BMA583 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 6, Kevät 7. Oletetaan että saaliskalapopulaation lisääntymisnopeus (ilman kuolemia on suoraan verrannollinen kalapopulaation (merkataan tätä symbolilla y kokoon nähden (verrannollisuuskerroin olkoonk.. Lisäksi saaliskaloja verottaa vain kalastajat joita on y kappaletta ja nämä verottavat saaliskalojen populaatiota suoraan verrannollisesti kalastajien määrään nähden (verrannollisuuskerroin k.. Tämän lisäksi kalastajien määrä lisääntyy suoraan verrannollisesti saaliskalojen ja kalastajien osamäärään nähden (verrannollisuuskerroin k 3.5. Muodosta DY-ryhmä joka kuvaa kalastajien ja saaliskalojen määrien kasvunopeuksia. Kuinka suureksi saa kalastajien määrä suhteessa saaliskaloihin nousta ennen kuin saaliskalojen määrä kääntyy laskuun? y k y k y, y k 3 y y. y populaation koon muuttuminen vaihtuu kasvusta vähenemiseksi kun y, eli k y k y eli y /y k /k. Siis kun kalastajia on kaksinkertainen määrä saaliistettaviin nähden. a b. (a Olkoon a,b,c,d sellaisia reaalilukuja, että matriisin A ominaisarvot ovat ja ja c d y näitä vastaavat ominaisvektorit ovat ja. Ratkaise DY-ryhmä a b y y. c d y Mitä olisivat y ja y, jos tahdottaisiin y ( ja y (? (b Olkoon A R 3 3 ja tämän ominaisarvot ovat λ, λ ja λ 3 ja vastaavat ominaisvektorit x (,x (,x (3. Ratkaise DY-ryhmä y Ay. (a Yksi yhtälöryhmän ratkaisu olisi koota yleinen ratkaisu lineaarikombinaationa y C y e t +C y (t C e t +C e t e t ja toinen ratkaisu olisi y (t C e t Lasketaan y ja y alkuehdoilla. Sijoittamalla arvot saamme y ( C e C e t e t. Näistä voidaan y ( C e +C e C
(b DY-ryhmän yleinen ratkaisu olisi y C e t +C e t +C 3 C +C e t +C 3 e t e t Näin ollen y (t C +C 3 e t y (t C e t y 3 (t C +C 3 e t 3. Määritä DY-ryhmän y a y + a y y a ratkaisu, kun tiedetään että matriisin A y + a y ominaisarvot ovat λ 3 ja λ ja näitä vastaavat ominaisvektorit ovat myös, että y ( ja y (. Ratkaisu suoraan sijoittamalla kaavaan (85, missä x ( 3 ja x ( y 3 y C e 3t +C e t eli y y C (3 e 3t +C e t y C e 3t +C e t y ( y ( 3C + C C + C C C 3 ja eli a a a a. Tiedetään 3 (C +C C 7 C 7. (a Ratkaise DY-ryhmä y Ay, kun A:n ominaisvektorit ovat, ja, ja näitä vastaavat ominaisarvot λ 3, λ ja λ 3 (b Ratkaise nyt C, C ja C 3 kun y ( 5, y ( ja y 3 (. (c Mitä mahtaa käydä y :n, y :n ja y 3 :n arvoille kun t?
(a Suoraan kaavaan (85 sijoittaen y C e 3t +C }} e t +C 3 y C C 3 e t eli y C e 3t + C C 3 e t y 3 C e 3t +C C 3 e t e t (b (c C + C C 3 5 C + C C 3 C + C C 3 C 5 C C 3 C 9 C C 3 7 Gauss-Jordan eliminaatio y C y C y 3 C kun t 5. Olkoon y Ay missä A:n ominaisvektorit ovat λ 3. Tällöin y y y eli y y y 3 kun t ja C e t +C sekä vastaavat ominaisarvot λ ja (a Millaisia täytyy alkuehtojen y ( K ja y ( K olla, jotta y ja y kun t e 3t (b Mitä on alkuehtojen oltava, että edellisten ehtojen lisäksi y ( (a Vaaditaan siis C C mitä tahansa
y ( K y ( K C e + C e 3 K C e 3 K C K C K (b C e 3 6. Ratkaise DY-ryhmä y 3y + y y y + y C e 6 K e 6 K e 6 Yhtälö saadaan esitettyä matriisi muodossa y 3 }} A Ratkaistaan A:n ominaisvektorit ja -arvot det(a λi y y 3 λ λ (3 λ( λ 6 + λ 5λ λ 5λ + 5 Omaisvektorit ovat tällöin: λ 5+ 5 λ 5 ± 5 5 λ 5+ 5 λ 5 5 (A λix 3 λ x λ x 3 ( 5+ 5 ( 5+ 5
5 5 5 5 R λ 5 5 Saamme ratkaisuksi Tällöin yhtälöryhmän ratkaisu on ( 5 x + x x ( 5 x val. x x ( 5 y 7. Ajatellaan seuraavan kuvan prosessia, y + 5 x ( 5 + x x ( + 5 C ( 5 e 5+ 5 t +C ( + 5 e 5 5 t 3 l/min A l/min l/min B 3 l/min Kuva : Suolatankit jossa tankkiin A virtaa puhdasta vettä nopeudella 3 l/min ja siitä virtaa ulos suolaista liuosta nopeudella l/min. Ulosvirtaava neste päätyy tankkiin B. Tankista B virtaa nopeudella l/min seosta tankkiin A ja ulos systeemistä nopeudella 3 l/min. Jos A:n nesteen määrä on l ja B:n nesteen määrä on l, niin mikä on suolan määrä kumpaisessakin tankissa ajan hetkellä t, kun hetkellä t tankissa A on kg suolaa ja tankissa B on kg suolaa? y A (t suolan määrä tankissa A ajanhetkellä t y B (t suolan määrä tankissa B ajanhetkellä t y A ( y B (
( Tankista virtaa suolaa ulos nopeudella y A(t kg min ( Toisaalta sisään virtaa ulos nopeudella y B(t kg min Saamme differentiaaliyhtälön Samoin saadaan tankille B yhtälö y A (t y A(t + y B(t y A y A + y B y B 3 y y B + y A y B + y A y A y B Saimme siis DY-ryhmän Matriisimuodossa tämä on y A y A + y B y B y A y B y Ay, missä Lasketaan ominaisarvot y y A y, A B,y y y det(a Iλ λ λ ( ( λ λ 6 + λ λ + λ + λ + λ
Ominaisvektorit. ( λ ± ± ( ± 8 ± 6 ± 3 ± 3 λ (3 + 3 λ (3 3 λ λ (3 + 3 x x x 96 (A λix (3 + 3 (3 + 3? (3 + 3 ( x (3 + 3 ( (3 + 3 8 + (3 + 3x ( + 3x x x x x ( + 3x x ( + valitaan x 3 + 3 x + x x
. λ λ (3 3 (A λix (3 3 (3 3? (3 3 ( (3 3 x + x x ( 3x x 3 Tällöin saamme y:n yhtälöksi ya y C + 3 y B (3+ 3t +C 3 e e (3 3t C ja C alkuehdoista: y A ( y B ( C +C C C C ( + 3 +C ( 3 ( C ( + 3 +C ( 3 C ( 3 + 3 + ( + 3 C ( + 3 3 C + 3 3 + 3 3 8. (a Ratkaise y y }} A (b Mikä olisi tämän yhtlälön ratkaisu alkuehdoilla y ( y (
Kaavan (85 mukaisesti yleinen ratkaisu on (a det(a λi λ λ ( λ( λ ( ( λ λ ± λ i. λ i (A λix ( i ( i i i i i i i i (i Taas siis rivit ovatkin oleellisesti samat eli voidaan lukea kaikki informaatio vaikka yläriviltä. Näin käy aina kun A R. i x x x ix x x x i x ix valitaan esim. x. ix x λ + i (A λix i i x ix x x x i x ix valitaan x
e (+it y C e (it +C i i C e t e it +C i e t e it i (b y ( C y ( ( + i +C i ( + i i C C + C i C (i C +C C i C i C C ( C i C i 8i C i (8 C i 8 C C Sievennellään vielä vähän vastausta C y e t (cos(t + isin(t + e t (cos(t + isin(t i i ( e t cos(t + isin(t cos(t + isin(t + icos(t sin(t icos(t sin(t ( e t cos(t isin(t cos(t + isin(t + icos(t + sin(t icos(t + sin(t e t cos(t sin(t y (t e t cos(t y (t 8e t sin(t
Vastauksia: Teht.#: Teht.#: y (t e t (a y (t y (t C +C 3 e t (b y (t C e t y 3 (t C +C 3 e t Teht.#3: y 7 3 e 3t + 7 e t Teht.#: y C C 3 e t (a y C e 3t + C C 3 e t y 3 C e 3t +C C 3 e t (b C 9, C, C 3 7 (c y y y 3 kun t Teht.#5: (b K e 6, K e 6 Teht.#6: y C y ( 5 Teht.#7: ya y y B ( + 3 3 e 5+ 5 t +C + 3 ( + 5 e 5 5 t e (3+ 3t + ( + 3 3 3 e (3 3t Teht.#8: (a y C e i t e it +C e i t e it (b y (t e t cos(t y (t 8e t sin(t