2. a) Lähellä maan pintaa massaan m kohdistuva gravitaatiovoima kirjoitetaan muodossa

Transkriptio

1 763101P Fysiikan matematiikkaa sl 2012 Harjoitus 13 Viimeinen näyttpäivä pe Kappale liikkuu voimakentässä 2 3 ˆ ˆ 2 F ( y cos x z ) i (2 y sin x 4) j (3xz 2) k ˆ. a) Osoita, että kenttä on konservatiivinen. b) Etsi kenttää vastaava skalaaripotentiaali. c) Laske ty, joka tehdään siirrettäessä kappaletta voimakentässä pisteestä (0, 1, 1) pisteeseen ( / 2, 1, 2). 2. a) Lähellä maan pintaa massaan m kohdistuva gravitaatiovoima kirjoitetaan muodossa F mg k. ˆ Osoita, että voima on konservatiivinen ja laske vastaava skalaaripotentiaali eli ns. gravitaatiopotentiaali, joka antaa kentän muodossa F. b) Kaukana maan pinnasta massaan m kohdistuva gravitaatiovoima kirjoitetaan muodossa F e ˆ 2 r, r missä on vakio ja r etäisyys maan keskipisteestä. Osoita, että voima on konservatiivinen ja laske gravitaatiopotentiaali, joka antaa kentän muodossa F. 3. lue on rajattu xy-tasoon y-akselin ja suorien y1 2x 4ja y2 x 2 väliin. lueen pintaala saadaan laskemalla integraali d dxdy. a) Hahmottele alue ja perustele integroimisrajat x :0 6 ja y: (2x 4) ( x 2). b) Laske alueen pinta-ala. c) Laske alueen massakeskipisteen koordinaatit 1 1 xm xd ja ym yd 4. Tarkastellaan R-säteistä origokeskistä palloa. Käytetään pallokoordinaatistoa. a) Osoita, että pallon pinnalla infinitesimaalinen pinta-alkio on d R 2 sin d d ja laske pallon pinta-ala. b) Osoita, että pallon sisällä tilavuusalkio on dv r 2 sin drd d ja laske pallon tilavuus Käyttäen vektorikenttä F 2xˆi 2yˆj 3z k ˆ testaa Gaussin lausetta laskemalla tilavuusintegraali F dv ja pintaintegraali d V kun tilavuutena on särmin muotoinen tilavuus x [0,1], y [0,1] ja z [0,2] On annettu vektorikenttä F ( x y ) ˆi 2xy ˆj ja tarkastellaan xy-tasossa suorakaidetta, jota rajoittavat suorat x 0, x a, y 0 ja y b. Vahvista laskemalla F F d ja että tässä tapauksessa Stokesin lause toteutuu. F d r,

2 ll naj o r rus l3 /. ed F = (b z6osx +zs) i n(zts tnx -Y ) i + 6rz'*ilt,,o qj V*F = I /(' 3/tx.La X cosx + z' a J )/r\ l( 3/c e )XSrur -Lt 3x z?+ z )t.',.r\ -.<. \" Vtr,<trrÅ -i(: z''3 z') + å (tr co s x - 27cos x) = Ö N v: t'ttå R vrl I vr,tt ',t't (v"i = o) ->) /') F:v+ x=, JÖST tt@ sx +23 f,x 2: srn'-,x - L{ 1>r z L+ L I JTE G QO I O/]N : ($'s,n, Y+Yz7 + {(v'tl \ =i!'sturx-yl + X(x'z) Itz3v:-z + h(x'r) op vlr n-v,({(:,2)= 2z-tt1 +cr' 4Z(r, e) =,rf + Lz n c' [6 x rr = 1'st'x -Yt loll-crtru,, ou ult<) +c\ 1",' = qtsrrux+yzs +2z -Yl * O- / o':vlt o Y *#-^-,'^.-.-tu

3 J w= 4f+,-1,t)-(o,r, -7 ) ) a. = (t +yn+yry+q) - (o :3*Yn + : l{+r'(n fo OJ?,\ l- = -fi?v 4.^^ r?=ltjv. v xf = l7t^ '/rt %z lc o -rmft O,rt Lc>PSe 2vT7 tv tttett -_;(o) -it"t *il(o; : o csavrrtto',po TENTI L ', Q : ---i -VQ=F -) T.- o,ä= e,':== ilnr IPrz c z 1!T-1 ({q..,nt l/ Ö= 1?U,7) t Mxt+h(rx) :) 4) = r^72 + o-, a' o*s vv-to # k1 F= -qå. (fult= n?z vt-tr*:\ Z(/'z)= wxz (hk,i=a ;F"=-fr,Fo=o 'Fo=Q I å. nå rlsruoåp 1 +a- +Q v*f = l%" %" "Ä+ { yzstxsol-tfr, o I r1/1 o I \ä"(o) -\tå(") * Y-sru6% (o)l = o ('sual o! Lor<ts E QwTI I v tne'\)

4 -+ F : v1) =- 16,. (#). å (* HJ '_å*(å, %)1 losnr QY= c" - Y- / l,<:fe(,r.tdn 1,1) [= 9 + {@,ot r Tft,a) L-, (r, e ) I e:/ r ce zo tc3 ' rs*a oq (@,e)= a VI-ITN?(r,4) = r Å(r,o)= -- +q r -9 +e Y- (vnutol 3 / ( VL Ö 1e,*) SucrQn!r= 7r-\ LEILL Y^r- Sett,<.t prsrressä (o,-\) J suo4/l 1"= K+L?tsrr.lssi (o,z)' SucrBar L-trlVVVT TotSE/rS / ku^j ),*-\ =X+? =) K=( ) 1=B ELt etsretrssä (<,4) /r) Qtt'ra -L o^j $a* = Kno.,ELt Quura -L sa.qo,j "v-6 rvt" ' l{o N) /.: o-',6 \: Lr-Y -> x+l (srrs YraYr,Luva)

5 = 6 ) Y= ( e =frll x+2- ( \z (,\,:;)nr )* /: Ll, c) X..., ( xtz = -\)^*'' L((xea:1 (l(*e r?)\ )' 1...,= j $r (. X=o l. (n G' *c)jx ls J O L(-U rirs) ls\ 3 / IB J \ ^ (. = I l(-xt 3 :\ =U=Z 16 / Strs \X,,, Y=I* =l l8 )? 6 y+r ra=å!((: {r z)'- + loxl Y.- ) X=O tl-,t I -Y ( \ /-x J\ 3,)a. = -l 18 / Y=0 '?-\^ +(r)do = 4 : Y+z!t (,.), 2*-v,+!(Å' o.)u.=,*!(,kr)r. ){u-")')j-* =!, -t2r) =J (xe - = (t, z) K tr t v') i (-t" L p)ox - t z) &* lro -+r)

6 @.1 r;l-a =_) {v i ul I Sstpo &Q Q&"o :> c/ = Rde Rsrn, e &. = R 1s, *s e &e J.?ttcst'S PrruTÄ ".TETN "' / k u^j Ö z O ->lj- Ö: 2TT Jcr.fep Pt,t:I* - L LS ( t l:t 6Ö I 0'qno\) 11I,l =!!oo = f ((f-''"r4e"r.'8e "=f Q=a zt- = in t"""( P- )e": InR"$'"" '!e ;n = ln ' f-oso = unr'( 1il) = 1L{ o lrj 4r SUJO)!4 (V''rcn ront-å ) r&o ( ruz'er.r Eoeuta J &V, &-&e)(rswejö) (3-r\ = 'rlstr.lo &r&ö&e QnruoP TILVuuJ "Vvr 'ra^n)' ' Lu*t Q: -=il- Q: o-å'?7 f : o-->r I ot?ru Ttunvuv a E vs I (Nr Ba t o'a'ln/ v= _$5a"

7 1ir rt' R (. v= t(\( 5"'s,^,e&)*") & 4=o o=o y-=o F 2tr T lrt' = { tf + u', r,re eo)a+ )o rt = 5ry (1*r)& tt/- =?8'\do ='t nr' T''! l-* Lxi - 2r i n3z't,it or Tt trqvuus I ^/ Tä Q-Z- t s s v.f = w) * tfr'u '#' = 2*?+62 = \ + e I Jo Tg,t'!II'Fe 1, 11 v= t I Irr+Z 7=O 1-o K=O g =l-l,if'.,t+62\&z )J*J1&z I lqn*32' o = f+-lt- =P 9 t pfa t,u T,,,,, \i\ Ttr &LI 14uusl PINT : 1.?eos,+ rt 11 &1, = Y c*{d\ F-ei = 3z"J*&l J z=t' tjy:yi p s6vr r?u, rt Å P;r:raELEnPltrT-t - VfVr>f:tT o sö lfivt ulospätru PtNp/-) $ut-u- n ITn T1 LV uu oe st

8 lofe,tl 1 t O 5!f,G = 5l t.&*r' ^ '=: t;" 6) -liaäa= Z=o tl=o 2. n;a s.å = -t 4"&t i.di = -7 z'&*j3 J^ z= o 3. Yt:gnry4LLE Jt = -i &'az F..rÄ= -t1 &to(z J Y:o \. otv-elle &i =!a"a* F.aä= 21J-r&z Ja Y= 1 5 ETEEN r--\ a ^ JÄ = z'&u&z --\ F-4/'= Lx&x&z J/+ x =? 6, r"a"s: et = -)&t'lr -\ -5 F'J.i= -2xå-1"/a J x : + \)" oolrq K'-. +ll ; -5(1,!r&z z--a /=o.-@ +(; = lx*y+\ =L9 JJ h,t^ r55stlst-ttt+vuuslruteclllqtsartn*l TULO LSEP LUT T.I QII'IT INTE 6 (LLI' JO T a]n) GrSS/,tl 2arsSl T0tHlt!!

9 @ F: (x1r' ); 5k r 2,21 i '1\"tr)4-x* 2,ry 4$l 3" 1" l=o,j!=o lox=q,1-x=o j'\=/,-'j!=o Y' K=, J-x=o,/Å Joreru \f-.(f = aa -å )7.F sils -5 'c!-å -\l/- v*f : ltrr, \r'-r QttrT * LVI () fr --\ \w Y '.! =.= qf rf o /-v o6 =.) I aaxj-1 = io3' -- al' oo o o + (t, \r:)&n = I +'"-'&'r : eto a- -=) j"jv : o le f"r2o*3o*yo = Tq/t" /\^ j K [ ^r^ ^ ^ )/"t Vrr\= r(er+xt) ='{: k '?xl o I N &i = Qe1, tjrf"r,g.3 -ra -" +L"' $t \r : S f F.r")*, = \ta1rr Y=o )1zo o /r o I n ^..,?ol' //af = t** =. SiOF /z* ELt Sr" Y'ESt,.s LvsP 7-r:t n t,!!