GEOMETRIA. Lyhyt kurssi. Tero Harju Matematiikan laitos Turun Yliopisto H B M B M A H A G H A M C H C

Transkriptio

1 GEOMETRI Lyhyt kurssi ØØÔ»»Ù Ö ºÙØÙº» Ö Ù Tero Harju Matematiikan laitos Turun Yliopisto H M M O G H H M H

2 luksi Intuitiivinen geometria Tällä kurssilla keskitytään Euklidiseen tasogeometriaan. Lähestymistapa siihen on intuitiivinen eli koulugeometrinen, mikä tarkoittaa, että sopiva joukko käsitteiden merkityksiä ja niitä koskevia tuloksia oletetaan tunnetuiksi. Tällaisia käsitteitä ovat mm: piste, suora, jana, janan pituus, kulma, kulman suuruus, kolmio, ja ympyrä. Samalla kurssin tarkoitus on johdatella ongelmanratkaisuun matematiikassa. Tähän tasogeometria soveltuu hyvin, sillä vaikeampiinkin ongelmiin päästään käsiksi ilman pitkällistä teorian kehittelyä. Toisaalta geometriset todistukset ovat malliesimerkkejä matemaattisesta päättelystä. ksiomaattinen ja analyyttinen geometria Intuitiivisen lähestymistavan vaihtoehtoina ovat aksiomaattinen ja analyyttinen lähestymistapa. ksiomaattinen geometria koostuu määrittelemättömistä peruskäsitteistä (piste, suora, jne), ja perusoletuksista (aksiomat eli postulaatit), jotka luettelevat peruskäsitteiden väliset suhteet. ksiomeista johdetaan loogisin päättelyaskelin uusia tuloksia (teoreemoja), ja määritellään uusia käsitteitä helpottamaan teorian etenemistä. ksiomatiikka ei koske vain Euklidista geometriaa vaan esimerkiksi myös äärellisiä geometrioita ja epäeuklidisia geometrioita: hyperbolisessa geometriassa paralleeliaksioma korvataan aksiomalla, jossa pisteen kautta kulkee useita yhdensuuntaisia suoria, ja elliptisessä geometriassa kaksi suoraa leikkaavat aina toisensa. Geometrian luonne riippuu suuresti valituista aksiomeista. Jotkut geometriat ovat äärellisiä, eli niissä on vain äärellinen määrä pisteitä ja suoria. Erilaisiin sovellutuksiin tarvitaan erilaisia geometrioita. Suhteellisuusteoriassa käytetään kaarevien avaruuksien geometriaa kun taas monet kombinatoriset teoriat hyödyntävät usein äärellisiä geometrioita. Mitään yhtä ja ainutta oikeaa geometriaa ei ole olemassa. nalyyttinen geometria samaistaa tason reaalitason kanssa, ja käyttää lineaarialgebran ja analyysin metodeja hyväkseen. Erityisesti tietyt metriset geometriat hyödyntävät myös analyysin työkaluja. Elliptinen, Euklidinen ja hyperbolinen geometria

3 Tasogeometrialle on aikojen saatossa esitetty useita aksiomaattisia systeemejä: Eukleideen aksiomatiikka (n. 300 ekr) on varmaankin tunnetuin aksiomatiikka. Se koostuu kolmestatoista kirjasta ja lähtökohtana ovat 5 aksiomaa ja 5 määrittelemätöntä käsitettä. Lyhykäisyydessään, ja nykykielellä ilmaistuna, aksiomat ovat: 1. Jokaista pisteparia yhdistää yksikäsitteinen jana. 2. Jokaista janaa voidaan jatkaa loputtomiin kumpaakin suuntaan. 3. On olemassa yksikäsitteinen ympyrä kun keskipiste ja säde ovat annetut. 4. Suorat kulmat ovat yhteneviä toistensa kanssa. 5. nnetun pisteen kautta kulkee yksikäsitteinen annetun suoran suuntainen suora. Hilbertin aksiomatiikka vuodelta 1899 tarkensi Eukleideen työtä. Tämä systeemi käsitti 20 aksiomaa ja 6 määrittelemätöntä käsitettä. Tarskin aksiomatiikka vuodelta 1929 käsitti vain kaksi määrittelemätöntä käsitettä, olla välissä ja yhtenevyys, joita varten tarvittiin 11 aksiomaa. irkhoffin aksiomatiikka vuodelta 1932 oli metristä geometriaa. achmannin aksiomatiikka vuodelta 1959 oli rakennettu puhtaasti algebran, ryhmäteorian, pohjalle. Koulugeometrisen lähestymistavan merkittävin ero aksiomaattiseen geometriaan nähden on peruskäsitteiden merkityksen olettamisessa. Uusien tulosten johtaminen vanhoista on kummassakin lähestymistavassa samanluontoista: Intuitio ei saa koskaan korvata päättelyä! 3

4 Sisältö 1 eruskäsitteitä Tasogeometrian perustuloksia 2 Kolmioiden geometriaa Yhtenevyys Yhdenmuotoisuus Konsyklisyys Geometrinen konstruoituvuus Merkilliset pisteet Menelaus ja eva Kolmion merkilliset pisteet Monikulmioiden aloista Liike tasossa 4 Isometriat Transformaatiot Isometrioiden määritelmä Sovellutuksia Yleisemmät kuvaukset Similaarisuus ffiinit kuvaukset Inversio Liite 1: Isometriat ja ryhmät Liite 2: Fraktaaleista Kirjallisuutta valikoidusti Tähdellä merkityt kappaleet eivät tule tenttiin.

5 1 eruskäsitteitä Tässä osassa kuvaillaan Euklidisen geometrian peruskäsitteitä ja niiden välisiä yhteyksiä. Varsinaisia määritelmiä ei esitetä, koskapa nämä käsitteet oletetaan jo tunnetuiksi! Seuraavien sivujen perustulokset esitetään ilman todistuksia, ja näitä (ja vain näitä) käyttäen myöhemmät tulokset pyritään todistamaan. Suorat ja janat (Euklidinen) taso koostuu pisteistä, joita merkitään isoilla kirjaimilla,,...,,q,..., indeksein ja ilman. isteet täyttävät tason homogeenisesti: mikään piste ei ole erityisasemassa muihin pisteisiin nähden, ja mikään suunta ei ole erityisasemassa: taso näyttää samanlaiselta katsottiinpa sitä mistä pisteestä käsin tahansa ja mihin suuntaan tahansa. Erityisesti tasossa ei ole ennakolta määrättyä origoa, eikä siis koordinaatistoa. Tason suora on ääretön järjestetty joukko pisteitä. Jos,Q, R lovat suoranleri pisteitä, on tarkalleen yksi niistä kahden muun välissä. Jos Q on pisteiden ja R välissä, voidaan merkitä Q R. Seuraavat ominaisuudet ovat tällöin voimassa Suoria merkitään pienillä kirjaimilla. jos Q R, niin R Q, jos Q R ja R S, niin Q S. Lause 1.1 (Suora). Kahden eri pisteen ja Q kautta kulkee tarkalleen yksi suora l(, Q). Erityisesti kahdella eri suoralla on korkeintaan yksi yhteinen piste. Yhteisellä suoralla olevat pisteet 1, 2,..., n, n 2, ovat kollineaariset. Tällöin merkintäl( 1, 2,..., n ) tarkoittaa sitä suoraa, jolle pisteet 1, 2,..., n kuuluvat. Esimerkki 1.1. Mekaanisissa sovelluksissa suoran piirtämiseksi voi käyttää avuksi esimerkiksi eaucellierin nivelikköä (1864), missä pisteet ja ovat kiinnitetyt ja piste Z liikkuu. Tällöin piste X piirtää suoraa. Z X

