Ketaustehtäät. c) Len kietokulma on t,5 ad/s (6 s) 9 ad.. a) Ratanopeus on 5, 35 m 53 cm/s. s 3. b) Tasapainoasemassa palloon kohdistuat paino G ja langan jännitsoima T. Pallon liikehtälö on F ma. n Kun suunta lös on positiiinen, saadaan skalaaihtälö T G m. Langan jännitsoiman suuuus on (4,7 m/s) T m mg,34 m,65kg,65kg 9,8m/s 4,9 N. 4. c) Saanoihin aikuttaa momentti on molemmissa tapauksissa htä suui. Yhtälöstä M M eli F F saadaan töntöoiman suuuudeksi F F 87 N,3m 38 N.,3 m 5. c) Tasapainotilanteessa momenttien summa on nolla minkä tahansa akselin suhteen. Kun kietosuunta astapäiään on positiiinen, momenttien summa pisteen A suhteen on M A = F F =. Etuhampaiden puistusoiman suuuus on F 7 N 3mm F 8 N. mm 6. b) Thjän tölkin painopiste on kokeudella cm 5,5cm. Pohjalla olean juoman kokeus saadaan htälöstä π h V. Nestepinta on kokeudella 3 V cm h,598448cm. π π(3,5cm) Oletetaan, että juoman tihes on htä suui kuin eden tihes, kg/dm 3. Silloin juoman massa on g ja sen painopiste on kokeudella,598448cm, 994cm. 87
Koko ssteemin painopiste pödänpinnan suhteen on kokeudella 5g 5,5cm g,994cm,8cm. 5g 7. c) o s h Kitkamomentin tekemä tö muuntaa pöimisen otaatioenegian potentiaalienegiaksi ja slinteiin kohdistua painon tekemä tö etenemisen tanslaatioenegian potentiaalienegiaksi, kun ieiminen tapahtuu liukumatta. Kitka on lepokitkaa. Oletetaan, että liikeastuksia ei ole. Mekaanisen enegian säilmislain mukaan on m J mgh. Nousukokeus on h s sin, jossa s on ieimismatka. Sijoitetaan mekaanisen enegian säilmislain htälöön kulmanopeuden ja hitausmomentin htälöt ja J m ja atkaistaan alkunopeus: m m mgh gh 4 3 gh 4 4 4 4 m gh gssin 9,8,m sin 5,6m/s. 3 3 3 s 8. b) Radallaan olean satelliitin liikehtälö on F man. Kun suunta kohti Maan keskipistettä on positiiinen, saadaan skalaaihtälö mm m, jossa M on Maan massa, m satelliitin massa ja atanopeus. Satelliitin atanopeus on 4 M 6,6759 Nm /kg 5,974 kg 7,5km/s. 75 km 6378 km 9. c) Kien nopeus ajan funktiona on gt. Lakipisteessä nopeus on = m/s, m/s jolloin nousuaika on t, s. g 9,8 m/s 88
. c) Alkunopeuden pstkomponentti on sin 367 m/s sin 36 5,87m/s. o Lakipisteessä kappaleen nopeuden pstkomponentti. Yhtälöstä gt 5,87 m/s nousuaika on t, 6776s. Lentoaika on,6776 s 3, s. g 9,8m/s π.a) Kietokulma on 7575 ad 3,ad. 8 o 8 o b) Kietokulma on 5ad 5 86. π. a) Pulsain kieosaika on T,56 ms. n 64 /s ad Kulmanopeus on πn π 64 43. s s π 3. a) Napakelkan atanopeus on, josta kelkan kieosaika on T π π 4,5 m T,3973 s s.,5 m/s b) Pöimisnopeus on n, 88. T,3973s s c) Newtonin I lain mukaan kelkka jatkaa suoaiiaisesti liikettään adan tangentin suuntaan. 4. a) Pöän säde on = 4,5 cm, joten sen pöähtäessä hden kieoksen hiihtäjä m etenee matkan s π. Lenkin aikana kieoksia tulee π,45m 37. b) Renkaan kulmanopeus on πn π,5ad/s 5π ad/s 5,7 ad/s. Kietokulma on t 5π ad/s 66s 5654,86678 ad. Pöäilijän kuudessa minuutissa pöäilemä matka on s 5654,86678 ad,34 m,9 km. Rengas pöähtää kokonaisia kieoksia 5654,86678 ad 9 kpl. π 89
