Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta."

Transkriptio

1 ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Mitkä seuraavista luvuista ovat yhtä suuria? a) 2 ja 1, b) ja 2 3 c) 7 ja 2, d) ja Ilmapalloon puhalletaan lisää ilmaa niin paljon, että pallon tilavuus kasvaa 237,5%. Silloin pallon pinta-ala kasvaa a) 100% b) 125% c) vähintään 150% d) korkeintaan 175% 3. Lukuja on n > 1 kappaletta ja niiden keskiarvo on M 0. Yksi luku, a, poistetaan ja jäljelle jääneiden lukujen keskiarvo lasketaan. a) Uusi keskiarvo on M a n 1. b) Uusi keskiarvo voi olla alkuperäistä keskiarvoa pienempi. c) Uuden keskiarvon ja luvun M erotus on M a n 1. d) Kun lasketaan keskiarvo uudesta keskiarvosta ja luvusta M, saadaan 4. Lauseketta c + a+c nm a 2(n 1). a+ b c a b c sievennetään. Mitkä seuraavista tuloksista ovat oikein kaikilla lukujen a, b ja c arvoilla? a) 0 b) c(2bc+a2 c+ab) b 2 a 2 c 2 c) ac(2c2 +b+ac) ac a 2 c 2 b 2 d) ac b + 2ac 3 (ac+b)(ac b)

2 5. Kun n on positiivinen kokonaisluku, merkitään S(n):llä luvun n numeroiden summaa (kymmenjärjestelmässä). Mitkä seuraavista pätevät kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n? a) S(3n) on jaollinen kolmella b) S(2n) 2S(n) c) S(2n) 1 2S(n) d) S(7n) on jaollinen seitsemällä 6. Tiedetään, että Silloin 2xy on 8 x 9x+y = 64 ja = x+y 34y a) negatiivinen b) 5 c) 7 d) pariton kokonaisluku. 7. P on suorakulmaisen kolmion ABC hypotenuusan AB piste. Tiedetään, että Määritä kolmion sivujen suhteet. PB : PC : PA = 1 : 2 : Osoita, että jos reaaliluvuille x, y ja z on voimassa (x+y+z) 2 = 3(xy+xz+yz), täytyy lukujen olla keskenään yhtä suuria.

3 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒÒ Ò Ú Ø Ù ÐÓÑ Perussarjan monivalintatehtävien (6 ensimmäistä tehtävää) vastaukset palautetaan tällä lomakkeella; perinteisten tehtävien 7 ja 8 ratkaisut voi kirjoittaa erillisille vastausarkeille. Kussakin monivalintatehtävässä voi olla 0 4 oikeata vastausta. Merkitse vastaavaan ruutuun +, jos vastaus on oikea, ja, jos vastaus on väärä. Oikeasta merkinnästä saa pisteen, väärästä tai tulkinnanvaraisesta merkinnästä saa nolla pistettä. Tehtävistä 7 ja 8 maksimipistemäärä on 6. Työaikaa on 120 minuuttia. Kirjoita myös tehtävien 7 ja 8 vastauspapereihin selvästi tekstaten oma nimesi ja koulusi. Nimi : Koulu : Kotiosoite : Sähköposti : a b c d

4 ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ ÚĐ Ð Ö 1. Lukuja on n > 1 kappaletta ja niiden keskiarvo on M 0. Yksi luku, a, poistetaan ja jäljelle jääneiden lukujen keskiarvo lasketaan. a) Uusi keskiarvo on M a n 1. b) Uusi keskiarvo voi olla alkuperäistä keskiarvoa pienempi. c) Uuden keskiarvon ja luvun M erotus on M a n 1. d) Kun lasketaan keskiarvo uudesta keskiarvosta ja luvusta M, saadaan nm a 2(n 1). 2. Kun n on positiivinen kokonaisluku, merkitään S(n):llä luvun n numeroiden summaa (kymmenjärjestelmässä). Mitkä seuraavista pätevät kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n? a) S(3n) on jaollinen kolmella b) S(2n) 2S(n) c) S(2n) 1 2S(n) d) S(7n) on jaollinen seitsemällä 3. Yhtälölläx 3 +3ax 2 +bx+c = 0 onkolmeratkaisua, jotka muodostavataritmeettisen lukujonon. (Kolmikko on aritmeettinen lukujono, jos keskimmäinen jäsen on kahden muun keskiarvo.) Silloin varmasti a) ab = 2a 3 +c b) a = 0 c) 3a+c = 2b d) b = 3ac 4. Kolmiolle ABC pätee AB < AC. Olkoon tämän kolmion ympäri piirretty ympyrä S. Pisteestä A piirretty kohtisuora janalle BC kohtaa ympyrän S uudestaan pisteessä P. Piste X sijaitsee janalla AC, ja janan BX jatke kohtaa ympyrän S pisteessä Q. Osoita, että jos BX = CX, niin PQ on ympyrän S halkaisija. 5. Lautapasianssissa on käytössä yksi sininen ja kolme valkoista nappulaa, jotka pystyy sijoittamaan -ruudukon ruutuihin. Yksittäisellä siirrolla tartutaan yhteen nappuloista ja sitä siirretään mahdollisimman pitkälle vasemmalle, oikealle, ylös tai alas vapaana olevaan ruutuun, kunnes pelilaudan reuna tai toinen nappula tulee vastaan. Todista, että alkuasemasta riippumatta sinisen nappulan saa sopivalla siirtosarjalla pelattua mihin tahansa ruutuun. 6. Etsi kaikki sellaiset positiiviset kokonaisluvut m ja n, että n on pariton ja yhtälö toteutuu. 1 m + 4 n = 1 12

5 ÎĐ Ð Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒÒ Ò Ú Ø Ù ÐÓÑ Välisarjan monivalintatehtävien (3 ensimmäistä tehtävää) vastaukset palautetaan tällä lomakkeella; perinteisten tehtävien 4 6 ratkaisut voi kirjoittaa erillisille vastausarkeille. Kussakin monivalintatehtävässä voi olla 0 4 oikeata vastausta. Merkitse vastaavaan ruutuun +, jos vastaus on oikea, ja, jos vastaus on väärä. Oikeasta merkinnästä saa pisteen, väärästä tai tulkinnanvaraisesta merkinnästä saa nolla pistettä. Tehtävistä 4 6 maksimipistemäärä on 6. Työaikaa on 120 minuuttia. Kirjoita myös tehtävien 4 6 vastauspapereihin selvästi tekstaten oma nimesi ja koulusi. Nimi : Koulu : Kotiosoite : Sähköposti : a b c d