6 Suorat a ja b ovat yhdensuuntaiset, merkitään a b, jos a= b tai a b=. Seuraava tulos on keskeinen Eukliidisessa geometriassa. 1 eruskäsitteitä 6 Lause 1.2 (aralleelipostulaatti). Tason pisteen kautta kulkee tarkalleen yksi annetun suoranlsuuntainen suora. Jos l, niin kysytty suora onlitse. Suoranl(,Q) pisteet, jotka ovat pisteiden ja Q välissä muodostavat janan Q={R : R Q}. Jos jana on valittu yksikköjanaksi (jolloin merkitään = 1), voidaan muiden janojen Q pituudet ilmoittaa suhteessa siihen. Janan Q pituus on ei-negatiivinen reaaliluku, Q = r. Myöhemmin, yksinkertaisuuden vuoksi, janalle ja sen pituudelle käytetään samaa merkintää Q. ituusfunktio tuottaa tasoon metriikan: Lause 1.3 (Metriikka). Kaikille tason pisteille,q, R on voimassa: (1) Q 0. (2) Q=0 = Q. (3) Q= Q. (4) Q R + RQ (kolmioepäyhtälö). (5) Q= R+RQ R Q. Jokaisella suorallalon kaksi mahdollista suuntaa. Jos toinen näistä suunnista valitaan, kutsutaan suoraa suunnatuksi. Tällöin olla välissä -relaatiosta tulee epäsymmetrinen: jos Q ja R Q tai Q R, niin R. Huomaa, että suoran kaksi pistettä, ja Q, määräävät sen suunnan. Korostettaessa suuntaa voidaan merkitä l(,q), kun suunta Q on valittu. Suunnatun suoran l(,q) jana Q on suunnattu: Q, ja korostettaessa suuntaa kirjoitetaan Q. Suoran l(q, ) suunta on vastakkainen suoran l(,q) suunnalle. Suunnatun janan Q pituudelle käytetään merkintää Q= Q, toisin sanoen, suunnatun janan pituus riippuu etumerkiltään valitusta suunnasta. Esimerkki 1.2. Kun,Q, R ovat kollineaariset pisteet suunnatulla suoralla l, niin Q+ QR+R= 0. Tämä on riippumatonta pisteiden,q, R järjestyksestä suorallal. Lause 1.4 (Janan siirto). Olkoot l(,q) suunnattu suora ja r> 0 positiivinen vakio. Tällöin on yksikäsitteinen piste R l, jolla R ja R= r. Erityisesti, jos pisteet, X, Y ovat kollineaariset ja X = Y, niin X = Y.

7 1 eruskäsitteitä 7 Verrannollisuus Esimerkki 1.3. Osoitetaan, että jos X ja Y jakavat janan samassa suhteessa, niin X = Y, eli suunnatuille janoille on voimassa X X = Y Y = X= Y. Väite seuraa yhtälöistä X X + 1= X+ X X = X ja Y Y + 1= Y+ Y Y ja siten X =Y, ja koska janat ovat suunnattuja, niin X= Y. = Y, Lause 1.5 (Verrannollisuus). Olkoot a b c yhdensuuntaiset suorat, joita suoratl 1 jal 2 leikkaavat pisteissä 1, 2, 1, 2 ja 1, 2, vastaavasti. Tällöin 1 a 2 1 b = c 2 l 1 l 2 Huomaa, että edellä suorien a, b ja c järjestys ei ole kiinnitetty, eli esimerkiksi suora c voi kulkea suorien a ja b välissä. Kulmat Suoraljakaa tason kahteen puoliskoon 1 ja 2, joiden leikkaus onlja unioni koko taso. Kaksi pistettä,q i (missä i= 1 tai 2) ovat samalla puolella suoraal. Jos ja Q ovat eri puolilla suoraal, niinl(,q) leikkaa suoranl. Kulma on kahden leikkaavan suoranl 1 jal 2 rajoittama tason osa. Leikkaavat suoratl 1 = l(,q) jal 2 = l(, R) jakavat tason neljään osaan, ja siksi tarvitaan vielä tieto miten kulma luetaan. Kulma α= QR on se tason osa, joka saadaan lukemalla taso vastapäivään suunnassa Q,, R. Suoratl(,Q) jal(, R) ovat kulmanαkyljet. Kulma QR on luonnostaan suunnattu, joten voidaan puhua kahden kulman samannimisistä kyljistä (vasemmat/oikeat kyljet). Usein kulma QR lyhennetään muotoon, mikäli se on asiayhteydestään selvä; esimerkiksi kuvasta tai siitä, että kulma aukeaa monikulmion sisälle. Kulman suuruutta mitataan asteilla tai radiaaneilla. Näiden mittojen vastaavuus on: 360 o = 2π. (Mikäli haluttaan erottaa kulma ja sen suuruus toisistaan, voidaan kirjoittaa kulman suuruudelle. Jäljempänä tätä merkinnällistä erottelua ei ole tehty.) Lause 1.6 (Samannimisyys). Jos kahden koveran kulman (< 180 o )αjaβ samannimiset kyljet ovat yhdensuuntaiset, ovat ne yhtä suuret,α=β. α R Q

8 1 eruskäsitteitä 8 Lause 1.7 (Kulman siirto). Olkootαkulma ja l(,q) suora. Tällöin on olemassa yksikäsitteinen suora l(, R) siten, että QR=α. Kulmien suuruudet lasketaan modulo 360 o, ja kirjoitetaan: RQ= QR, jolloin seuraava tulos tarjoaa säännön kulmien yhteenlaskun lisäksi myös niiden erotukselle. Lause 1.8 (Summa). QR = QS + S R. Lause 1.9 (Oikokulma). Jos, niin = 180 o. Esimerkki 1.4. Kulman QR ristikulma on S T, missä SQ ja TR. Kahden leikkaavan suoran ristikulmat ovat yhtä suuret. Todetaan tämä seuraavasti. Koskapa 180 o = QS = QR+ RS, ja samoin 180 o = RS+ ST, saadaan väite, eli QR= ST. S T R Q Kahden kulman yhtäsuuruuden tarkistamiseksi käytetään seuraavaa lausetta. Lause 1.10 (Kulmat). l(, R). (1) Jos QR = QS, niin S (2) Olkoon piste G janalla Q ja R/ l(,q). Tällöin QR QGR, missä yhtäsuuruus on voimassa vain jos G=. Kaksi suoraa a ja b ovat kohtisuorassa, a b, jos niiden muodostamat kulmat ovat suoria (90 o ). Jos a b ja b, on b normaali pisteestä suoralle a. Lause 1.11 (Normaali). Normaali pisteestä suoralle on aina olemassa. Harjoitustehtäväksi jää osoittaa, että normaali pisteestä suoralle l on aina yksikäsitteinen. Yleisesti ura on pistejoukko, joka toteuttaa tietyt annetut ehdot. Esimerkiksi ympyrä ω(o, r) on niiden pisteiden ura, joiden etäisyys annetusta pisteestä O on annetun janan pituus =r. Yhtenevyys Suljettu murtoviiva koostuu tason järjestetystä pistejonosta 1, 2,..., n, n 3, ja näitä yhdistävistä janoista, eli sivuista, 1 2, 2 3,..., n 1 n, n 1. Tässä pisteet 1, 2,..., n ovat murtoviivan kärjet (tai kulmapisteet). MonikulmioΓ = n on suljettu murtoviiva, jonka sivujen leikkauspisteet ovat tarkalleen 1, 2,..., n, eli kaksi sivua eivät leikkaa muualla kuin peräkkäisissä kärkipisteissä. Monikulmio on tasasivuinen, jos sen sivut ovat 2 1 saman pituiset, ja se on säännöllinen, jos myös sen kärkikulmat ovat yhtä 3 suuret. G R Q

9 1 eruskäsitteitä 9 OlkootΓ= n jaσ= Q 1 Q 2...Q n monikulmioita, joissa on sama määrä pisteitä. Tällöin bijektio i Q i on niiden välinen vastaavuus. Sivut i i+1 ja Q i Q i+1 ovat vastinsivut ja monikulmion sisään aukeavat kulmat i ja Q i ovat niiden vastinkulmat. MonikulmiotΓ jaσovat yhtenevät (eli kongruentit),γ =Σ, mikäli niiden vastinsivut ovat pareittain yhtä pitkät ja vastinkulmat ovat pareittain yhtä suuret. Geometriset konstruktiot ja tehtävät Geometristen konstruktioiden apuvälineinä ovat harppi ja viivain. Viivaimen avulla voidaan piirtää suora kahden annetun pisteen kautta, ja harpin avulla voidaan piirtää ympyrä annettu piste keskipisteenä ja annettu jana säteenä. Harppi-viivain konstruktioissa uusia pisteitä määrätään ympyröiden ja suorien leikkauspisteinä. Harppi ja viivain eivät tunnu kovin moderneilta välineiltä verrattuina uudempiin elektronisiin graafisiin työkaluihin. On kuitenkin huomattava, että pisteet, suorat ja ympyrät ovat edelleen geometrian peruskäsitteet, joiden konstruointeihin harppi ja viivain muodostavat pienen työkalupakin; harppi- ja viivainratkaisut selittävät ratkaisua havainnollisesti ja ratkaisujen luonne on hyvin algoritminen. Geometrinen (konstruktio-) tehtävä koostuu 1. Tehtävästä eli oletuksista ja väitteestä muodossa iirrä... tai Etsi... ; 2. Ratkaisusta, joka on harppi-viivain konstruktio, eli luettelo ohjeista, joita seuraamalla ratkaisu löydetään; 3. Todistuksesta, että ratkaisu on oikein.

