Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Matriisien peruskäsitteet Yksinkertaiset laskutoimitukset Transponointi Matriisitulo
Viime luennolta Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään raaka-aineita A, B ja C. Kuinka paljon raaka-aineita A, B ja C on käytettävä, kun. Tehdään kg:n erä 2. Entsyymiä E on oltava 8 mg ja. Erä saa maksaa 2? Ehdoista - saadaan yhtälöryhmä:. x + x 2 + x = 2. 4x + 4x 2 + 6x = 8. x + 6x 2 + 2x = 2 A B C Valmistettava määrä (kg) x x 2 x Entsyymin E määrä (mg/kg) 4 4 6 Hinta ( /kg) 6 2 Yhtälöryhmän voi esittää matriisimuodossa: Kerroinmatriisi A 4 4 6 6 2 Muuttujavektori x x x 2 x = Ax = b Side-ehto- Vektori b 8 2 //27 2
Tällä luennolla Tarkastelemme matriiseihin liittyviä peruskäsitteitä ja laskusääntöjä Vakiolla kertominen, yhteenlasku, vähennyslasku Transponointi Matriisitulo Ensi luennolla käytämme näitä käsitteitä ja sääntöjä yhtälöryhmän Ax = b ratkaisussa x = A b tarvittavan käänteismatriisin A muodostamiseen //27
Matriisit Esim. Ekonomisti E hankkii USA:sta terveysvaikutteisia luonnontuotteita: Kuntojuomaa (KJ), Terveysuutetta (TU) ja Ihmepillereitä (IP). Hän seuraa näiden hyödykkeiden hintoja ja viikon aikana kuluttamiaan määriä noin vuoden välein: Hinnat Määrät Vuosi KJ ($/dl) TU ($/g) IP ($/kpl) KJ (dl) TU (g) IP (kpl) 24.4.5.4 5 6 25.8.6 2. 5 7 25 26..8 4. 2 9 5 Eri vuosien määrätiedot voidaan esittää vaakavektoreina: q 4 = 5, 6,, q 5 = 5, 7, 25, q 6 = 2, 9,5 R Eri tuotteiden määrätiedot voidaan esittää pystyvektoreina: q KJ = 5 5 2 Ei vuosia ja tuotteita kuvaavat määrätiedot voidaan esittää matriisina Q = vaakavektorit q 4, q 5, q 6 ja sarakkeina pystyvektorit q KJ, q TU, q IP., q TU = 5 5 2 6 7 9 6 7 9, q IP = 25 5 25 5 R R, jonka riveinä ovat //27 4
Matriisit Matriisi A on avaruuden R m n alkio: A = a a 2 a n a m a m2 a mn m vaakariviä eli riviä n pystyriviä eli saraketta Matriisin A alkiot a ij R ovat reaalilukuja Matriisia merkitään usein A = [a ij ] Matriisin alkiota merkitään usein a ij = [A] ij //27 5
Matriisit Matriisin A R m n sanotaan olevan tyyppiä m n oleva martiisi tai m n-matriisi Esim. A = Esim. B = 5 2 2 4 2 6 Erikoistapauksia: 7 R 2 on tyyppiä 2 ja esim. a 2 = [A] 2 = 4 8 R2 4 on tyyppiä 2 4 ja esim. b = [B] = n-matriisi samastetaan R n :n vaakavektoriksi n -matriisi samastetaan R n :n pystyvektoriksi -matriisi samastetaan reaaliluvuksi ( R) Matriiseja A ja B sanotaan yhtä suuriksi (merk. A = B), jos Ne ovat samaa tyyppiä m n ja Vastinalkiot ovat samat: a ij = b ij i, j (eli yhtäsuuruus pätee alkioittain) //27 6
Matriisityyppejä: Neliömatriisi Jos A R n n, niin A on tyyppiä n oleva neliömatriisi Esim. Määrämatriisi Q on tyyppiä oleva neliömatriisi: Q = 5 5 2 6 7 9 25 5 Neliömatriisin päälävistäjällä tarkoitetaan vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan kulkevaa lävistäjää (lihavoidut alkiot q ii ) //27 7
Matriisityyppejä: Lävistäjämatriisi Jos neliömatriisin A muut kuin päälävistäjäalkiot ovat nollia, on A lävistäjämatriisi eli diagonaalimatriisi: Esim. Tyyppiä oleva lävistäjämatriisi: A = 5 Jos lävistäjämatriisin kaikki päälävistäjäalkiot ovat ykkösiä, kutsutaan matriisia yksikkömatriisiksi eli identiteettimatriisiksi Yksikkömatriisista käytetään merkintää I tai I n, esim. I = //27 8