6 ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ ÚÓ Ò Ö 1. Tiedetään, että Määritä 2xy. 8 x 9x+y = 64 ja = x+y 34y 2. Eräs harvinainen sairaus on keskimäärin yhdellä miljoonasta ihmisestä. Sairaus testataan kokeella, joka antaa oikean tuloksen 99 % todennäköisyydellä riippumatta siitä, onko testattava sairas vai ei. Satunnaisesti valittu henkilö saa testistä positiivisen tuloksen. Millä todennäköisyydellä hänellä on sairaus? 3. Paperilla on kaksi pistettä A ja B, joiden etäisyys on yli 10 cm mutta alle 20 cm. Käytettävissäsi on viivoitin, jonka pituus on tasan 10 cm ja harppi, jolla voi piirtää ympyröitä, joiden säde on enintään 10 cm. Miten näillä työkaluilla pystytään piirtämään jana AB? 4. Kun n on positiivinen kokonaisluku, merkitään S(n):llä luvun n numeroiden summaa (kymmenjärjestelmässä). Mitkä rationaaliluvut q voidaan esittää muodossa jollakin positiivisella kokonaisluvulla n? q = S(2n) S(n) Työaikaa on 120 minuuttia. Tee kukin tehtävä omalle konseptiarkin sivulleen. Merkitse koepaperiin selvästi tekstaten oma nimesi ja yhteystietosi (koulun nimi, kotiosoite ja sähköpostiosoite).

7 ÝÑÒ Ø Ñ Ø Ñ Ø ØĐ ÚÐ Ò Ø ÖØØĐ ÚÐ Ò Ò ÖÙÒ Ö Det finns uppgifter på två sidor; de sex första uppgifterna är flervalsuppgifter i vilka det finns 0-4 rätta svar. 1. Vilka av följande tal är lika stora? a) 2 och 1, b) och 2 3 c) 7 och 2, d) och Man blåser så mycket tilläggsluft i en luftballong att volymen ökar med 237,5%. Då växer ballongens volym med a) 100% b) 125% c) minst 150% d) högst 175% 3. Det finns n > 1 stycken tal och talens medelvärde är M 0. Man avlägsnar ett tal, a, och beräknar medelvärdet av de kvarblivna talen. a) Det nya medelvärdet är M a n 1. b) Det nya medelvärdet kan vara mindre än det ursprungliga medelvärdet. c) Differensen mellan det nya medelvärdet och talet M är M a n 1. d) När man beräknar medelvärdet av det nya medelvärdet och talet M nm a får man 2(n 1). 4. Man hyfsar uttrycket c + a+c a+ b c a b c Vilka av följande uttryck är korrekta för alla värden på talen a, b och c? a) 0 b) c(2bc+a2 c+ab) b 2 a 2 c 2 c) ac(2c2 +b+ac) ac a 2 c 2 b 2 d) ac b + 2ac 3 (ac+b)(ac b)

8 5. I tiosystemet betecknar vi summan av siffrorna i ett positivt heltal n med S(n). Vilka av följande påståenden gäller för alla positiva heltalsvärden på n? a) S(3n) är delbart med tre b) S(2n) 2S(n) c) S(2n) 1 2S(n) d) S(7n) är delbart med sju 6. Man vet att Då är 2xy 8 x 9x+y = 64 och = x+y 34y a) negativt b) 5 c) 7 d) ett udda heltal. 7. P är en punkt på hypotenusan AB i en rätvinklig triangel ABC. Man vet att PB : PC : PA = 1 : 2 : 3. Bestäm förhållandena mellan sidorna i triangeln. 8. Visa att om det för de reella talen x, y och z gäller att (x+y+z) 2 = 3(xy+xz+yz), så måsten talen sinsemellan vara lika stora.

9 ËÚ Ö Ð Ò ØØ ĐÓÖ ÖÚ Ð ¹ ÙÔÔ Ø ÖÒ ÖÙÒ Ö Ò Grundseriens flervalsuppgifter (de 6 första uppgifterna) besvaras på denna svarsblankett. Svaren till de traditionella uppgifterna 7 och 8 kan skrivas på egna konceptark. Varje flervalsuppgift kan ha 0 4 rätta svar. Beteckna med ett + om svaret är rätt och med ett om svaret är fel i motsvarande ruta. Rätt tecken ger en poäng medan fel tecken eller ett otydligt tecken ger noll poäng. Maximipoängen i uppgifterna 7 och 8 är 6p. Provtiden är 120 minuter. Skriv även på svarspappren för uppgifterna 7 och 8 tydligt med textbokstäver ned ditt namn och din skola. Namn : Skola : Hemadress : E-postadress : a b c d