10 Osa I TSOGEOMETRIN ERUSTULOKSI 2 Kolmioiden geometriaa Merkintöjä kolmioille Kolmiolle, jonka kärkipisteet ovat,,, käytetään merkintää =. Suoran l(, ) piste on mediaanin kantapiste M, kun M = M. korkeussuoran kantapiste H, kunl(, H ) l(, ). kulmanpuolittajan kantapiste, kun =. X H M = on kolmion kantakulma. Kulma X on kulman ulkokulma. Näiden kulmien summa on 180 o. 2.1 Yhtenevyys Kolmiot ja ovat yhtenevät, merkitään =, jos niiden vastinsivut ovat yhtä pitkät ja vastinkulmat ovat yhtä suuret. Esimerkki 2.1. Monikulmio on järjestetty joukko pisteitä ja niitä yhdistäviä viivoja, ja niinpä, formaalisesti ottaen, pidämme kolmioita ja eri monikulmioina, mutta toki vain sikäli että niiden kärkipisteet luetaan eri pisteestä lähtien ja eri suuntiin (myötä- ja vastapäivään). Jos =, niin määritelmän mukainen vastaavuus on, ja, ja siten yhtenevyyden mukaan =, joten tämä kolmio on tasakylkinen. Vastaavasti, jos =, niin kyseinen kolmio on tasasivuinen, eli kaikki sivut ovat yhtä pitkiä. Seuraava kriteeri on yleensä postulaattina aksiomaattisessa geometriassa. Eukleides perusteli sitä käyttäen päällekkäin asettamisen kriteeriä, joka on kuvaava mutta epämääräinen todistusmetodi: Kaksi tason kuviota ovat yhtenevät, jos ne voidaan kuvion muodon ja koon säilyttäen siirtää toinen toisikseen.

11 2.1 Yhtenevyys 11 Lause 2.1 (SKS). Jos kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma ovat yhtä suuret kuin vastinosat kolmiossa, niin =. Tähän nojautuen etsitään monimuotoinen kokoelma yhtenevyyskriteerejä, jotka koskevat kolmion luonnollisia janoja ja kulmia. Lause 2.2 (2K+S). Jos kolmion kaksi kulmaa ja yksi sivu ovat yhtä suuret kuin vastinosat kolmiossa, niin =. Todistus. Olkoot kyseiset kolmiot ja niin, että = ja =. Jaetaan todistus kahteen osaan sen mukaan onko yhtä pitkät vastinsivut annettujen kulmien välissä vai ei. (KSK) Olkoon =. Lauseen 1.4 mukaan suoralla l(, ) on yksikäsitteinen piste G, jolla G=. (iste G voi olla myös sivun jatkeella eli G.) Kriteerin (SKS) mukaan G =, ja näin ollen G=. Mutta oletuksen mukaan =, ja siten = G, mistä G= seuraa lauseen 1.10 mukaan. (KKS) Tapauksen, jossa =, todistus on samanlainen kuin edellä. Väite seuraa jälleen lauseesta G G Esimerkki 2.2. Oletetaan, että kolmiossa on =. Koska =, on kriteerin (KSK) nojalla = ja eritoten =. Siten tämä kolmio on tasakylkinen. Toisaalta, jos kolmio on tasakylkinen, =, niin = kriteerin (SKS) mukaan ja siten myös =. Näin ollen on tasakylkinen tarkalleen silloin kun sen kaksi kantakulmaa ovat yhtä suuret. Samoin voidaan osoitta, että on tasasivuinen jos ja vain jos sen kaikki kantakulmat ovat yhtä suuret. Lause 2.3 (SSS). Jos kolmion kaikki sivut ovat yhtä pitkät kuin vastinsivut kolmiossa, niin =. Todistus. Olkoot ja kyseiset kolmiot ja piste, jolle = ja = kuten kuvassa. Siis = (= ), joten on tasakylkinen. Esimerkin 2.2 mukaan =. Vastaavasti on tasakylkinen, ja =. Kulmien yhteenlasku (tai vähennyslasku, jos > 90 o ) tuottaa tuloksen =, ja kriteerin (SKS) mukaan =. Siten myös alkuperäiset kolmiot ovat yhtenevät. /

12 2.1 Yhtenevyys 12 Seuraavat tulokset kolmioille jäävät harjoitustehtäviksi. Lause 2.4 (SMS). Jos kolmion yhdestä kärkipisteestä lähtevät sivut ja mediaani ovat yhtä pitkät kuin vastinosat kolmiossa, niin =. / // M Lause 2.5 (HHH). Jos kolmion korkeusjanat ovat yhtä pitkät kuin vastinjanat kolmiossa, niin =. Seuraava kriteeri todistetaan parhaiten käyttäen kolmion merkillisiä pisteitä. Lause 2.6 (MMM)., niin =. Jos kolmion mediaanit ovat yhtä pitkät kuin vastinjanat kolmiossa Kulmanpuolittajia koskeva kriteeri on selvästi vaikeampi kuin edeltävät kriteerit. Lause 2.7 (). Jos kolmion kulmanpuolittajat ovat yhtä pitkät kuin vastinjanat kolmiossa, niin =. Suunnikkaat Kuten edellä lauseen 1.10 ja paralleeliaksioman avulla todetaan helposti: l Lause 2.8. Leikatkoon l suoria a ja b. Tällöin seuraavat kohdat ovat yhtäpitäviä (katso kuvaa): (1) a b (2) α=β (3) α=γ. a b α γ β Todistus. Harjoitus. Lause 2.9. Kolmion kulmien summa on 180 o. a Todistus. Olkoon a suora siten, että a l(, ) ja a. Tällöin lauseen 2.8 mukaan kuvan kulmat ovat pareittain yhtä suuret. Lause 2.10 (Suunnikas). Seuraavat nelikulmiota koskevat ehdot ovat yhtäpitävät: (1) vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset, (2) vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät, (3) vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret, (4) kaksi vastakkaista sivua ovat yhtä pitkät ja yhdensuuntaiset, (5) lävistäjät puolittavat toisensa.

13 2.2 Yhdenmuotoisuus 13 Todistus. Todistetaan, että ehto (2) seuraa ehdosta (1). Muut jäävät harjoituksiksi. Olkoon D nelikulmio, jossa l(, ) l(d, ) ja l(, D) l(, ). Tällöin D = D lauseen 2.8 mukaisesti. Samoin D = D. Kriteerin (KSK) mukaan D = D, ja siten monikulmion vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät. Edellisen lauseen ehdot täyttävää nelikulmiota kutsutaan suunnikkaaksi. D X 2.2 Yhdenmuotoisuus Kolmiot = ja = ovat yhdenmuotoiset, merkitään, jos niiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivut ovat verrannolliset, eli = =. Lause Seuraavat ehdot ovat yhtäpitävät: (1). (2) Kolmioiden ja kaksi vastinkulmaa ovat yhtä suuret. (3) Kolmioiden ja vastinsivut ovat verrannolliset. Todistus. Tapaukset (1)= (2) ja (1)= (3) seuraavat määritelmästä. Jos kolmioilla ja on yhtä pitkä sivu, =, palautuu väite yhtenevyyteen. Otaksutaan siksi, että >. Muita kohtia varten, olkoon G niin, että = G, ja olkoon valittu niin, ettäl(g, ) l(, ). Tällöin lauseen 1.5 (missä = 1 = 2 ) mukaan on G = ja lisäksi kolmioiden ja G kaikki vastinkulmat ovat yhtä suuret, koskapal(, ) l(g, ). Oletetaan että (2) on voimassa. Tällöin kolmioiden ja kaikki vastinkulmat ovat yhtä suuret, koska kolmion kulmien summa on 180 o. Täten = G (KSK), ja siten = G = =. Symmetrisesti voidaan osoittaa, että = ja näin ollen ehdosta (2) seuraa (1) ja samalla (3). G

