Luku 8. Ehrenfeucht-Fraïssé pelit. Osittaisisomorfismit

Transkriptio

1 Luku 8 Ehrenfeucht-Fraïssé pelit Osittaisisomorfismit Määritelmä 8.1Funktio p on osittaisisomorfismi S-mallilta A S-mallille B, p Part(A, B), jos dom(p) A, ran(p) B, p on injektio, ja p säilyttää struktuurin: (1) Jokaisella n-paikkaisella relaatiosymbolilla R S ja kaikilla a 1,...,a n dom(p) pätee: (a 1,...,a n ) R A (p(a 1 ),...,p(a n )) R B. (2) Jokaisella n-paikkaisella funktiosymbolilla f S ja kaikilla a 1,...,a n,a dom(p) pätee: f A (a 1,...,a n )=a f B (p(a 1 ),...,p(a n )) = p(a). (3) Jokaisella vakiosymbolilla c S ja kaikilla a dom(p) pätee: c A = a c B = p(a). Huomaa, että ylläolevan määritelmän mukaan tyhjä funktio on osittaisisomorfismi minkä hyvänsä kahden S-mallin välillä. Oletamme jatkossa, että symbolijoukko S on relationaalinen, eli S ei sisällä yhtään funktio- eikä vakiosymbolia. Tämä ei rajoita tarkastelejumme yleisyyttä, sillä jokainen n-paikkainen funktiosymboli f voidaan korvata (n + 1)-paikkaisella relaatiosymbolilla R f, kunhan tarkasteluissa otetaan mukaan lisäaksiooma x 1... x n y z(r f x 1...x n y R f x 1...x n z y z), joka sanoo, että R f on funktio. Apulause 8.1 Oletetaan, että S on relationaalinen, A ja B ovat S-malleja ja p : a i b i, i<n, on äärellinen funktio, missä dom(p) ={a 0,...,a n 1 } A ja ran(p) ={b 0,...,b n 1 } B. Tällöin p Part(A, B) jos ja vain jos jokaisella atomikaavalla ψ L n S pätee Todistus. Harjoitustehtävä. A = ψ[a 0,...,a n 1 ] B = ψ[b 0,...,b n 1 ]. Olkoot a =(a 0,...,a n 1 )ja b =(b 0,...,b n 1 ). Käytämme jatkossa merkintää a b funktiolle p, jolla p(a i )=b i jokaisella i<n. 74

2 Määritelmä 8.2S-mallit A ja B ovat äärellisesti isomorfiset, A = f B,joson olemassa jono (I n ) n N joukkoja siten, että I n Part(A, B) jokaisella n N, ja jolla pätee seuraavat Back ja Forth ehdot: (F) Jokaisella p I n+1 ja a A on olemassa b B, jolla p {(a, b)} I n. (B) Jokaisella p I n+1 ja b B on olemassa a A, jolla p {(a, b)} I n. Tällöin käytämme myös merkintää (I n ) n N : A = f B. Määritelmä 8.3S-mallit A ja B ovat osittaisisomorfiset, A = p B, jos on olemassa joukko I siten, että I Part(A, B), ja jolla pätee: (F) Jokaisella p I ja a A on olemassa b B, jolla p {(a, b)} I. (B) Jokaisella p I ja b B on olemassa a A, jolla p {(a, b)} I. Tällöin käytämme myös merkintää I : A = p B. Apulause 8.2 (a) Jos A = B, niin A = p B. (b) Jos A = p B, niin A = f B. (c) Jos A = f B ja A on äärellinen, niin A = B. (d) Jos A = p B ja A on numeroituva, niin A = B. Todistus. (a) Jos f on isomorfismi A = B, niin on helppo nähdä, että I : A = p B, missä I = {f}. (b) Oletetaan, että I : A = p B. Selvästi tällöin (I n ) n N : A = p B, missä I n = I jokaisella n N. (c) ja (d) luennolla. Esimerkki 8.1 Olkoot A =(A, < A )jab =(B,< B ) reunapisteettömiä tiheitä järjestyksiä, eli järjestyksiä, jotka toteuttavat seuraavat lauseet: x y(x <y) x y(y <x) x y(x <y z(x <z z<y)) ei ole olemassa suurinta alkiota ei ole olemassa pienintä alkiota järjestys on tiheä. Tällöin I : A = p B, missä I := {p p Part(A, B) onäärellinen}. Erityisesti