10 ÝÑÒ Ø Ñ Ø Ñ Ø ØĐ ÚÐ Ò Ø ÖØØĐ ÚÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ö 1. Det finns n > 1 stycken tal och talens medelvärde är M 0. Man avlägsnar ett tal, a, och beräknar medelvärdet av de kvarblivna talen. a) Det nya medelvärdet är M a n 1. b) Det nya medelvärdet kan vara mindre än det ursprungliga medelvärdet. c) Differensen mellan det nya medelvärdet och talet M är M a n 1. d) När man beräknar medelvärdet av det nya medelvärdet och talet M nm a får man 2(n 1). 2. I tiosystemet betecknar vi summan av siffrorna i ett positivt heltal n med S(n). Vilka av följande påståenden gäller för alla positiva heltalsvärden på n? a) S(3n) är delbart med tre b) S(2n) 2S(n) c) S(2n) 1 2S(n) d) S(7n) är delbart med sju 3. Ekvationenx 3 +3ax 2 +bx+c = 0hartrelösningarvilkabildarenaritmetisktalföljd. (Taltrion är en aritmetisk talföljd om det mellersta elementet utgör medelvärdet av de två övriga talen.) Då är det säkert att a) ab = 2a 3 +c b) a = 0 c) 3a+c = 2b d) b = 3ac 4. För triangeln ABC gäller AB < AC. Låt S vara den cirkeln som omskriver triangeln. En linje från punkten A som träffar sträckan BC vinkelrätt träffar cirkeln på nytt i punkten P. Punkten X ligger på sträckan AC och förlängningen av sträckan BX träffar cirkeln S i punkten Q.Visa att om BX = CX, så är PQ diameter i cirkeln S. 5. I brädpatiens har man tagit i bruk en blå och tre vita knappar. Knapparna kan placeras i rutorna på ett stort rutfält. Med ett enkelt speldrag tar man i en av knapparna och denna flyttas så långt bort som möjligt till en ledig ruta som ligger till vänster, till höger, uppåt eller nedåt, tills spelplanens kant eller en annan knapp kommer emot. Bevisa att man, oberoende av startsituationen, kan flytta den blåa spelknappen till vilken ruta som helst med en lämplig flyttningsserie. 6. Ta reda på alla sådana positiva heltal m och n, där n är udda och ekvationen satisfierad. 1 m + 4 n = 1 12

11 ËÚ Ö Ð Ò ØØ ĐÓÖ ÖÚ Ð ¹ ÙÔÔ Ø ÖÒ Ñ ÐÐ Ò Ö Ò Mellanseriens flervalsuppgifter (de 3 första uppgifterna) besvaras på denna svarsblankett. Svaren till de traditionella uppgifterna 4 6 kan skrivas på egna konceptark. Varje flervalsuppgift kan ha 0 4 rätta svar. Beteckna med ett + om svaret är rätt och med ett om svaret är fel i motsvarande ruta. Rätt tecken ger en poäng medan fel tecken eller ett otydligt tecken ger noll poäng. Maximipoängen i uppgifterna 4 6 är 6p. Provtiden är 120 minuter. Skriv även på svarspappren för uppgifterna 4 6 tydligt med textbokstäver ned ditt namn och din skola. Namn : Skola : Hemadress : E-postadress : a b c d

12 ÝÑÒ Ø Ñ Ø Ñ Ø ØĐ ÚÐ Ò Ø ÖØØĐ ÚÐ Ò Ò Ñ ÐÐ Ò Ö 1. Det finns n > 1 stycken tal och talens medelvärde är M 0. Man avlägsnar ett tal, a, och beräknar medelvärdet av de kvarblivna talen. a) Det nya medelvärdet är M a n 1. b) Det nya medelvärdet kan vara mindre än det ursprungliga medelvärdet. c) Differensen mellan det nya medelvärdet och talet M är M a n 1. d) När man beräknar medelvärdet av det nya medelvärdet och talet M nm a får man 2(n 1). 2. I tiosystemet betecknar vi summan av siffrorna i ett positivt heltal n med S(n). Vilka av följande påståenden gäller för alla positiva heltalsvärden på n? a) S(3n) är delbart med tre b) S(2n) 2S(n) c) S(2n) 1 2S(n) d) S(7n) är delbart med sju 3. Ekvationenx 3 +3ax 2 +bx+c = 0hartrelösningarvilkabildarenaritmetisktalföljd. (Taltrion är en aritmetisk talföljd om det mellersta elementet utgör medelvärdet av de två övriga talen.) Då är det säkert att a) ab = 2a 3 +c b) a = 0 c) 3a+c = 2b d) b = 3ac 4. För triangeln ABC gäller AB < AC. Låt S vara den cirkeln som omskriver triangeln. En linje från punkten A som träffar sträckan BC vinkelrätt träffar cirkeln på nytt i punkten P. Punkten X ligger på sträckan AC och förlängningen av sträckan BX träffar cirkeln S i punkten Q.Visa att om BX = CX, så är PQ diameter i cirkeln S. 5. I brädpatiens har man tagit i bruk en blå och tre vita knappar. Knapparna kan placeras i rutorna på ett stort rutfält. Med ett enkelt speldrag tar man i en av knapparna och denna flyttas så långt bort som möjligt till en ledig ruta som ligger till vänster, till höger, uppåt eller nedåt, tills spelplanens kant eller en annan knapp kommer emot. Bevisa att man, oberoende av startsituationen, kan flytta den blåa spelknappen till vilken ruta som helst med en lämplig flyttningsserie. 6. Ta reda på alla sådana positiva heltal m och n, där n är udda och ekvationen satisfierad. 1 m + 4 n = 1 12

13 ËÚ Ö Ð Ò ØØ ĐÓÖ ÖÚ Ð ¹ ÙÔÔ Ø ÖÒ Ñ ÐÐ Ò Ö Ò Mellanseriens flervalsuppgifter (de 3 första uppgifterna) besvaras på denna svarsblankett. Svaren till de traditionella uppgifterna 4 6 kan skrivas på egna konceptark. Varje flervalsuppgift kan ha 0 4 rätta svar. Beteckna med ett + om svaret är rätt och med ett om svaret är fel i motsvarande ruta. Rätt tecken ger en poäng medan fel tecken eller ett otydligt tecken ger noll poäng. Maximipoängen i uppgifterna 4 6 är 6p. Provtiden är 120 minuter. Skriv även på svarspappren för uppgifterna 4 6 tydligt med textbokstäver ned ditt namn och din skola. Namn : Skola : Hemadress : E-postadress : a b c d

14 ÝÑÒ Ø Ñ Ø Ñ Ø ØĐ ÚÐ Ò Ø ÖØØĐ ÚÐ Ò Ò ĐÓÔÔÒ Ö 1. Man vet att Bestäm 2xy. 8 x 9x+y = 64 ja = x+y 34y 2. Ungefär en av en miljon människor drabbas av en sällsynt sjukdom. Sjukdomen testas med ett prov som med 99 % sannolikhet ger ett rätt resultat oberoende av om testpersonen är sjuk eller inte. En slumpmässigt vald person får ett positivt resultat i testet. Med vilken sannolikhet bär han på sjukdomen? 3. På ett papper finns två punkter A och B, vars inbördes avstånd är över 10 cm men under 20 cm. Du har till ditt förfogande en exakt 10 cm lång linjal och en passare med vilken du kan rita cirklar vars radie är högst 10 cm. Hur kan du med dessa verktyg rita sträckan AB? 4. I tiosystemet betecknar vi summan av siffrorna i ett positivt heltal n med S(n). Vilka rationella tal kan vi uttrycka i formen för något positivt heltalsvärde på n? q = S(2n) S(n) Tävlingstiden är 120 minuter. Utför varje uppgift på en skild sida i ett konceptark. Texta ditt namn och dina kontaktuppgifter (skolans namn, hemadress och e-postadress) tydligt på provpapperet.