Matriisityyppejä: Kolmiomatriisi Jos neliömatriisin päälävistäjän ylä- tai alapuoliset alkiot ovat nollia, sitä sanotaan kolmiomatriisiksi, esim. A = 2 5 Usein tehdään ero alakolmio- ja yläkolmiomatriisin välillä: Alakolmiomatriisi L = 2 5 Yläkolmiomatriisi U = 2 5 Matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia, on nollamatriisi O = //27 9
Matriisioperaatioita: Transponointi Matriisin transponointi tarkoittaa rivien ja sarakkeiden vaihtamista keskenään Esim. Terveysvalmisteiden kulutusta eri vuosina kuvaavan matriisin Q transpoosi Q T : Q = 5 5 2 6 7 9 25 5 Q T = 5 6 5 7 25 2 9 5 Kuten viime luennolla todettiin, transponointi muuttaa pystyvektorin (sarakkeen) vaakavektoriksi (riviksi) ja toisinpäin Pystyvektori a = 8 2 Vaakavektori a T =[,8,2] //27
Matriisioperaatioita: Transponointi Esim. Määritä A T, kun A = 2 4 6 6 R2 4 Ratkaisu: A T = 2 4 6 6 R 4 2 Transponointi muuttaa m n-matriisin n m-matriisiksi Selvästi kaikille matriiseille A pätee A T T = A. Transponointi ei muuta matriisin sisältämää informaatiota, mutta on usein välttämätöntä laskutoimitusten kannalta. //27
Symmetrinen matriisi Neliömatriisia, jolle pätee A T = A, sanotaan symmetriseksi, esim. A = 5 4 2 5 2 7 A T = 5 4 2 5 2 7 Symmetrisessä matriisissa siis i. rivin ja j. sarakkeen alkio on sama kuin j. rivin ja i. sarakkeen alkio: a ij = a ji Kaikki lävistäjämatriisit (ja tällöin myös yksikkömatriisit) ovat symmetrisiä //27 2
Matriisioperaatioita: Vakiolla kertominen Esim. Mitkä ovat lisäravinteiden hinnat eri vuosina vuoden 24 euroissa, kun kurssi oli tuolloin USD =.74 EUR? Hinnat Hinnat voidaan esittää matriisina P =.4.8..5.6.8.4 2. 4. Määrät Vuosi KJ ($/dl) TU ($/g) IP ($/kpl) KJ (dl) TU (g) IP (kpl) 24.4.5.4 5 6 25.8.6 2. 5 7 25 26..8 4. 2 9 5 Kun hinnat muutetaan vuoden 24 euroiksi, kukin matriisin alkio kerrotaan vakiolla.74 Tämä vastaa koko matriisin kertomista vakiolla.74:.74 P =.74.4.8..5.6.8.4 2. 4. =..59.22.7.44.59.4.48 2.96 Matriisin (aivan kuten vektorinkin) kertominen vakiolla tehdään siis alkioittain //27
Matriisioperaatioita: Yhteenlasku Myös matriisien A, B R m n yhteenlasku (aivan kuten vektorienkin) tapahtuu alkioittain: A + B = a ij + b ij = a ij + b ij Esim. 2 4 6 + 5 7 2 = 7 8 //27 4
Matriisioperaatioita: Vähennyslasku Vähennyslasku tapahtuu niin ikään alkioittain (kuten vektorien tapauksessa), mikä on suora seuraus alkioittain tapahtuvasta vakiolla kertomisesta ja yhteenlaskusta: A B = A + B = a ij + b ij = a ij b ij Esim. Yritys tuottaa kolmea tuotetta, joiden arvo (M ) kahtena kuukautena on koottu matriisiin A ja vastaavat tuotantokustannukset matriisiin B A =. kk 2. kk. kk 2. kk 2.6 4..4.7.8 2.8 Tuote Tuote 2 Tuote 2. 4..9.6.9 2.2 = B Mitkä ovat eri tuotteista saatavat voitot eri kuukausina? A B = 2.6 4..4.7.8 2.8 2. 4..9.6.9 2.2 =.5.5...6 //27 5
Lineaariavaruus Matriisit (kuten vektorit viime luennolla) muodostavat lineaariavaruuden R m n, sillä ne toteuttavat ehdot -8:. A + B = B + A (vaihdannaisuus) 2. A + B + C = A + B + C (liitännäisyys). On olemassa nollamatriisi O =, jolle pätee A + O = A 4. Matriisilla A = [a ij ] on vastamatriisi A = a ij = a ij, jolle pätee A + A = A A = O 5. a ba = b aa = ab A, missä a ja b ovat vakioita 6. A = A 7. a A + B = aa + ab, missä a on vakio 8. a + b A = aa + ba, missä a ja b ovat vakioita //27 6
