Teoreettisia perusteita II

Teoreettisia perusteita II

Origon siirto projektiokeskukseen:?

Origon siirto projektiokeskukseen: [ X X 0 Y Y 0 Z Z 0 ]

[ Maa-57.260 Kiertyminen kameran koordinaatistoon:? X X 0 ] Y Y 0 Z Z 0

Kiertyminen kameran koordinaatistoon: [ ]=R[ X c X X ] 0 Y c Y Y 0 Z c Z Z 0

[ X c Y c Z c]=r [ X X ] 0 Y Y 0 Z Z 0 X c =r 11 X X 0 r 12 Y Y 0 r 13 Z Z 0 Y c =r 21 X X 0 r 22 Y Y 0 r 23 Z Z 0 Z c =r 31 X X 0 r 32 Y Y 0 r 33 Z Z 0

x c = X c Z c x=c X c Z c

y c =Y c Z c y=c Y c Z c

Valtaosa lähifotogrammetrisista mittauksista perustuu kollineaarisuusyhtälöiden käyttöön. Ne kertovat kohde- ja kuvakoordinaattien välisen yhteyden. Kollineaarisuusyhtälöt: x x p = c r 11 X X 0 r 12 Y Y 0 r 13 Z Z 0 r 31 X X 0 r 32 Y Y 0 r 33 Z Z 0 dx y y p = c r 21 X X 0 r 22 Y Y 0 r 23 Z Z 0 r 31 X X 0 r 32 Y Y 0 r 33 Z Z 0 dy (x,y) kuvapisteen koordinaatit (x p,y p ) pääpisteen koordinaatit c kameravakio r 11,r 12,..,r 33 kiertomatriisin elementit (X,Y,Z) kohdepisteen koordinaatit (X 0,Y 0,Z 0 ) projektiopisteen koordinaatit

Kohde- ja kuvapisteiden välinen yhteys voidaan ilmaista myös suoran lineaarisen muunnoksen (DLT) avulla: x = L 1 X L 2 Y L 3 Z L 4 L 9 X L 10 Y L 11 Z dx y= L 5 X L 6 Y L 7 Z L 8 L 9 X L 10 Y L 11 Z dy Kameran sijainnin ja aseman likiarvoja haettaessa on DLT hyvin käyttökelpoinen. Jo kuuden kohdepisteen ja vastaavien kuvapisteiden avulla voidaan ratkaista parametrit L1,...,L10 ja L11. Näistä parametreista voidaan ratkaista fysikaaliset parametrit (kollineaarisuusyhtälöissä esiintyvien parametrien) arvot. Seuraavilla kalvoilla on esitetty DLT-parametrien ja fysikaalisten parametrien väliset yhteydet.

Fysikaaliset DLT L 1 = x p r 31 c x r 11 / L L 2 = x p r 32 c x r 12 /L L 3 = x p r 33 c x r 13 /L L 4 = x p c x r 11 X 0 r 12 Y 0 r 13 Z 0 / L L 9 =r 31 / L L 10 =r 32 /L L 11 =r 33 / L L= r 31 X 0 r 32 Y 0 r 33 Z 0 L 5 = y p r 31 c y r 21 /L L 6 = y p r 32 c y r 22 /L L 7 = y p r 33 c y r 23 / L L 8 = y p c y r 21 X 0 r 22 Y 0 r 23 Z 0 /L

DLT Fysikaaliset L= 1/ L 2 9 L 2 2 10 L 11 x p = L 1 L 9 L 2 L 10 L 3 L 11 L 2 y p = L 5 L 9 L 6 L 10 L 7 L 11 L 2 c x = L 1 2 L 2 2 L 3 2 L 2 x p 2 c y = L 5 2 L 6 2 L 7 2 L 2 y p 2 [ X =tan 1 L 10 /L =sin 1 L 9 L =cos 1 L x p L 9 L 1 /c x /cos ]=[ L2 L3 L 5 L 6 L 7 Z 0 L 9 L 10 L 11] 1[L 4 ] L 8 1 0 Y 0 L1

Likiarvo-orientointien ratkaisemiseen on olemassa muitakin menetelmiä. Seuraavaksi esitellään K. Krausin kirjassa Photogrammetry esitetty menetelmä. Jos tunnetaan pisteet P 1, P 2 ja P 3, voidaan etäisyydet a, b ja c laskea. Huippukulmat, ja voidaan laskea kameravakion ja kuvakoordinaattien avulla. Kosinilauseen perusteella saadaan: r 1 2 r 2 2 2r 1 r 2 cos =a 2 r 2 2 r 3 2 2r 2 r 3 cos =b 2 r 3 2 r 1 2 2r 3 r 1 cos =c 2 Älykkäillä sijoituksilla ja eliminoinnilla voidaan yhtälöistä ratkaista sivujen pituudet r 1, r 2 ja r 3. Kuva: K. Kraus.