14 2.2 Yhdenmuotoisuus 14 Oletetaan sitten että (3) on voimassa. Nyt G, sillä näillä kolmioilla kaksi vastinkulmaa ovat yhtä suuret, ja mehän tiedämme jo että (2)= (1). Saadaan = = G =, missä viimeinen yhtälö seuraa valinnasta = G. Näin ollen =, ja vastaavasti nähdään, että = G. Kriteerin (SSS) mukaan = G, mistä väite seuraa, sillä G. Jokaista yhtenevyystulosta vastaa yhdenmuotoisuustulos: Sivujen yhtä suuruus korvataan vain niiden verrannollisuudella. Edellinen lause on (SSS )-tulos. Kriteeriä (KSK) vastaava yhdenmuotoisuustulos on pelkkä (KK)-tulos. Lause 2.12 (SKS ). Jos kolmioissa ja on = ja niin. =, Todistus. Harjoitus. (Muuta edellistä todistusta niin, että käytetään kriteeriä (SKS) todentamaan, että = G). Kulmanpuolittajat Lause 2.13 (Kulmanpuolittaja). Kolmion kulman puolittajasuora jakaa vastakkaisen sivun viereisten sivujen suhteessa: =. Todistus. Olkoon = kulman puolittajan kantapiste. iirretään jana E, missä E l(, ), jolloin = = E oletuksen ja yhdensuuntaisuuden takia. Näin ollen E on tasakylkinen, = E. Koska E (KK), niin = E =, E mikä olikin väite. Edeltävä lause on voimassa myös kolmion ulkokulmien puolittajille. Lause Kolmion ulkokulman puolittajasuora jakaa vastakkaisen sivun viereisten sivujen suhteessa: =.

15 2.2 Yhdenmuotoisuus 15 Todistus. Todistus on edeltävän kaltainen. On huomioitava kolme tapausta: <, = vai >. Keskimmäisessä tapauksessa suhde on raja-arvo eli 1, ja kolmas tapaus palautuu symmetriaan nojautuen ensimmäiseen. Esimerkki 2.3. Olkoot l(, ) ja l(, Q) kolmion kulman kulman ja sen ulkokulman puolittajasuorat, missä, Q l(, ). Tällöin ja Q jakavat janan harmonisesti suhteessa h = /, eli sillä = Q Q = h, = = Q Q. Huomattakoon, että edellä Q= 90 o, joten piste on sen ympyrän kehällä, jonka halkaisijana Q on. Tästä voidaan päätellä edelleen seuraava polloniuksen ympyrää koskeva tulos: 1 Olkoon jana, ja h 1 vakio. Niiden pisteiden X ura, joilla X = h, on ympyrä, X jonka halkaisijana on jana Q, missä, Q l(, ) niin, että / = h ja Q/Q = h. Esimerkki 2.4. Jos piste valitaan janalta siten, että =, niin janalle on suoritettu kultainen leikkaus. Kun = 1 ja =x, niin kultaisessa leikkauksessa 1/x=x/1 x, ja siten x 2 + x 1=0. Ratkaisemalla todetaan, että x= ( 5 1)/2= Lukuϕ= x+ 1= x 1 = esiintyy monissa yhteyksissä matematiikassa. Säännöllisen 5-kulmion halkaisijan suhde sivuun onϕ. Määritellään Fibonaccin luvut 2 f i, i= 0, 1, 2,..., ehdoista f 0 = 0, f 1 = 1 ja f i+1 = f i + f i 1, jolloin saadaan jono lukuja: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,..., jotka näkyvät Turun yössä Energialaitoksen piippua koristamassa. Raja-arvo lim f i+1 /f i onϕ. 1 pollonius (n ekr) 2 Fibonacci eli Leonardo isalainen (n )

16 2.2 Yhdenmuotoisuus 16 Luku ϕ toteuttaa kaavan ϕ= 1+ 1 ϕ, mistä sille saadaan ketjumurtolukukehitelmä: Samoin saadaan ϕ= ϕ= ythagoraan lause ythagoraan 3 lauseelle on esitettävissä lukuisia erilaisia todistuksia, katso esimerkiksi websivulle ØØÔ»»ÛÛÛºÙØ¹Ø ¹ ÒÓغÓÑ. Lause 2.15 (ythagoras). Olkoon suorakulmainen, = 90 o. Tällöin 2 = Todistus. Olkoon D korkeusjana (eli D=H ), jolloin kriteerin (KK) mukaan D D. Näin ollen Siten D = ja D =. D 2 = (D+D)= = Esimerkki 2.5. ythagoraan lause vastaa trigonometriassa kaavaa sin 2 (α)+ cos 2 (α)=1. ythagoraan lause on voimassa myös kääntäen, mutta tämä jää harjoitukseksi. Lause Jos kolmiossa on 2 = 2 + 2, niin = 90 o. 3 ythagoras (n ekr)

17 2.2 Yhdenmuotoisuus 17 Seuraavan lauseen Stewartin kaava yleistää ythagoraan lauseen. Se on käyttökelpoinen tasogeometrian laskennollisissa ongelmissa. Huomaa, että pisteiden,, järjestystä suoralla ei ole kiinnitetty. Lause 2.17 (Stewart). Olkoot pisteet,, kollineaariset ja jokin tason piste. Tällöin = 0. eli kuvan merkinnöin missä c=r+ s. c (t 2 + r s)=s a 2 + r b 2, b t a r s Todistus. (1) Tapaus l(, ) on laskennollinen harjoitus. (2) Kun / l(, ), piirretään korkeusjana H, jolloin 2 = H 2 + H 2, 2 = H 2 + H 2, 2 = H 2 + H 2, ja + += 0. H Kaavan vasen puoli antaa nyt (H 2 + H 2 )+(H 2 + H 2 )+ +(H 2 + H 2 )+ = H 2 + H 2 + H 2 +H 2 (++ )+ = H 2 + H 2 + H 2 + = 0, missä siis H l(, ) ja siten väite seuraa kohdasta (1). Esimerkki 2.6. Sovelletaan Stewartin kaavaa kolmion kärkipisteisiin ja mediaanin kantapisteeseen M. Olkoon m= M. Saadaan m= 1 2 (a2 + b 2 ) 1 4 c2. Näin mediaanin pituus on laskettu sivujen pituuksien avulla. b m a r r c= 2r

18 2.3 Konsyklisyys 18 Esimerkki 2.7 (Sylvesterin ongelma). Sylvester 4 esitti 1893 seuraavan ongelman: Etsi äärellinen epäkollineaaristen pisteiden joukko siten, että kun pisteparit yhdistetään suoriksi, niin kullakin suoralla on ainakin kolme pistettä. Gallai (1933) ratkaisi ensimmäisenä Sylvesterin ongelman Sylvesterin joukkoa ei ole olemassa. Lause 2.18 (Sylvester). Olkoon äärellinen epäkollineaarinen pisteiden joukko. Tällöin on ainakin yksi suora, johon kuuluu tarkalleen kaksi joukon pistettä. Todistus (Kelly). Olkoon d(,l) pisteen etäisyys suorastal, eli normaalin pituus. Joslkulkee kahden joukon pisteen kautta, niin on olemassa piste, jolle / l. Tällaisia pareja(,l) on vain äärellinen määrä, sillä joukko on äärellinen. Valitaan pari(,l) niin, että d(,l) on pienin mahdollinen. Väitetään, että suorallalon vain kaksi joukon pistettä. Olkoon pisteestä piirretyn normaalin kantapiste suorallal. Todetaan, että jos suorallalon vähintään kolme joukon pistettä, on niistä ainakin kaksi, sanokaamme ja, samalla puolen pistettä. Yhdenmuotoisuudesta saadaan ristiriita d(,l(, ))= Y<. Olkoon G sellaisten suorien lukumäärä, jotka kulkevat tarkalleen kahden joukon pisteen kautta, ja olkoon G(n)=min{G : joukossa on n pistettä}. Tällöin n G(n) Taulukkoa voitaisiin jatkaa lukuun n = 16 asti. Tapaus n = 17 on ensimmäinen avoimena säilynyt ongelma. Y 2.3 Konsyklisyys Olkoonω=ω(O, r) ympyrä, ja pisteet,, ωsen kehällä. Kulma on kehäkulma. Sitä vastaava keskuskulma on O. Lause Ympyrän kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta. Todistus. Oletetaan ensin, että kehäkulmanα= toinen kylki, sanokaamme, on ympyrän ω(o, r) halkaisija, jolloin vastaava keskuskulma onβ = O. Kolmio O on tasakylkinen, joten O=α. Nyt 2α=180 o (180 o β)=β. O Jokainen kehäkulma voidaan esittää kahden kulman summana tai erotuksena, missä apukulmien toiset kyljet ovat halkaisijalla. 4 Sylvester ( )

