä korruptoitu kuva b Fouriermuunnoksen itseisarvokuvaus joka osoittaa häiriön tuottamat energiapurskeet c energiapurskeiden eliminoimiseen kätett maski ja d modifioidun Fourier-käänteismuunnoksen antama tulos NASA. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 121
Muunnoskerneli on separoituva eli erottuva seuraavan ehdon tättessä. r u v r1 u r2 v Kerneli on lisäksi smmetrinen jos r 1 on vaikutukseltaan sama kuin r 2 seuraavasti. r 1 u v r1 u r v Sama periaate soveltuu mös käänteismuunnokselle kun tässä on s r:n asemesta. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 122
Kaksiulotteisella 2D Fourier-muunnoksella on seuraava eteenpäin- ja käänteiskerneli. r u v e j2 u / M v/ N ja s u v 1 MN e j2 u/ M v / N Tässä kompleksiesitksessä kätetään fsiikan merkintätapaa imaginääriksikölle j=-1 1/2. Korvaamalla kernelit leisiin muunnoskaaavoihin 5 ja 6 s. 118 saadaan diskreetti Fouriermuunnospari joka on laskettavissa tietokoneella. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 123
Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 124 Nämä htälöt ovat keskeisiä kuvanprosessoinnissa. Fourier-kernelit ovat separoituvia ja smmetrisiä joten 2D-muunnokset on mahdollista hajottaa 1D-muunnoksiksi. Muunnosparien kernelien tättäessä nämä ehdot ja kuvan f ollessa kokoa M N kaavat 5 ja 6 s. 118 ovat kirjoitettavissa muodossa 7 jossa F on f:n alkioiden M N-matriisi A on M N-matriisi alkioinaan a ij =r 1 ij ja T on M N-muunnos arvoinaan Tuv kun uv=012 M-1. 1 0 1 0 / / 2 M N N v M u j e f v u T 1 0 1 0 / / 2 1 M u N v N v M u j e v u T MN f T AFA
Käänteismuunnoksen saamiseksi 7 kerrotaan kummastakin suunnasta käänteismuunnosmatriisilla B. Jos B=A -1 BTB BAFAB F BTB 8 osoittaen että F tämän alkiot ovat htä kuin kuva f voidaan palauttaa tädellisesti muunnoksestaan. Jos B ei ole htä kuin A -1 niin 8:n kättö tuottaa seuraavan approksimaation. Fˆ BAFAB Fourierin lisäksi monet muutkin muunnokset ovat esitettävissä htälöillä 5 ja 6 tai ekvivalentisti 7 ja 8 kuten Walsh Hadamard diskreetti kosini ja Haar. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 125
Todennäköisslaskenta on monessa htedessä oiva väline niin kuvanprosessoinnissakin. Intensiteettiarvoja voidaan tarkastella satunnaislukuina. Olkoot z i i=012 L-1 kaikki mahdolliset intensiteettiarvot kuvassa kooltaan M N. Intensiteettitason z k todennäköiss pz k estimoidaan arvona p z k nk MN jossa n k on z k :oiden esiintmien lukumäärä kuvassa ja MN pikselien lukumäärä. Todennäköisksien summan on oltava htä kuin 1. L 1 k 0 p z k 1 Intensiteettien keskiarvo ja varianssi voidaan laskea luonnehtimaan kuvaa kuten korkeammatkin momentit 3. potenssi luonnehtii 0:sta erotessaan jakauman vinoutta. m L1 k 0 z k p z k ja 2 L1 k0 z k m 2 p z k Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 126
a b c Kuva 2.36. a Vähäinen b keskitason ja c suuri kontrasti. Kuva 2.36. esittää 8-bittistä kuvaa vähäisen keskitason ja suuren kontrastin tapauksissa. Pikseli-intensiteettien keskihajonnat olivat 14.3. 31.6 ja 49.2. tapauksille a-c. Keskihajonta varianssin neliöjuurena oli tässä kätevämpi suure ajateltaessa intensiteettien arvoväliä [0255]. Digitaalisten kuvien peruskäsitteet 127