PHYS-A0120 Termodynamiikka, syksy 2017 Kotitentti Vastaa tehtäviin 1, 2/3, 4/5, 6/7, 8 (yhteensä viisi vastausta). Tehtävissä 1 ja 7 on annettu ohjeellinen pituus, joka viittaa 12 pisteen fontilla sekä normaaleilla riviväleillä ja marginaalien leveyksillä puhtaaksikirjoitettuun tekstiin. Palautus yhtenä tiedostona PDF-muodossa viimeistään keskiviikkona 20.12. Tiedoston nimi: Sukunimi_Etunimi_kotitentti17.pdf Tehtävä 1. Kuluneen kuuden viikon aikana olemme perehtyneet termodynamiikan perusteisiin ja nyt on loppuyhteenvedon aika esseen muodossa. Käy ensin läpi kurssin yleiset osaamistavoitteet ja viikkokohtaiset oppimistavoitteet. Tarkastele näiden pohjalta termodynamiikan osaamistasi ennen kurssia ja niitä uusia asioita, jotka olet nyt mielestäsi sisäistänyt hyvin. Mitkä asiat ovat puolestaan jääneet sinulle vielä epäselviksi? Valitse näistä keskeisimmät ja muotoile kunkin suhteen mahdollisimman hyvä, tarkasti muotoiltu kysymys, jonka vastaus selventäisi asiaa sinulle. Ohjeellinen pituus: 2 3 sivua. Vastaa joko tehtävään 2 tai 3 Tehtävä 2. Carnot n syklin käsittelyssä osoitimme, että kaikilla kahden lämpövarannon välillä toimivien palautuvien lämpövoimakoneiden hyötysuhde on sama (Carnot n koneen hyötysuhde), e = 1 T L /T H. Tässä yhteydessä todettiin myös, että Carnot n koneen hyötysuhde on suurin kaikista äärilämpötilojen T H ja T L välillä toimivien lämpövoimakoneiden hyötysuhteista. Tätä ei varsinaisesti todistettu, joskin kaikki esimerkit (esim. Stirling- ja Otto-syklit) ovat sopusoinnussa tämän toteamuksen kanssa. Todistetaan tämä väite nyt entropian käsitteen avulla. Aiemmin käsittelimme lämpövoimakoneiden syklejä pv -kuvaajassa. Tehdään nyt sama ST -kuvaajassa. a) Piirrä ST -kuvaajaan jokin mielivaltainen palautuva kiertoprosessi, joka toimii kahden mielivaltaisen äärilämpötilan T H ja T L välillä. Toisin sanoen, kiertoprosessin minkään osan lämpötila ei saa olla korkeampi kuin ylärajan T H tai matalampi kuin alarajan T L. Tulkitse kiertoprosessin ominaisuudet graafisesti samaan tapaan kuin teimme pv -kuvaajien tapauksessa: mitä voit sanoa syklissä vastaanotetusta lämmöstä Q in, luovutetusta lämmöstä Q out ja tehdystä kokonaistyöstä W? b) Piirrä nyt samaan kuvaajaan samojen äärilämpötilojen välillä toimiva Carnot n kone. Osoita suoraan kuvaajan avulla, että 1) kaikkien samojen lämpötilojen välillä toimivien Carnot n koneiden hyötysuhde on sama; ja 2) mille tahansa palautuvalle lämpövoimakoneelle (kun prosessin äärilämpötilat T H ja T L ovat kiinnitetyt) hyötysuhteen yläraja on Carnot n koneen hyötysuhde, e e Carnot.