siis reaalilukujen ja rationaalilukujen tavalliset järjestykset (R,< R )ja(q,< Q )ovat keskenään osittaisisomorfiset. Lemman 8.2(d) avulla saadaan nyt seuraava Cantorin Lause: Kaikki numeroituvat reunapisteettömät tiheät järjestykset ovat keskenään isomorfisia. Fraïssén lause Fraïssén lause on tulos, jonka mukaan kaksi S-mallia ovat elementaarisesti ekvivalentit jos ja vain jos ne ovat äärellisesti isomorfiset. Ennen kuin todistamme tämän tuloksen, määritelemme muutamia siihen tarvittavia käsitteitä. 75

3 Määritelmä 8.4Kaavan ϕ L S kvanttoriaste, qr(ϕ), määritellään rekursiolla seuraavasti: (1) qr(ϕ) = 0, kun ϕ on atomikaava, (2) qr( ϕ) =qr(ϕ), (3) qr(ϕ ψ) =max{qr(ϕ), qr(ψ)}, (4) qr( xϕ) =qr(ϕ)+1. Esimerkiksi kaavalla ϕ := x( yψ y zθ), missä ψ ja θ ovat kvanttorittomia kaavoja, pätee: qr(ϕ) =max{qr(ψ)+1, qr(θ)+2} +1=max{1, 2} +1=3. Määritelmä 8.5Olkoot A ja B S-malleja, a A r ja b B r. Parit (A,a)ja (B, b)ovatk-ekvivalentit, (A,a) k (B, b), jos kaikilla kaavoilla ϕ L r S, joilla qr(ϕ) k, pätee A = ϕ[a ] B = ϕ[ b]. Tapauksessa r = 0 jonot a ja b ovat tyhjiä, ja merkitsemme lyhyesti A k B. Tarvitsemme myös seuraavan rajoitetun version äärellisen isomorfismin käsitteestä. Määritelmä 8.6Olkoot A ja B S-malleja, a A r ja b B r. Parit (A,a) ja (B, b)ovatk-isomorfiset, (A,a) = k (B, b), jos on olemassa jono (I 0,...,I k ) joukkoja siten, että a b I k, I n Part(A, B) jokaisella n k, ja jolla pätee Määritelmän 8.2 ehdot (F) ja (B), kun n<k. Tällöin käytämme myös merkintää (I n ) n k :(A,a) = k (B, b). Jos r =0,käytämme taas lyhempiä merkintöjä A = k B ja (I n ) n k : A = k B. Huomaa, että tällöin a b on tyhjä funktio. Lopuksi tarvitsemme vielä seuraavia Hintikka-kaavoja; näiden määritelmää varten tarvitaan lisäoletus, että symbolijoukko on äärellinen. Määritelmä 8.7Olkoon S äärellinen relationaalinen symbolijoukko, A S-malli, a A r ja k N. Parin (A,a) k:s Hintikka-kaava, χ k A,a määritellään rekursiolla luvun k suhteen seuraavasti: (i) χ 0 A,a := {ϕ L r S ϕ on atomikaava tai atomikaavan negaatio, A = ϕ[a ]}, kun r>0; tapauksessa r =0ona = ja χ 0 A, := v 0(v 0 v 0 ); (ii) χ k+1 A,a := χk A,a a A v rχ k A,aa vr a A A,aa χk. Huomaa, että kohdassa (i) iso konjunktio on äärellinen, koska symbolijoukko S on äärellinen. Edelleen, jos oletetaan, että keskenään ei-ekvivalentteja Hintikkakaavoja χ k A,aa on vain äärellinen määrä, niin iso konjunktio ja disjunktio kohdassa (ii) ovat äärellisiä. Tästä taas seuraa, että myös Hintikka-kaavoja χ k+1 A,a on ekvivalenssia vaille vain äärellinen määrä. Siis induktiolla luvun k suhteen voidaan todistaa, että kukin χ k A,a on S-kaava. 76

