Kaksiosaisen kuolevuusperusteen parametriestimointi ja pääoma-arvokertoimet. Samu Salminen ja Tuomas Hakkarainen

Transkriptio

1 Kaksiosaisen kuolevuusperusteen parametriestimointi ja pääoma-arvokertoimet Samu Salminen ja Tuomas Hakkarainen

2 Sisältö 1 Nykyinen yksiosainen Gompertz-kuolevuusmalli Nykyperusteen määritelmä ja parametrit Nykyperusteen vahinkosuhteet Kaksiosainen kuolevuusperuste Kaksiosaisen kuolevuusperusteen määritelmä Parametrien estimointi aineistosta Vuoden 2016 toteumakuolevuuden estimointi Suorasovitteet toteumakuolevuuteen Ikätriggerin valinta Suorasovitteiden parametrit Ikäsiirtoparametrin b 2 valinta Suorasovitteiden ln(ˆµ x ) kääntäminen ikäsiirtomalliksi N- ja D-luvut kaksiosaisessa kuolevuusperusteess 4.1 D-luvut kaksiosaisessa kuolevuusperusteessa N-luvut kaksiosaisessa kuolevuusperusteessa Ikäsiirrot diskonttaus- ja kommutaatiofunktioissa Yhteenveto 25 1

3 Luku 1 Nykyinen yksiosainen Gompertz-kuolevuusmalli Nykyinen yksiosainen Gompertz-kuolevuusmalli on ollut käytössä työeläkejärjestelmässä sen alusta asti. Sen etuina on katsottu olevan mm. mallin yksinkertaisuus. Aluksi parametrin b 2 avulla huomioitiin ainoastaan sukupuolten välinen ero kuolevuudessa. Vuodesta 1987 alkaen parametrista b 2 tehtiin kymmenvuotiskohorttikohtainen. Tämän muutoksen avulla malli huomioi myös kuolevuuden alenemisen. Mallin valinnalla ja osuvuudella on merkitystä vanhuuseläkeliikkeessä, sillä se määrää pääoma-arvokertoimet, joilla varaudutaan vastaisten ja alkaneiden vanhuuseläkkeiden suorituksiin tulevaisuudessa. 1.1 Nykyperusteen määritelmä ja parametrit Määritelmä 1.1. Nykyisen yksiosaisen kuolevuusperusteen (Gompertz) kuolevuusintensiteetti µ iässä x saadaan kaavalla µ x = a 1 e a 2(x+b 2 ) = e a 2(x+b 2 )+ln(a 1 ), missä x > 0, a 1 > 0, a 2 > 0. Kuolevuusmallin parametreihin on vuosien saatossa tehty useita muutoksia TEL:n/TyEL:n kuolevuuksien muutosten vuoksi. Viimeisin parametrimuutos kuolevuusperusteeseen tehtiin vuoden 2001 lopussa, jota edelsi muutos vuoden 1996 lopussa. Lisäksi vuonna 2008 tehtiin tekninen muutos 90-luvun kohortin huomioimiseksi. Tällä hetkellä naisten kuolevuus vastaa 7 vuotta nuoremman miehen kuolevuutta (ikäsiirtoparametrien sukupuolten välinen ero on 7) ja ikäsiirtoparametri olettaa kuolevuuden alentuvan yhdellä vuodella kymmenessä vuodessa. 2

4 Määritelmä 1.2. TyEL:n Gompertz-kuolevuusmallin laskuperusteiden 2014 mukaiset parametrit. a 1 = e 0,57 a 2 = 0, 095 0, v x < , 1930 v x < , 1940 v x < , 1950 v x < , 1960 v x < 1970 b 2,mies = 4, 1970 v x < , 1980 v x < , 1990 v x < , 2000 v x < , 2010 v x < , v x < , 1930 v x < , 1940 v x < , 1950 v x < , 1960 v x < 1970 b 2,nainen = 11, 1970 v x < , 1980 v x < , 1990 v x < , 2000 v x < , 2010 v x < Nykyperusteen vahinkosuhteet Kuolevuusperusteen osuvuutta mitataan vastuiden kautta lasketun vahinkosuhteen mukaan. Vahinkosuhteella tarkoitetaan kuolevuusperusteen mukaan teoreettisesti vapautuvan vastuun ja toteutuneen kuolleilta vapautuneen vastuun suhdetta. Vuonna v x-ikäisiä henkiinjääviä on teoreettisen kuolevuuden mukaan lukumääräsuhteena (1.3) exp µ x+t dt e µx, jolloin kuolleiden ja henkiinjäävien suhde on 1 e µx. Vuoden v ikäkohtainen vanhuuseläkeliikkeen vahinkosuhde lasketaan e µx kaavalla rs v,x = 1 e µx ( V V A e µx v,x + V v,x) V Ev,x V (µ x µ2 x)( V v,x V A E V v,x + V V v,x) := V v,x(q) Ev,x V, missä V v,x V A on vuoden v lopussa elossaolevien x ikäisten alkanut vanhuuseläkevastuu ja V v,x V vastaava vastainen vanhuuseläkevastuu. EV v,x on toteutunut kuolleilta x-ikäisiltä vapautunut vanhuuseläkevastuu. Kokonaisvahinkosuhde vuonna v saadaan summaamalla 3

