HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu. Olkoon B(x, r) R n avoin kuula ja y B(x, r). Osoitetaan, että on olemassa ρ > 0 siten, että B(y, ρ) B(x, r). Kuulan Määritelmän nojalla pätee: ρ := r y x > 0 r > y x Olkoon nyt z B(y, ρ) ja osoitetaan, että z B(x, r): z x = z y + y x z y + y x < ρ + y x = r y x + y x = r Piste z B(y, ρ) oli mielivaltainen, joten B(y, ρ) B(x, r). Nyt ollaan siis löydetty kuulan B(x, r) mielivaltaiselle pisteelle y ympäristö B(y, ρ), joten kuula B(x, r) on avoin. Olkoon sitten B(x, r) R n suljettu kuula. Osoitetaan, että R n \ B(x, r) on avoin. Olkoon y R n \ B(x, r). Kuulan määritelmän nojalla saadaan: y x > r ρ := y x r > 0 Osoitetaan sitten, että B(y, ρ) R n \ B(x, r). Olkoon z B(y, ρ) z x y x z y > y x ρ = y x y x + r = r eli z R n \ B(x, r), joten B(x, r) on suljettu. 1
Tehtävä. Määritellään f : R R { 0, kun (x, y) = 0 f(x, y) = xy(x y ), kun (x, y) 0 x +y Tutki ovatko funktiot f, x f ja y f jatkuvia. Kuva 1: funktion f graafi ja tasa-arvokäyriä Ratkaisu. Alueessa R \{0} f on rationaalifunktio, joten se on jatkuva, ja sen osittaisderivaatat ovat olemassa. Osoittajan termien aste on korkeampi kuin nimittäjän, mikä viittaisi siihen, että sekä funktio itse että sen osittaisderivaatat lähestyvät nollaa origossa. Vahvistetaan nämä havainnot vielä eksplisiittisesti. Osoitetaan, että f on jatkuva origossa. Olkoon ε > 0
f(x, y) f(0) = xy(x y ) x + y = xy x y x + y xy x + y x + y = x y (x, y) < ε, kun 0 < (x, y) < ε. Huomataan, että f on vakioarvoinen x-akselilla: f(h, 0) f(0) h = h 0(h 0 ) h(h + 0 ) = 0, joten x f(0) = 0. Alueessa R \{0} x-suuntaiselle arvolle saadaan seuraava lauseke: x f(x, y) = y(x y ) + x y x y(x y ) x + y (x + y ) = y(3x y ) x + y x y(x y ) (x + y ), Osoitetaan sitten, että x f on jatkuva origossa. Olkoon ε > 0 x f(x, y) x f(0) = y(3x y ) x y(x y ) x + y (x + y ) y ( 3x + y ) + x y ( x + y ) x + y (x + y ) (x, y) (3 (x, y) + (x, y) ) (x, y) + (x, y) (x, y) ( (x, y) + (x, y) ) (x, y) 4 = 8 (x, y) < ε, 3
kun 0 < (x, y) < ε 8. Huomataan, että f(x, y) = f(y, x) (x, y) R. Tästä saadaan relaatio x- ja y-osittaisderivaattojen välille: ( y f)(x, y) = y (f(x, y)) = y (f(y, x)) = ( x f)(y, x), joten x-derivaatan jatkuvuudesta seuraa myös y-derivaatan jatkuvuus. Tehtävä 3. Osoita, että kuvaus f : R 3 R on jatkuva. f(x, y, z) = xy + z Ratkaisu. Polynomifunktiona voidaan funktion f todeta olevan jatkuva. Todistetaan tämä kuitenkin vielä yksityiskohtaisemmin käyttäen ε, δ-menetelmää. Olkoon (x 0, y 0, z 0 ) R 3 ja ε > 0. Merkitään r = (x, y, z) ja r 0 = (x 0, y 0, z 0 ) f(x, y, z) f(x 0, y 0, z 0 ) = xy + z x 0 y 0 z 0 x(y y 0 ) + y 0 (x x 0 ) + (z + z 0 )(z z 0 ) x y y 0 + y 0 x x 0 + z + z 0 z z 0 ( x x 0 + x 0 ) y y 0 + y 0 x x 0 + ( z z 0 + z 0 ) z z 0 ( r r 0 + r 0 ) r r 0 + r 0 r r 0 + ( r r 0 + r 0 ) r r 0 = ( r r 0 + 4 r 0 ) r r 0 ( + 4 r 0 ) r r 0 < ε, { ε kun r r 0 < min +4 r 0 }., 1 Yllä on ensin hyödynnetty kolmioepäyhtälöä, sitten arvioitu vektorien komponenttien pituutta normilla ja lopuksi rajoituttu tarkastelemaan pisteitä r B(r 0, 1). Tehtävä 4. Osoita, että kuvaus f : R n R on jatkuva. f(x) = x 4