4 Jos r = 0, eli a on tyhjä jono, merkitsemme Hintikka-kaavaa χ k A,a = χk A, lyhyesti symbolilla χ k A. Apulause 8.3 Olkoon A S-malli ja a A r.tällöin (a) qr(χ k A,a )=k (paitsi jos k = r =0, jolloin qr(χ0 A )=1). (b) A = χ k A,a [a ]. (c) Jos B = χ k A,a [ b], niin a b Part(A, B). Todistus. Harjoitustehtävä. Nyt voimme muotoilla k-ekvivalenssin karakterisoinnin k-isomorfisuuden avulla: Lause 8.4 Olkoon S äärellinen relationaalinen symbolijoukko, k N, A ja B S-malleja, a A r ja b B r.tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (a) (A,a) k (B, b). (b) (A,a) = k (B, b). (c) B = χ k A,a [ b]. Todistus. Todistamme implikaatiot (a) (c), (c) (b) ja (b) (a). (a) (c): Oletetaan, että (A,a) k (B, b). Tällöin Apulauseen 8.3(b) mukaan A = χ k A,a [a ], ja koska Apulauseen 8.3(a) nojalla qr(χk A,a )=k, väite seuraa relaation k määritelmästä. (c) (b): Oletetaan, että B = χ k A,a [ b]. Määritellään joukot I n, n k, seuraavasti: I n := {a c b d c A k n, d B k n, B = χ n A,ac[ b d]}. Tällöin a b I k, sillä oletuksen perusteella B = χ n A,ac [ b d]pätee tapauksessa n = k ja c = d =. Edelleen Apulauseen 8.3(c) nojalla jokaisella n k pätee I n Part(A, B). Vielä pitää osoittaa, että ehdot (F) ja (B) ovat voimassa jokaisella n<k. Oletetaan ehdon (F) todistamista varten, että p = a c b d I n+1 ja a A. Tällöin joukon I n+1 määritelmän mukaan pätee B = χ n+1 A,ac [ b d], joten erityisesti B = ( v r χ n A,aca )[ b d], missä r = r +(k n). Siis on olemassa b B siten, että B = χ n A,aca [ b db ]. Tästä jo seuraakin, että a c a b db = p {(a,b )} I n. Oletetaan seuraavaksi, että p = a c bd I n+1 ja b B. Tällöin B = χ n+1 A,ac [ bd], joten B = ( v r a A χn A,aca )[ bd], missä r = r +(k n). Siispä erityisesti B = a A χn A,aca [ bdb ], joten on olemassa a A, jolla B = χ n A,aca [ bdb ]. Joukon I n määritelmän nojalla nyt pätee a c a bdb = p {(a,b )} I n.näin olemme osoittaneet, ettämyös ehto (B) pätee. (b) (a): Oletetaan, että (I n ) n k : (A,a) = k (B, b). Todistamme induktiolla kaavan ϕ L r+k n S suhteen, että josqr(ϕ) n ja a c bd I n, niin ( ) A = ϕ[a c ] B = ϕ[ b d]. 77

5 Jos ϕ on atomikaava, väite ( ) seuraa oletuksesta I n Part(A, B). Jos ϕ = ψ tai ϕ = ψ θ, niin väite seuraa suoraviivaisesti induktio-oletuksesta. Oletetaan sitten, että ϕ = v l ψ. Voidaan olettaa, että l = r + k n, sillä muuten tarkastellaan kaavaa ϕ := v r+k n ψ[v r+k n /v l ], joka on ekvivalentti ϕ:n kanssa. Koska qr(ϕ) n, ontällöin qr(ψ) =qr(ϕ) 1 n 1. Oletetaan ehdon ( ) todistamiseksi ensin, että A = ϕ[a c ]. Siis on olemassa a A, jolla pätee A = ψ[a c a ]. Soveltamalla ehtoa (F) osittaisisomorfismiin a c bd ja alkioon a,nähdään, että on olemassa b B siten, että a c a bdb I n 1. Nyt induktio-oletuksesta seuraa, että ehto( ) pätee jonoille a c a ja bdb ja kaavalle ψ. Siispä B = ψ[ bdb ], ja edelleen B = ϕ[ bd]. Implikaatio B = ϕ[ bd] A = ϕ[a c ] todistetaan samaan tapaan käyttämälläehtoa(b). Nyt voimme todistaa Fraïssén lauseen: Lause 8.5 (Fraïssén lause) Olkoon S äärellinen relationaalinen symbolijoukko ja A ja B S-malleja. Tällöin A B jos ja vain jos A = f B. Todistus. Oletetaan ensin, että A B. Selvästi tällöin A k B, joten Lauseen 8.4 perusteella A = k B jokaisella k N. Siis kullakin k on olemassa jono (J k n) n k joukkoja, joilla pätee Määritelmän 8.6 ehdot. Määritellään nyt jono (I n ) n N asettamalla I n = k n J k n, n N. Tällöin Määritelmän 8.6 nojalla J n n,joten I n jokaisella n N. Koska J k n Part(A, B) kaikilla n, k N, onmyös I n Part(A, B) kaikilla n N. Osoitetaan