5 osoittajan ja nimittäjän termit yli ikien. Kokonaisvahinkosuhde on ollut tappiollinen vuosina Vaikka kokonaisvahinkosuhde on saatu säännöllisten täydennysten (parametrimuutosten) avulla pidettyä hallinnassa, ovat sukupuolikohtaiset vahinkosuhteet poikenneet toisistaan merkittävästi. Vuosi v rs v (yhteensä) rs v rs v ,7 % 103,8 % 100,0 % ,9 % 104,4 % 95,5 % ,0 % 102,1 % 96,5 % ,8 % 105,2 % 99,5 % ,7 % 109,5 % 94,5 % ,2 % 107,9 % 97,8 % Taulukko 1.1: TyEL:n vanhuuseläkeliikkeen vahinkosuhteet vuosina Sukupuolikohtaisten vahinkosuhteiden lisäksi kymmenvuotiskohorttikohtaiset vahinkosuhteet ovat poikenneet toisistaan merkittävästi vuosittain. Alla on taulukoitu vuoden 2013 vahinkosuhteet kohorteittain ja sukupuolittain. Syntymävuosikymmen rs v (yhteensä) rs v rs v >80-luku 43,9 % 34,7 % 70,0 % 80-luku 66,8 % 60,1 % 94,7 % 70-luku 106,9 % 104,6 % 115,5 % 60-luku 114,1 % 122,0 % 95,0 % 50-luku 105,7 % 105,7 % 105,7 % 40-luku 106,7 % 107,9 % 103,7 % 30-luku 110,7 % 116,2 % 101,3 % <30-luku 79,3 % 93,4 % 65,8 % Taulukko 1.2: TyEL:n vanhuuseläkeliikkeen vahinkosuhteet vuonna 2013 sukupuolittain ja kymmenivuotiskohorteittain Huomionarvoista on se, että vahinkosuhteet ovat tappiollisia kohorteissa, joissa vastuupaino on tällä hetkellä suuri (1940- ja 1950-syntyneet sekä miehillä 1960-syntyneet). Kokonaisvahinkosuhde painuu tappiolliseksi pääosin näiden tappiollisten kohorttien vuoksi. Vanhoissa i'issä kuolevuusperuste tuottaa merkittävää ylijäämää, eli todellinen kuolevuus on korkeampaa kuin nykyperuste ennustaa (1920-luvulla ja sitä ennen syntyneillä). Tämä ylijäämä ei kuitenkaan riitä nostamaan kokonaisvahinkosuhdetta positiiviseksi. 4

6 Luku 2 Kaksiosainen kuolevuusperuste Määritellään kohortti- ja sukupuolikohtaisten vahinkosuhde-ennusteiden tasaamiseksi kaksiosainen Gompertz-kuolevuusmalli, jossa tietyssä ikäsiirretyssä iässä k muutetaan jäljellä olevan elinajan jakauman parametreja vastaamaan aineistosta havaittua kuolevuuden käyttäytymistä. 2.1 Kaksiosaisen kuolevuusperusteen määritelmä Määritelmä 2.1. Kaksiosaisen kuolevuusperusteen kuolevuusintensiteetti µ x on a 11 e (x+b 2 ), kun x + b 2 k µ x = a 21 e a 22(x+b 2 ), kun x + b 2 > k. Parametrit riippuvat kaksiosaisessa mallissa siis ikäsiirretystä iästä x + b 2. Kun ikäsiirtoparametri b 2 valitaan vakioksi rajaiän k molemmin puolin, on µ:n määritelmä yksikäsitteinen. Parametrin k kiinnittämisen jälkeen parametrit a i1 ja a i2, i 1, 2 voidaan estimoida sovittamalla logaritmiseen toteumakuolevuuteen suorat pienimmän neliösumman menetelmällä parametrin k molemmille puolille. Koska ikäsiirto b 2 ei riipu rajasta k, voidaan myös kaksiosaisen mallin pohjalta N x ja D x taulukoida vastaamaan ikäsiirtämättömiä ikiä, jolloin x-ikäiselle tiettyyn kohorttiin kuuluvalle henkilölle voidaan N- ja D-luvut hakea ikäsiirtämättömästä taulukosta ikäsiirron b 2 mukaisesti. Seuraavissa osioissa esitellään parametrien johtaminen havaintoaineistosta sekä N- ja D- lukujen laskeminen uudella kaksiosaisella sovitteella. 5

