Liike pyörivällä maapallolla Voidaan olettaa: Maan pyöriminen tasaista Maan rataliikkeen näennäisvoimat tasapainossa Auringon vetovoiman kanssa Riittää tarkastella Maan tasaisesta pyörimisestä akselinsa ympäri aiheutuvia efektejä Kulmanopeus ω 2π 24 h 7,3 10 5 rad s 1. keskipakoiskiihtyvyys ekvaattorilla = ω 2 R E = 3,4 10 2 m s 2. Maa navoilta litistynyt (joten siellä g:kin isompi) g e ekvaattorilla 0,53 % pienempi kuin navoilla
Coriolis-voima Maan pyöriminen C-voima 2mω v, v = (ṙ) y Esim. sääkartta: Ilma kiertää matalapainetta ylhäältä päin katsottuna vastapäivään pohj. pp:lla myötäpäivään etel. pp:lla Syy: Coriolis-voima C-kiihtyvyys suurimmillaan a c = 2 ω v 2ωv = (1,5 10 4 s 1 ) v Esim. vaakasuora liike navoilla. Pohjoisnavalta vaakasuoraan ammuttu tykinkuula Vastaava kulmapoikkeama a c = 2ωv, δs(t) = 1 2 a ct 2 = ωvt 2 = maapallon kiertymä ajassa t. θ = ωvt 2 /vt = ωt suunta länteen Pohjoisnavalta ammuttu kuulahan kulkee suoraan inertiaalikoordinaatistossa!
C-voima ja sääilmiöt Mitä suurempi skaala, sitä suurempi C-efekti ilmavirtaukset (pasaatituulet) merivirrat (Golf-virta) ω Idealisoitu malli matalapaineelle ympyrän muotoinen mp:n keskus tasossa ω huom. vain C-voima ja p! Ol. alkutila staattinen (v = 0). Ilma-alkioon vaikuttaa voima grad p F p = ( p)dv, missä dv ilma-alkion tilavuus Ilma alkaa virrata kohti mp:n keskusta v > 0 0 F c = 2m(ω v) v F c F p. v F p. v F p ja F c F p Tasapaino, jossa F tot osoittaa kohti mp:n keskusta. Suuri F p suuri v Kitkavoimat mp täyttyy
Liikeyhtälö Ei-inertiaalisen koordinaatiston {y} origo kiinteässä pisteessä Maan pinnalla. ω y 3 Inertiaalikoordinaatiston keskipiste Maan keskipiste ω 3 R y 1 (Ṙ) x = ω R θ θ ( R) x = ω (ω R) ω 1 Kulmanopeus ({y}:ssä) ω = ( ω cos θ, 0, ω sin θ) ω = 0 ei Eulerin voimaa m-massaisen hidun liikeyhtälö m r = F mω (ω R) 2mω ṙ mω (ω r) missä F sisältää kaikki ulk. voimat (kuten g:n) Ol. r R keskipakoisvoima Galilein voima Huom 2. Galilein voima vakio ({y}:ssä) absorboidaan F :ään pieni korjaus luotisuoran määritelmään
Liikeyhtälö komponenttimuodossa LY siis muotoa m r = F 2mω ṙ + mg, missä nyt mg sisältää gravitaation ja Galilein voiman ja F muut ulkoiset voimat. Tässä siis ω ṙ = ω = ( ω cos θ, 0, ω sin θ) g = (0, 0, g) e 1 e 2 e 3 ω cos θ 0 ω sin θ ẏ 1 ẏ 2 ẏ 3 = ( ω sin θẏ 2, ω sin θẏ 1 + ω cos θẏ 3, ω cos θẏ 2 ) mÿ 1 = F 1 + 2mω sin θẏ 2 mÿ 2 = F 2 2m(ω sin θẏ 1 + ω cos θẏ 3 ) mÿ 3 = F 3 mg + 2mω cos θẏ 2