seuraavaksi, ettäehto(f)pätee jonolla (I n ) n N. Oletetaan tätä varten, että p I n+1 ja a A. Tällöin on olemassa k>n, jolla p J k n+1. Koska joukko J k n+1 toteuttaa ehdon (F), on olemassa b B siten, että p {(a, b)} J k n.koska J k n I n,pätee edelleen p {(a, b)} I n. Samalla tavalla nähdään, että myös ehto (B) pätee. Siispä (I n ) n N : A = f B. Oletetaan sitten, että (I n ) n N : A = f B.Tällöin on helppo todeta, että (I n ) n k toteuttaa Määritelmän 8.6 ehdot, joten A = k B jokaisella k. Siis Lauseen 8.4 nojalla jokaisella k N pätee A k B. Selvästi tästä seuraa, että A B. Fraïssén lauseessa joudutaan siis rajoittumaan tapaukseen, jossa symbolijoukko S on äärellinen. Tämä johtuu siitä, että implikaatio A B A = f B ei välttämättä päde, jos S on ääretön. Sen sijaan käänteinen implikaatio pätee myös äärettömilla symbolijoukoilla, kuten kohta nähdään. Tästä ongelmasta huolimatta elementaarinen ekvivalenssi voidaan karakterisoida äärellisen isomorfisuuden avulla. Palautamme tätä varten ensin mieleen mallin reduktin käsitteen: Jos S on symbolijoukko, S 0 S ja A on S-malli, niin sen S 0 - redukti on S 0 -malli A 0, jolla A 0 = A ja X A 0 = X A kaikilla symboleilla X S 0. Merkitsemme mallin A S 0 -reduktia symbolilla A S 0. 78

6 Apulause 8.6 Olkoon S relationaalinen symbolijoukko ja A ja B S-malleja. (a) A B A S 0 B S 0 jokaisella äärellisellä S 0 S. (b) A = f B = A S 0 =f B S 0 jokaisella äärellisellä S 0 S. Todistus. Luennolla. Seuraus 8.7 Olkoon S relationaalinen symbolijoukko ja A ja B S-malleja. (a) A B A S 0 =f B S 0 jokaisella äärellisellä S 0 S. (b) A = f B = A B. Todistus. (a) Väite seuraa suoraan Apulauseesta 8.6(a) ja Lauseesta 8.5. (b) Jos A = f B, niin Apulauseen 8.6(b) nojalla A S 0 =f B S 0 jokaisella äärellisellä S 0 S. Siis Lauseen 8.5 nojalla A S 0 B S 0 jokaisella äärellisellä S 0 S, mistä väite seuraa Apulauseen 8.6(a) nojalla. Ehrenfeucht-Fraïssé peli Fraïssén karakterisointi elementaariselle ekvivalenssille ja k-ekvivalenssille voidaan muotoilla myös seuraavan Ehrenfeucht-Fraïssé pelin avulla. Määritelmä 8.8Olkoot A ja B S-malleja, ja k N. Tällöin EFG k (A, B) on kahden pelaajan, S (spoiler) ja D (duplicator), välinen peli, jolla on seuraavat säännöt: Pelissä onk kierrosta. Kullakin kierroksella i<k, S valitsee ensin mallin C i {A, B} ja alkion c i C. Tämän jälkeen D vastaa valitsemalla alkion d i, joka kuuluu joukkoon B, josc i = A, ja muuten joukkoon A. Kun k kierrosta on pelattu, muodostetaan relaatio p = {(a i,b i ) i<k}, missä a i = c i ja b i = d i,josc i = A, jaa i = d i ja b i = c i,josc i = B. Pelaaja D voittaa pelatun erän, jos p Part(A, B). Jos näin ei ole, S voittaa erän. Pelissä EFG k (A, B) kiinnostavaa ei ole se, kumpi pelaajista voittaa yksittäisen pelierän. Paljon tärkeämpää on selvittää, kummalla pelaajista on voittostrategia: sanomme, että pelaajalla D (S) on voittostrategia pelissä EFG k (A, B), jos hänellä on systemaattinen tapa valita siirtonsa kaikissa pelitilanteissa niin, että hän voittaa pelin riippumatta pelaajan S (D) valitsemista siirroista. Huomaa, että tämä ei ole