15 ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d P1. Tiedetään, että neliöjuuret 2 ja 7 ovat irrationaalilukuja (tämä seuraa aritmetiikan peruslauseesta ja siitä, että 2 ja 7 ovat alkulukuja), mutta 1, ja 2, ovat rationaalisia. Siis kohdat a ja c ovat väärin. Kohdassa b luvut eivät ole yhtä suuria, koska > 0 ja 2 3 < 0. Sen sijaan pätee 7+ 2 > 0 ja ( 7+ 2) 2 = = , joten d on oikein. P2. Olkoon ilmapallon säde ennen täyttöä r ja täytön jälkeen R, jolloin R 3 r 3 r 3 = 237,5% = R r R r = 3 2 R2 r = R 2 = 3 2 = 9 2 r 2 4 4πR2 4πr 2 4πr 2 3 = R3 r 3 = 33 8 = 27 8 = = = R2 r 2 1 = = 5 4 = 125%. ( ) Ilmapallon pinta-ala kasvaa siis 125%, joka on korkeintaan 175% (ehdot b ja d), mutta ehdot a ja c ovat väärin.

16 P3. Koska lukuja on n > 1 kappaletta ja niiden keskiarvo on M, niiden summa on nm. Kun a poistetaan, jäljelle jäävien summa on nm a ja keskiarvo nm a n 1 M a n 1, kunhan M 0 (kohta a väärin). Tämä on alkuperäistä pienempi, esimerkiksi jos luvut ovat 1, 2 ja 3, joista 3 poistetaan (kohta b oikein). Uuden ja vanhan keskiarvon erotus on nm a n 1 M = nm a (n 1)M n 1 = M a n 1, joten c on oikein. Uuden ja vanhan keskiarvon keskiarvo on ( ) 1 nm a 2 n 1 +M nm a+(n 1)M (2n 1)M a = = 2(n 1) 2(n 1) kunhan M 0 (kohta d väärin). P4. Laventamalla saadaan toisaalta c a+ b c + a+c a b c = c2 ac+b + ac+c2 ac b nm a 2(n 1), mutta toisaalta c a+ b c + a+c = c2 (ac b)+(ac+c 2 )(ac+b) (ac+b)(ac b) = ac3 bc 2 +ac(ac+b)+ac 3 +bc 2 a 2 c 2 b 2 = 2ac3 +ac(ac+b) a 2 c 2 b 2 a b c = c2 ac+b + ac+c2 ac b = ac(2c2 +ac+b) a 2 c 2 b 2, = ac ac b + c2 ac+b + c2 ac b = ac ac b + c2 (ac b+ac+b) (ac b)(ac+b) = ac ac b + 2ac 3 (ac b)(ac+b). Kohdat c ja d ovat siis oikein. Kun a = 2 ja b = c = 1, niin lausekkeen arvoksi saadaan c a+ b c + a+c a b c = = = = ,

17 mutta c(2bc+a 2 c+ab) = 1( ) = b 2 a 2 c Siis a ja b eivät tule kysymykseen. = 8 3 < 0. P5. Tunnetun kolmosen jaollisuussäännön mukaan mille tahansa positiiviselle kokonaisluvulle m pätee 3 m 3 S(m). Erityisesti kohta a on voimassa. Kohdan d ehto ei sen sijaan pidä paikkansa, pienin vastaesimerkki on n = 2: 7 S(14) = 5. Olkoon luvun n Z + kymmenjärjestelmäesitys n = k i=0 a i 10 i, jolloin S(n) = k a i. i=0 Olkoon vastaavasti luvun 2n kymmenjärjestelmäesitys 2n = k i=0 b i 10 i (esityksissä voidaan käyttää samaa yhtä monta numeroa, jos n:n esitys aloitetaan nollalla). Huomataan heti, että numero b i määräytyy numerosta a i ja mahdollisesta edeltävästä numerosta a i 1 niin, että b i 2a i (mod 10), ellei i > 0 ja a i 5, jolloin b i 2a i + 1 (mod 10). Luvun 2n numeroiden summa määräytyy siis luvun n numeroista niin, että kukin numeroista tuplataan ja S(2n):ään vaikuttaa tästä tuplasta ykkösosa ja mahdollinen muistinumero. Merkitään δ(a) = { 2a, kun a {0,1,2,3,4} 2a 10+1 = 2a 9, kun a {5,6,7,8,9}. Edellinen tarkastelu osoittaa tällöin, että S(2n) = k b i = i=0 k δ(a i ). i=0 Koska kaikilla i {0,...,k} pätee δ(a i ) 2a i, saadaan S(2n) = k δ(a i ) i=0 k 2a i = 2S(n), i=0 mikä on kohdan b arvio. Kohtaan c n = 5 on vastaesimerkki, nimittäin S(10) = 1 < 1 2 S(5) = 21 2.