19 2.3 Konsyklisyys 19 Koska samaa kaarta vastaavilla kehäkulmilla on sama keskuskulma, seuraava lause on voimassa. Lause Samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat yhtä suuret. Jos ympyrä ω kulkee monikulmion Γ kärkipisteiden kautta, sanotaan sitä kulmion Γ ympäri piirretyksi ympyräksi. TällöinΓ on konsyklinen. Lause Jokainen kolmio on konsyklinen, eli ω(,, ) on olemassa. Todistus. Olkoon O sivujen ja keskinormaalien leikkauspiste. Tällöin O = O = O kriteerin (SKS) mukaan, joten O on myös janan keskinormaalilla, ja ω(o, O) kulkee kolmion kärkipisteiden kautta. M O M Lause Olkoot,, epäkollineaarisia pisteitä, ja D piste samalla puolen suoraal(, ) kuin. Tällöin = D jos ja vain jos D ω(,, ). D D Todistus. Olkoon D ω(,, ) suorallal(, D) kuten kuvassa. Lauseen 1.10 mukaan D= D, josta väite seuraa. Seuraava lause on nyt selvä. Lause Olkoot ympyränωhalkaisija ja,. Tällöin ω jos ja vain jos = 90 o. Lause Nelikulmio D on konsyklinen jos ja vain jos + = 180 o jos ja vain jos + D= 180 o. Todistus. Nelikulmion kulmien summa on 360 o. (Todetaan jakamalla se kahteen kolmioon lävistäjän avulla.) Täten + = 180 o jos ja vain jos + D=180 o. ( ) Kehä- ja keskuskulmia koskevan tuoksen mukaan + = 180 o. ( ) iirretään ympyrä ω(,, ). Tällöin jänne näkyy pisteen vastakkaisen kaaren E jokaisesta pisteestä kulman 180 o = D suuruisena. Lauseen 2.22 mukaan myös D on kaarella E.

20 2.4 Geometrinen konstruoituvuus 20 Lause Olkoot piste, ω ympyrä sekä l(,, ) ja l(,, D) suoria, missä,,, D ω, niin = D. Tässä vakio on pisteen potenssi ympyrän ω suhteen. D Todistus. Väite seuraa suoraan yhdenmuotoisuudesta D. Huomaa, että jos E on tangenttipiste (eli edellä E== D jal(, E) l(o, E)), niin tulos on yhä voimassa. Niinpä pisteen potenssi on E 2. Lause 2.26 (tolemaios). Jos D on konsyklinen nelikulmio, niin D+ D = D. Todistus. Etsitään piste E D niin, että DE=. Tällöin DE ja D E. Näin ollen D = ED ja Yhdistämällä nämä saadaan väite, = E D. D+D = (E+ED)= D. D E Esimerkki 2.8. tolemaioksen lause vastaa tuttua trigonometrian kaavaa sin(α+β)=sin(α) cos(β)+sin(β) cos(α), joka saadaan valitsemalla D = 1 ympyrän halkaisijaksi, ja α = D, β = D. 2.4 Geometrinen konstruoituvuus Tehtävä 1. (1) Siirrä annettu kulma annetulle suorallel(r, S) sen pisteeseen R. (2) uolita annettu kulma. (3) uolita annettu jana. (4) iirrä suoralle normaali sen annettuun pisteeseen. (5) iirrä suoralle normaali sen ulkopuolella olevan pisteen kautta. (6) iirrä annetun pisteen kautta suora, joka on annetun suoran suuntainen.

21 Ratkaisu. Ratkaistaan (1); muut ovat harjoitustehtäviä. 2.4 Geometrinen konstruoituvuus 21 Merkitään r=. 1. iirrä ympyräω 1 =ω(, r) ja olkoon E=ω 1 l(, ). Merkitään s=e. 2. iirräω 2 =ω(r, r) ja olkoon T=ω 2 l(r, S). 3. iirräω 3 =ω(t, s) ja olkoon ω 2 ω 3. Tällöin T R on vaadittu kulma. E S R T Todistus. Kriteerin (SSS) nojalla on E = TR, sillä = E=r= R= RT ja E = T. Täten = T R vastinkulmina. Tehtävä 2. Olkoot janat ja D annettuina (yksikköjanan ohella). (1)Etsi pituutta + D oleva jana. (2)Etsi pituutta oleva jana, missä k on luonnollinen luku. k (3)Etsi pituutta D oleva jana. (4)Etsi pituutta oleva jana. D (5)Etsi pituutta oleva jana. Ratkaisu (1). Olkoon E l(, ), jolle E= D ja E. Nyt E= + D. Todistus. Selvä. Ratkaisu (2). Harjoitus. Ratkaisu (3). Olkoon I l(, ) niin, että I= 1. (Kuvassa on tapaus I.) iirretään suoral l(, ) niin, että l. Olkoon E lpiste, jolle D= E. iirretään suoranl(i, E) suuntainen suoral(, X), missä X l. Tällöin X on kysytyn pituinen jana. E I X Todistus. Tässä I E X, jossa I = 1. Väite seuraa verrannollisuudesta. Ratkaisu (4). Harjoitus. (Muuta hieman edellistä konstruktiota.)

22 2.4 Geometrinen konstruoituvuus 22 Ratkaisu (5). Olkoot l(, ) niin että ja = 1. uolita jana. Olkoon puolituspiste O. iirrä ω = ω(o, r), missä r= O, ja normaali a suorallel(, ) sen pisteeseen. Kun X ω a, on X kysytyn pituinen jana. X O Todistus. Sovelletaan ythagoraan lausetta kolmioon OX. Tässä OX = (+1)/2 on ympyrän ω säde, ja O =( 1)/2. Väite saadaan sitten laskemalla X. Sanotaan, että reaaliluku x on konstruoituva, jos on olemassa geometrinen (harppiviivain)-konstruktio, jolla saadaan aikaan pituutta x oleva jana yksikköjanasta lähtien. Kaikkia jananpituuksia ei voida konstruoida harpin ja viivaimen avulla. Edellisiä tehtäviä yhdistelemällä todetaan, että operaatiot summaus, tulo, jako ja neliöjuurenotto säilyttävät konstruoituvuuden. Esimerkiksi, jos janat ja D ovat annettuina, voidaan geometrisesti konstruoida jana, jonka pituus on D. Seuraava tulos voidaan todistaa kuntalaajennusten avulla. Lause Luku x on konstruoituva jos ja vain jos se saadaan yksikköjanasta rationaalisin operaatioin (+,,/, ) käyttäen juurenottoa. 3 Näin ollen janaa, jonka pituus on esimerkiksi 2 ei voida geometrisesti konstruoida. Lauseen 2.27 nojalla on myös geometrisesti mahdotonta (1) jakaa mikä tahansa kulma kolmeen yhtä suureen kulmaan; (2) konstruoida neliö, jonka ala on sama kuin annetun ympyrän ala.

23 3 Merkilliset pisteet 3.1 Menelaus ja eva Menelauksen ja evan 1 lauseet koskevat kollineaarisuutta ja konkurrenssia, eli ongelmaa, milloin kolme pistettä ovat samalla suoralla ja milloin kolme suoraa leikkaavat yhteisessä pisteessä, vastaavasti. Tässä kappaleessa janat oletetaan yleensä suunnatuiksi. Sanotaan, että R, S, T ovat kolmion sivusuorilla, jos R l(, ), S l(, ), T l(, ) mutta ne eivät ole kärkipisteitä,,. Lause 3.1 (Menelaus). isteet R, S, T kolmion sivusuorilla ovat kollineaariset jos ja vain jos R S R S T T = 1. Tässä kolmio kierretään R S T ja kaavan (suunnatut) janat kerätään matkan varrelta: ր ր. T S R Todistus. ( ) Oletetaan ensin, että pisteet R, S, T ovat kollineaariset, ja piirretään suora Lauseesta b l(r, S, T) 1.5 niin, seuraa, että että b. Olkoon =l(, ) b. ja siten R R = T T ja S S = T T, R R S S T T = T T T T T T = 1. ( ) Oletetaan, että Menelauksen kaava toteutuu pisteille R, S, T. Olkoot a=l(r, S) ja T = a l(, ). isteet R, S, T ovat kollineaariset, joten edeltävän kohdan mukaan T S R R S R S T T = 1, joten oletuksesta saadaan T T = T T. Esimerkin 1.3 mukaisesti T= T, ja väite on todistettu. 1 Menelaus n.100; eva 1678