Vapaasti putoava kappale F = 0 liikeyhtälöt mÿ 1 = 2mω sin θẏ 2 mÿ 2 = 2m(ω sin θẏ 1 + ω cos θẏ 3 ) mÿ 3 = mg + 2mω cos θẏ 2 Ol. liike lähtee levosta pisteestä (0, 0, y 30 ) Vapaa pudotus ẏ 1, ẏ 2 ẏ 3 jätetään ẏ 1, ẏ 2 huomioimatta oikealla puolella ÿ 1 = 0 ÿ 2 = 2ω cos θẏ 3 ÿ 3 = g... y 2 = 2ω cos θÿ 3 = 2ωg cos θ y 1 = 0 y 2 = 1 3ωg cos θ t3 y 3 = y 30 1 2 gt2 merk. z = y 30 y 3 = 1 2 gt2 y 2 = 23/2 3 Esim. z = 100 m ω g cos θ z 3/2 y 2 = (2,2 cm) cos θ Vaikea havaittava (tuulet ym. häiriöt yleensä suurempia)
Foucault n heiluri Heiluri (ei tasossa): pituus l, massa m Todelliset voimat: y 3 gravitaatio langan jännitys Oletukset: pieni heilahduskulma 2. kertaluvun termit kuten y i ẏ j 0 y 3 :n oskillatiot (toista kl.) jätetään huomiotta: y 3 = 0. y i /l 1, i = 1, 2. Liikeyhtälöt mÿ 1 = T 1 + 2mω sin θẏ 2 mÿ 2 = T 2 2m(ω sin θẏ 1 + ω cos θẏ 3 ) mÿ 3 = T 3 mg + 2mω cos θẏ 2 y 1 δ l T m m g y 2 3. komponentti T 3 mg 2mω cos θ ẏ 2 geometria: F 1,2 = y 1,2 l T y 1,2 l T 3 y 1,2 l mg mÿ 1 = y 1 l mg + 2mω sin θẏ 2 mÿ 2 = y 2 l mg 2mω sin θẏ 1
Liikeyhtälön ratkaisu Merkitsemällä heilurin kulmataajuus α = g/l saadaan {ÿ1 + α 2 y 1 = 2ω sin θ ẏ 2 (1) ÿ 2 + α 2 y 2 = 2ω sin θ ẏ 1 (2) Harmonisen oskillaattorin yhtälö, jossa nopeudelle kohtisuora pakkovoima. y 1 - ja y 2 -oskillaatiot kytkeytyneet ratkeaa parhaiten kompleksitasossa.. (, y 1 ) y 2.. ( y 1, y 2 ) (1) + i (2) (ÿ 1 + iÿ 2 ) + α 2 (y 1 + iy 2 ) } {{ } u(t) = 2ωi(ẏ 1 + iẏ 2 ) sin θ ü + α 2 u = 2ωi sin θ u Käytetään yritettä u = e λt λ 2 + α 2 = 2ωi sin θ λ λ = iω sin θ ± ω 2 sin 2 θ α 2 α ω u = (Ae iαt + Be iαt )e iω sin θ t, ±iα ω sin θ missä vakiot A ja B määräytyvät alkuarvoista. Kerrataan merkinnät α = g/l heilurin perusheilahdustaajuus ω Maan pyörähdystaajuus θ ripustuspaikan latitudi
Ratkaisun tulkinta Saatiin y 1 + iy 2 = u = (Ae iαt + Be iαt )e iω sin θ t. Jos hetkellä t = 0 y 1 = y 0 ja y 2 = 0 = ẏ 1 = ẏ 2, saadaan A + B = y 0 u(0) = i[a(α ω sin θ) B(α + ω sin θ)] = 0 A B y 0 /2 jolloin y 2 u = y 0 cos αt [cos(ω sin θ t) i sin(ω sin θ t)] Saadaan siis tasoheiluri, jonka heilahdustaso kiertyy (myötäpäivään) kulmataajuudella ω sin θ. y 1 t kasvaa Helsinki: θ = 60 9 42 sin θ 0,8674. Tähtien mukaan määritellyssä IK:ssa ω = 15,041 h 1 ω sin θ = 13,047 h 1 eli täysi kierros kestää 27 h 35 min 53 s (esim. Heureka). Pienen F n heilurin rakentaminen vaikeaa kitkahäviöt, äärellinen heilahduskulma ennätys (Hand & Finch): l = 15 cm!