5. a) Koska kiekot on hdistett luistamattomalla hihnalla toisiinsa, niiden atanopeudet oat htä suuet: eli, josta saadaan. Koska säteiden suhde on 8,cm, kulmanopeuksien suhde on 5: (=,5:). cm 5 b) Kun pienemmän kiekon pöimisnopeus on 5, /s, sen kulmanopeus on πn π 5, ad/s 3,4593 ad/s. Isomman kiekon kulmanopeus on 3, 4593ad/s,56637 ad/s. 5 Tämän kulmanopeuden saauttamiseen kuluu aikaa kiihdttämisen alusta lukien,56637 ad/s t s.,5 ad/s 6. a) Akselin kulmakiihts on 4,3ad/s,5 ad/s t,4s,575 ad/s,6 ad/s. b) Kiihdtksen aikana kietokulma on t t,5 ad/s,4s,575 ad/s (,4s) 5, 784 ad. o 8 Kietokulman suuuus asteina on 5,784 ad 5,784 33. π 7. a) Rummun keskikulmakiihts aikaälillä, s 6, s on 4 ad/s, ad/s 4 ad/s k 9 ad/s. t t 6, s, s 6, s ad s ω 8 6 4 t 3 4 5 6 7 8 9 s 9
b) Jotta keskikulmakiihts ja hetkellinen kiihts olisiat htä suuet, astaaien suoien on oltaa hdensuuntaiset. Kuaajalle kohtaan, s piiett tangentti on hdensuuntainen keskikulmakiihtttä kuaaan suoan kanssa. Näin ollen hetkellä, s hetkellinen kulmakiihts on sama kuin keskikulmakiihts älillä, s 6, s. m/s 3,6 8. a) Auton kulmanopeus on,58 ad/s. 53m b) Auton adalla pitään oiman suuuus on m/s 3,6 F m 5 kg 8 kn. 53m c) Auton pitää adalla (tiellä) auton enkaiden ja tienpinnan älinen lepokitka. Jos kitka on liian pieni, auto suistuu tieltä. Jos auto lähtee liukumaan, kseessä ei ole enää lepokitka, aan lepokitka on muuttunut liukukitkaksi. d) Vaikka auton ataauhti on akio, nopeuden suunta kuitenkin muuttuu koko ajan. Autolla on nomaalikiihtttä, joka suunta on kohti adan keskipistettä. 9. Linnun liikehtälö aakasuunnassa on F. man Valitaan suunta kohti adan keskipistettä positiiiseksi. F F F G π π 5 m Linnun ataauhti mpäadalla on 5,895 m/s. Voiman suuuus T 6 s (5,895 m/s) aakasuunnassa on F man m,3 kg,74 N. 5 m Koska linnulla ei ole kiihtttä pstsuunnassa, linnun liikehtälö pstsuunnassa on F eli F G. Kun alitaan suunta lös positiiiseksi, skalaaihtälöstä F G = saadaan F G mg,3 kg9,8m/ s 3,39 N. Nostooiman suuuus on F F F (,74 N) (3,39 N) 3, N. Nostooiman suuntakulma psttasoon nähden: F,74 N tan, F 3,39 N josta 3. 9
. a) Oletetaan, että kstillä hetkillä tangenttikiihts on nolla. Lentäjään kohdistuat paino G ja penkistä tukioima N. G N + N a n G b) Lentäjän liikehtälö on F ma n eli N G ma. n Soitaan suunta kohti adan keskipistettä positiiiseksi. Ratkaistaan skalaaihtälöstä N G ma tukioiman suuuus: N man G m G. Tukioiman suuuus oi maksimissaan olla N 9G eli m mg 9mg. Yhtälöstä g 9g eli 8g säteen suuuudelle saadaan ehto: 5 m/s 3,6,km. 8g 8 9,8m/s n. Kun astusoimat oat pienet, autoon kohdistuat oimat oat paino ja tienpinnan tukioima. Auton adan säteeksi oletetaan kohtisuoa etäiss adan keskipisteeseen. Auton tiellä pitää kokonaisoima suuntautuu kaateen keskipistettä kohti ja on aakasuoa. Liikehtälö aakasuunnassa on F ma. Pstsuunnassa liikehtälö on F, koska autolla ei ole kiihtttä pstsuunnassa. n Kun alitaan suunnat keskipistettä kohti ja lös positiiisiksi, saadaan skalaaihtälöt Nsin m ja N cos α mg =. Tukioiman suuuudelle saadaan htälö N mg. cos 9
mg Kun htälö N sijoitetaan htälöön cos josta auhdiksi saadaan Nsin m, saadaan mg sin m, cos g cos sin gtan 4 m 9,8 m/s tan, m/s.. Ympäadalla liikkualla etuilla on nomaalikiihtttä ja tangenttikiihtttä, koska sen atanopeus muuttuu. Kuiossa etui liikkuu mötäpäiään. a t a n a a t a n a Alkutilanne: Alussa etuin nomaalikiihtden suuuus on a n 95 ( m/s) 3,6,896 m/s 54 m ja tangenttikiihtden suuuus 6 95 m/s m/s 3,6 3,6 at,88384m/s. t s Vetuin kiihtden suuuus alussa on a a a t n (,88384m/s ) (,8958m/s ),6m/s. Kiihtden ja mpäadan säteen älinen kulma: a,88384m/s tan, t an,896m/s josta kulma 34,4559. Nopeuden ja kiihtden älinen kulma on 9 934,4559. 93