24 3.1 Menelaus ja eva 24 Menelauksen lauseessa ainakin yksi kollineaarisista pisteistä R, S, T on kolmion ulkopuolella mahdollisesti kaikki kolme. S T R Lause 3.2 (eva). Olkoot pisteet R, S, T kolmion sivusuorilla. Tällöin suoratl(, S),l(, T),l(, R) ovat konkurrentit jos ja vain jos R S R S T T =+1. T R S Todistus. ( ) Olkoon X kyseisten suorien yhteinen leikkauspiste. Sovelletaan Menelauksen lausetta tapauksiin ( T,l(R, X, )) ja ( T,l(S, X, )): R R X X T T = 1 (3.1) S S T T X X = 1. (3.2) Kertomalla nämä yhtälöt keskenään saadaan evan kaava. ( ) Oletetaan, että evan kaava on voimassa. Olkoot X =l(, R) l(, T) ja S = l(, X) l(, ). Todistuksen alkuosan mukaan joten oletuksen nojalla S S = S S. Esimerkistä 1.3 seuraa väite, eli S= S. S S T T R R = 1, Huomaa, ettei evan lauseessa oleteta, että pisteet T R, S, T olisivat kolmion sivujanoilla. Ne saattavat olla sivusuorilla kolmion ulkopuolella. R Jatketaan hieman evan lauseen todistusta. Huomaa että lauseessa on nyt summaus. Lause 3.3 (van ubel). Olkoot pisteet R, S, T kolmion sivusuorilla siten, että l(, S), l(, T), l(, R) ovat konkurrentit leikaten pisteessä X. Tällöin X X T = R R + S S. X T X R S S

25 3.2 Kolmion merkilliset pisteet 25 Todistus. Yhtälöistä (3.1) ja (3.2) seuraa mistä laskemalla yhteen saadaan X X T T = R R ja X X T T = S S, ja näin ollen väite on todistettu. X T ) X T (T+ = R R + S S, 3.2 Kolmion merkilliset pisteet Lause 3.4 (ainopiste). Kolmion mediaanit leikkaavat pisteessä G. Tämä painopiste toteuttaa ehdon G= 2 GM. Todistus. Konkurrenttisuus seuraa evan lauseesta: M M M M M M = 1. Tarkennus seuraa van ubelin lauseesta: G GM = M M + M M = 2. M G M M Seuraava tulos on Lause Lause 3.5 (Ympäri piirretty ympyrä). Kolmion sivujen keskinormaalit leikkaavat pisteessä O, joka on kolmion ympäri piirretyn ympyrän (,, ) keskipiste. Seuraavan tuloksen tarkennus on peräisin Eulerilta. 2 Suoral(H, G, O) on Eulerin suora. Lause 3.6 (Ortosentri). Kolmion korkeussuorat leikkaavat pisteessä H. Lisäksi ortosentri H, painopiste G ja ympäri piirretyn ympyrän keskipiste O ovat kollineaariset ja HG= 2 GO. Todistus. Jos on tasasivuinen, niin O = G = H. Oletetaan siis, että, jolloin G O. Merkitään lyhyesti M= M. Olkoon R piste suorallal(o, G) niin, että RG= 2 GO. 2 Euler ( )

26 Osoitetaan, että R = H. Lauseen 3.4 mukaan G M ja G = 2 GM. Oletuksen mukaan RG = 2 GO, ja siten GR MGO, jolloin RG = MOG. Siten l(o, M) l(, R). Koskapal(O, M) l(, ), myösl(, R) l(, ), elil(, R) on korkeussuora. ivan samoin muut korkeussuorat kulkevat pisteen R kautta, ja niinpä R = H on kuten vaadittu. Jos kolmio ei ole teräväkulmainen, on sen ortosentri kolmion ulkopuolella. Kolmion ortokolmio on O = H H H, jonka kärkinä ovat korkeusjanojen kantapisteet. 3.2 Kolmion merkilliset pisteet 26 H Esimerkki 3.1. Osoitetaan, että teräväkulmaisen kolmion korkeusjanat ovat ortokolmion O kulmien puolittajat. Todetaan ensin, että nelikulmiot H HH ja H HH ovat konsykliset, sillä niissä H + H = 180 o ja H + H = 180 o. Samaa kehää vastaavina kehäkulmina HH = HH H ja H H= H H H. H H H O M H G H R H Toisaalta kriteerin (KK) mukaan HH HH, ja siten HH = H H, mistä väite seuraa. H Sanotaan, että ympyrä ω on monikulmion Γ sisään piirretty ympyrä, jos se sivuaa kaikkia kulmionγ sivujanoja. Lause 3.7 (Sisään piirretty ympyrä). Kolmion kulmien puolittajat leikkaavat pisteessä I, joka on kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste. Todistus. Kulmanpuolittajia koskevan lauseen 2.13 mukaan = = 1, jolloin konkurrenttisuus seuraa evan lauseesta. Jokaisen pisteen X l(, ) etäisyys (kohtisuorasti) suorista l(, ) ja l(, ) on sama. Täten kulmanpuolittajien leikkauspisteen I etäisyys sivuista on sama, eli I on sen ympyrän keskipiste, joka sivuaa kolmion sivuja. I Esimerkki 3.2 (Feuerbach 1822). Ympyrä ω, joka kulkee kolmion mediaanien kantapisteiden M, M, M kautta, kulkee myös korkeusjanojen kantapisteiden H, H, H ja janojen H, H, H keskipisteiden T, T, T kautta.

27 3.2 Kolmion merkilliset pisteet 27 H T M M H G H T T M H Todistetaan tämä. (SKS )-kriteerin mukaan H T M, jotenl(m, T ) l(, )( l(, H )). ivan samoinl(m, T ) l(, ). Toisaalta H T T H ja M M, jotenl(t, T ) l(, ) jal(m, M ) l(, ). Näin ollen M M T T on suorakulmio. H M M H H T T M H ivan samoin M M T T on suorakulmio. Näillä kahdella suorakulmiolla on yhteinen lävistäjä M T, joten ne kuuluvat sen ympyränωkehälle, jonka halkaisijana M T on. Erityisesti M, M, M ωja T, T, T ω. Lisäksi H = H = H = 90 o, joten myös H, H, H ω, koska T M, T M ja T M ovat ympyränωhalkaisijoita. Väite on todistettu.

28 3.3 Monikulmioiden aloista Monikulmioiden aloista Monikulmion ala määrätään sen suhteessa yksikköalaan, eli neliön alaan, jonka sivut ovat yksikköjanan pituisia. Kolmion ala on ala( )= 1 2 ha, missä a on sivun pituus, ja h sen vastaisen korkeusjanan pituus. Oheinen lause sanoo, että tällainen määrittely käy laatuun. Lause 3.8. Olkoon = kolmio. Tällöin H = H = H. Todistus. Harjoitus. Esimerkki 3.3. Yhtenevillä kolmioilla on samansuuruinen ala. Tämän varmistamiseksi riittää todeta, että yhtenevillä kolmioilla = on yhtä pitkät vastinkorkeusjanat. (Tässä H = H kriteerin (2K+S) nojalla.) Esimerkki 3.4. loja voidaan käyttää hyväksi todistettaessa geometrisia tuloksia: Olkoot kolmion jokin sisäpiste ja X = l(, ) l(, ), Y=l(, ) l(, ), Z=l(, ) l(, ). Tällöin X X + Y Y + Z Z = 1. Y Z X Tämän todistamiseksi merkitään =. Nyt ala( ) ala( ) = H H = H H = Z Z, sillä Z H ZH. Vastaavat lausekkeet saadaan kolmioille ja, ja siten ala( )+ala( )+ala( ) 1= ala( ) = Z Z + Y Y + X X. Z H H