7 Luku 3 Parametrien estimointi aineistosta 3.1 Vuoden 2016 toteumakuolevuuden estimointi Kaksiosaisen kuolevuusperusteen parametrit on laskettu sovittamalla ensin kaksiosainen log-lineaarinen suora vuoden 2016 estimoituun riskiperusteanalyysin mukaiseen kuolevuuteen valitun rajaiän k mukaisesti. Vuoden 2016 TyEL-kuolevuus on ennustettu alentamalla vuosien riskiperusteanalyysien ikäkohtaista liukuvaa keskiarvokuolevuutta Lee-Miller-mallin antamalla väestökuolevuuteen pohjautuvalla mallilla. Käytetty Lee-Miller-malli pohjautuu vuosien väestökuolevuuksiin ja se antaa ikäkohtaisen kuolevuuden vakiomuutoksen, jolla kuolevuus alenee vuodessa keskimäärin noin 1,61 % miehillä ja naisilla noin 1,83 %. Vuoden 2016 ikäkohtainen kuolevuusintensiteetti lasketaan kaavalla (3.1) µ 2016 tot,x = (1 x) ( ) v=2009 ( µ v tot,x ), missä x on ikäkohtainen Lee-Miller mallin antama kuolevuuden muutos vuodessa. Malli olettaa muutoksen vuodessa vakioksi tietyssä iässä. Tällä tekniikalla saadaan vuodelle 2016 seuraavat kuolevuusintensiteetit 6

8 Ikä µ x µ x 18 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,00071 Ikä µ x µ x 46 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,01203 Ikä µ x µ x 74 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,33829 Taulukko 3.1: Estimoidut TyEL-kuolevuudet i'ittäin vuonna

9 3.2 Suorasovitteet toteumakuolevuuteen Vuoden 2016 ennustettuun toteumakuolevuuteen tehdään pienimmän neliösumman menetelmällä suorasovitteet molemmille sukupuolille (3.2) ln(ˆµ 2016 x ) = α 1 x + β 1, kun 40 x k 90 α 2 x + β 2, kun 40 < k < x 90, missä α 1 = ( k (k ) x=40 xln(µ2016 (k ) ) ( k ) ( tot,x) x=40 x k x=40 ln(µ2016 ( k ) ( k ) 2 x=40 x2 x=40 x tot,x) ) α 2 = (90 k) ( 90 x=k+1 xln(µ2016 tot,x) ) ( 90 x=k+1 x) ( 90 x=k+1 ln(µ2016 tot,x) ) (90 k) ( 90 x=k+1 x2) ( 90 x=k+1 x) 2 β 1 = β 2 = ( k x=40 ln(µ2016 tot,x) ) ( k ) x=40 x2 (k ) ( k ( k x=40 x2 ) tot,x) ) ( x=40 x k x=40 xln(µ2016 ( k ) 2 x=40 x ( 90 x=k+1 ln(µ2016 tot,x) ) ( 90 x=k+1 x2) ( 90 x=k+1 x) ( 90 x=k+1 xln(µ2016 tot,x) ) (90 k) ( 90 x=k+1 x2) ( 90 x=k+1 x) 2. ) 3.3 Ikätriggerin valinta Parametri k on mallissa suhteellisen vapaasti valittavissa. Optimaalisen rajaiän k selvittämiseksi on tarkasteltu miesten ja naisten logaritmisiin toteumakuolevuuksiin sovitettujen kaksiosaisten suorien selitysasteita. Sovitteita on tehty sekä TyEL:n riskiperusteanalyysien mukaisiin että Tilastokeskuksen julkaisemiin väestökuolevuuksiin. Kuolevuuden satunnaisuuden vuoksi sovitteet on tehty viiden vuoden liukuviin keskiarvokuolevuuksiin. Lisäksi sovitteet on laskettu ainoastaan ikävälin toteumakuolevuuksien pohjalta, koska nuorilla ja vanhoilla pieni havaintomäärä ja tätä kautta kuolevuuden satunnaisuus aiheuttavat sovitteisiin epätarkkuutta. Vastuupaino on myös näissä i'issä 8

10 pienehkö, joten näille havainnoille ei ole perusteltua antaa painoarvoa sovitteissa. Kaksiosaisen suorasovitteen selitysaste on laskettu kaavalla ( 90 ) 2 x=40 ln(ˆµ v 1 x) 90 ( ) x=40 ln(µv tot,x) (3.3) R 2 v = 90 x=40 ( ln(µ v tot,x) 1 ( ) 90 x=40 ln(µv tot,x) Selitysasteiden valossa tasaisimman parannuksen sekä TyEL- että väestökuolevuuden selitysasteisiin tuottaa valinta k = 70, joka parantaa esimerkiksi TyEL:n vuosien keskiarvokuolevuuteen sovitettuna selitysastetta noin 0,15 %-yksikköä miehillä ja 0,49 %-yksikköä naisilla verrattuna koko ikäväliin sovitettuun yksittäiseen suoraan. Vuosien väestön keskiarvokuolevuuksissa vastaavat parannukset ovat 0,36 %-yksikköä ja 1,62 %-yksikköä. 10 vuoden liukuvaan väestökuolevuuteen sovitettuna optimiraja k näyttää olevan matalampi kuin TyEL:n kuolevuuteen sovitettuna. Valinta k = 70 tuottaa molemmissa kuolevuuksissa merkittävät selitysasteen parannukset etenkin naisilla. ) Suorasovitteiden parametrit Valitsemalla k = 70 ja sovittamalla suorat pienimmän neliösumman menetelmällä vuoden 2016 ennustettuun toteumakuolevuuteen ikävälille saadaan ln(ˆµ , 1027x 11, 18, kun 40 x 70 x,mies) ln(ˆµ 2016 x,nainen) 0, 1217x 12, 68, kun 70 < x 90 0, 1031x 11, 84, kun 40 x 70 0, 1416x 14, 77, kun 70 < x 90. Huomionarvoista näissä sovitteissa on se, että ikäsiirtoparametria b 2 ei ole otettu huomioon, vaan suorasovitteissa b 2 = 0 ja sovitteet mallintavat ainoastaan vuoden 2016 kuolevuutta. Ikäsiirto on kuitenkin edelleen mallin toiminnan kannalta relevantti, jotta kuolevuuden aleneminen saadaan huomioitua. Yllä olevat suorasovitteet käännetään myöhemmin ikäsiirtomalliksi. 3.5 Ikäsiirtoparametrin b 2 valinta Nykyperusteen ikäsiirto b 2 olettaa kuolevuuden alenevan vastaamaan yhtä ikävuotta alempaa kuolevuutta jokaisessa kymmenessä vuodessa (-1 ikäsiirto per kymmenvuotiskohortti). Tämä oletus on nykyperustetta tarkasteltaessa havaittu riittämättömäksi. 9

11 Käytännössä ikäsiirtovalintaa rajoittaa järjestelmäteknisellä tasolla se, että ikäsiirron on oltava jokaisella kohortilla kokonaisluku (pääoma-arvot haetaan taulukoista ikäsiirron avulla). Näin ollen ikäsiirtoa ei ole mahdollista valita täysin optimaalisesti estimoimalla havaintoaineistosta. Kaksi vuotta kymmenessä vuodessa alentaa kuolevuutta liikaa, jolloin sovitteista tulee yliturvaavia lyhyellä aikavälillä riippumatta optimaalisesta lähtötason sovituksesta. Olettamalla kuolevuuden alentuvan 5 vuotta kymmenessä vuodessa, 3 saadaan ikäkohtaiset vahinkosuhteet tasattua. Tällainen kuolevuuden aleneminen voidaan rakentaa malliin valitsemalla b 2 parametrin muutos kymmenvuotiskohorteille sykleissä... 2, 2, 1, 2, 2, 1, Koska kaksiosaisessa kuolevuusperusteessa parametrit a 1 ja a 2 ovat jo sukupuolikohtaiset, voidaan ikäsiirtoihin tehdä oletus b 2,mies = b 2,nainen = b 2 kaikille kohorteille. Oletus ei ole välttämätön mallin järjestelmätekniseen toimivuuteen, mutta sen hylkääminen ei myöskään tuo lisäarvoa mallin sopivuuteen. Ylempänä sovitetut suorat eivät ota kantaa ikäsiirtoon, vaan sovitteesta laskettu kuolevuus olettaa b 2 = 0. Käytännössä ikäsiirron nollakohdasta täytyy mallissa tehdä oma oletuksensa. Lisäksi koska kahden kohortin välinen ikäsiirto ei ole vakio (kuolevuus alenee 5 3 vuotta kymmenessä vuodessa), täytyy myös ikäsiirtojen jaksottamiseksi tehdä päätös. Ikärajan k efektiivisyyden riippuessa parametrista b 2, ei ikäsiirron nollatasoa voida valita suoraan vastasyntyneelle kuten sovitteet olettavat (tarkasteluhetkellä 2010-luvulla syntyneet). Esimerkiksi 1960-luvulla syntyneillä ikäsiirretty ikä ylittäisi tällöin parametrin k jo iässä 61 (jos valitaan kohortille ikäsiirto b 2 = +9). Perusteltu valinta ikäsiirron nollakohdalle on kohortti, jossa tällä hetkellä on suuri vastuupaino. Mallin valitut ikäsiirrot ovat 5, v x < , 1930 v x < , 1940 v x < , 1950 v x < , 1960 v x < 1970 b 2 =. 3, 1970 v x < , 1980 v x < , 1990 v x < , 2000 v x < , 2010 v x <

12 3.6 Suorasovitteiden ln(ˆµ x ) kääntäminen ikäsiirtomalliksi Aiemmin johdettiin pienimmän neliösumman menetelmällä parametrit α i ja β i, i 1, 2. 5 Koska ikäsiirtomallissa ikäsiirto kasvaa keskimäärin (approksimaatio) lisää yhdessä 3 10 ikävuodessa, vastaa sovitteissa ikää x ikäsiirtomallissa ikä x + 1x = 7x ja kääntäen ikää 6 6 x ikäsiirtomallissa vastaa sovitteissa ikä 6x. Tämän havainnon jälkeen sovitettu malli 7 voidaan muuttaa ikäsiirtomalliksi vaatimalla ln(µ x ) = ln ( a i1 e ) ( ) a i2(x+b 2 ) 6x = ln(a i1 ) + a i2 x + a i2 b 2 = ln(ˆµ x ) = α i + β i, i 1, 2 7 ( a i2 x = α 6x ) i 7. ln(a i1 ) + a i2 b 2 = β i Koska valituilla ikäsiirroilla sovitushetkellä b 2 = 10 x = 0, saadaan a i1 = e β i+10a i2, joten ikäsiirretyn mallin parametreiksi saadaan a i1 = exp β i α i 7 a i2 = 6α i 7. Määritelmä 3.4. Suoraan vuoden 2016 ennustettuun toteumakuolevuuteen sovitettuna kaksiosaisen kuolevuusperusteen kuolevuusintensiteetti µ on e 6 7 1,027 11,18 e 6 7 0,1027 (x+b2), kun x + b 2 70 µ x,mies = e 6 7 1,217 12,68 e 6 7 0,1217 (x+b2), kun x + b 2 > 70 e 6 7 1,031 11,84 0,02 e 6 7 0,1031 (x+b2), kun x + b 2 70 µ x,nainen = e 6 7 1,416 14,77 0,02 e 6 7 0,1416 (x+b2), kun x + b 2 > 70. Naisille on parametrin a 1 eksponenttifunktion potenssiin tehty 0, 02 tasokorjaus. Korjaustarve syntyy siitä, että valittu ikäsiirto ei naisilla aivan riitä seuraamaan kuolevuuden alenemista. 11

13 Luku 4 N- ja D-luvut kaksiosaisessa kuolevuusperusteessa 4.1 D-luvut kaksiosaisessa kuolevuusperusteessa Funktio D(x) := D x kuvaa vastasyntyneen elossaolotodennäköisyyttä iässä x korolla syntymähetkelle diskontattuna. (4.1) D x = e x 0 (µt+δ)dt, x 0 Integraali aukikirjoitettuna (yksiosaisella perusteella) D x saadaan muotoon D x = e µx a 2 + µ 0 a 2 δx, x 0 Koska kaksiosaisessa mallissa kuolevuusintensiteetin µ t kaava riippuu siitä, onko t+b 2 k vai t + b 2 > k (k = 70), merkitään µ 1,t, kun t + b 2 k µ t = µ 2,t, kun t + b 2 > k ja otetaan käyttöön seuraavat merkinnät eri parametrein lasketuille D x funktioille D 1,x := e x 0 (µ 1,t+δ)dt = e µ 1,x + µ 1,0 δx D 2,x := e x 0 (µ 2,t+δ)dt = e µ 2,x a 22 + µ 2,0 a 22 δx, x 0, x 0. Ikäsiirtämättömät D i,x, i 1, 2 on taulukoitu seuraavalla sivulla. Korkokantana on käytetty rahastokorkoa i 0 = 3,0 %, jolloin δ = ln(1 + i 0 ). 12

14 Ikä D 1,x D 1,x 0 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Ikä D 1,x D 1,x 44 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Ikä D 1,x D 1,x 88 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Taulukko 4.1: Ikäsiirtämättömät D 1,x -parametrit

15 Ikä D 2,x D 2,x 0 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Ikä D 2,x D 2,x 44 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Ikä D 2,x D 2,x 88 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Taulukko 4.2: Ikäsiirtämättömät D 2,x -parametrit

16 Lause 4.2. Kaksiosaisen kuolevuusperusteen ikäsiirtämätön D x saadaan kaavalla D 1,x, kun x k (4.3) D x = D 1,k D 2,x, kun x > k. D 2,k Todistus. Oletetaan x k, jolloin µ t µ 1,t kaikilla t [0, x]. D-luvuksi saadaan D x = e x 0 (µt+δ)dt = e x 0 (µ 1,t+δ)dt = D 1,x. Jos x > k, saadaan µ t = µ 1,t, kun t [0, k] ja µ t = µ 2,t, kun t [k, x], jolloin D x = e x 0 (µt+δ)dt k x = exp (µ 1,t + δ)dt (µ 2,t + δ)dt 0 k k x = exp (a 11 e a12t + δ)dt (a 21 e a22t + δ)dt 0 k a11 = exp a 11e a12k δk a 21e a22x + a 21e a22k + δk δx a 22 a 22 µ1,0 = exp µ 1,k δk + µ 2,k µ 2,x + δk δx a 22 a 22 µ1,0 = exp µ exp µ2,0 1,k a 22 µ 2,x a 22 δx δk exp µ2,0 a 22 µ 2,k a 22 δk = D 2,x D 1,k D 2,k. Kaksiosaisen kuolevuusperusteen lauseen 4.2. mukaiset ( k = 70) ikäsiirtämättömät D- luvut on taulukoitu seuraavalla sivulla. Ikäsiirretyn D-luvun voi pääoma-arvojen laskentaan hakea taulukosta ikäsiirron b 2 avulla (kuten yksiosaisessakin kuolevuusperusteessa). Ikäsiirtojen huomioimista kommutaatio- ja diskonttausfunktioissa on vielä tarkasteltu myöhemmässä kappaleessa

17 Ikä D x D x 0 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Ikä D x D x 44 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Ikä D x D x 88 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Taulukko 4.3: Ikäsiirtämättömät D x -parametrit kaksiosaisella kuolevuusperusteella

18 4.2 N-luvut kaksiosaisessa kuolevuusperusteessa Funktio N(x) := N x kuvaa vastasyntyneen iässä x alkavan elinikäisen yksikköeläkkeen korolla syntymähetkeen diskontattujen korvausten yhteenlaskettua odotusarvoa. (4.4) Nx = x D t dt, x 0. Yksiosainen kuolevuusperusteen N-luvut saadaan approksimoitua Simpsonin 1 3 -säännön mukaisesti olettamalla N x 126 x 2 i=0 127 x 2 i=0 N x 0, kun x 129, jolloin N 128 D D (D x+2i + 4D x+2i+1 + D x+2i+2 ) + D 128+D 129 2, x [0, 126] ja x = 2n, n N 1 3 (D x+2i + 4D x+2i+1 + D x+2i+2 ), x [0, 127] ja x = 2n + 1, n N. Kaksiosaisen kuolevuusperusteen N-lukuja ei suoraan saada vastaavanlaisella approksimaatiolla lauseen 4.2. mukaisista D-luvuista, vaan ne on laskettava yksiosaisen perusteen N-lukujen avulla. Kaksiosaisen kuolevuusperusteen N-lukujen laskemiseksi otetaan käyttöön merkinnät N 1,x = N 2,x = x x D 1,t dt, x 0 D 2,t dt, x 0. ja Kyseiset N-luvut voidaan laskea käyttäen ylläkuvattua approksimaatiota N j,x 126 x 2 i=0 127 x 2 i=0 1 3 (D j,x+2i + 4D j,x+2i+1 + D j,x+2i+2 ) + D j,128+d j,129 2, x [0, 126] ja x = 2n 1 3 (D j,x+2i + 4D j,x+2i+1 + D j,x+2i+2 ), x [0, 127] ja x = 2n + 1, missä j 0, 1 ja n N. Approksimoidut N 1,x ja N 2,x on taulukoitu seuraavilla sivuilla. 17

19 Ikä N 1,x N 1,x 0 30, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Ikä N 1,x N 1,x 44 6, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Ikä N 1,x N 1,x 88 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Taulukko 4.4: Ikäsiirtämättömät N 1,x -parametrit

20 Ikä N 2,x N 2,x 0 30, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Ikä N 2,x N 2,x 44 6, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Ikä N 2,x N 2,x 88 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Taulukko 4.5: Ikäsiirtämättömät N 2,x -parametrit

21 Lause 4.5. Kaksiosaisen kuolevuusperusteen ikäsiirtämätön N x saadaan kaavalla (4.6) Nx = N1,x N 1,k + N D 1,k 2,k, kun D 2,k x k D N 1,k 2,x, kun D 2,k x > k. D Todistus. Oletetaan x > k, jolloin lauseen 4.2. perusteella D t D 1,k 2,t D 2,k [x, [. N-luvuksi saadaan kaikilla t N x = x D t dt = x D 2,t D 1,k D 2,k dt = D 1,k D 2,k x D 2,t dt = N 2,x D 1,k D 2,k. D Jos x k, lauseen 4.2. perusteella saadaan D t = D 1,t, kun t [x, k] ja D t = D 1,k 2,t, kun D 2,k t ]k, [, jolloin N x = = = x k x x D t dt D 1,t dt + D 1,t dt k k D 1,k D 2,t dt D 2,k = N 1,x N 1,k + N 2,k D 1,k D 2,k. D 1,t dt + D 1,k D 2,k k D 2,t dt Kaksiosaisen kuolevuusperusteen (k = 70) ikäsiirtämättömät N-luvut on taulukoitu seuraavalla sivulla. Ikäsiirretyn N x -luvun voi hakea pääoma-arvojen laskentaan (kts. kappale 4.3) taulukosta ikäsiirron b 2 avulla (kuten yksiosaisessakin kuolevuusperusteessa). Myös vastuun- ja maksunlaskennassa käytetty N w, missä w kuvaa henkilön eläkkeellejäämisikää, voidaan hakea taulukosta kohorttiin liitetyn ikäsiirron avulla, koska ikäsiirto b 2 ei riipu henkilön iästä. Ikäsiirtojen huomioimista kommutaatio- ja diskonttausfunktioissa on vielä tarkasteltu myöhemmässä kappaleessa

22 Ikä N x N x 0 30, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Ikä N x N x 44 6, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Ikä N x N x 88 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Taulukko 4.6: Ikäsiirtämättömät N x -parametrit kaksiosaisella kuolevuusperusteella

23 4.3 Ikäsiirrot diskonttaus- ja kommutaatiofunktioissa Diskonttaus- ja kommutaatiofunktioiden avulla lasketaan vanhuuseläkkeiden maksun- sekä vastuunlaskennassa käytettävät pääoma-arvot. Ikäsiirtämättömästä taulukosta ikäsiirron b 2 ja iän x perusteella haettu D- tai N-luku ei suoraan vastaa ikäsiirron b 2 mukaan laskettua arvoa. Pääoma-arvokertoimissa kyseiset luvut kuitenkin esiintyvät aina osamäärissä, jolloin osoittautuu, että ikäsiirretty pääomaarvo voidaan kuitenkin laskea ikäsiirtämättöminä taulukoitujen diskonttaus- ja kommutaatiofunktioiden avulla. Kyseinen ilmiö on olemassa myös nykyisessä yksiosaisessa kuolevuusperusteessa (Aho & Sankala [1]), eikä siihen tule muutosta kaksiosaisen kuolevuusperusteen myötä. Tässä kappaleessa on esitetty pääoma-arvokertoimien laskennan toimivuus myös kaksiosaiselle mallille. Määritelmä 4.7. Olkoon x henkilön ikä ja w eläkeikä. Jos x w, niin oletetaan, että vastainen vanhuuseläke tulee heti maksettevaksi. Tällöin nykyhetkeen korolla diskontattu yksikköeläkkeiden tulevien korvausten odotusarvo on (4.8) Ā V x:w = Nw D x N x D x, kun x w, kun x w Tässä kappaleessa osoitetaan, että kaksiosaisen kuolevuusperusteen ikäsiirretylle vanhuuseläkkeiden vakuutusmaksu- ja korvausvastuun pääoma-arvokertoimelle ĀV x:w pätee (4.9) Ā V x:w(b 2 ) = ĀV x+b 2 :w(0). Lause Ikäsiirretty D(x, b 2 ) saadaan ikäsiirtämättömästä D-luvusta kaavalla (4.11) D x := D(x, b 2 ) = D(x + b 2, 0) e b. 2δ Todistus. Oletetaan x + b 2 k, jolloin ikäsiirretty µ t (b 2 ) µ 1,t (b 2 ) kaikilla t [0, x]. 22

24 Ikäsiirretyksi D-luvuksi saadaan D(x, b 2 ) = e x 0 (µt(b 2)+δ)dt = e x 0 (µ 1,t(b 2 )+δ)dt = exp a 11 e (x+b 2 ) δx + a 11 e (b 2 ) exp a 11 e (x+b 2 ) δ(x + b 2 ) + a 11 = exp a 11 e (b 2) δb 2 + a 11 exp µ 1,x+b 2 (0) + a 11 δ(x + b 2 ) = exp µ 1,0(b 2 ) + a 11 δb 2 = D 1(x + b 2, 0) e b 2δ. Viimeisessä vaiheessa käytettiin tulkinnallista lisäoletusta µ 0 (b 2 ) = µ 0 = a 11 kaikilla b 2 Z. Oletus on perusteltavissa sillä, että vastasyntyneen elossaolotodennäköisyys iässä 0 täytyy olla 1 riippumatta kyseisen kohortin ikäsiirrosta, jolloin D(0, b 2 ) sisältää ikäsiirron kautta ainoastaan korkotermin. Jos x+b 2 > k, saadaan µ t (b 2 ) = µ 1,t (b 2 ), kun t [0, k b 2 ] ja µ t (b 2 ) = µ 2,t (b 2 ), kun t [k b 2, x], jolloin D(x, b 2 ) = e x 0 (µt(b 2)+δ)dt k b2 = exp (µ 1,t (b 2 ) + δ)dt = exp a11 = exp = = exp exp 0 k b2 e b 2 a 11e a12(k) a 11 a 11e (x+b 2 ) exp a 11 exp µ 1,x+b 2 (0) x (µ 2,t (b 2 ) + δ)dt k b 2 x (a 11 e (t+b 2 ) + δ)dt (a 21 e a 22(t+b 2 ) + δ)dt 0 k b 2 δk a 21e a22(x+b2) + a 21e a22(k) + δk δx a 22 a 22 a δ(x + b 2 ) exp 11 a 11e (k) δ(k) a 11 a 11e b 2 a δb 2 exp 21 a 22 a 21e a 22 (k) a 22 δ(k) a δ(x + b 2 ) exp 11 µ 1,k(0) δ(k) a 11 µ 1,0(b 2 ) a δb 2 exp 21 a 22 µ 2,k(0) a 22 δ(k) = D 2(x + b 2, 0) D 1(k,0) D 2 (k,0) e b 2δ. 23