Presemo-kysymys Määritä alkiot a, b ja c, kun A on symmetrinen matriisi A = 4 5 a 2 b c 2. a = 2, b = 5, c = 4 2. a = 4, b = 5, c = 2. a = 2, b =, c = 4 //27 7
Matriisitulo Alun johdannossa rinnastettiin yhtälöryhmä ja matriisiyhtälö A x = b: x + x 2 + x = ቐ4x + 4x 2 + 6x = 8 x + 6x 2 + 2x = 2 Kerroinmatriisi A 4 4 6 6 2 Muuttujavektori x x x 2 x = Side-ehto- Vektori b 8 2 Matriisiyhtälössä esiintyy matriisin A ja vektorin x tulo, joka lasketaan Irrottamalla matriisista A kukin rivi eli vaakavektori kerrallaan ja laskemalla sen sisätulo vektorin x kanssa.,, x, x 2, x = x + x 2 + x 2. 4, 4, 6 x, x 2, x = 4x + 4x 2 + 6x., 6, 2 x, x 2, x = x + 6x 2 + 2x Ja kokoamalla näin saadut sisätulot pystyvektoriksi: x + x 2 + x 4x + 4x 2 + 6x x + 6x 2 + 2x //27 8
Matriisitulo Yleisesti matriisien A R m n ja B R n p tulo määritellään AB = C = [c ij ] R m p missä c ij = a i, a i2,, a in b j, b 2j,, b nj Eli jotta saadaan tulomatriisin C alkio c ij, Matriisista A otetaan i. rivi (n-ulotteinen vaakavektori) Matriisista B otetaan j. sarake (n-ulotteinen pystyvektori) Ja lasketaan näiden sisätulo //27 9
Matriisitulo Esim. A = 4 2 5 6 R2, B = 2 4 R 2 AB =,2, [,,4],2, [,2,] 4,5,6 [,,4] 4,5,6 [,2,] = + 2 + 4 + 2 2 + 4 + 5 ( ) + 6 4 4 + 5 2 + 6 = 8 9 2 Jotta tulo AB on määritelty, pitää matriisien A ja B olla yhteensopivia, eli A:n sarakkeiden lukumäärä n = B:n rivien lukumäärä n (esim. edellä n = 2) //27 2
Matriisitulo Yleisesti pätee: AI = IA = A Esim. I D = 2 5 4 4 8 = 2 + 5 + 2 + 5 + 2 + 5 + 4 + 4 + ( ) 4 + 4 + ( ) 4 + 4 + ( ) + + 8 + + 8 + + 8 = 2 5 4 4 8 = D Vastaavasti DI = D //27 2
Matriisikertolaskun säännöt. AB C = A BC, kun A R m n, B R n p, C R p r 2. A B + C = AB + AC, kun A R m n, B, C R n p. A + B C = AC + BC, kun A, B R m n, C R n p 4. A ab = aa B = a AB, kun A R m n, B R n p, ja a R on vakio 5. AB T = B T A T, kun A R m n, B R n p //27 22
Matriisikertolaskun säännöt Esim. Sääntö 5 AB T = B T A T A = 2 2, B = 2 A T = 2 2 ja BT = 2 Tällöin AB = 4 4 AB T = 4 4 Samoin B T A T = 2 2 2 = 4 4 //27 2
Matriisitulo Huom! Matriisitulo ei yleisesti ole vaihdannainen, vaan tavallisesti pätee AB BA Voi olla, etteivät A ja B edes ole yhteensopivia molemmin päin, eli AB on määritelty mutta BA ei; esim. jos A R 2 ja B R Vaikka AB ja BA olisivatkin määritelty, eivät ne välttämättä ole samantyyppisiä; esim. A = [2,], B = AB = 6 4 = 2 4 BA = 2 4 2 4 = 6 8 4 Vaikka AB ja BA olisivatkin samantyyppisiä, eivät ne välttämättä ole samat: A = 2 4, B = 2 AB = 2 5 4 mutta BA = 2 5 8 //27 24
Presemo-kysymys Määritä tulo AB, kun. AB = 4 4 2. AB = 4 4 6. AB = 4 6 7 A = 2 2, B = 2 2 //27 25
Yhteenveto Matriisi A R m n on reaalilukutaulukko, jossa on m riviä ja n saraketta Matriisin peruslaskutoimitukset (vakiolla kertominen, yhteenlasku, vähennyslasku) tapahtuvat alkioittain Matriisin transponointi muuttaa rivit sarakkeiksi ja sarakkeet riveiksi Matriisitulon C = AB alkio c ij lasketaan Ottamalla matriisista A i. rivi Ottamalla matriisista B j. sarake Ja laskemalla näiden sisätulo Yleisesti AB BA; kuitenkin AB T = B T A T //27 26