29 3.3 Monikulmioiden aloista 29 (SSS)-lauseen nojalla kolmion sivujen pituudet määräävät sen alan (koska yhtenevillä kolmioilla on sama ala). Seuraava tulos 3, joka jää harjoitukseksi, kertoo miten. Lause 3.9 (Heronin kaava). Olkoot kolmion sivujen pituudet a, b, c ja olkoon 1 p= 2 (a+ b+c) puolet sen piirin pituudesta. Tällöin ala( ) = p(p a)(p b)(p c). Esimerkki: Yhteisositettavuus Monikulmion Γ ositus tarkoittaa äärellistä monikulmioiden joukkoa, jotka peittävät koko kulmion Γ ja joilla ei ole yhteisiä pisteitä mahdollisia sivupisteitä lukuunottamatta. Seuraava tulos 4 sanoo, että jos monikulmioillaγ 1 jaγ 2 on sama ala, ovat ne yhteisositettavissa, eli Γ 1 voidaan leikata osiin ja koota uudelleen monikulmioksiγ 2. Lause 3.10 (Wallace olyai Gerwien). Jos monikulmioillaγ 1 jaγ 2 on sama ala, voidaan ne osittaa yhteneviin monikulmioihin: Γ i = k Γ i j missä Γ 1j=Γ2j kaikilla j. j=1 Todistuksen ajatus. Osoitetaan, että jokainen monikulmio Γ on yhteisositettavissa sellaisen suorakulmion kanssa, jonka korkeus on 1. Väite seuraa tästä. MonikulmioΓ voidaan osittaa kolmioihin 1, 2,..., n lävistäjien avulla. Edelleen jokainen kolmio i voidaan osittaa neljään osaan, ja koota uudelleen suorakulmioksiγ i kuten kuvassa. Oletetaan sitten, että meillä on kaksi sama-alaista suorakulmiota, joiden korkeudet ovat a ja b, missä b < a 2b. setetaan nämä suorakulmiot kuten kuvassa. Todetaan, että ne ovat yhteisositettavissa. Toistamalla tätä menettelyä päätellään, että jokainen suorakulmioγ i on yhteisositettavissa suorakulmionγ i kanssa, jonka korkeus on 1. Liimaamalla kaikki saadut monikulmiot nauhaksi Γ 1 Γ 2...Γ n on osoitettu, että jokainen monikulmio on yhteisositettavissa tällaisen suorakulmion kanssa. Seuraavan vuodelta 1970 olevan tuloksen todistaminen vaatii yllättävän paljon apuneuvoja. Huomaa, että neliön jakaminen 2n kappaleeseen samanalaiseen kolmioon ei tuota liiemmälti vaikeuksia. Lause 3.11 (Monsky). lukumäärä. Neliötä ei voida osittaa samanalaisiin kolmioihin, joita on pariton 3 Heron n.75 jkr. Tulos lienee peräisin rkhimedeeltä ( ekr) 4 Wallace 1807, Gerwien 1833; olyain ( ) esittämä ongelma.

30 3.3 Monikulmioiden aloista 30 Esimerkki: ickin lause ja hilapisteet Monikulmioiden aloille on myös eräs oikotie, ickin metodi vuodelta 1899, jota voidaan käyttää kun monikulmion kärkipisteet ovat hilapisteitä. Konstruoidaan tasoon suorakulmainen koordinaatisto yksikköjanan avulla, jolloin tason piste voidaan esittää muodossa (r, s), missä r on x-koordinaatti ja s on y-koordinaatti. isteet, joiden koordinaatit ovat kokonaislukuja ovat hilapisteitä. Lause 3.12 (ick). Olkoon Γ monikulmio, jonka kärkipisteet ovat hilapisteitä. Tällöin ala(γ)= 1 p+ q 1, 2 missä p (q, vastaavasti) on niiden hilapisteiden lukumäärä, jotka ovat kulmionγ sivuilla (sisäosassa, vast.). Todistuksen ajatus. Todetaan ensin, että jos kaava pitää paikkansa monikulmiolleγ 1 jaγ 2, joilla on yksi yhteinen sivu, niin se pitää paikkansa näiden yhdelmälle Γ. Koska jokainen monikulmio voidaan jakaa kolmioihin lävistäjien avulla, palautuu todistus kolmioihin. Oletetaan ensin, että on suorakulmainen, ja olkoon D suorakulmio kuten kuvassa. Merkitään a = ja b=. Jos hypotenuusalla on k+2 hilapistettä (mukaanlukien ja ), niin p=a+ b+k+1. D Toisaalta kolmion sisällä olevien hilapisteiden lukumäärä on q =((a 1)(b 1) k)/2, ja siten laskemalla saadaan, että p/2 + q 1 = a b/2 kuten vaadittua. Tapaukset, joissa ei ole suorakulmainen palautuvat seuraaviin kahteen tapaukseen, joissa kumpaankin voidaan soveltaa suorakulmaisuutta. Huomaa, että ickin lauseen mukaan primitiivisen kolmion, joilla vain kärkipisteet ovat hilapisteitä, ala on aina 1/2 (!). Esimerkki 3.5. rowkin ja Steinhaus todistivat, että kullekin luonnolliselle luvulle n on olemassa neliö ja ympyrä, joiden sisällä on tarkalleen n hilapistettä. Seuraava Schinzelin tulos on hieman yllättävä: Kullekin luonnolliselle luvulle n on olemassa ympyrä jonka kehällä on tarkalleen n hilapistettä.

31 3.3 Monikulmioiden aloista 31 Esimerkki: istejoukon peittäminen ympyrällä Olkoot ={ 1, 2..., n } tason pistejoukko ja d= max{ i j : 0 i, j n} sen halkaisija. Sanotaan, että ympyräω=ω(o, r) peittää pistejoukon, jos jokainen i on ω:n sisäpiste (mukaanlukien kehäpisteet). ienintä peittävän ympyrän sädettä kutsutaan joukon peittosäteeksi. Esimerkki 3.6. Olkoon d äärellisen pistejoukon halkaisija, ja r sen peittosäde. Tällöin d r 2 d. Tämän näyttääksemme olkoot ja Q joukon sellaisia pisteitä, että Q=d. Varmastikin r 1 2 d. iirretään ympyrätω =ω(, d) jaω Q =ω(q, d). Koska d on maksimaalinen pisteiden välinen etäisyys, molemmat ympyrätω jaω Q peittävät pistejoukon ja siten sisältyy ympyröiden leikkausalueeseen. Olkoot R ympyröiden leikkauspiste ja M janan Q keskipiste.tällöin ω=ω(m, MR) peittää joukon, missä MR 2 = d 2 ( 1 2 M)2 = d d2 = 3 4 d2 R M Q ja niinpä MR = 3 2 d. Siten myös r 3 2 d. Jung todisti vuonna 1901, että edellistä tulosta voidaan parantaa: Lause 3.13 (Jung). Olkoon d äärellisen pistejoukon halkaisija, ja r sen peittosäde. Tällöin d r 3 d. Tätä ylärajaa ei voida yleisesti parantaa, sillä jos koostuu tasasivuisen kolmion kärkipisteistä, niin edeltävään epäyhtälöön saadaan yhtäsuuruus. Todistus (jatus). Olkoonω=ω(O, r) peittävä ympyrä, jonka säde on pienin. Vähintään kaksi joukon pistettä on ympyränωkehällä. Sanotaan, että peittävän ympyränωkaari i j on pistevapaa, jos se ei sisällä muita joukon pisteitä kuin pisteet i ja j. Olkoot,Q ympyränωkehällä niin, että kaari Q on pistevapaa. Tällöin tämän kaaren pituus on korkeintaan puolet ympyränωkehän pituudesta.

32 3.3 Monikulmioiden aloista 32 Näin ollen peitävän ympyränωhalkaisijan päätepisteet ovat joukossa tai kehällä on kolmas joukon piste, jonka (joku) halkaisija erottaa pisteiden,q toiselle puolen. Tästä huomiosta seuraa, että pienisäteisin peittävä ympyräωon yksikäsitteinen. r 3 3 d. Jos Q, missä,q,, on ympyränωhalkaisija, niin Q=dja siten r = d/2 ( 3/3) d. Oletetaan sitten, että halkaisijoiden molemmat päätepisteet eivät ole joukossa. Olkoonβ= 1 2 (kuten kuvassa) ympyränωpisin pistevapaa kaari. Täten kaaren β pituus on (aidosti) pienempi kuin puolet 3 β Q ympyränωkehästä. iirretään suorakulmio 1 Q 1 Q 2 2 kuten 1 Q 2 kuvassa. Tällöin Q 1,Q 2 /, sillä 2 Q 1 ja 1 Q 2 ovat ympyränω halkaisijoita. Kaarenβ = Q 1 Q 2 (kuva) pituus on sama kuin kaarenβ pituus, ja siten oletuksesta seuraa, ettäβ ei ole pistevapaa. (Muutoinβ ei olisi pisin pistevapaa kaari.) Olkoon 3 piste 1 2 kaarellaβ β. Kolmion jotain sivua i j vastaava kaari on vähintään kolmannes ympyrän kehän pituudesta, mutta korkeintaan puolet siitä. Jos on tasasivuinen kolmio, jonka ympäri piirrettynä ympyränä ω on, todetaan laskemalla, että r = 3 3 s, missä s on kolmion sivun pituus. Siten ehdosta i j s seuraa väite: r= 3 3 s 3 3 i j 3 3 d.