täsmällinen määritelmä voittostrategian käsitteelle; täsmällinen matemaattinen määritelmä voidaan muotoilla viittaamalla funktioihin f i, jotka liittävät jokaiseen pelaajan S tekemään siirtojen jonoon c 0,...,c i pelaajan S seuraavan siirron d i = f i (c 0,...,c i ). Sivuutamme tässä määritelmän yksityiskohdat. Lause 8.8 Olkoot A ja B S-malleja, ja k N. Tällöin A = k B jos ja vain jos pelaajalla D on voittostrategia pelissä EFG k (A, B). Todistus. Luennolla. 79

7 Ehrenfeucht-Fraïssé pelin sovelluksia Ehrenfeucht-Fraïssé pelien tärkein sovellus on määrittelemättömyystulosten todistamisessa. Sanomme, että luokka K S-malleja on määriteltävä, jos se on elementaarinen, eli on olemassa S-lause ϕ, jolla K =Mod S (ϕ). Lause 8.9 Olkoon K luokka S-malleja. Oletetaan, että jokaisellla k N on olemassa S-mallit A Kja B K, joilla A = k B.Tällöin K ei ole määriteltävä. Todistus. Tehdään vastaoletus: on olemassa S-lause ϕ, jolla K =Mod S (ϕ). Olkoon k =qr(ϕ) ja olkoon S 0 S äärellinen symbolijoukko, jolla ϕ L 0 S 0. Oletuksen nojalla on olemassa S-mallit A Kja B K, joilla A = k B.Tällöin A S 0 = ϕ ja A S 0 = k B S 0, joten Lauseen 8.4 nojalla pätee myös B S 0 = ϕ. Tämä on kuitenkin mahdotonta, koska B K. Käymme seuraavaksi läpi pari konkreettista esimerkkiä Lauseen 8.9 soveltamisesta. Esimerkki 8.2 Määritellään kullakin k 1 mallit A k =(A k,e A k )jabk = (B k,e B k ) seuraavasti: A k = B k := {0,...,k} {0,...,k 1}; E A k := {((i, j), (i, j )) A 2 k i<k+1jaj, j <k}; E B k := {((i, j), (i,j)) B 2 k i, i <k+1jaj<k}. Tällöin E A k on siis joukon Ak ekvivalenssirelaatio, jolla on k + 1 ekvivalenssiluokkaa {(i, 0),...,(i, k 1)}, i<k+ 1, joissa kussakin on k alkiota. Vastaavasti E B k on joukon Bk = A k ekvivalenssirelaatio, jolla on k ekvivalenssiluokkaa {(0,j),...,(k, j)}, j<k, joissa kussakin on k + 1 alkiota. Nyt on suoraviivaista osoittaa (HT), että (I n ) n k : A k = k B k, missä joukot I n määritellään seuraavasti: I n := {p Part(A k, B k ) dom(p) = k n}. Jos K on kaikkien niiden {E}-mallien C luokka, joilla E C on joukon C ekvivalenssirelaatio, jolla on enemmän ekvivalenssiluokkia kuin yhdessäkään luokassa on alkioita, niin A k Kja B k K kaikilla k 1. Siis Lauseen 8.9 perusteella K ei ole määriteltävä. Samalla tavalla nähdään, että luokka K := {C D C : D 2 > C ja D D E C } ei ole määriteltävä: B k K, sillä millä hyvänsä relaation E B k ekvivalenssiluokalla D pätee D D E B k ja D 2 =(k +1) 2 > (k +1)k = B k. Toisaalta A k K, sillä josd A k on osajoukko, jolla pätee D D E A k, niin D on jonkin E A k -ekvivalenssiluokan osajoukko, ja siten D 2 k 2 < (k +1)k = A k. 80

8 Esimerkki 8.3 Jos A =(A, A )onjärjestetty joukko, eli < A on joukon A (tiukka) järjestys, ja niin alkioiden a, b A etäisyys (järjestyksen < A suhteen) on niiden välissä olevien alkioiden lukumäärä plus 1: d(a, b) = {c A a< A c A b tai b< A c A a}. Siis d(a, a) =0,d(a, b) =d(b, a) jad(a, b) =d(a, c)+d(c, b) aina kun a A c A b. Huomaa, että jos alkioiden a ja b välissä on ääretön määrä alkioita, niin d(a, b) on ääretön kardinaaliluku, ja siten d(a, b) > r