Tehtävä 3. Entropian graafinen tarkastelu. Oletetaan ainemäärältään vakio ja vakiotilavuudessa oleva yksinkertainen systeemi. Tällöin sen entropia on ensimmäisen pääsäännön mukaan ainoastaan sisäenergian funktio, S = S(U). Tarkastellaan nyt minkälainen olisi tällaisen systeemin entropiafunktion kuvaaja SU-koordinaatistossa. a) Osoita, että vakiotilavuudessa ja kun faasimuutoksia ei tapahdu, entropia on sisäenergian monotonisesti kasvava funktio. Toisin sanoen, ( ) S > 0 U V Osoita myös, että energiafunktion kaarevuus on ei-positiivinen, eli ( 2 ) S U 2 0 V b) Minkälainen on lämpövarannon entropiafunktion kuvaaja SU-koordinaatistossa? c) Tarkastele sitten yksinkertaisen systeemimme sisäenergianvaihtoa lämpövarannon kanssa. Osoita graafisesti eli suoraan systeemin ja lämpövarannon entropiafunktioiden yleisten kuvaajien avulla, että kun systeemin ja lämpövarannon lämpötilat eivät ole samat, sisäenergian vaihto johtaa yhdistetyn systeemin (systeemi + lämpövaranto) kokonaisentropian kasvuun.
Vastaa joko tehtävään 4 tai 5 Tehtävä 4. Ideaalikaasua työaineena käyttävä jäähdytin toimii kuvan 1 mukaisella kiertoprosessilla: 1. Isobaarinen laajeneminen a b 2. Adiabaattinen puristus paineesta p 1 paineeseen p 2, b c 3. Isobaarinen puristus c d 4. Adiabaattinen laajeneminen paineesta p 2 paineeseen p 1, d a Jäähdyttimen tehokerroin on (kts. viikon 3 luentodiat) η J = Q in W, jossa Q in on käyttöaineen vastaanottama lämpö ja W kiertoprosessin aikana tehty kokonaistyö. Tarkastellaan sitten työaineenaan heliumia (oletetaan yksiatomiseksi ideaalikaasuksi) käyttävän koneen toteutusta, jossa paineiden suhde on p 2 /p 1 = 5 ja juuri ennen adiabaattista puristusta kaasun paine on 150 kpa, tilavuus 100 cm 3 ja lämpötila 23 C. Adiabaattisen laajenemisen lopuksi kaasun tilavuus on vuorostaan 80 cm 3. a) Mikä on tämän jäähdyttimen tehokerroin? b) Mikäli kone toimii tahdilla 60 kiertoa sekunnissa, mikä on sen vaatima teho? 3 p 2 d c p 2 4 p 1 a 1 b V Kuva 1: Tehtävän 4 jäähdyttimen kiertoprosessi.
Tehtävä 5. Ideaalikaasun määritelmän mukaisesti sen sisäenergia riippuu ainoastaan lämpötilasta ja ainemäärästä, U = U(n, T ). Tällöin Joulen laajenemiskokeessa (vapaa laajeneminen termisessä eristyksessä) ideaalikaasun lämpötila ei muutu. Todellisilla kaasuilla tapahtuu kuitenkin hienoinen lämpötilan muutos Joulen laajenemisessa. Tarkastellaan tätä nyt happikaasun O 2 tapauksessa, jota kuvaamme van der Waalsin tilanyhtälöllä (vrt. laskuharjoitus 6), (p + a v 2 ) (v b) = RT, jossa v on molaarinen ominaistilavuus, v = V /n, ja parametrit hapelle ovat a = 1,382 l 2 bar/mol 2 ja b = 0,03186 l/mol. Lisäksi oletetaan, että tiedämme hapen molaarisen ominaislämpökapasiteetin vakiotilavuudessa, c V = 2.54 R. a) Kun kaasu laajenee vapaasti termisesti eristettynä, sen sisäenergia ei muutu. Tällöin siis du(v, T, n) = 0. Johda tämän avulla lauseke kaasun lämpötilan muutoskertoimelle tilavuuden muuttuessa (ja kun sisäenergia on vakio), ( ) T α Joule =. V U b) Arvioi saamasi kertoimen α Joule avulla lämpötilan muutos, kun yksi mooli happikaasua alunperin STP-olosuhteissa laajenee tilavuuteen, joka on kaksinkertainen sen alkutilavuuteen nähden, V 0 2V 0. Kommentoi tulostasi.