25 Koska lauseen 4.2. mukaisesti ikäsiirtämättömät D-luvut saadaan kaavalla D 1 (x, 0), kun x k (4.12) D(x, 0) = D 2 (x, 0) D 1(k, 0), kun x > k, D 2 (k, 0) voidaan ikäsiirretyt D-luvut kirjoittaa e b2δ D 1 (x + b 2, 0) D(x, b 2 ) = e b2δ D 2 (x + b 2, 0) D 1(k, 0) D 2 (k, 0) eli D(x, b 2 ) = e b 2δ D(x + b 2, 0) kaikilla x N ja b 2 Z., kun x + b 2 k, kun x + b 2 > k, Lause Ikäsiirretty N(x, b 2 ) saadaan ikäsiirtämättömästä N -luvusta kaavalla (4.14) Nx := N(x, b 2 ) = N(x + b 2, 0) e b. 2δ Todistus. Väite seuraa suoraan lauseesta 4.10., sillä N(x, b 2 ) = = x x = 1 e b 2δ = 1 e b 2δ = 1 e b 2δ D(t, b 2 )dt ( 1 t+b2 k x x D(t + b 2, 0) e b 2δ + 1 t+b2 >k D 2 (t + b 2, 0) D ) 1(k,0) D 2 (k,0) dt e b 2δ ( 1 t+b2 kd(t + b 2, 0) + 1 t+b2 >kd 2 (t + b 2, 0) D 1(k, 0) D 2 (k, 0) D(t + b 2, 0)dt x+b 2 D(t, 0)dt = N(x + b 2, 0) e b. 2δ ) dt Lause Kaksiosaisen kuolevuusperusteen pääoma-arvolle ĀV x:w pätee (4.16) Ā V x:w(b 2 ) = ĀV x+b 2 :w(0). Todistus. Väite seuraa lauseista ja 4.13., sillä ikäsiirto b 2 ei riipu iästä x eikä eläkeiästä w, joten N(w, b 2 ) D(x, b 2 ) = eb2δ N(w + b2, 0) e b 2δ D(x + b 2, 0) = N(w + b 2, 0) N(x, D(x + b 2, 0) ja b2 ) D(x, b 2 ) = eb2δ N(x + b2, 0) e b 2δ D(x + b 2, 0) = N(x + b 2, 0) D(x + b 2, 0) 24

26 Luku 5 Yhteenveto Määritelmä 5.1. TyEL:n uuden kaksiosaisen kuolevuusperusteen kuolevuusintensiteetti µ iässä x saadaan kaavalla a 11 e (x+b 2 ), kun x + b 2 70 µ x = a 21 e a 22(x+b 2 ), kun x + b 2 > 70, missä parametrit a ij i, j 1, 2 riippuvat sukupuolesta ja ikäsiirto määräytyy ainoastaan syntymävuosikymmenen mukaan: a 11,mies = e 6 7 1,027 11,18,mies = 6 0, a 21,mies = e 6 7 1,217 12,68 a 22,mies = 6 0, a 11,nainen = e 6 7 1,031 11,86,nainen = 6 0, a 21,nainen = e 6 7 1,416 14,79 a 22,nainen = 6 0, , v x < , 1930 v x < , 1940 v x < , 1950 v x < , 1960 v x < 1970 b 2 =. 3, 1970 v x < , 1980 v x < , 1990 v x < , 2000 v x < , 2010 v x <

27 Kirjallisuutta [1] Jaakko Aho ja Mikko Sankala: Eläketurvakeskuksen käsikirjoja, Pääomaarvokertoimet, 02/2011 [2] Jaakko Tuomikoski, Janne Sorainen ja Satu Kilponen: Eläketurvakeskuksen käsikirjoja, Lakisääteisen työeläkevakuutuksen vakuutustekniikkaa, 2007:4 [3] Martti Pesonen, Pentti Soininen ja Tapani Tuominen: Henkivakuutusmatematiikka, Suomen Vakuutusalan Koulutus ja Kustannus Oy,