jokaisella r N. Tarkastellaan sitten kahta äärellistä järjestettyä joukkoa A ja B. Olkoot a A ja b B niiden pienimmät alkiot ja a A ja b B niiden suurimmat alkiot. Äärellinen osittaisisomorfismi p Part(A, B) säilyttää etäisyydet lukuun r N saakka, jos kuvauksella p + = p {(a,b ), (a,b )} pätee seuraava ehto: Jos a 1 ja a 2 ovat joukon dom(p + )peräkkäiset alkiot ja b 1 = p + (a 1 ),b 2 = p + (a 2 ), niin (E r ) d(a 1,a 2 )=d(b 1,b 2 ) tai d(a 1,a 2 ),d(b 1,b 2 ) r. Määritellään nyt joukot I n, n N, asettamalla I n := {p Part(A, B) p säilyttää etäisyydet lukuun 2 n saakka}. Huomaa, että joss r, niin selvästi ehto (E r ) seuraa ehdosta (E s ). Siis erityisesti I n+1 I n kaikilla n N. Osoitamme nyt, että nämä joukot toteuttavat laajennusehdon (F). Oletetaan siis, että p I n+1 ja a A. Tällöin on olemassa peräkkäiset joukon dom(p + ) alkiot a ja a siten, että a A a< A a. Olkoot b = p + (a )jab = p + (a ). Jaetaan tarkastelu etäisyyksien d(a,a)jad(a, a ) mukaan seuraaviin tapauksiin: (i) Oletetaan, että d(a,a),d(a, a ) 2 n.tällöin d(a,a )=d(a,a)+d(a, a ) 2 n +2 n =2 n+1,jakoskap + toteuttaa ehdon (E 2 n+1), on myös d(b,b ) 2 n+1. Siis on olemassa b B, jolla b < B b< B b,jad(b,b),d(b, b ) 2 n. Määritellään nyt q := p {(a, b)}, ja osoitetaan, että q I n. Oletetaan tätä varten, että a 1 ja a 2 ovat peräkkäiset joukon dom(q + ) alkiot ja b 1 = q + (a 1 ),b 2 = q + (a 2 ). Jos a {a 1,a 2 }, niin a 1,a 2 dom(p + ), jolloin ehto (E 2 n)pätee oletuksen p I n+1 I n perusteella. Jos taas a 1 = a tai a 2 = a, niin (a 1,a 2 )=(a, a )tai(a 1,a 2 )=(a,a), ja ehto (E 2 n)on voimassa, koska d(a,a),d(a, a ) 2 n ja d(b,b),d(b, b ) 2 n. (ii) Oletetaan, että d(a,a) < 2 n.tällöin on olemassa yksikäsitteinen b B, jolla b B b< B b ja d(a,a)=d(b,b). Määritellään nyt q = p {(a, b)} ja osoitetaan, että q I n. Olkoot siis a 1 ja a 2 peräkkäiset joukon dom(q + ) alkiot ja b 1 = q + (a 1 ),b 2 = q + (a 2 ). Jos a {a 1,a 2 }, niin nähdään kuten edellisessä kohdassa, että ehto (E 2 n)pätee. Jos a 2 = a, niin a 1 = a, jolloin ehto (E 2 n)pätee, koska d(a,a) = d(b,b). Oletetaan lopuksi, että a 1 = a, jolloin a 2 = a. Jos d(a, a ) = d(b, b ), on myös d(a,a )=d(a,a)+d(a, a ) = d(b,b)+d(b, b )=d(b,b ), 81

9 ja koska p I n+1, on oltava d(a,a ),d(b,b ) 2 n+1.koskad(a,a)= d(b,b) < 2 n,tästä seuraa, että d(a, a ),d(b, b ) 2 n. Siis joka tapauksessa ehto (E 2 n)pätee. (iii) Tapaus, jossa d(a, a ) < 2 n todistetaan samanlaisella päättelyllä. Aivan samalla tavalla voidaan todistaa, että myös laajennusehto (B) on voimassa joukoille I n. Lisäksi suoraan määritelmän perusteella I n Part(A, B) jokaisella n N. Siispä jono (I n ) n k toteuttaa Määritelmän 8.6 ehdot, jos lisäksi I k. Selvästi tämä pätee aina kun d(a,a ),d(b,b ) 2 k. Näin olemme osoittaneet, että A = k B kaikilla äärellisilläjärjestetyillä joukoilla A ja B, joissa on vähintään 2 k +1 alkiota. Siispä Lauseen 8.9 perusteella esimerkiksi seuraavat luokat eivät ole määriteltäviä: K even := {A A on järjestetty joukko, jolla A on parillinen} K prime := {A A on järjestetty joukko, jolla A on alkuluku}. 82