Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä
1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan, mitä sanat tarkoittavat, vaan keskitymme määrittämään olion n, kun riittävä määrä tietoa siitä on olemassa. stä
2 y y a A = (x a,y a ) r A = x a i + y a j = x a ( xa y a ) x Jos pisteen A koordinaatit ovat (x a,y a ), niin pisteen A paikkavektori (vektori origosta pisteeseen) on ( ) xa r A = x a i + y a j =. y a stä
3 y A = (x a,y a ) AB = r B r A = ( xb B = (x b,y b ) y b ) ( xa y a ) = ( ) xb x a x y b y a lla AB pisteestä A pisteeseen B on Pituus ja suunta, AB = r B r A, Alkupiste A, ja Lopupiste B. stä
suunta > suora 4 Olkoon piste P = (x,y) suoralla, jonka määrittävät ( ) piste ux P 0 = (x 0,y 0 ) ja vektori u = u x i + u y j =. Silloin on olemassa reaaliluku t niin, että P 0 P = t u ( ) ( ) ( ) x x0 ux = t y y 0 u y { x = x0 + t u x parametrimuoto y = y 0 + t u y x x 0 u x = y y 0 u y u y koordinaattimuoto stä
suunta > suora 5 Kaava: x x 0 u x = y y 0 u y Esimerkki. Määritä ( ) suoralle, joka kulkee pisteen (1,4) 3 kautta ja on vektorin suuntainen. 1 Ratkaisu: x 1 = y 4 3 1 x 1 = 3y + 12 x + 3y = 13 stä
Kaksi pistettä > suora 6 Olkoon piste P = (x,y) suoralla, jonka määrittävät pisteet P 0 = (x 0,y 0 ) ja P 1 = (x 1,y 1 ). Silloin vektori u = P ( ) x1 x 0 P 1 = 0 on suoran suuntainen ja suoran y 1 y 0 on x x 0 x 1 x 0 = y y 0 y 1 y 0 stä
Kaksi pistettä > suora 7 Kaava: x x 0 x 1 x 0 = y y 0 y 1 y 0 Esimerkki. Määritä suoralle, joka kulkee pisteiden (1,2) ja (5,3) kautta. Ratkaisu: x 1 5 1 = y 2 3 2 x 1 = 4y 8 x 4y = 7 stä
Suora xyz-koordinaatistossa 8 suunta > suora Olkoon piste P = (x,y,z) suoralla, jonka määrittävät piste P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) ja vektori u = u x i + u y j + u z k = u y. u z Silloin on olemassa reaaliluku t niin, että P 0 P = t u x x 0 tu x y y 0 = tu y z z 0 tu z x x 0 u x = y y 0 u y = z z 0 u z u x stä
suunta > suora 9 Kaava: x x 0 u x = y y 0 u y = z z 0 u z Esimerkki. Määritä suoralle, joka kulkee pisteen 3 ( 1, 2, 3) kautta ja on vektorin 1 suuntainen. 2 Ratkaisu: x + 1 = y 2 = z 3 3 1 2 x = 1 + 3t y = 2 + t z = 3 2t r = r 0 + t u stä
Kaksi pistettä > suora 10 Olkoon piste P = (x,y) suoralla, jonka määrittävät pisteet P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) ja P 1 = (x 1,y 1,z 1 ). Silloin vektori u = P x 1 x 0 0 P 1 = y 1 y 0 on suoran suuntainen z 1 z 0 ja suoran on x x 0 x 1 x 0 = y y 0 y 1 y 0 = z z 0 z 1 z 0 stä
Kaksi pistettä > suora 11 Kaava: x x 0 x 1 x 0 = y y 0 y 1 y 0 = z z 0 z 1 z 0 Esimerkki. Määritä suoralle, joka kulkee pisteiden (1,2, 3) ja (4,1,1) kautta. Ratkaisu: x 1 4 1 = y 2 1 2 = z + 3 x 1 3 1 3 x = 1 + 3t y = 1 t z = 3 4t r = r 0 + t u = y 2 1 = z + 3 4 stä
Taso xyz-koordinaatistossa 12 kaksi suuntavektoria > taso Olkoon piste P = (x,y,z) tasossa, jonka määrittävät piste P 0 = (x 0,y 0,z 0 ) ja vektorit u = u x u y u z ja v = Silloin on olemassa reaaliluvut t 1 ja t 2 niin, että v x v y v z P 0 P = t 1 u + t 2 v x x 0 u x v x y y 0 = t 1 u y + t 2 v y z z 0 u z v z x = x 0 + t 1 u x + t 2 v x y = y 0 + t 1 u y + t 2 v y z = z 0 + t 1 u z + t 2 v z. stä
Taso xyz-koordinaatistossa 13 kaksi suuntavektoria > taso v P 2 P 1 T Jos T on taso, ja P 1 ja P 2 ovat tason T pisteitä, niin sanomme, että suuntajana P 1 P 2 on tasossa T. Jos vektori v on yhtä pitkä ja saman suuntainen jonkun tasossa T olevan suuntajanan kanssa niin sanomme, että vektori v on tason T suuntainen. stä
Taso xyz-koordinaatistossa 14 kaksi suuntavektoria > taso Lause 1. Olkoon T (P 0, u, v) taso jonka määräävät piste P 0 ja vektorit u ja v. Mitä tahansa tason kahta pistettä P 1 ja P 2 yhdistävä suuntajana P 1 P 2 voidaan lausua vektoreiden u ja v monikertojen summana (lineaarikombinaationa) P 1 P 2 = c 1 u + c 2 v, joillakin c 1,c 2 R. Perustelu: On olemassa reaaliluvut t 1, t 2, s 1 ja s 2 siten, että Silloin P 0 P 1 = t 1 u + t 2 v, ja P 0 P 2 = s 1 u + s 2 v. P 1 P 2 = P 1 P 0 + P 0 P 2 = P 0 P 1 + P 0 P 2 = t 1 u t 2 v + s 1 u + s 2 v = (s 1 t 1 ) u + (s 2 t 2 ) v. stä
Taso xyz-koordinaatistossa 15 kaksi suuntavektoria > taso Normaali-vektori. Vektori n on tason T (P 0, u, v) normaali-vektori, jos se on kohtisuorassa jokaista tason suuntaista vektoria vastaan. Lause 2. Vektori n = u v on tason T (P 0, u, v) normaali-vektori. Todistus: Olkoon w = c 1 u + c 2 v tason T suuntainen vektori. Koska ristitulon määritelmän mukaan n = u v on kohtisuorassa u:ta vastaan ja kohtisuorassa v:tä vastaan. silloin stä n w = n (c 1 u + c 2 v) = c 1 n u + c 2 n v = 0
Taso xyz-koordinaatistossa 16 kaksi suuntavektoria > taso Lause 3. Olkoot a ja b kaksi tason T (P 0, u, v) suuntaista, mutta keskenään eri suuntaista, ei-triviaalia vektoria. 1) Silloin vektori a b on tason T normaali-vektori. Perustelu: Vektorit voidaan esittää muodossa Silloin a = t 1 u + t 2 v ja b = s 1 u + s 2 v a b = (t 1 u + t 2 v) (s 1 u + s 2 v) = t 1 s 1 u u + t 1 s 2 u v + t 2 s 1 v u + t 2 s 2 v v = (t 1 s 2 t 2 s 1 ) u v. stä
17 kaksi suuntavektoria > taso Lause 4. Olkoon n = A i + B j + C k tason T (P 0, u, v) normaali-vektori. Sillon tason pisteen P = (x,y,z) koordinaatit toteuttavat n Ax + By + Cz = D, missä D = Ax 0 + By 0 + Cz 0 Perustelu. Tason normaali-vektori ja tason suuntainen vektori P 0 P ovat kohtisuorassa, joten n A x x 0 P 0 P = 0 B y y 0 = 0 C z z 0 A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0 stä
18 Aiemmin annettu määritelmä asetti kahden vektorin ristitulon seuraavasti u v =(u x i + u y j + u z k) (v x i + v y j + v z k) =(u y v z u z v y ) i + (u z v x u x v z ) j + (u x v y u y v x ) k = u y u z v y v z i u x u z v x v z j + u x u y v x v y k i j k = u x u y u z v x v y v z stä
stä 19 Esimerkki. Olkoot tasossa T pisteet P 0 = (12,0,2), P 1 = (2,10,3) ja P 2 = (25,15,4). Tason suuntavektoreiksi voidaan nyt valita u = P 2 12 10 0 P 1 = 10 0 = 10, ja 3 2 1 v = P 25 12 13 0 P 2 = 15 0 = 15 4 2 2 i j k n = u v = 10 10 1 13 15 2 = 5 i + 33 j 280 k stä
stä 20 Tason on nyt Ax + By + Cz = Ax 0 + By 0 + Cz 0 5x + 33y 280z = 5 12 + 33 0 280 2 5x + 33y 280z = 500 Lasketaan vielä tason vinous eli sen normaalivektorin ja pystyvektorin k välinen kulma. stä
stä 21 Esimerkki. Miten vino on edellä määritetty taso? Olkoon α normaalivektorin n = 5 i 33 j + 280 k ja pystyvektorin k välinen kulma. Silloin cosα = n k n k = 280 5 2 + 33 2 + 280 2 1 α = cos 1 ( 280 79514 ) = 6,797712 6,8 stä
Esimerkki, suoran ja tason leikkaus 22 Missä pisteessä suora x 1 = y + 3 = x 2 leikkaa tason 2 1 1 2x + 4y + 5z = 12? Viedään ensin suoran parametrimuotoon x = 1 + 2t y = 3 + t z = 2 t Suoran ja tason leikkauspiste toteuttaa kummankin n. Se on siis suoran piste joka saadaan sellaisella parametrin t arvolla, että vastaavan suoran pisteen koordinaatit toteuttavat tason n. Siis (x,y,z) T (1 + 2t, 3 + t,2 t) T 2(1 + 2t) + 4( 3 + t) + 5(2 t) = 12 t = 4 (x,y,z) = (1 + 2 4, 3 + 4,2 4) = (9,1, 2) stä