Lopputilanne: Lopussa etuin nomaalikiihtden suuuus on a n 6 m/s 3,6,544 m/s 54 m ja tangenttikiihtden suuuus on htä suui kuin alkutilanteessakin: 6 95 m/s m/s 3,6 3,6 at t s Vetuin kiihts lopussa on a a a,88384 m/s. t n (,88384 m/s ) (,544m/s ),m/s. Kiihtden ja mpäadan säteen älinen kulma: a,88384 m/s tan, josta saadaan 59,834. t an,544 m/s Nopeuden ja kiihtden älinen kulma on 9 959,8345. 3. Puupalan liikehtälö on F ma, jossa puupalan kiihts on nomaalikiihtden ja tangenttikiihtden ektoisumma: a a a. n t Puupala ps mpäadalla kitkan F N takia. Soitaan suunta keskipistettä kohti positiiiseksi. Skalaaihtälö F ma saadaan muotoon N m a a eli n t mg m an a t, josta kitkakeoin on a a g Puupalan nomaalikiihtden suuuus on a n = = (αt) = (,5 ad/s 6,5 s),5 m 3,9694 m/s. Puupalan tangenttikiihtden suuuus on a t = α =,5 ad/s,5 m =,375 m/s. Kitkakeoin on a a (3,9694 m/s ) (,375 m/s ) n t g 9,8 m/s.,4. n t 94
4. Koska kappale liukuu kitkatta -säteisen pallo pintaa alaspäin, oidaan soeltaa mekaanisen enegian säilmislakia. Esineeseen kohdistua paino tekee tötä ja muuntaa potentiaalienegiaa liike-enegiaksi, jolloin saadaan htälö mgh m. Itoamishetkellä kappale on pudonnut pstsuunnassa matkan h cos. Sijoittamalla josta auhdin neliö on h cos htälöön mgh g ( cos ). m saadaan m mg ( cos ), Kun kappale liukuu pallopinnalla, säteen suunnassa aikuttaat painon G mg säteen suuntainen komponentti pallon keskipistettä kohti ja pinnan tukioima pallon pinnasta kappaleeseen. Kappaleen liikehtälö on F ma eli G. N ma n Soitaan suunta pallon keskipistettä kohti positiiiseksi. Sijoitetaan skalaaihtälöön n mg cos N m auhdin neliön htälö g( cos ) ja otetaan huomioon, että kappaleen g( cos ) itoamishetkellä tukioima N. Saadaan htälö mg cos m eli cos ( cos ), josta cos cos ja edelleen 3cos. Yhtälöstä cos saadaan kulmaksi 48,. 3 Esineen itoamiskokeus pallon alaeunasta mitattuna on cos ( cos48, ),67. 5. Palloon kohdistuat heilahduksen aikana langan jännitsoima T ja paino G. Ilmanastus on pieni, koska pallo on pieni. Pallon liikehtälö on F ma eli T G ma n. Valitaan suunnat alas ja kohti adan keskipistettä positiiisiksi. Pallo alkaa poiketa mpäadalta, kun jännitsoima T. Tällöin kulma on = 5 9 = 35. Näin ollen skalaaihtälö saadaan muotoon G ma eli n mg sin m. l n Pallon nopeuden neliölle saadaan htälö glsin. 95
Kun pallo alkaa poiketa mpäadalta, se on noussut kokeudelle h l lsin. Alussa pallolla oli liike-enegiaa ja lopussa liike-enegiaa ja potentiaalienegiaa. Ympäadalta poikkeamisen hetkellä pallolla on ielä nopeutta ja siksi potentiaalienegian lisäksi liikeenegiaa. Palloon kohdistua paino tekee tötä palloon ja muuntaa liike-enegiaa osittain potentiaalienegiaksi. l sin mg sin G l T E p = o G Mekaanisen enegian säilmislain mukaan on m m mgh. Sijoittamalla tähän htälöön nopeuden neliön ja nousukokeuden htälöt saadaan m m( gl sin ) mg( l l sin ) m glsinglglsin 3glsin gl gl(3sin). Pallon lähtönopeudeksi saadaan gl (3sin ) 9,8 m/s,85 m (3sin 35 ) 5,6 m/s. 6. A s =, m B + F F N Momentti akselin A suhteen on M F s 35 N, m 7 Nm. Momentti akselin B suhteen on M F s 55N,m Nm. A B Voimien esultantin suuuus on R = 55 N + 35 N = 9 N ja suunta alas. Kaikkien momenttien ääntöaikutus on nolla minkä tahansa akselin suhteen, Kun kietosuunta astapäiään on positiiinen, momenttien summa akselin A suhteen on M A NF s. 96