Kun pituudet r 1, r 2 ja r 3 on ratkaistu, voidaan ryhtyä laskemaan projektiokeskuksen O paikkaa. Muodostetaan taso, joka on kohtisuorassa vektoriin p 2 nähden ja kulkee pisteen O kautta. p 2 T p 0 = X 2 X 0 Y 2 Y 0 Z 2 Z 0 =P 1 P 2 r 1 cos 2 Koska piste F on myös tällä tasolla, pätee seuraava: X 2 X F Y 2 Y F Z 2 Z F =P 1 P 2 r 1 cos 2 Seuraavaksi muodostetaan taso, joka on kohtisuorassa vektoriin p 3 nähden ja kulkee pisteen O (ja myös pisteen F) kautta: X 3 X F Y 3 Y F Z 3 Z F =P 1 P 3 r 1 cos 3 Lisäksi n x X F n y Y F n z Z F =0 ja n=p 2 x p 3 Kuva: K. Kraus.

Ollaan saatu siis kolme lineaarista yhtälöä, joissa on kolme tuntematonta ( X F, Y F, Z F ). Pisteen F paikka saadaan, kun ratkaistut kolme siirtoa lisätään pisteen P 1 koordinaatteihin. X F Y F Z F Suorakulmaisesta kolmiosta saadaan: FO= r 1 2 P 1 F 2 = X 1 Y 1 X F Y F Z 1 Z F Pisteen O koordinaateiksi tulee siis: X 0 Y 0 = X 0 Z F Y F Z F n FO n Kuva: K. Kraus.

Seuraavaksi siirrytään kiertojen ratkaisemiseen. Tasokoordinaatiston kierto on muotoa X =x cos y sin X Y = x sin y cos Y = eli cos sin x sin cos y Tutkimalla oikeanpuoleista alla olevaa kuvaa huomataan, että kierretyn koordinaatiston akseleita vastaavat yksikkövektorit ovat (cos sin ) T ja (-sin cos ) T eli kiertomatriisin sarakkeet. Sama ilmiö pätee myös 3x3 kiertomatriisille. Kuva: K. Kraus. Kuva: K. Kraus.

Kuvapisteiden P 1 ', P 2 ' ja P 3 ' sijainti kohdekoordinaatistossa voidaan laskea vektoreiden OP 1, OP 2 ja OP 3 sekä kuvakoordinaattien ja kameravakion avulla. OP ' i = x i 2 y i 2 c 2 i = P ' 1 P ' 2 P ' 1 P ' 2 k = P ' 1P ' 2 P ' 1 P ' 3 P ' 1 P ' 2 P ' 1 P ' 3 j=k i Kuva: K. Kraus.

R= i, j, k R= i, j, k x y z = R x ' y ' X Y z ' =R x ' y ' Z z ' X Y Z =R R T x y z =R x y z Kuva: K. Kraus.

Koplanariteettiehto: Vektorit P'P'', P'O ja P''O ovat samassa tasossa. S' ja S'' ovat sydänsuoria ja E' ja E'' sydänpisteitä.

Eli (P'P'') (P'O) (P''O)=0. Olkoon vektori P'O (x 1 y 1 z 1 ), vektori P''O (x 2 y 2 z 2 ) ja kantavektori P'P'' (b x b y b z ). Tällöin koplanaariteettiehto voidaan kirjoittaa muotoon 0 b x b y x 2 b z 0 b x y 2 z 2]=0 [ x 1 y 1 z 1 ][ b y b x 0 ][

Kuvaussäteitä vastaavat vektorit (x' y' -c 1 ) ja (x'' y'' -c 2 ) ovat omissa kamerakoordinaatistoissaan. Ne voidaan kiertää yhteiseen koordinaatistoon kiertomatriisien R 1 ja R 2 avulla.

Eli saadaan tai lyhyemmin [ x ' y ' c 1 ] R 1 T [ 0 b x b y ] b z 0 b x b y b x 0 R 2[ x ' ' y ' ' c 2] =0 [ x ' y ' c 1 ] M [ x ' ' y ' ' c 2] =0 Havaitsemalla kuvilta vastinpisteitä voidaan M ratkaista. Matriisista M voidaan hajotelmien avulla ratkaista kuvien keskinäinen asema (kantakomponentit ja kierrot). Tehtävä ei kuitenkaan ole aivan triviaali (vrt. Niini 2000).

[ x ' y ' c 1 ] M [ x ' ' y ' ' c 2] =0 Tietokonenäön puolella matriisia M kutsutaan essentiaalimatriisiksi. Jos kameravakiot eivät ole tunnettuja ja kuvakoordinaatit eivät ole mitattu pääpisteen suhteen, on kyseessä yleinen projektiivinen kamera (vrt. keskusprojektiokamera). Tällaiselle kameralle pätee [ x ' y ' 1 ] F [ x ' ' y ' ' 1 ] =0 missä F on ns. fundamentaalimatriisi.

Lähteet: K. Kraus: Photogrammetry, Volume 1, Fundamentals and Standard Processes, Ümmler, Bonn, 1993. K. Kraus: Photogrammetry, Volume 2, Advanced Methods and Applications, Ümmler, Bonn, 1997. G. T. Marzan, H. M. Karara: Rational Design for Close-Range Photogrammetry, Civil Engineering Studies, Photogrammetry Series No. 43, University of Illinois at Urbana- Champaign Urbana, Illinois, 1976. I. Niini: Photogrammetric Block Adjustment Based on Singular Correlation, Acta Polytechnica Scandinavica, Civil Engineering and Building Construction Series, No. 120, Espoo, 2000.