18 P6. Yhtälöparin voi ratkaista: 8 x = 64 2x+y 9 x+y 3 4y = 243 { 2 3x (x+y) = (x+y) 4y = x = 64 2x+y 3 2(x+y) 3 4y = 243 { 3x (x+y) = 6 (x a 2(x+y) 4y = 5 x aidosti kasvava, kun a > 1) { { 2x y = 6 2x y = 6 2x 2y = 5 y = (2x y) (2x 2y) = 6 5 = 1 { 2x = (2x y)+y = 6+1 = 7, y = 1 josta seuraa 2xy = 7 1 = 7, joka on pariton positiivinen kokonaisluku (kohdat c ja d oikein, muut väärin.) È ÖÙ Ö Ò Ô Ö ÒØ Ø Ø ØĐ ÚĐ Ø P7. Merkitään c = AB, a = BC ja b = AC. Piirretään kuva, jossa on tehtävän suorakulmaisen kolmion ABC ja pisteen P lisäksi pisteen P kohtisuorat projektiot Q ja R kateeteille AC ja BC. B R P C Q A Kolmiot CAB, RP B ja QAP ovat tietenkin yhdenmuotoisia, koska ne ovat kaikki suorakulmaisia ja niissä on pareittain yhteinen terävä kulma. Oletuksesta P B : P C : PA = 1 : 2 : 3 seuraa PB : AB = 1 : 4 ja AP : AB = 3 : 4, joten yhdenmuotoisuudesta saadaan RP = CQ = 1 4 b ja PQ = 3 4 a. Huomataan myös, että kolmoissuhteesta seuraa PC = 2 1+3c = c/2. Soveltamalla Pythagoraan lausetta kahdesti, suorakulmaisiin kolmioihin ABC ja CQP saadaan { { a 2 +b 2 = c 2 (b/4) 2 +(3a/4) 2 = (c/2) 2 a 2 +b 2 = c 2 9a 2 +b 2 = 4c 2 { { 8a 2 = 3c 2 5a 2 3b 2 = 0 8a = 3c a : b : c = 3 : 5 : 8. 5a = 3b

19 P8. Kun x,y,z R, niin (x+y +z) 2 = 3(xy +xz +yz) x 2 +y 2 +z 2 +2xy +2xz +2yz = 3xy +3xz +3yz x 2 +y 2 +z 2 = xy +xz +yz 2x 2 +2y 2 +2z 2 = 2xy +2xz +2yz x 2 2xy +y 2 +x 2 2xz +z 2 +y 2 2yz z 2 = 0 (x y) 2 +(x z) 2 +(y z) 2 = 0 x y = x z = y z = 0 (t 2 0,kun t R) x = y = z. ÎĐ Ð Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d V1=P3. V2=P5. V3. Oletuksen mukaan yhtälön ratkaisut ovat u d, u ja u+d joillakin luvuilla u ja d 0. Sijoittamalla juuret takaisin yhtälöön saadaan siis (u d) 3 +3a(u d) 2 +b(u d)+c = 0 u 3 +3au 2 +bu+c = 0 (u+d) 3 +3a(u+d) 2 +b(u+d)+c = 0. Laskemalla kaksi ensimmäistä yhtälöä puolittain yhteen ja käyttämällä sievennyksessä keskimmäistä hyväksi saadaan 0 = (u d) 3 +3a(u d) 2 +b(u d)+c+(u+d) 3 +3a(u+d) 2 +b(u+d)+c = u 3 3u 2 d+3ud 2 d 3 +u 3 +3u 2 d+3ud 2 +d 3 +3a(u 2 2ud+d 2 +u 2 +2du+d 2 )+b(u d+u+d)+2c = 2u 3 +6ud 2 +3a(2u 2 +2d 2 )+b 2u+2c = 2(u 3 +3au 2 +bu+c)+6ud 2 +3a(2d 2 ) = 2 0+6ud 2 +3a(2d 2 ) = 6ud 2 +6ad 2 = 6d 2 (u+a).

20 Koska d 0, niin yhtälöstä 6d 2 (u+a) = 0 seuraa u+a = 0 eli u = a. Siis 0 = u 3 +3au 2 +bu+c = ( a) 3 +3a( a) 2 +b( a)+c = a 3 +3a 3 ab+c = 2a 3 ab+c eli ab = 2a 3 +c (kohdan a väittämä). Kolmannen asteen juuriksi saadaan aritmeettisen kolmikon jäsenet 0, 1 ja 2, kun yhtälö on (x 0)(x 1)(x 2) = 0 eli x 3 3x 2 +2x = 0. Tässä tapauksessa a = 1 0, b = 2 ja c = 0. Huomataan, että 3a+c = 3 +0 = 3 4 = 2b ja b = 2 0 = 3ac. Siis muut vaihtoehdot ovat vääriä. ÎĐ Ð Ö Ò Ô Ö ÒØ Ø Ø ØĐ ÚĐ Ø V4. Piirretään kuva tilanteesta. A Q X B C Koska oletetaan, että BX = CX, niin kolmio BCX on tasakylkinen ja sen kantakulmat ovat yhtä suuret. Siis ACB = XCB = XBC = QBC = QAC, missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa siitä, että samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret. Koska suora AC leikkaa suoria AQ ja BC niin, että ACB = QAC, niin AQ BC. Koska AP on kohtisuorassa sivua BC vastaan, niin se on kohtisuorassa myös janaa AQ vastaan, joten kehäkulma P AQ on suora. Kehäkulmaa vastaa keskuskulma on siis oikokulma, ts. PQ on ympyrän S halkaisija.