33 Osa II LIIKE TSOSS 4 Isometriat 4.1 Transformaatiot Kuvausα: on tason transformaatio (tai muunnos), jos se on bijektio. Transformaatio siis järjestää tason pisteet uudelleen niin, että jokainen piste kuvautuu joksikin pisteeksi ja jokainen piste on tarkalleen yhden pisteen kuva. Kuvio on mikä tahansa tason pistejoukko, eli K. Kunαon tason transformaatio, on usein selkeämpää kirjoittaa pisteen ja kuvion K kuvalle α()= α, α(k)= K α ={ α : K}. Janan Q kuva transformaatiossaαonα(q)={r α : R Q}. Toisaalta, α Q α on (kuva)pisteitä α ja Q α yhdistävä jana, eli α Q α ={R : R α Q α }. Huomattakoon, että yleisesti α Q α ei ole sama asia kuinα(q). Esimerkki 4.1. Olkoon O tason kiinnitetty piste. Ehdosta O α = O 2, α l(o, ) määritelty kuvausαon hyvinmääritelty tason transformaatio, joka siirtää pisteen (suunnattua) suoraal(o, ) pitkin etäisyydelle O 2 pisteestä O. Tällainen transformaatioα vääristää geometriset kuviot. Esimerkiksi suoranlkuval α (=α(l)) ei ole välttämättä suora. Transformaationαkäänteiskuvausα 1 on myös bijektio ja siten transformaatio. Lisäksi, αα 1 =ι=α 1 α, missäι on identiteettikuvaus,ι()= kaikille pisteille. Transformaatioiden yhdisteet β α ovat myös transformaatioita, ja koska kuvausten yhdistäminen on assosiatiivista, α(βγ)=(αβ)γ, muodostavat transformaatiot ryhmän. Erityisesti, jos on perhe transformaatioita, joka on suljettu kuvausten yhdistämiseen ja käänteiskuvauksiin nähden, on ryhmän aliryhmä. Ryhmäominaisuudet ovat usein hyödyllisiä käsiteltäessä transformaatioita. Jos on ryhmä transformaatioita, niin sen alkioille ovat voimassa esimerkiksi seuraavat säännöt: αα 1 = ι=α 1 α, α 1 β=α 2 β = α 1 =α 2, βα 1 =βα 2 = α 1 =α 2, α=βγ= β=αγ 1, α=γβ = β=γ 1 α, (βα) 1 =α 1 β 1. Jos kaksi transformaatiotaαjaβ toteuttavat ehdonβα=αβ, sanotaan, että ne kommutoivat. Yleensä transformaatiot eivät kommutoi keskenään.

34 4.2 Isometrioiden määritelmä 34 Transformaatiota, joka kuvaa jokaisen suoran suoraksi, l l α, kutsutaan affiiniksi kuvaukseksi (tai affiiniksi transformaatioksi). Tällöin siis α(l(,q)) = l(α(),α(q)). Lause 4.1. ffiinin kuvauksen käänteiskuvaus on affiini, ja affiinien kuvausten yhdisteet ovat affiineja. Siten affiinit kuvaukset muodostavat ryhmän. Todistus. Olkoonαaffiini, ja, Q kaksi eri pisteitä. Tällöin suoranl=l(α 1 (),α 1 (Q)) kuval α on suoral(,q). Näin ollenα 1 kuvaa suoranl(,q) suoraksil. Yhdistämistä koskeva väite on myös selvä. Lause 4.2. Olkootαaffiini kuvaus ja a b yhdensuuntaiset suorat. Tällöin myös a α b α. Erityisesti, jos D on suunnikas, samoin on α α α D α. Todistus. Olkoon a b. Jos a b, sanokaamme a b=, niin selvästi α = a α b α. Samoin, koskaα 1 on affiini, niin ehdosta a α b α seuraa, että a b. 4.2 Isometrioiden määritelmä Transformaatioα on isometria, jos se säilyttää pisteiden väliset etäisyydet, eli jos kaikille ja Q, α Q α = Q. Lause 4.3. Jokainen isometria kuvaa janan yhtä pitkäksi janaksi. Siten isometria α on affiini kuvaus, jolle on voimassaα(q)= α Q α. Todistus. Lauseen 1.3(5) mukaan, R Q jos ja vain jos Q= R+RQ, ja siten isometrialle α on voimassa: α Q α = α R α + R α Q α, mistä seuraa, että R Q jos ja vain jos R α α Q α. Lause 4.4. Transformaatio α on isometria α jos ja vain jos se kuvaa jokaisen kolmion yhteneväksi kolmioksi α. Todistus. Oletetaan ensin, että α on isometria. Ensinnäkin kolmion = kuva on kolmio, sillä sivut kuvautuvat janoiksi, jotka leikkaavat toisensa kärkipisteiden kuvapisteissä injektiivisyyden nojalla. Koska isometria säilyttää etäisyydet, niin kolmioiden = ja α = α α α vastinsivut ovat yhtä pitkät ja siten (SSS) todistaa tuloksen. Väitteen todistamiseksi toiseen suuntaan olkoon α vaaditunlainen transformaatio. Olkoot jana ja piste site, että = on kolmio. Nyt = α, ja sitenαkuvaa janan yhtä pitkäksi janaksi α α, ja niinpäαon isometria. Isometria on kolmioiden yhtenevyyden yleistys. Sanotaan, että kaksi tasokuviota K 1 ja K 2 ovat yhtenevät (tai kongruentit), jos on olemassa isometriaα, jolla K 2 = K α 1. Identiteettikuvausι on selvästi isometria, ja samoin on jokaisen isometrianαkäänteiskuvausα 1. Lisäksi kahden isometrian α ja β yhdiste β α on jälleen isometria.

35 4.2 Isometrioiden määritelmä 35 Lause 4.5. Tason isometriat muodostavat ryhmän. Seuraavan lauseen mukaan tason jokainen piste tulee täysin määrättyä etäisyyksistään annetun kolmion kärkipisteisiin. Lause 4.6 (Kolmen pisteen sääntö). Kolme epäkollineaarista pistettä määräävät isometrian: Olkoon kolmio, jaα,β. Jos α = β, niinα=β. Todistus. Jos = Q ja = Q, niin ja kuuluvat janan Q keskinormaalille. Siten kun pisteet,, ovat epäkollineaariset, ja = Q, = Q ja = Q, on välttämättä = Q. Erityisesti, jos α = = β, α = = β ja α = = β, niin α = β, α = β ja α = β ja siten edeltävän mukaan α = β. Näin ollenα jaβ kuvaavat samoin kaikki tason pisteet. Kiintopisteet ja suunta Isometrioiden kaksi keskeisintä käsitettä ovat kiintopisteet ja suunnansäilyvyys. Transformaationαkiintopisteet ovat ne pisteet, joilla α =. Sanotaan, että transformaatioαkiinnittää kuvion K, jos K= K α. Lisäksi,αkiinnittää kuvion K pisteittäin, jos α = kaikilla K, eli jos K koostuu vain transformaationαkiintopisteistä. Esimerkki 4.2. (1) Esimerkin 4.1 kuvauksen α kiintopisteet ovat O ja yksikköympyrän ω(o, 1) kehäpisteet, eli α kiinnittää ympyrän ω(o, 1) pisteittäin. Kuvaus α kiinnittää myös kaikki suoratl(o, ), missä O, mutta ei pisteittäin. (2) Transformaatiot, jotka kiinnittävät kuvion K muodostavat ryhmän aliryhmän. Samoin muodostavat ne transformaatiot, jotka kiinnittävät kuvion K pisteittäin. Olkoon = kolmio, jonka kärkipisteet luetaan esimerkiksi vastapäivään. Isometriaαsäilyttää kolmion suunnan, jos kuvakolmion α kärkipisteet vastapäivään luettuna ovat α, α, α. Muutoinαkääntää kolmion suunnan (eli kuvakolmion pisteet vastapäivään ovat α, α, α ). Isometria α on suunnansäilyttävä, jos se säilyttää kaikkien kolmioiden suunnan, ja se on suunnankääntävä, jos se kääntää kaikkien kolmioiden suunnan. Osoitetaan, että isometria on joko suunnansäilyttävä tai -kääntävä, eli suunnan suhteen isometriat käyttäytyvät samoin kaikkiin kolmioihin nähden: = +, missä + = suunnansäilyttävät isometriat, = suunnankääntävät isometriat. Jos isometria α säilyttää suunnan ja β kääntää suunnan, niin niiden yhdiste β α kääntää suunnan. Suunnan säilyvyys ja kääntyvyys käyttäytyvät kuten +1 ja 1 kertomisen suhteen