Vastaa joko tehtävään 6 tai 7 Tehtävä 6. Miten ilmakehää voi mallintaa? Oletetaan aluksi, että ideaalikaasulaki pätee ja paine johtuu ilmakehän aiheuttamasta hydrostaattisesta paineesta. Tämä ei vielä riitä, vaan vaaditaan yksi oletus lisää. Ilma johtaa huonosti lämpöä, eli voidaan ajatella, että ilmakehä toimii adiabaattisesti. a) Arvioi näillä oletuksilla kuinka paljon ilman lämpötila laskee ylöspäin noustaessa ja vertaa saatua tulosta nyrkkisääntöön "lämpötila laskee noin yhdellä asteella noustaessa 100 metriä korkeussuunnassa". b) Johda malli paineen muutoksille ilmakehässä. Kuinka paksu ilmakehä on? Onko saatu arvio oikeaa suuruusluokkaa? Tehtävä 7. Kirjoita lyhyt essee lämpötilan mittauksen haasteista, menetelmistä ja kansainvälisistä standardeista joko a) erittäin korkeilla lämpötilan arvoilla (T 1000 K ja yli) tai b) erittäin matalilla lämpötiloilla (T suuruusluokkaa 1 10 K). Valitse siis vain toinen tapaus. Käytä verkko- ja kirjallisuuslähteitä ja listaa käyttämäsi lähteet esseen loppuun selkeästi. Huom! Voit sisällyttää esseeseesi omaa pohdintaa käsittelemiesi menetelmien fysikaalisesta perustasta, valittujen lämpötilastandardien mielekkyydestä jne. Ohjeellinen pituus 2 3 sivua + kuvat ja lähteet.
Kuva 2: Tehtävän 8 systeemi. Tehtävä 8. Tarkastellaan systeemiä, jossa avoimeen vesiastiaan on upotettu putki, joka on vedenpuoleisesta päästään suljettu puoliläpäisevällä kalvolla, ts. rajapinnalla, joka päästää läpi vesimolekyylejä, mutta ei niitä suurempia molekyylejä (kts. kuva 2). Putken sisällä olevaan veteen lisätään ainemäärä n s suurikokoisia molekyylejä, jolloin huomataan, että putkessa olevan veden pinta nousee korkeammalle kuin muun astian vedenpinta. Putken sisältämän veden ja astian muun veden välille on kehittynyt paine-ero p, joka voidaan mitata vedenpintojen korkeuseron h mukaisen hydrostaattisen paine-eron avulla, p = ρ g h. Määritetään sitten termodynaaminen lauseke synnytetylle paine-erolle p ja sen riippuvuudelle liuenneiden molekyylien mooliosuudesta putkessa, x s = n s /(n vesi + n s ). 1. Oletetaan, että voimme käsitellä veden ja liuenneiden molekyylien liuosta niin sanottuna ideaalisena liuoksena, jonka määrittelee kemiallisen potentiaalin lauseke kullekin liuoksen komponentille i: µ i (p,t,x i ) = µ i (p,t ) + RT lnx i, jossa x i on kyseisen komponentin mooliosuus ja µ i sen puhtaan faasin kemialllinen potentiaali (jossa siis x i = 1). 2. Muodosta ensin vedelle termodynaamisen tasapainon ehto puoliläpäisevän kalvon eri puolilla olevien alueiden suhteen kemiallisen potentiaalin avulla. 3. Määritä puhtaan veden kemiallisen potentiaalin, µ, riippuvuus paine-erosta p Gibbsin ja Duhemin yhtälön avulla, kun oletetaan, että liuoksen lämpötila on vakio. (Vinkki: oleta vesi kokoonpuristumattomaksi nesteeksi.) 4. Ratkaise kohdan (2) tasapainoehdosta paine-ero p ja muuta se vielä sopivilla approksimaatiolla liuenneen aineen molaarisen konsentraation [s] = n s /V funktioksi (oletetaan, että putken liuoksen mooliosuuksille x s x vesi ). Vertaa lopuksi johtamasi kaavan ennusteita paine-erolle p kokeellisesti määritettyihin arvoihin sakkaroosille (kts. taulukko alla; T = 273 K). Huom: sakkaroosin konsentraatiot on annettu yksikössä 1 M = 1 mol/litra, jossa tilavuus viittaa kyseisen liuoksen kokonaistilavuuteen (onko sakkaroosin osuus tästä merkittävä?) [s] (M) 0,0292 0,0584 0,1315 0,2739 0,5328 0,8766 p (atm) 0,65 1,27 2,91 6,23 14,21 26,80