21 V5. Voidaan olettaa, että laudan keskipisteiden koordinaatit ovat muotoa (x, y), missä x,y Z ja 0 x,y 2012, ja laudan ruutuihin viitataan näiden kautta. Järjestetään ensin nappulat vasempaan alakulmaan: Tartutaan siihen nappulaan, jonka x-koordinaatti on pienin, ja jos näitä on useita, valitaan näistä se, jonka y- koordinaatti on pienin. Olkoon tämä nappula ruudussa (x 0,y 0 ); siirretään se origoon pitkin vapaata reittiä (x 0,y 0 ) (x 0,0) (0,0), missä siirrot voivat olla surkastuneita, ts. voi olla x 0 = 0 tai y 0 = 0. Valitaan seuraavaksi lopuista nappuloista samoin koordinaateiltaan pienin. Olkoot sen koordinaatit (x 1,y 1 ); voidaan olettaa, että x 1 0, sillä tilanteen voi tietenkin tarvittaessa korjata muutamalla siirrolla. Siirretään se origossa olevan viereen: (x 1,y 1 ) (x 1,0) (1,0), 2 2-pikkuneliö saadaan kasaan seuraavasti: Lopuista kahdesta nappuloista toinen siirretään joko reittiä (x 2,y 2 ) (0,y 2 ) (0,1) tai (x 2,0) (x 2,2012) (0,2012) (0,1), toinen ensin oikeaan alakulmaan: (x 3,y 3 ) (2012,y 3 ) (2012,0). Asetelma saadaan nyt kasaan siirroilla (1,0) (1,2012) ja (2012,0) (1,0) ja (1,2012) (1,1). Vasemman alakulman nappuloita voi kiertää positiivisen kiertosuuntaan siirtosarjalla b:(1,0) (2012,0), a:(0,0) (2011,0) (2011,2012), d:(0,1) (0,0), c:(1,1) (0,1), b:(2012,0) (1,0) (1,2012), a:(2011,2012) (2011,0) (1,0) ja b:(1,2012) (1,1), missä selvyyden vuoksi nappulat on nimetty kirjaimilla a, b, c ja d. Tässä perusasetelmassa siis sinisen nappulan voi olettaa olevan missä vain ruudussa neljästä ruudusta. Osoitetaan, että tämä 2 2-asetelma voidaan siirtää aina yhden ruudun verran oikealle tai ylöspäin, jos vain laudan reuna ei tule vastaan. Oletetaan, että nappulat ovat ruuduissa a:(x,y), b:(x+1,y), c:(x+1,y+1) ja d:(x,y+1). Symmetrian vuoksi riittää tarkastella oikealle siirtämistä, jolloin oletetaan, että x Oletetaan lisäksi, että y > 0 ja käsitellään y = 0 erikoistapauksena. Siirretään ensin nappulat a ja c pysäyttimiksi laudan reunaan (kuvan esimerkissä on tehtävän lautaa hieman pienempi lauta): c:(x+1,y +1) (2012,y+1) ja a:(x,y) (x,0) (2012,0) (2012,y)

22 Järjestellään ylärivi: c:(2012,y+1) (x+1,y +1), 12 d:(x,y+1) (x,2012) (2012,2012) 12 (2012,y+1) (x+2,y +1), jonka jälkeen asetelma saadaan kasaan: a:(2012,y) (x+1,y) Erikoistapaus y = 0 on helppo, sillä silloin voidaan siirtää d:(x,1) (x,2012) (2012,2012) (2012,0) a:(x,0) (x,2012) (2012,2012) (2012,1) (x+2,1) ja d:(2012,0) (x+2,1). Edellä todistetusta seuraa, että mikä tahansa laudan ruutu voi tulla nappulan valloittamaksi niin, että nappula on osa 2 2-asetelmaa. Koska sininen nappula voi perusasetelmassa olla mikä neljästä nappulasta tahansa, sininenkin nappula pääsee mihin hyvänsä ruuduista.

23 V6. Muokataan yhtälö Diofantoksen yhtälöksi kertomalla puolittain 12mn:llä. 1 m + 4 n = 1 12n+48m = mn 12 mn 12n 48m = 576 (m 12)(n 48) = 576. Siis n = 9 64, mutta koska n ja n 48 ovat parittomia, saadaan n 48 9 ja erityisesti n Koska vastaavasti m ja m > 0, niin täytyy olla m 12 > 0 ja n 48 > 0. Siis { { { n 48 = 1 n 48 = 3 n 48 = 9 (m 12)(n 48) = 576 m 12 = 576 m 12 = 192 m 12 = 64 { { { m = 588 m = 204 m = 76 n = 49 n = 51 n = 57. ÚÓ Ò Ö A1. Ks. P6. A2. Merkitään p:llä todennäköisyyttä, että satunnaisesti valitulla henkilöllä on ko. harvinainen sairaus, ja ε:llä testivirheen todennäköisyyttä, jolloin p = 10 6 ja ε = (100 99)% = 0,01. Kysytty ehdollinen todennäköisyys on P{testihenkilö on sairas testitulos on positiivinen} = = = P{testihenkilö on sairas ja testitulos on positiivinen} P{testitulos on positiivinen} p(1 ε) p(1 ε)+(1 p)ε = , ,99+( ) 0, = = 10 4 = 0,0001. A3. Piirretään A- ja B-keskiset ympyrät, joiden säde on 10 cm. Olkoot näiden ympyröiden leikkauspisteet C ja D. (Kuvassa on katkoviivoilla osuudet, joita ei ole piirretty.) C A M B D

24 Suora CD on tietenkin janan AB keskinormaali. Olkoon M janojen AB ja CD leikkauspiste. Tällöin AM < AC = 10 cm, koska AM on jana AC projektio suoralleab. Samoin DM = CM < AC = 10 cm. Piirretään C- ja D-keskiset ympyrät, joiden säteeksi valitaan mikä tahansa r, jolle CM < r < 10 cm. Ympyröiden leikkauspisteet olkoot X ja Y, joista X on janalla AM. Piirretään lyhyen viivoittimen avulla jana, joka alkaa pisteestä A, kulkee pisteen X kautta ja on pituudeltaan 10 cm. Koska AM < 10 cm, tämä jana sisältää janan AM. Vastaavalla tavalla voidaan piirtää jana, joka sisältää janan M B ja sisältyy janaan AB. Nämä yhdessä muodostavat janan AB. C A Y M X B D A4. Olkoon luvun n Z + kymmenjärjestelmäesitys n = k i=0 a i 10 i, jolloin S(n) = k a i. i=0 Tehtävän P5. ratkaisussa on osoitettu, että S(2n) = k δ(a i ), i=0 missä Kun a {5,6,7,8,9}, niin δ(a) = { 2a, kun a {0,1,2,3,4} 2a 9, kun a {5,6,7,8,9}. 1/5 = 2 9/5 δ(a)/a = (2a 9)/a = 2 9/a 2 9/9 = 1, joten kaikkiaan saadaan arviot 1 5 S(2n) S(n) 2.