Ratkaisu. Tarkastellaan jatkuvuutta pisteessä x 0 R n. Seuraava arvio saadaan kolmioepäyhtälön avulla. f(x) f(x 0 ) = x x 0 x x 0 0, kun x x 0 0. Kuvaus f on siis jatkuva pisteessä x 0 kaikilla x 0 R n. Tehtävä 5. Oletetaan, että funktio f : R R toteuttaa ehdon f(x, y) x + y kaikilla (x, y) R. Osoita, että funktiolla f on pisteessä 0 R osittaisderivaatat sekä x- että y-koordinaattien suhteen. Ratkaisu. Huomataan ensin, että funktion f täytyy saavuttaa arvo 0 origossa: f(0) 0 + 0 = 0 Tarkastellaan x-osittaisderivaatan määrittävän erotusosamäärän itseiarvoa: f(h, 0) f(0) f(h, 0) h = h = h 0, h h kun h 0. Osittaisderivaatta x f on siis olemassa origossa ja on arvoltaan 0. Osittaisderivaatta y-suuntaan saadaan aivan vastaavasti. Tehtävä 6. Määritellään f : R R kaavalla { ( ) x + y y sin, kun x 0 x f(x, y) = 0, kun x = 0 Osoita, että f on jatkuva origossa ja sillä on osittaisderivaatat joukossa R \({0} R) {(0, 0)} 5
Kuva : funktion f graafi ja tasa-arvokäyriä Ratkaisu. Tarkastellaan ensin jatkuvuutta origossa: ( ) f(x, y) f(0) y x + y sin x ( ) = (x, y) y sin x (x, y) 0, kun (x, y) 0. Alueeseen R \({0} R) rajoitettuna f on alkeisfunktio, joten osittaisderivaattojen olemassaolo voidaan palauttaa jo tunnettuihin differentioituvuustuloksiin. Oletetaan tunnetuksi seuraavien kuvauksien differentioituvuus: (x, y) y (x, y) R \({0} R) x t sin(t) t R (x, y) (x, y) (x, y) R \{(0, 0)} (x, y) xy (x, y) R Alueessa R \({0} R) f voidaan esittää yllä olevien kuvausten yhdisteenä, joten sen osittaisderivaatat ovat olemassa. 6
Huomataan, että f on vakio molemmilla koordinaattiakseleilla, sillä f(x, 0) = ( ) 0 x + 0 sin = 0 x R \{0} x ja f 0 y-akselilla. Molemmat osittaisderivaatat ovat siis olemassa ja arvoltaan 0 origossa. Osoitetaan vielä, että kaikkia alunperäisessä tehtävänannossa pyydettyjä osittaisderivaattoja ei ole olemassa. Tarkastellaan x-suuntaista erotusosamäärää pisteessä (0, y) 0 R : f(h, y) f(0, y) h = h 1 ( ) y h + y sin h ( ) = 1 + y y h sin h Kyseisen osittaisderivaatan olemassaolo tarkoittaisi sitä, että yllä olevalla lausekkeella olisi raja-arvo, kun h 0. Tarkastellaan kyseista raja-arvoa seuraavaa jonoa pitkin: h n = y πn+π/. ( ) 1 + y y sin = 1 + (πn y + π ) ( y sin (πn + π ) ) h n h n y 4 y ( ) πn + π ( sin πn + π ) y = 1 + = 1 + ( ) πn + π y ( πn + π y ), kun n. Raja-arvoa, ja myöskään haluttua osittaisderivaattaa, ei siis ole olemassa. 7