Resultanttioiman suhteen astakkaissuuntaisen oiman N aikutussuoan paikka akselista A lukien on Fs 35N,m,78m. N 9 N 7. 3, m 3, m A G Leena N G isä + Leenan ja isän tulee asettua ei puolille tukipistettä eli laudan keskikohtaa A. Olkoon isän etäiss tukipisteestä. Jotta lauta ps tasapainossa, on momenttien summan oltaa nolla minkä tahansa laudan akselin suhteen eli M. Kun suunta astapäiään on positiiinen, keskipisteen suhteen on M Misä MLeena eli Gisä GLeena 3, m. Isän etäiss tukipisteestä on GLeena 3, m mleena g3, m mleena 3, m G m g m isä isä isä 3 kg 3, m,5 m. 8 kg Isän etäiss Leenasta on silloin,5 m + 3, m 4, m. A 8. a) Jos kietosuunta mötäpäiään on negatiiinen, momentti on M F 35 N,7 m 6, Nm. b) Voiman aikutussuoan etäiss keskiöstä on nt pienempi kuin a-kohdassa. Vääntöaen pituus on nt uusi,7 m cos 45,8m. Momentti on M F uusi 35 N,8m 4, Nm. uusi = cos 45 F 45 97
9. Puupölkkn aikuttaat oimat oat pölkkn kohdistua paino G, aakasuoan maanpinnan tukioima N, potaan eunan tukioima N ja töntöoima F. m Takastellaan tilannetta, jossa pölkk on juui itoamassa maan pinnalta. Tällöin maanpinnan tukioima N on nolla. Lasketaan momenttien summa akselin A suhteen, tällöin oiman töntöoiman aet. p m N momentti on nolla. Selitetään ensin pölkkn kohdistuan painon ja p F a = h h A 7,7 cm G b N p,66 m Töntöoiman F asi on a h h,33 m,77 m,53 m. Painon G asi b saadaan Pthagoaan lauseen aulla: b ( h), josta saadaan b ( h ) (,33 m) (,53 m),875 m. Häkstään ain aen positiiinen ao. Takastellaan tilannetta, kun pölkk on juui itoamassa maan pinnalta. Kun kietosuunta astapäiään on positiiinen, momenttien summa akselin A suhteen on M A = Fa + Gb =. Yhtälöstä saadaan pienimmäksi töntöoimaksi Gb F a, 53m 44kg 9,8m/s,875m N. 3. a) Paksumman pään massa on suuempi. Painopiste ei ole keskellä kattakeppiä, aan lähempänä paksua päätä. Painopisteestä tuettuna kattakeppi ps tasapainossa. Silloin kepin päiden momenttien summa on nolla tukipisteen kautta kulkean akselin suhteen. Lhempi eli paksumpi pää on askaampi, koska tähän osaan kohdistua paino on suuempi ja ääntöasi näin ollen pienempi. Pidemmän osan ääntöasi on suuempi, joten siihen kohdistua paino on pienempi kuin lhemmän osan. Lhemmän osan massa on siis suuempi kuin pidemmän osan massa. 98
b) m 3 m m Sijoitetaan koodinaatisto kuan mukaisesti siten, että kuula m sijaitsee oigossa. Lasketaan limmän kappaleen paikka. Kolmion kaikki kulmat oat 6. Ylimmän kappaleen paikan -koodinaatti on 4cm 7cm. Yhtälöstä tan6 saadaan limmän kappaleen paikan -koodinaatiksi 7cm 7cm tan 6,44cm. Tällöin kuulien koodinaatit oat Kuula Massa/kg /cm /cm m, m,5 4 m 3,45 7,44 3 Painopisteen paikan -koodinaatti on m m m 3 3 mm m3,kg,5kg4cm3,45kg7cm, kg,5kg 3,45kg 83cm ja -koodinaatti m m m 3 3 mm m3,kg,5kg 3,45kg,44cm, kg,5 kg 3,45 kg 59cm. Painopiste on tässä koodinaatistossa kohdassa (83 cm, 59 cm). 3. a) Ripusta kappale jostakin kohdasta. Kiinnitä luotilanka (lanka, jonka toisessa päässä on paino) ipustuspisteeseen ja piiä luotilankaa kättäen tästä pisteestä lähtien kappaleen pintaan suoa iia alas. Ripusta sitten kappale muistakin kohdista esimekiksi kolme ketaa ja piiä luotisuoat. Suoat leikkaaat kappaleen painopisteen kohdalla. 99
b) Painopisteen paikka pstsuunnassa on m m m 8,7 kg,m 7,3kg 6,m 5,9 kg m 5,5m. 3 3 3 mm m3 8,7kg7,3kg5,9kg Painopiste sijaitsee 5,5 m lipputangon testä löspäin. 3.,65 m, m Säiliö ps pstssä, jos sen painopisteen kautta kulkea luotisuoa kulkee tukipinnan,m kautta. Rajatapauksessa saadaan htälö tan, josta kalteuuskulma on 7.,65m 33. Kuassa a pöä muuttaa ain oiman suuntaa, se ei ole nostettaana kuomana. Langan jännitsoima on htä suui kuin punnukseen kohdistuan painon suuuus. Vaaka nättä langan jännitsoiman suuuuden eli aa an nättö on htä suui kuin punnukseen kohditua paino eli G punnus =,5 N. Kuassa b pöään ja punnukseen kohdistuan painon suuuinen oima kuomittaa kahta alemman pöän ipustuslankaa. Vaaka nättää langan jännitsoiman suuuuden eli ( Gpunnus Gpöä ) (,5N,N),85N. 34. a) Yhden pöähdksen aikana oiman F aikutuspiste siit matkan π. Voiman F aikutuspiste siit matkan (π π )/ löspäin. Ketjun etämisessä teht tö on htä suui kuin kappaleen nostamisessa teht tö, jolloin W π π W eli F π F josta saadaan F F,.
Säteiden lähentessä toisiaan, niiden eotus lähenee nollaa. Tällöin taittaa etooima pienenee, jos kuoma ps samana. Diffeentiaalitaljalla oidaan nostaa sitä suuempi kuoma, mitä pienempi pöien säteiden eotus on. b) Tasapainoehdosta F F saadaan kuomaksi F F 85 N cm 5cm cm 5, 3 kn. 35. a) Väite on ääin. Kappale on tasapainossa etenemisen suhteen, jos kokonaisoima on nolla, ja pöimisen suhteen, jos kokonaismomentti on nolla. Esimekiksi kuan tilanteessa kokonaisoima on nolla, mutta silti oimat aiheuttaat kappaleeseen sitä kääntämään pkiän momentin. F F b) Väite on ääin. Jos kokonaismomentti on nolla, niin kappale on leossa pöimisen suhteen tai sitten se pöii tasaisesti. Tällöin pöimissuunnassa oiman momentti on htä suui kuin astusoimien aiheuttama momentti. Jos esimekiksi auton, polkupöän tai junan pöät pöiät akiona psällä kulmanopeudella, pöään kohdistuien momenttien summa on nolla. Tällöin pöimistä astustaien oimien (laakeeiden kitka ja ieimisastus) momentti on htä suui mutta aikuttaa astakkaiseen kietosuuntaan kuin pöimistä lläpitäien oimien momentit. Kun kappale ieii alas kalteaa pintaa tasaisella nopeudella, pöimistä lläpitää oima on pinnasta pöään kohdistua kitka. 36.,4 m T β N A + N N G t T α,65 m T G k,4 m tan α = 3,8687,65 m Tukitanko on tasapainossa, joten siihen kohdistuien oimien summa on nolla eli F ja momenttien summa on nolla eli M. Valitaan kietosuunta astapäiään positiiiseksi, jolloin momenttihtälö kietoakselin A suhteen on
l M A lt Gt lgk, joka jakamalla pituudella l ksinketaistuu muotoon Gt T Gk. Koska T Tsin, aijein jännitsoiman suuuus on G m t t, kg m Gk mk g 5, kg 9,8 s T 4,839 N N. sin sin sin 3,8687 Valitaan suunta oikealle positiiiseksi. Koska aakasuunnassa on oimassa ehto, saadaan htälö N T, josta F N T Tcos 4,839 N cos3,8687 88,56 N. Valitaan suunta lös positiiiseksi. Koska pstsuunnassa on oimassa ehto F, saadaan htälö N Gt Gk T, josta N Gt Gk T ( mt mk) gtsin (, kg 5, kg) 9,8 m/s 4,839 N sin 3,8687 5,8863 N. Seinän tankoon kohdistaman kokonaisoiman suuuus on N N N (88,56 N) (5,8863 N) 88 N. N 5,8863 N Voiman suunnan määittää kulma saadaan htälöstä tan, josta N 88,56 N kulma on 3,8. Kstt tukitangon seinään kohdistama oima on oiman N astaoima ja siten Newtonin III lain mukaan htä suui, mutta suunnaltaan astakkainen. Vaijeiin BC kohdistua jännitsoiman suuuus on N aijein suuntaan. Tukitangon AB seinään kohdistaman oiman suuuus on 88 N ja suuntakulma seinän nomaalin suhteen 3,8 (kuio). 3,8 N 37. a) Sauan hitausmomentti on ml J, josta sauan pituudeksi saadaan J, kgm l 7, 6 m. m, 5 kg b) Sauan hitausmomentti muuttuu pöimisakselin paikan muuttuessa. Esimekiksi toisen pään mpäi pöiessään sauan hitausmomentti on suuempi kuin a-kohdassa J ml 3. c) Hitausmomentti kuaa kappaleen kkä astustaa pöimisen muutoksia, ts. hitausmomentti kuaa kappaleen pöimisen hitautta. Kappaleen pöimisen hitaus aikuttaa leossa olean kappaleen pöimään saattamiseen sekä htä lailla jo pöiän kappaleen kulmanopeuden muuttamiseen eli kiihdttämiseen tai jauttamiseen.
38. Sauan pää liikkuu pitkin mpäataa, jonka säde on l =,5 m. Pään atanopeus on = l. Sauaan kohdistua paino tekee tötä ja muuntaa sauan potentiaalienegiaa pöimisenegiaksi, koska saua pääsee pöimään toisen päänsä kautta kulkean akselin mpäi. Sauan painopisteen kokeuden muutos on l/. Ratkaistaan sauan kulmanopeus l l 3g lopputilanteessa htälöstä J mg eli ml mg, josta saadaan. 3 l Sauan apaan pään nopeus on 3g l l gl l 3 3 9,8m/s,5m 3,9m/s. 39. Momentti, joka aikuttaa keskeltä akseloituun umpinaiseen tankoon on M = F. Pöimisen liikehtälö on M = Jα eli F J. Yhtälö saadaan muotoon F m, josta kulmakiihts on F 4 N, m ad 8. m,5kg (, m) s 4. Koska liikeastusoimia oidaan pitää ähäisinä, soelletaan mekaanisen enegian säilmislakia. Slinteiin kohdistua paino tekee tötä ja muuntaa potentiaalienegiaa liike- ja otaatioenegiaksi: mgh m J eli mgh m mr, R josta saadaan mgh m m. Kappaleen nopeus on 4 mgh m m kg 75 kg kg 9,8 m/s,7 m 5, m/s. 4. Soitaan ämpäin potentiaalienegian nollataso ämpäin ala-asemaan. Pudonneella ämpäillä ei ole potentiaalienegiaa lopussa, mutta on liike-enegiaa. Osa alussa olleesta potentiaalienegiasta kuluu liikeastusten oittamiseen. Ämpäin potentiaalienegian muutos on htä suui kuin kitkamomenttia astaan tehdn tön ja ssteemin liike-enegian summa lopussa: E W E E eli pot kin ot mgh W m J μ. M Kitkatö saadaan muotoon W F s M. Koska kulmanopeus on h h h, kietmälle saadaan htälö π n π π, jossa h on p π pudotuskokeus. 3
Oletetaan, että kösi ei en eikä liu u, jolloin htälö mgh Wμ m J, saadaan muotoon mgh M m J h mgh M m J M J hmg m ( ) ( ). Ratkaistaan htälöstä nopeus: M hmg ( ) J m M,4 Nm hmg 3, m kg 9,8m/s,9 m 6,5 m/s. J,8 kgm m kg (,9 m) 4. Pallon ieimistä alaspäin oidaan takastella kättäen mekaanisen enegian säilmislakia, kun ilmanastus ja ieimisastus oat ähäisiä. Valitaan potentiaalienegian nollatasoksi pallon alustasta itoamisen taso. Pallon ieiessä liukumatta alas palloon kohdistua paino tekee tötä ja muuntaa pallon potentiaalienegiaa tanslaatioenegiaksi ja kitkamomentti potentiaalienegiaa otaatioenegiaksi. Vieimisen loppuaiheessa pallon siitessä alimmasta pisteestä nollatasolle astaaasti otaatio- ja tanslaatioenegiaa muuntuu potentiaalienegiaksi: Koska mgh m J J. 5 m ja, mekaanisen enegian säilmislaki saadaan muotoon mgh m m eli 5 mgh m m eli 7 gh, josta nopeus potentiaalienegian nollatasolla on gh. 7 4
Pallon iottua alustasta palloon kohdistua paino muuntaa tanslaatioenegiaa potentiaalienegiaksi. Yhtälöstä m mgh saadaan nousukokeudeksi h gh 7 5 5 h,95m,68m. g g 7 7 43. a) Autot etäät toisiaan puoleensa oimalla, jonka suuuus on mm Nm kg 6kg 5 F 6,6759, N. kg (,5m) Molemmat autot etäät toisiaan puoleensa htä suuella mutta astakkaissuuntaisella oimalla (Newtonin III laki). b) Satelliitin liikehtälö on F m a. sat n Gaitaatiooima pakottaa satelliitin mpäadalle. Valitaan suunta kohti Maan keskipistettä positiiiseksi, jolloin saadaan skalaaihtälö m m ( R) R sat Maa m jossa R on Maan säde. Nopeus on sat m R 6,378 m 4 Maa 6,6759 Nm /kg 5,974 kg 6 5,6 km/s. 44. Keplein III laista T T saadaan Pluton keskietäisdeksi Auingosta 3 3 T (49,6 m) (46,8a) 3 6 3 3 3 3 T (, a) 6 5,886 m 5886 km. 45. a) Olkoon lentokoneen massa m. Gaitaatiokentän oimakkuus, km kokeudella maanpinnasta on g mm 4 F M Nm 5,974 kg 6,6759 9,76 m/s. m m kg (6378 km, km) 5
46. Gaitaatiooiman takia Mas kietää adallaan Auingon mpäi. Masin liikehtälö Auinkoa kietäällä adalla on F ma. Kun suunta kohti Auingon keskipistettä on M A m positiiinen, skalaaihtälöstä m saadaan Auingon massaksi M A 6,6759 Nm /kg 3 6 3 (4,3 m/s) 7,9 m 3,989 kg. n 47. Putoamiskiihts toisen planeetan pinnalla on g m m m Planeetta Maa Maa Planeetta Pl ( Maa ) Maa 4 Nm 5,974 kg 6,6759 9,8 m/s. 3 kg (6378 m) 48. Valitaan suunta alas positiiiseksi. Yhtälöstä s gt saadaan putoamisajaksi s 35m t,675s,7 s. g 9,8m/s Loppunopeus on gt gt 9,8m/s,675s 6m/s. 49. Oletetaan, että hppääjä putoaa suoaan alas. Lasketaan hppääjän nopeus metin pudotuksen jälkeen. Oletetaan, että hppääjään kohdistua ilmanastus on ähäinen. Hppääjään kohdistua paino tekee tötä ja muuntaa potentiaalienegiaa liike-enegiaksi. Mekaanisen enegian säilmislaista mgh m saadaan nopeudeksi gh 9,8m/s m 48,56 m/s. Alkuaiheen jälkeen liike on hidastuaa. Aautuneeseen ajoon kohdistua ilmanastus hidastaa liikettä. Lasketaan aika, jonka kuluessa nopeus pienenee aoon 5, m/s. Loppunopeus on at, josta ajaksi saadaan t a 5, m/s 48,56 m/s, m/s Tässä ajassa kuljettu matka on, 768s. s t at 48,56 m/s,768 s (, m/s ) (,768 s) 58,35 m. Laskuajohppääjän on hpättää ähintään kokeudelta m + 58,35 m 7 m. 6
5. Valitaan koodinaatisto siten, että oigo on heittopisteessä. Soitaan suunta alas positiiiseksi. Kun ilmanastusta ei oteta huomioon, pallon liikettä oidaan pitää tasaisesti kiihtänä. g a) Pallon putoamana matka saadaan htälöstä h t gt eli t th. Lentoaika saadaan kättäen toisen asteen atkaisukaaaa: g 4 ( h) gh t g g 9,8 m/s 5 m/s (5 m/s) 9,8 m/s 4 m. Ratkaisuna saadaan t 3,5857 s ja t 6,6 s, joka hlätään. Pallo tömää maahan 3,5 s:n kuluttua. b) Pallon nopeus on gt 5 m/s 9,8m/s 3,5857 s 5 m/s. Pallon nopeus oidaan atkaista mös mekaanisen enegian säilmislain aulla: mgha ma mghl ml. Valitaan potentiaalienegian nollatasoksi maanpinta (h l = ). Loppunopeudeksi saadaan gh 9,8m/s 4 m (5m/s) 5m/s. l a a 5. Ilmanastusta ei oteta huomioon. Kien löspäin nousemisen aikana kieen kohdistua paino tekee tötä ja muuntaa liike-enegian potentiaalienegiaksi. Putoamisen aikana paino tekee tötä ja muuntaa potentiaalienegian liike-enegiaksi. Soitaan otkon pohja potentiaalienegian nollatasoksi. Yhtälöstä mgh m m putoamisnopeuden suuuudeksi otkon pohjalla saadaan gh (8m/s) 9,8m/s 49m 35,85 m/s. Soitaan suunta lös positiiiseksi, jolloin otkon pohjaan osumisen nopeus on = 35,85 m/s. Koska liike on tasaisesti kiihtää, loppunopeus saadaan htälöstä gt. 8 m/s ( 35,85 m/s) Tapahtumaan kulunut aika on t 5,5s. g 9,8m/s Kii putoaa 5,5 sekunnin kuluttua otkoon nopeudella 36 m/s. 7
5. Ilmanastusta ei oteta huomioon, jolloin kien liike on pstsuunnassa tasaisesti kiihtää ja aakasuunnassa tasaista. Yhtälöstä h gt saadaan putoamisajaksi h 3m t,554s. g 9,8m/s Kantama on t m/s,554s 56 m. Lasketaan nopeuden suunta ja suuuus maahan osumisen hetkellä. Soitaan suunta löspäin positiiiseksi. Nopeuden suuuus saadaan htälöstä ( gt) ( 9,8 m/s,554 s) ( m/s) 33 m/s. Kien nopeus -suunnassa on gt. Koska kii heitetään antatömältä aakasuoaan, on = m/s, joten gt. Nopeuden suuntakulma aakatasoon nähden saadaan htälöstä gt 9,8 m/s,554 s tan, josta 49. m/s Kien kantama on 56 m aakasuuntaan, nopeuden suuuus 33 m/s ja suuntakulma 49. Nopeuden suunta on aakatasosta inosti alaspäin. 53. a) ) Ei, koska nopeus ei ole akio pstsuoassa heittoliikkeessä. ) Ei, koska pstsuoassa heittoliikkeessä nopeus muuttuu positiiisesta negatiiiseksi. 3) Kllä, koska kiihts on akio ja negatiiinen (hidastua liike) ja nopeus muuttuu kuassa positiiisesta negatiiiseksi. 4) Ei, koska kiihtden tulee olla piioksessa akio. 5) Kllä, koska kiihts on akio ja negatiiinen. b) Kii, joka putoaa edessä: kieen kohdistuat oimat oat paino, noste ja eden astus. Kausellissa olea henkilö: henkilöön kohdistuat oimat oat paino, lepokitka ja seinästä henkilöön kohdistua tukioima. F mg mg 8
54. a) Slinteiin kohdistua paino tekee tötä ja muuntaa potentiaalienegiaa liikeenegiaksi. Kitkamomentti tekee tötä ja muuntaa osan potentiaalienegiasta otaatioenegiaksi. Lähtökokeus katon eunasta mitattuna on h 6,m sin 35 3,4446m. Ssteemin ulkoiset astustaat oimat, kuten ilmanastus, oidaan olettaa ähäisiksi. Silloin slintein potentiaalienegia muuntuu ieimisen aikana etenemisen ja pöimisen liike-enegiaksi ja mekaanisen enegian säilmislakia oidaan soeltaa: mgh m J ja edelleen mgh m m eli 3 gh. 4 4 Slintein nopeus katon eunalla on 4gh 4 9,8m/s 3,4446 m 6,797 m/s. 3 3 6,797 m/s Slintein kulmanopeus on 37 ad/s.,8 m b) Katon eunan jälkeen slintein liikettä oidaan takastella inona heittoliikkeenä, jonka alkunopeus 6, 797 m/s. Alkunopeuden aakakomponentin suuuus on cos356,797 m/s cos35 5,4959 m/s. Alkunopeuden pstkomponentin suuuus on sin 356,797 m/s sin 35 3,8488 m/s. Pstsuunnassa slintei putoaa heiton aikana 5, metin matkan, joten htälöstä t gt eli gt t saadaan putoamisaika kättäen toisen asteen htälön atkaisukaaaa: t g g ( ) 4 ( ) 9,8m/s 3,8488 m/s (3,8488 m/s) 4 9,8m/s ( 5, m) Yhtälön atkaisut oat t =,6989 s (tai t =,47545 s). Häkstään ain ajan positiiinen ao. Tässä ajassa slintei liikkuu aakasuunnassa matkan t 5, 49594 m/s,6989s 3,8 m.. 9