25 Osoitetaan, että kaikki rationaaliluvut q, joille 1/5 q 2, ovat mahdollisia suhteen S(2n)/S(n), n Z +, arvoja. Tarkastellaan kokonaislukuja n = 5 5 }{{} 1 1 }{{}, v kpl y kpl missä v,y N ja v+y > 0. Tällöin S(n) = 5v+y ja S(2n) = δ(5) v+δ(1) y = 5v+2y. Olkoon q rationaaliluku, jolle 1/5 q 2. Kirjoitetaan q = m/n, missä m,n Z +. Osoitetaan, että voidaan valita v,y N, v +y > 0 niin, että S(2n) S(n) = v +2y 5v +y = m n (v+2y)n = m(5v +y) (n 5m)v = (m 2n)y. Valitaan nimittäin yksinkertaisesti v = 2n m ja y = 5m n. Koska m/n 2, niin m 2n ja 2n m 0. Vastaavasti koska m/n 1/5, niin 5m n ja 5m n 0. Ei voi olla v = y = 0, koska silloin olisi 2n m = 0 ja 5m n = 0, mistä seuraa 10m = 2n = m m = n = 0, mikä on mahdotonta. Siis v + y > 0 ja v ja y on onnistuttu valitsemaan niin, että S(2n) S(n) = q. Vastaus: Täsmälleen rationaaliluvut q, joille 1/5 q 2.

a b c d

a b c d 2.. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 203 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + P. Tiedetään, että neliöjuuret 2 ja 7 ovat irrationaalilukuja (tämä seuraa aritmetiikan

Lisätiedot

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut

Lisätiedot

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

27. 10. joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee tasaisella

Lisätiedot

y + z. z + xyz

y + z. z + xyz 2. 11. 2010 Kuusi ensimmäistä tehtävää ovat monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Monivalintatehtävien vastauksia varten on erillinen lomakkeensa. Tehtävät 7 ja 8 ovat perinteisiä tehtäviä,

Lisätiedot

c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a,

c) 22a 21b x + a 2 3a x 1 = a, Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien suhde oli a/b vuoden 2017 lopussa. Vuoden 2017 aikana

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

a b c d

a b c d .. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 202 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d. + + 2.. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P. Koska massojen suhteet (alkuperäinen timantti mukaan lukien) ovat : 4 : 7, niin

Lisätiedot

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Hiiri juoksee

Lisätiedot

Luku a) 2 b) 10

Luku a) 2 b) 10 ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö 1. Timantti on lohjennut kahdeksi palaksi, joiden massojen suhde on 3 : 4. Kokonaisen timantin arvo on suoraan verrannollinen massan neliöön. Lohjenneen timantin

Lisätiedot

5. Jos x < 1 2,niin x x 1 on aina. , 1] b) pienempi kuin Yhtälön 3 3 x +3 x =4ratkaisujenlukumääräon a) 0 b) 1 c) 2 d) enemmän kuin 2.

5. Jos x < 1 2,niin x x 1 on aina. , 1] b) pienempi kuin Yhtälön 3 3 x +3 x =4ratkaisujenlukumääräon a) 0 b) 1 c) 2 d) enemmän kuin 2. 5. Jos x < 1 2,niin x x 1 on aina a) välillä [ 1 2, 1] b) pienempi kuin 1 c) välillä [ 1 2, 3 ] 2 d) ei välttämättä mikään edellisistä. 6. Yhtälön 3 3 x +3 x =4ratkaisujenlukumääräon a) 0 b) 1 c) 2 d)

Lisätiedot

! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6.

! 7! = N! x 8. x x 4 x + 1 = 6. 9. 10. 2008 1. Pinnalta punaiseksi maalattu 3 3 3-kuutio jaetaan 27:ksi samankokoiseksi kuutioksi. Mikä osuus 27 pikkukuution kokonaispinta-alasta on punaiseksi maalattu? 2. Positiivisen kokonaisluvun

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

a b c d

a b c d 31. 10. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 016 È ÖÙ Ö Ò ÑÓÒ Ú Ð ÒØ Ø ØĐ ÚĐ Ø a b c d 1. +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Kauppias ostakoon p kg paahtamatonta kahvia, jonka ostohinta olkoon b

Lisätiedot

0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden

Lisätiedot

a b c d + + + + + + + + +

a b c d + + + + + + + + + 28. 10. 2010!"$#&%(')'+*(#-,.*/1032/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + + + 2. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. Valitaan kannaksi sivu, jonka pituus on 4. Koska toinen jäljelle jäävistä sivuista

Lisätiedot

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141

1.11. 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 %% % 1.11.!#"$ 2011 1. Kun luku 5 140 8 47 kirjoitetaan tavalliseen tapaan, niin luvussa on numeroita a) pariton määrä b) 47 c) 48 d) 141 2. Oheinen kuvio muodostuu yhdeksästä neliöstä, joista jokaisen

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6

Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 Kenguru Student (lukion 2. ja 3. vuosi) sivu 1 / 6 NIMI LUOKKA/RYHMÄ Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto.

Lisätiedot

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja.

joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. Laskimet eivät ole sallittuja. 1. Kauppias on ostanut

Lisätiedot

x+3 = n(y 3) y +n = 3(x n). Kun ylemmästä yhtälöstä ratkaistaan x = n(y 3) 3 ja sijoitetaan alempaan, saadaan

x+3 = n(y 3) y +n = 3(x n). Kun ylemmästä yhtälöstä ratkaistaan x = n(y 3) 3 ja sijoitetaan alempaan, saadaan 19.1. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ ÐÓÔÔÙ ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 2018 1. Eevalla ja Martilla on kokonaislukumäärä euroja. Martti sanoi Eevalle: Jos annat minulle kolme euroa, niin minulla on n-kertainen määrä rahaa sinuun

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

c) 22a 21b = a,

c) 22a 21b = a, 31. 10. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö 018 Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Lukion A ja lukion B oppilasmäärien

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

on sairaana. Kuinka monta prosenttia oppilaista on sairaina huomenna?

on sairaana. Kuinka monta prosenttia oppilaista on sairaina huomenna? ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ô ÖÙ Ö Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Metsässä on 40 % enemmän havupuita kuin lehtipuita.

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

a b c d

a b c d 1. 11. 011!"$#&%(')'+*(#-,.*/103/465$*784 /(9:*;9."$ *;5> *@9 a b c d 1. + +. 3. 4. 5. 6. + + + + + + + + + + P1. 5 140 8 47 = 5 140 ( 3 ) 47 = 5 140 3 47 = 5 140 141 = (5 ) 140 = 10 140, jossa on

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

11. 11. joissa on 0 4 oikeata vastausta.

11. 11. joissa on 0 4 oikeata vastausta. 11. 11. ÄÙ ÓÒÑ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒÔ ÖÙ Ö 2014 Tehtäviä on kahdella sivulla; kuusi ensimmäistä tehtävää on monivalintatehtäviä, joissa on 0 4 oikeata vastausta. 1. Juna kulkee Ankkalinnasta Hanhivaaraan.

Lisätiedot

Kenguru 2019 Student lukio

Kenguru 2019 Student lukio sivu 0 / 7 NIMI LUOKKA Pisteet: Kenguruloikan pituus: Koodi (ope täyttää): Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Oikeasta vastauksesta

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.

Lisätiedot

HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17.5.2002. arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat positiiviset?

HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17.5.2002. arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat positiiviset? HTKK, TTKK, OY/Arkkitehtiosastot Valintakuulustelujen matematiikan koe 17..00 Sarja A A1. Määritä suorien ax + y ja x y 3 leikkauspiste. Millä vakion a arvoilla leikkauspisteen molemmat koordinaatit ovat

Lisätiedot

Kenguru 2019 Student Ratkaisut

Kenguru 2019 Student Ratkaisut sivu 0 / 22 3 pistettä TEHTÄVÄ 1 2 3 4 5 6 7 8 VASTAUS C B D C B E C A 4 pistettä TEHTÄVÄ 9 10 11 12 13 14 15 16 VASTAUS B B E D A E A A 5 pistettä TEHTÄVÄ 17 18 19 20 21 22 23 24 VASTAUS E E D D C C B

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008

Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Kansainväliset matematiikkaolympialaiset 2008 Tehtävät ja ratkaisuhahmotelmat 1. Teräväkulmaisen kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on H. Pisteen H kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on sivun

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 7.2.2013 Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu..013 Ratkaisuita 1. Eräs kirjakauppa myy pokkareita yhdeksällä eurolla kappale, ja siellä on meneillään mainoskampanja, jossa seitsemän sellaista ostettuaan

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Syyskuun 014 helpommat valmennustehtävät, ratkaisuja 1. Kuinka monen 014-numeroisen positiivisen kokonaisluvun numeroiden summa on parillinen? Ratkaisu. 014-numeroisen luvun

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat

Harjoitustehtävät, syys lokakuu 2010. Helpommat Harjoitustehtävät, syys lokakuu 010. Helpommat Ratkaisuja 1. Kellon minuutti- ja tuntiosoittimet ovat tasan suorassa kulmassa kello 9.00. Milloin ne ovat seuraavan kerran tasan suorassa kulmassa? Ratkaisu.

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Toukokuun 2012 helpommat valmennustehtävät ratkaisuja 1 Määritä sellaisen kolmion ala, jonka kaksi kulmaa ovat 60 ja 45 ja jonka pisimmän sivun pituus on 1 Ratkaisu Olkoon

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Tästä saadaan (määrittelyehdon täyttävät) yhtälön ratkaisut x 3 tai x 3.

Tästä saadaan (määrittelyehdon täyttävät) yhtälön ratkaisut x 3 tai x 3. 998 Yhtälö on määritelty, kun x 0, joten on oltava x. Yhtälö voidaan kirjoittaa yhtäpitävään muotoon x x x x x x 0, ja edelleen x x 0. x Tästä saadaan (määrittelyehdon täyttävät) yhtälön ratkaisut x tai

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin. Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 1.2.2013 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Kaikkiin tehtäviin laskuja, kuvia tai muita perusteluja näkyviin.

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2 Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi

MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta dia-valinta 2007 Insinöörivalinnan matematiikankoe, 29.5.2007 klo 14-17

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta dia-valinta 2007 Insinöörivalinnan matematiikankoe, 29.5.2007 klo 14-17 Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta dia-valinta 007 Insinöörivalinnan matematiikankoe, 9.5.007 klo 14-17 Sarja A Ohjeita. Sijoita jokainen tehtävä omalle sivulleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016

Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016 Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

2017 = = = = = = 26 1

2017 = = = = = = 26 1 JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 2, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Sovella Eukleiden algoritmia ja (i) etsi s.y.t(2017, 753) (ii) etsi kaikki kokonaislukuratkaisut yhtälölle 405x + 141y = 12. Ratkaisu

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / pistettä Kuvasta huomataan, että + + 5 + 7 = 44 Kuinka paljon tämän mukaan on + + 5 + 7 + 9 + + + 5 + 7? A) 44 B) 99 C) 444 D) 66 E) 49 Ratkaisu: Kuvan havainnollistuksen

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) 72 = 2 36 = 2 2 18 = 2 2 2 9 = 2 2 2 3 3 = 2 3 3 2 252 = 2 126 = 2 2 63 = 2 2 3 21 = 2 2 3 3 7 = 2 2 3 2 7 syt(72, 252) = 2 2 3 2 = 36 b) 252 = 72 3 + 36 72 = 36 2 syt(72, 252) = 36 c) pym(72,

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014

Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014 Lukion matematiikkakilpailun avoimen sarjan ensimmäinen kierros 2014 Ratkaisuja Sulkeissa oleva nimi osoittaa, että kyseinen ratkaisu perustuu asianomaisen henkilön kilpailuvastaukseen. 1. Oletetaan, että

Lisätiedot

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja

Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja Neljän alkion kunta, solitaire-peli ja taikaneliöt Kalle Ranto ja Petri Rosendahl Matematiikan laitos, Turun yliopisto Nykyisissä tietoliikennesovelluksissa käytetään paljon tekniikoita, jotka perustuvat

Lisätiedot

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA

MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA MAA3 TEHTÄVIEN RATKAISUJA 1. Piirretään kulman kärki keskipisteenä R-säteinen ympyränkaari, joka leikkaa kulman kyljet pisteissä A ja B. Nämä keskipisteenä piirretään samansäteiset ympyräviivat säde niin

Lisätiedot

Paraabeli suuntaisia suoria.

Paraabeli suuntaisia suoria. 15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot