Kuormat on yhdistettävä rakennesuunnittelussa riippuvasti

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kuormat on yhdistettävä rakennesuunnittelussa riippuvasti"

Transkriptio

1 /1(6)/tp Kuormat on yhdistettävä rakennesuunnittelussa riippuvasti Pysyvät kuormat ovat riippumattomia, mutta ne yhdistetään nykyisissä rakennesuunnittelunormeissa aina riippuvasti 1. Pysyvä ja muuttuva kuorma ovat yhden vuoden aikana riippumattomia, mutta 50 vuoden aikana riippuvia. Nämä kuormat yhdistetään ja varmuusluvut G, Q, M lasketaan murtotilassa joskus riippumattomasti 2, joskus riippuvasti, mutta käyttötilassa aina riippuvasti. Muuttuva kuormat yhdistetään ja yhdistelykertoimet 0 lasketaan yleensä puoliriippuvasti 3, mutta joskus riippuvasti. Kuormat on kuitenkin yhdistettävä aina riippuvasti, mihin johtopäätökseen voidaan päätyä monesta syystä: Riippumaton ja puoliriippuva yhdistäminen johtaa epärealistiseen tulokseen. Eräitä esimerkkejä tästä selostetaan jäljempänä. Kuormat ovat aina keskenään riippuvia, kun aika on suuri tai kun tarkastellaan useita kuormia. Kun tarkastellaan 50 vuoden aikana esiintyviä kuormia tai jos kuormia on noin 50, kuormat ovat jo luonnossa keskenään suurella tarkkuudelle (noin 1 %) keskenään riippuvia. Yksittäiset kuormat ovat keskenään riippumattomia, mutta nekin on yhdistettävä riippuvasti, mikä voidaan päätellä siitä, että kuormitusyhdistelyn uuden kuormaa vaikutus on aikaisemmista kuormista riippumaton. Jos kuormat yhdistetään riippumattomasti tai puoliriippuvasti, uuden kuorman vaikutus riippuu aikaisemmista kuormista. Tämä on mahdotonta, sillä uuden kuorman ja aikaisempien kuormien välillä ei ole mitään vaikutusyhteyttä. Kuormien riippuvassa yhdistämisessä osakuormien arvot summeerataan sellaisenaan, joten kuormaa ei häviä yhdistämisessä. Riippumattomassa ja puoliriippuvassa yhdistämisessä sen sijaan osa kuormista häviää yhdistämisessä: Kun kuormien satunnaisarvot summeerataan keskenään, 0 10 % kuormista häviää, jolloin varmuusluvut G, Q, M tulevat liian pieniksi. Vastaavasti puoliriippuva yhdistäminen johtaa 0 15 %:n kuormien häviämiseen ja liian pieniin yhdistelykertoimiin 0. Sallittujen jännitysten mukainen pysyvän ja muuttuvan kuorman yhdistely on riippuva ja siten oikea, mutta eurokoodissa nämä kuormat yhdistetään riippumattomasti ja väärin 4. Kaikissa normeissa muuttuvat kuormat yhdistetään puoliriippuvasti eli väärin. Kuormat yhdistetään riippuvasti summeeraamalla osakuormat fraktiileittain. Vaihtoehtoisesti yhdistelyjakauma voidaan määrittää konvoluutiokaavalla niin, että yhdistelyjakauma sovitetaan kulkemaan osajakaumien leikkauspisteiden kautta. Jos yhdistäminen tehdään Monte Carlo simuloimalla, käytetään yhtä siemenlukua. Käytännön rakennesuunnittelussa osakuormien laskenta-arvot summeerataan sellaisenaan ilman (implisiittisiä tai eksplisiittisiä) yhdistelykertoimia, vähennyskertoimia tms. 1 Summajakauman fraktiiliarvo saadaan laskemalla yhteen osajakaumien vastaavien fraktiilien arvot. 2 Summajakauma muodostetaan osajakaumista satunnaisesti, Ferry Borges Castanhetan menetelmä. 3 Toisen jakauman arvo on suurin tavoiteluotettavuuden mukainen deterministinen arvo ja toinen on satunnaisarvo, Turkstran menetelmä. 4 kun käytetään eurokoodin yhdistelysääntöä 6.10a,b tai 6.10a,mod, yhdistelysääntö 6.10 on oikea

2 /2(6)/tp Ääriarvojakauma Rakennesuunnittelun jakaumat ovat ääriarvojakaumia, joko valitun todennäköisyyden suurimpia kuormia tai pienimpiä lujuuksia. Jos jakaumat yhdistetään riippumattomasti, näin saatu jakauma ei ole ääriarvojakauma. Kuormin riippuvasta yhdistämisestä saatu jakauma sen sijaan on ääriarvojakauma. Hook:n laki, lineaaarisuus Hook:n laki ja lineaarisuus ovat rakennesuunnittelun peruspilareita: kuorman ja sen vaikutuksen välinen riippuvuus on lineaarinen. Suomen eurokoodeissa sovelletaan sääntöä 6.10a, mod. Sen mukaan, kun pysyvä kuorma on vähäinen ja muuttuva kuorma kasvaa, vaikutus ei kasva lainkaan. Em. kuormien yhdistelysääntö on riippumattoman kuormayhdistelyn mukainen. Riippumaton kuormien yhdistely on siten ristiriidassa lineaarisuuden ja Hook:n lain kanssa. Mitoituskava Rakennesuunnittelun perusmitoitusyhtälö on G G Q Q M M (1) G on pysyvä kuorma, Q muuttuva kuorma ja M materiaalilujuus, G, Q, M ovat vastaavat varmuusluvut. Tämä epäyhtälö voi aina olla yhtäsuuruusyhtälö, mikä tekee yhdistelyssä käytettävät kuormat täydellisesti riippuviksi ja korreloiviksi riippumatta siitä ovatko nämä kuorma muuten riippuvia vai riippumattomia, sillä lujuus on kuormiin nähden vakio. Korreloivat kuormat on yhdistettävä riippuvasti. Kuormien häviäminen Jos jakaumat yhdistetään riippumattomasti, yhdistelyjakauma on osajakaumien satunnainen summa. Tällaisessa yhdistämisessä osa kuormista häviää. Osajakaumat on kuitenkin summattava ehdottomasti ja riippuvasti, sillä uusi kuorma on lisättävä aikaisempaan täydellä määrällään. Pysyvä ja muuttuva kuorma G + Q ovat riippuvia, kun aika on suuri Pysyvän kuorman jakauma G määrittelee, millä todennäköisyydellä pysyvästä kuormasta aiheutuva mitoituspistekuorma ei toteudu. Vastaavasti muuttuvan kuorman jakauma Q määrittelee, millä todennäköisyydellä muuttuvan kuorman mitoituspistekuorma ei toteudu yhden vuoden aikana. Nämä jakaumat, G ja Q ovat riippumattomia 5. Kuormat on yhdistettävä riippuvasti myös siksi, että kuormat ovat riippuvia, kun aika on suuri: Muuttuvan kuorman yhden vuoden mitoituspistekuorman todennäköisyys P f1 on pieni luku. Esimerkiksi eurokoodissa se on Kun aika kasvaa, tämä todennäköisyys kasvaa. Esimerkiksi t vuodessa todennäköisyys on 1 (1 - P f1 ) t. Kun aika on hyvin suuri, saadaan kaikki jakauman Q arvot niin, että kukin fraktiilin i arvo vastaa jotakin aikaa t. Olkoon pysyvän kuorman fraktiilin i alkio g i. Tämän kanssa esiintyvät samanaikaisesti jonakin aikana 0 t kaikki muuttuvan kuorman fraktiilin j alkiot q j, j = 0 1 ja siten myös q i. Jakaumien G ja Q välillä vallitsee siis täydellinen riippuvuus, sillä jakaumien kaikkien fraktiilien arvot esiintyvät samanaikaisesti. Kun tällaiset jakaumat yhdistetään, tämä riippuvuus on otettava huomioon eli jakaumat G ja Q on yhdistettävä riippuvasti. 5 Tarkemmin ilmaistuna: jakaumat ovat riippuvia, jos fraktiilit ovat pienempiä kuin 0.02.

3 /3(6)/tp Riippumaton ja puoliriippuva yhdistäminen johtaa epärealistiseen tulokseen Esimerkki 1 Oletetaan, että rakenne kestää sekä pysyvää että muuttuvaa kuormaa 1 voimayksikön, kun voimat vaikuttavat erikseen. On selvää, että jos rakenteeseen kohdistuu sekä pysyvä voima 0.5 että muuttuva voima 0.5 samanaikaisesti, rakenne kestää myös yhden voimayksikön. Riippumattoman kuormayhdistelyn ja nykyisten normien mukaan, rakenne kestää kuitenkin noin 1.1, mikä johtuu siitä, että riippumattomassa yhdistämisessä osa kuormasta häviää. On mahdotonta, että kuormien yhdistäminen kasvattaisi rakenteen lujuutta. Esimerkki 2 Kerrostalon ylimmän kerroksen hyötykuormaa pienennetään, jos kuormat yhdistetään riippumattomasti ja alemmissa kerroksissa on kuormaa, mutta ei pienennetä, jos ei ole. On selvää, että ylimmän kerroksen kuorman vaikutus on riippumaton siitä, onko alemmissa kerroksissa kuormaa vai ei. Jos kerrostalon yhdessä kerroksessa on kaksi henkilöä, joiden yhteispaino on 2 kn = kn, mutta jos samat henkilöt ovat kahdessa kerroksessa, riippumattoman yhdistelyn ja nykyisten normien mukaan, kokonaispaino on 1.7 kn? Kerrostaloissa ei voida soveltaa mitään kuormien vähennyskertoimia 0. Tämä johtuu siitä, että kerrostalon kerroksissa olevat hyötykuormat ovat talossa olevan kokonaishyötykuorman osakuormia, jolloin nämä osakuormat ovat keskenään riippuvia. Tältä osin ennen eurokoodia vallinnut mitoituskäytäntökin on ollut väärä. Esimerkki 3 Riippumaton kuormien yhdistäminen merkitsee, että rakenteen jokaisen uuden kuorman tulisi tietää onko rakenteella aikaisempaa kuormaa ja uuden kuorman täytyisi osata pienentää itseään 0 30 %, jos rakenteella on aikaisempaa kuormaa. Tämä on mahdotonta. Esimerkiksi, on mahdotonta, että katolle vaikuttava tuulikuorma voisi tietää onko katolla lumikuormaa ja että tuulikuorma osaisi sovittaa oman vaikutuksensa rakenteisiin tästä riippuvaksi 6. Esimerkki 4 Tarkastellaan pysyvän ja muuttuvan kuorman yhdistämistä eurokoodin perusoletusten mukaisesti. Asian yksinkertaistamiseksi muuttuvan kuorman jakauman oletetaan olevan normaali (eurokoodissa gumbel) ja pysyvän kuorman mitoituspistearvo asetetaan 0.98:ksi (eurokoodissa 0.5). Asetetaan mitoituspiste ykköseksi. Pysyvän kuorman variaatiokerroin on ja muuttuvan 0.4, joten jakaumaparametrit ovat: G = 0.842, G = 0.077, Q = 0.549, Q = Vaaditaan, että mitoituksen täytyy toteutua 98 %:n todennäköisyydellä. Valitaan kuormat ykkösiksi, jolloin ne ovat mitoituspisteessä ja 0.98 fraktiilissa, eli molemmat kuormat ovat kelpoisuusrajalla. Kuormat yhdistetään kuormasuhteessa = 0.5, eli kuormat yhdistetään suhteissa 50 % + 50 %. 6 Tuulikuorman yhdistämisessä sovelletaan tässä tapauksessa yhdistelykerrointa 0 0.8, mikä johtuu siitä, että lumi vaikuttaa vain talvella, mutta tuuli esiintyy koko vuoden ajan ja molemmat jakaumat määritellään vuoden ajalle.

4 /4(6)/tp Pysyvät kuormat yhdistetään nykyisissä normeissa riippuvasti (kaikki kuormat tulee yhdistää riippuvasti: molemmat yhdistettävät kuormat ovat suurimmissa arvoissaan kaikissa fraktiileissa). Yhdistelykuorma lasketaan tässä tapauksessa normaalijakaumasta N: N x G 1 NGQ d x 2 Q G 1 Q 2 2 Q G 1 (1) Pysyvä ja muuttuva kuorma yhdistetään eurokoodissa riippumattomasti ja tästä yhdistelytuloksesta lasketaan varmuusluvut G, Q, M (molemmat kuormat ovat satunnaisarvoissaan, Ferry Borges - Castanheta:n malli): N x G 1 NGQ i x 2 Q G 1 Q 2 (2) Alla olevassa kuvassa on esitetty pysyvän kuorman jakauma ympyräviivalla ja muuttuvan kuorman jakauma neliöviivalla, vaaka-akselilla on kuorma, pystyakselilla fraktiili. Riippuva yhdistelykuorma on esitetty yhtenäisellä paksulla viivalla, riippumaton katkoviivalla. Oleellista nyt on, mikä on yhdistelyjakauman arvo kelpoisuusrajalla eli 0.98-fraktiilissa, joka on piirretty vaakaviivalla? Loogista on, että se on 1 (= ) eli kuormat ja myös niiden puolikkaat summeerataan sellaisenaan. Näin todella on, sillä pysyvä kuorma 1 esiintyy koko käyttöajan ja muuttuvan kuorman käy rakenteen 50 vuoden käyttöaikana ainakin kerron arvossa 1. Kuormat ovat samanaikaisia ja summeerataan sellaisenaan. Jos kuormat yhdistetään riippumattomasti, yhdistelykuorma on 0.934, minkä mukaan kuormitusyhdistely pienentää kokonaiskuormaa, < 1 ja vastaavasti lujittaa materiaalia, mikä on kuormien samanaikaisuuden vuoksi väärin ja lisäksi epäloogista Esimerkki 5 On kolme geometrialtaan samanlaista taloa. Talossa A on betonikatto, jonka omapaino on 20 kn eikä katolla ole kuormaa, talossa B on teräskatto, jonka omapaino on 10 kn ja katolla on 10 kn lunta, talon C katto on ideaalimateriaalia eikä se paina mitään ja katolla on 20 kn lunta. Suomen eurokoodin mukaan selvää on, että katon A murtotilan mitoituskuorma on 1.35*20=27 kn ja katon C vastaavasti 1.5*20=30 kn. Kiistanalaista sen sijaan on, mikä on katon B mitoituskuorma? Lasketaanko yhdistelykuorma riippumattomista jakaumista, kuten tehdään esimerkiksi Suomen eurokoodissa, jolloin mitoituskuorma on 1.15*10+1.5*10=26.5 kn vai lasketaanko yhdistelykuorma riippuvista jakaumista, jolloin yhdistelykuorma on 1.35*10+1.5*10=28.5 kn? Jaetaan katot A ja C kuormineen pieniin yhtä suuriin osiin ja tehdään neljäs katto D ottamalla siihen puolet katon A osista ja puolet katon C osista. On selvää, että katon D mitoituskuorma on puolet katon A ja C mitoituskuormien summasta eli 28.5 kn, mikä on sama kuin riippuvalla menetelmällä laskettu yhdistelykuorma. Katto D voidaan tehdä ainakin ideaalisena fysikaalisestikin niin, että katto tehdään ensin ja lumi sataa vain katosta C otetuille osille tai vaihtoehtoisesti katolla on lumenpoisto katon C osilta. On selvää, että katon B ja D alla olevien kantavien rakenteiden kuorma on sama, joten katon B mitoituskuoma on laskettava riippuvien jakaumien mukaan.

5 /5(6)/tp Tässä tapauksessa kuormasuhde (muuttuvan kuorman suhde kokonaiskuormaan) on 0.5 ja laskentamenetelmien ero on noin 7 %. Ero on hieman suurempi, kun kuormasuhde on pienempi. Riippuvan ja riippumattoman yhdistämisen ero kasvaa, kun kuormien vaihtelu kasvaa, esimerkiksi tuuli- ja lumikuorman yhdistämisessä menetelmien ero on noin 15 %. Pysyvien kuormien yhdistäminen Pysyvät kuormat ovat riippumattomia. Näissä kuormissa ei ole edes edellä selostettua ajan kasvusta johtuvaa kuormien korrelaatiota. Pysyvät kuormat yhdistetään kuitenkin kaikissa normeissa riippuvasti. Esimerkiksi kerrostalojen välipohja-, seinä-, yms. kuormat yhdistetään kaikissa normeissa riippuvasti. Pysyvien kuormien vaikutus on itsenäinen ja muista kuormista riippumaton, minkä johdosta nämä kuormat on yhdistettävä riippuvasti ja nykyiset normit ovat tältä osin oikeita. Näitä kuormia ei voida yhdistää riippumattomasti, sillä varmuus häviäisi kerrostaloissa käytännöllisesti katsoen kokonaan. Yhteenveto Perimmäinen syy kuormien riippuvaan yhdistämiseen on kunkin kuorman muista kuormista riippumaton ja itsenäinen vaikutus. Riippumattomassa ja puoliriippuvassa yhdistämisessä jokaisen kuorman vaikutus rakenteeseen on muista kuormista riippuva. Vaikutus on täysimääräinen vain, jos muita kuormia ei ole, ja jos muita kuormia on, vaikutus on pienempi. Vaikutus on sitä pienempi mitä enemmän muita kuormia on ja ääritapauksessa, kun kuormia on paljon, varmuus häviää kokonaan. Jos kuormia ei yhdistetä riippuvasti, päädytään tavoiteluotettavuuteen nähden noin 0 20 % alivarmaan mitoitukseen. Tampere Tuomo Poutanen, ,

Uusi rakenteiden mitoitusmenetelmä

Uusi rakenteiden mitoitusmenetelmä Rakenteiden Mekaniikka Vol. 45, Nro 4, 2011, s. 201-212 Uusi rakenteiden mitoitusmenetelmä Tuomo Poutanen Tiivistelmä. Uusi mitoitusmenetelmä esitetään kolmena variaationa: sallittujen jännitysten muunnelma,

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN. SFS-EN EUROKOODI 1: RAKENTEIDEN KUORMAT Osa 1-3: Yleiset kuormat. Lumikuormat

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN. SFS-EN EUROKOODI 1: RAKENTEIDEN KUORMAT Osa 1-3: Yleiset kuormat. Lumikuormat 1 LIITE 4 KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN SFS-EN 1991-1-3 EUROKOODI 1: RAKENTEIDEN KUORMAT Osa 1-3: Yleiset kuormat. Lumikuormat Esipuhe Tätä kansallista liitettä käytetään yhdessä standardin SFS - EN 1991-1-3:

Lisätiedot

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa

Lisätiedot

T512905 Puurakenteet 1 5 op

T512905 Puurakenteet 1 5 op T512905 Puurakenteet 1 5 op Kantavat puurakenteet Rajatilamitoituksen periaatteet Murtorajatila Materiaalin osavarmuusluku M Kuorman keston ja kosteusvaikutuksen huomioiva lujuuden ja jäykkyyden muunnoskerroin

Lisätiedot

Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa Linkkikeskukset ja auktoriteetit (hubs and authorities) -algoritmi

Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa Linkkikeskukset ja auktoriteetit (hubs and authorities) -algoritmi Kurssin loppuosa Diskreettejä menetelmiä laajojen 0-1 datajoukkojen analyysiin Kattavat joukot ja niiden etsintä tasoittaisella algoritmilla Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa

Lisätiedot

Lumen teknisiä ominaisuuksia

Lumen teknisiä ominaisuuksia Lumen teknisiä ominaisuuksia Lumi syntyy ilmakehässä kun vesihöyrystä tiivistyneessä lämpötila laskee alle 0 C:n ja pilven sisällä on alijäähtynyttä vettä. Kun lämpötila on noin -5 C, vesihöyrystä, jäähiukkasista

Lisätiedot

Laskuharjoitus 5. Mitkä ovat kuvan 1 kanavien kapasiteetit? Kuva 1: Kaksi kanavaa. p/(1 p) ) bittiä lähetystä kohti. Voidaan

Laskuharjoitus 5. Mitkä ovat kuvan 1 kanavien kapasiteetit? Kuva 1: Kaksi kanavaa. p/(1 p) ) bittiä lähetystä kohti. Voidaan Informaatioteoria ELEC-C7 5 Laskuharjoitus 5 Tehtävä 5.3 Mitkä ovat kuvan kanavien kapasiteetit?.3.7 a b Kuva : Kaksi kanavaa b Binäärisessä Z-kanavassa virhe tapahtuu todennäköisyydellä p ja virhe todennäköisyydellä.

Lisätiedot

Orsien käytönrajat paljaille ja päällystetyille avojohdoille EN 50341, EN 50423. Johtokulma

Orsien käytönrajat paljaille ja päällystetyille avojohdoille EN 50341, EN 50423. Johtokulma Orsien käytönrajat paljaille ja päällystetyille avojohdoille EN 50341, EN 50423 40 50 60 70 80 90 100 110 03 Sisällysluettelo Orsien käytönrajat perusteet...04 20 kv paljaan avojohdon orret SH66 (seuraava

Lisätiedot

Rakenteiden varmuus ja kuormitukset

Rakenteiden varmuus ja kuormitukset Jaakko Huuhtanen, rakennusneuvos Ympäristöministeriö, asunto- ja rakennusosasto jaakko.huuhtanen@vyh.fi Määräykset 1998 Ympäristöministeriö on rakennuslain 13 :n, sellaisena kuin se on laissa 557/89, nojalla

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

7,2 10-5. Mikali tama muutetaan vuosittaiseksi vaurioitumistodenniikoisyydeksi, EUROCODE 1 KUORMITUS- JA V ARMUUSNORMIN PERUSTEET.

7,2 10-5. Mikali tama muutetaan vuosittaiseksi vaurioitumistodenniikoisyydeksi, EUROCODE 1 KUORMITUS- JA V ARMUUSNORMIN PERUSTEET. EUROCODE 1 KUORMITUS- JA V ARMUUSNORMIN PERUSTEET Tor-Ulf Week Rakenteiden Mekaniikka, Vol. 26 No 1 1993, ss. 3-14 TIIVISTELMA Kirjoitus ktisittelee yhteiseurooppalaisen rakennusalan suunnittelunormiston

Lisätiedot

Esimerkkilaskelma. Liimapuupalkin hiiltymämitoitus

Esimerkkilaskelma. Liimapuupalkin hiiltymämitoitus Esimerkkilaskelma Liimapuupalkin hiiltymämitoitus 13.6.2014 Sisällysluettelo 1 LÄHTÖTIEDOT... - 3-2 KUORMAT... - 3-3 MATERIAALI... - 4-4 MITOITUS... - 4-4.1 TEHOLLINEN POIKKILEIKKAUS... - 4-4.2 TAIVUTUSKESTÄVYYS...

Lisätiedot

Teema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja

Teema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja Teema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja Tilastoaineiston peruselementit: havainnot ja muuttujat havainto: yhtä havaintoyksikköä koskevat tiedot esim. henkilön vastaukset kyselylomakkeen kysymyksiin

Lisätiedot

Erään teräsrunkoisen teoll.hallin tarina, jännev. > 40-50 m

Erään teräsrunkoisen teoll.hallin tarina, jännev. > 40-50 m Erään teräsrunkoisen teoll.hallin tarina, jännev. > 40-50 m 1 HALLIN ROMAHDUS OLI IHAN TIPALLA - lunta katolla yli puoli metriä, mutta paino olennaisesti alle 180 kg neliölle KEHÄT HIEMAN TOISESTA NÄKÖKULMASTA

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Jouni Räisänen Helsingin yliopiston fysiikan laitos 15.1.2010 Vuorokauden keskilämpötila Talvi 2007-2008

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1991-1-5 RAKENTEIDEN KUORMAT Lämpötilakuormat LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ

KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1991-1-5 RAKENTEIDEN KUORMAT Lämpötilakuormat LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1991-1-5 RAKENTEIDEN KUORMAT Lämpötilakuormat LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ 1.6.2010 Kansallinen liite (LVM), 1.6.2010 1/6 KANSALLINEN LIITE (LVM) STANDARDIIN SFS-EN 1991-1-5

Lisätiedot

J. Virtamo Jonoteoria / Prioriteettijonot 1

J. Virtamo Jonoteoria / Prioriteettijonot 1 J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Prioriteettijonot 1 Prioriteettijonot Tarkastellaan M/G/1-jonojärjestelmää, jossa asiakkaat on jaettu K:hon prioriteettiluokkaan, k = 1,..., K: - luokalla 1 on korkein prioriteetti

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

b6) samaan perusjoukkoon kohdistuu samanaikaisesti useampia tutkimuksia.

b6) samaan perusjoukkoon kohdistuu samanaikaisesti useampia tutkimuksia. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I 1. välikoe 11.3.2011 (Jari Päkkilä) VALITSE VIIDESTÄ TEHTÄVÄSTÄ NELJÄ JA VASTAA VAIN NIIHIN! 1. Valitse kohdissa A-F oikea (vain yksi) vaihtoehto. Oikeasta vastauksesta

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

JOKELA - VÄLIPOHJAN KANTAVUUDEN MÄÄRITYS RAPORTTI 1. KRS. KATON VAAKARAKENTEISTA Torikatu 26 80100 Joensuu 02.09.2011

JOKELA - VÄLIPOHJAN KANTAVUUDEN MÄÄRITYS RAPORTTI 1. KRS. KATON VAAKARAKENTEISTA Torikatu 26 80100 Joensuu 02.09.2011 JOENSUUN JUVA OY JOKELA - VÄLIPOHJAN KANTAVUUDEN MÄÄRITYS RAPORTTI 1. KRS. KATON VAAKARAKENTEISTA Torikatu 26 80100 Joensuu 02.09.2011 JOENSUUN JUVA OY Penttilänkatu 1 F 80220 Joensuu Puh. 013 137980 Fax.

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

PALONKESTO-OHJEISTUS - MITEN TAULUKKOMITOITUSTA VOIDAAN KÄYTTÄÄ - RAKENTEIDEN YHTEISTOIMINTA PALOTILANTEESSA

PALONKESTO-OHJEISTUS - MITEN TAULUKKOMITOITUSTA VOIDAAN KÄYTTÄÄ - RAKENTEIDEN YHTEISTOIMINTA PALOTILANTEESSA PALONKESTO-OHJEISTUS - MITEN TAULUKKOMITOITUSTA VOIDAAN KÄYTTÄÄ - RAKENTEIDEN YHTEISTOIMINTA PALOTILANTEESSA STANDARDIN EN 1992-1-2 SISÄLTÖÄ: Luvussa 2: Palomitoituksen perusteet Luvussa 3: Materiaaliominaisuudet

Lisätiedot

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( )

Königsbergin sillat. Königsberg 1700-luvulla. Leonhard Euler ( ) Königsbergin sillat 1700-luvun Königsbergin (nykyisen Kaliningradin) läpi virtasi joki, jonka ylitti seitsemän siltaa. Sanotaan, että kaupungin asukkaat yrittivät löytää reittiä, joka lähtisi heidän kotoaan,

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite

2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite 2.1 Yhtenevyyden ja yhdenmuotoisuuden käsite Tämän päivän lukiogeometrian sisältöjä on melkoisesti supistettu siitä, mitä ne olivat joku vuosikymmen sitten. Sisällöistä ei enää kasata sellaista rakennelmaa,

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin) 1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise

Lisätiedot

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo?

3. Kuvio taitetaan kuutioksi. Mikä on suurin samaa kärkeä ympäröivillä kolmella sivutahkolla olevien lukujen tulo? Peruskoulun matematiikkakilpailu Loppukilpailu perjantaina 4.2.2011 OSA 1 Ratkaisuaika 30 min Pistemäärä 20 Tässä osassa ei käytetä laskinta. Esitä myös lasku, kuvio, päätelmä tai muu lyhyt perustelu.

Lisätiedot

T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut

T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut T-79.5101 kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1. Jokaiselle toteutuvalle lauselogiikan lauseelle voidaan etsiä malli taulumenetelmällä merkitsemällä lause taulun juureen

Lisätiedot

2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut

2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut 2. laskuharjoituskierros, vko, ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys, kombinatoriikka, kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava D1. Eräässä maassa autojen rekisterikilpien tunnukset ovat muotoa XXXXNN,

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

LATTIAT - VÄRÄHTELYMITOITUS - Tero Lahtela

LATTIAT - VÄRÄHTELYMITOITUS - Tero Lahtela LATTIAT - VÄRÄHTELYMITOITUS - Tero Lahtela LATTIAN VÄRÄHTELY TYYPILLISET VÄRÄHTELYN AIHEUTTAJAT Kävely (yleisin), juokseminen, hyppiminen Pyykinpesukone Liikennetärinä VÄRÄHTELYN AISTIMINEN Kehon tuntemuksina

Lisätiedot

Satunnaisalgoritmit. Topi Paavilainen. Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos

Satunnaisalgoritmit. Topi Paavilainen. Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Satunnaisalgoritmit Topi Paavilainen Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsinki, 23. helmikuuta 2014 1 Johdanto Satunnaisalgoritmit ovat algoritmeja, joiden

Lisätiedot

S Laskennallinen Neurotiede

S Laskennallinen Neurotiede S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede Laskuharjoitus 3 8.12.2006 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 2 Tehtävässä 2 piti tehdä 100 hermosolun assosiatiivinen Hopfield-muistiverkko. Verkko on rakennettu Matlab-ohjelmaan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Testit järjestysasteikollisille muuttujille

Testit järjestysasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten

Lisätiedot

Esimerkkilaskelma. NR-ristikon yläpaarteen tuenta

Esimerkkilaskelma. NR-ristikon yläpaarteen tuenta Esimerkkilaskelma NR-ristikon yläpaarteen tuenta 27.8.2014 Sisällysluettelo 1 LÄHTÖTIEDOT... - 3-2 RAKENTEEN TIEDOT... - 3-3 RAKENTEEN KUORMAT... - 4-4 LYHIN NURJAHDUSPITUUS... - 5-5 PISIN NURJAHDUSPITUUS...

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

Markov-ketjut pitkällä aikavälillä

Markov-ketjut pitkällä aikavälillä MS-C2111 Stokastiset prosessit 2A Markov-ketjut pitkällä aikavälillä Tämän harjoituksen tavoitteena on oppia lukemaan siirtymämatriisista tai siirtymäkaaviosta, milloin Markov-ketju on yhtenäinen ja jaksoton;

Lisätiedot

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme?

Estimointi. Estimointi. Estimointi: Mitä opimme? 2/4. Estimointi: Mitä opimme? 1/4. Estimointi: Mitä opimme? 3/4. Estimointi: Mitä opimme? TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus tilastotieteeseen TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 2 Mitä opimme? 1/4 Tilastollisen tutkimuksen tavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseista, jotka generoivat reaalimaailman

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi

Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Harjoitus 7: NCSS - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tilastollinen testaus Testaukseen

Lisätiedot

Pikalajittelu: valitaan ns. pivot-alkio esim. pivot = oikeanpuoleisin

Pikalajittelu: valitaan ns. pivot-alkio esim. pivot = oikeanpuoleisin Pikalajittelu: valitaan ns. pivot-alkio esim. pivot = oikeanpuoleisin jaetaan muut alkiot kahteen ryhmään: L: alkiot, jotka eivät suurempia kuin pivot G : alkiot, jotka suurempia kuin pivot 6 1 4 3 7 2

Lisätiedot

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet )

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet ) T-79.144 Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet 9.1 9.5) 30.11. 3.12.2004 1. Osoita lauselogiikan avulla oheisten ehtolausekkeiden ekvivalenssi. (a)!(a

Lisätiedot

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Tilastotieteen kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Tilastotieteen kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Motivointi Reaalimaailman ilmiöihin liittyy tyypillisesti satunnaisuutta ja epävarmuutta Ilmiöihin liittyvien havaintojen ajatellaan usein olevan peräisin

Lisätiedot

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti

Luku 6. Dynaaminen ohjelmointi. 6.1 Funktion muisti Luku 6 Dynaaminen ohjelmointi Dynaamisessa ohjelmoinnissa on ideana jakaa ongelman ratkaisu pienempiin osaongelmiin, jotka voidaan ratkaista toisistaan riippumattomasti. Jokaisen osaongelman ratkaisu tallennetaan

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen)

Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi (yksisuuntainen) 1 MTTTP3 Luento 29.1.2015 Luku 6 Hypoteesien testaus Tutkimusongelmia ja tilastollisia hypoteeseja: Perunalastupussien keskimääräinen paino? H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ < µ 0 Nollahypoteesi Vaihtoehtoinen hypoteesi

Lisätiedot

Suunnitteluharjoitus käsittää rakennuksen runkoon kuuluvien tavanomaisten teräsbetonisten rakenneosien suunnittelun.

Suunnitteluharjoitus käsittää rakennuksen runkoon kuuluvien tavanomaisten teräsbetonisten rakenneosien suunnittelun. Rak-43.3130 Betonirakenteiden suunnitteluharjoitus, kevät 2016 Suunnitteluharjoitus käsittää rakennuksen runkoon kuuluvien tavanomaisten teräsbetonisten rakenneosien suunnittelun. Suunnitteluharjoituksena

Lisätiedot

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,...

Ratkaisut Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,... Ratkaisut 1 1. Summa on nolla, sillä luvut muodostavat vastalukuparit: ( 10) + 10 = 0, ( 9) + 9 = 0,.... Nolla, koska kerrotaan nollalla. 3. 16 15 50 = ( 8) 15 50 = (8 15) ( 50) = 1000 500 = 500 000. 4.

Lisätiedot

Peruskoulun matematiikkakilpailu

Peruskoulun matematiikkakilpailu Peruskoulun matematiikkakilpailu 6.11.2013 Työskentelyaika 50 minuuttia. Laskinta ei saa käyttää. Muista perustelut! Perustele tehtävät 3-8 laskulausekkeella, piirroksella tai selityksellä. Tehtävät 1-3

Lisätiedot

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm

Shorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KAKSIULOTTEISEN EMPIIRISEN JAKAUMAN TARKASTELU Jatkuvat muuttujat: hajontakuvio Koehenkilöiden pituus 75- ja 80-vuotiaana ID Pituus 75 Pituus 80 1 156

Lisätiedot

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin

Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Ohjeita fysiikan ylioppilaskirjoituksiin Kari Eloranta 2016 Jyväskylän Lyseon lukio 11. tammikuuta 2016 Kokeen rakenne Fysiikan kokeessa on 13 tehtävää, joista vastataan kahdeksaan. Tehtävät 12 ja 13 ovat

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)

Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen) Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,

Lisätiedot

1 Peruslaskuvalmiudet

1 Peruslaskuvalmiudet 1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,

Lisätiedot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot

Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö ESITIEDOT: lukujonot Lukujonon raja-arvo 1/7 Sisältö Esimerkki lukujonon raja-arvosta Lukujonossa a 1,a 2,a 3,... (jossa on äärettömän monta termiä) voivat luvut lähestyä jotakin arvoa, kun jonossa edetään yhä pidemmälle.

Lisätiedot

TIESILTOJEN VÄSYTYSKUORMAT

TIESILTOJEN VÄSYTYSKUORMAT TIESILTOJEN VÄSYTYSKUORMAT Siltaeurokoodien koulutus Teräs-, liitto- ja puusillat 29-30.3.2010 Heikki Lilja Liikennevirasto 2 MILLE RAKENNEOSILLE TEHDÄÄN VÄSYTYSMITOITUS (TERÄS- JA LIITTOSILLAT) EN1993-2

Lisätiedot

Puutavara-autot mitta- ja massamuutoksen jälkeen. Antti Korpilahti

Puutavara-autot mitta- ja massamuutoksen jälkeen. Antti Korpilahti Puutavara-autot mitta- ja massamuutoksen jälkeen 11/2013 Ajoneuvoasetuksen merkittävimmät muutokset 1.10.2013 Ajoneuvojen korkeutta lisättiin Auton teli- ja kokonaismassoihin muutoksia 8- ja 9-akseliset

Lisätiedot

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä:

Solmu 3/2001 Solmu 3/2001. Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Frégier n lause Simo K. Kivelä Kevään 2001 ylioppilaskirjoitusten pitkän matematiikan kokeessa oli seuraava tehtävä: Suorakulmaisen kolmion kaikki kärjet sijaitsevat paraabelilla y = x 2 ; suoran kulman

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa, kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla mahdollisesti on vaikutusta vastemuuttujan arvoon,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 2, viikko 3

Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 2, viikko 3 Taloustieteen perusteet 31A00110 2016 Mallivastaukset 2, viikko 3 Tehtävä 1.Tarkastellaan opiskelijaa, jolla opiskelun ohella jää 8 tuntia päivässä käytettäväksi työntekoon ja vapaa-aikaan. Olkoot hänen

Lisätiedot

Väsymisanalyysi Case Reposaaren silta

Väsymisanalyysi Case Reposaaren silta Väsymisanalyysi Case Reposaaren silta TERÄSSILTAPÄIVÄT 2012, 6. 7.6.2012 Jani Meriläinen, Liikennevirasto Esityksen sisältö Lyhyet esimerkkilaskelmat FLM1, FLM3, FLM4 ja FLM5 Vanha silta Reposaaren silta

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN. SFS-EN EUROKOODI 3: TERÄSRAKENTEIDEN SUUNNITTELU. Osa 1-1: Yleiset säännöt ja rakennuksia koskevat säännöt

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN. SFS-EN EUROKOODI 3: TERÄSRAKENTEIDEN SUUNNITTELU. Osa 1-1: Yleiset säännöt ja rakennuksia koskevat säännöt LIITE 9 1 KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN SFS-EN 1993-1-1 EUROKOODI 3: TERÄSRAKENTEIDEN SUUNNITTELU. Osa 1-1: Yleiset säännöt ja rakennuksia koskevat säännöt Esipuhe Tätä kansallista liitettä käytetään yhdessä

Lisätiedot

Martingaalit ja informaatioprosessit

Martingaalit ja informaatioprosessit 4A Martingaalit ja informaatioprosessit Tämän harjoituksen tavoitteena on tutustua satunnaisvektorin informaation suhteen lasketun ehdollisen odotusarvon käsitteeseen sekä oppia tunnistamaan, milloin annettu

Lisätiedot

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen

ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI. Mikko Kylliäinen ASUINKERROSTALON ÄÄNITEKNISEN LAADUN ARVIOINTI Mikko Kylliäinen Insinööritoimisto Heikki Helimäki Oy Dagmarinkatu 8 B 18, 00100 Helsinki kylliainen@kotiposti.net 1 JOHDANTO Suomen rakentamismääräyskokoelman

Lisätiedot

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta

Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Parametrin estimointi ja bootstrap-otanta 1/27 Kevät 2003 Käytännön asioista

Lisätiedot

Johdatus regressioanalyysiin

Johdatus regressioanalyysiin Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 4: Lineaarinen regressioanalyysi Johdatus regressioanalyysiin TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Johdatus regressioanalyysiin >> Regressioanalyysin lähtökohdat ja tavoitteet

Lisätiedot

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

RAK Statiikka 4 op

RAK Statiikka 4 op RAK-31000 Statiikka 4 op Opintojakson kotisivu on osoitteessa: http://webhotel2.tut.fi/mec_tme harjoitukset (H) harjoitusten malliratkaisut harjoitustyöt (HT) ja opasteet ilmoitusasiat RAK-31000 Statiikka

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 8: Lineaarinen regressio, testejä ja luottamusvälejä arvon Sisältö arvon Bootstrap-luottamusvälit arvon arvon Oletetaan, että meillä on n kappaletta (x 1, y 1 ),

Lisätiedot

Harjoitus 6 ( )

Harjoitus 6 ( ) Harjoitus 6 (21.4.2015) Tehtävä 1 Määritelmän (ks. luentomoniste s. 109) mukaan yleisen, muotoa min f(x) s. t. g(x) 0 h(x) = 0 x X olevan optimointitehtävän Lagrangen duaali on missä max θ(u, v) s. t.

Lisätiedot

25.11.11. Sisällysluettelo

25.11.11. Sisällysluettelo GLASROC-KOMPOSIITTIKIPSILEVYJEN GHO 13, GHU 13, GHS 9 JA RIGIDUR KUITUVAHVISTELEVYJEN GFH 13 SEKÄ GYPROC RAKENNUSLEVYJEN GN 13, GEK 13, GF 15, GTS 9 JA GL 15 KÄYTTÖ RANKARAKENTEISTEN RAKENNUSTEN JÄYKISTÄMISEEN

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio

Lisätiedot

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma

9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma 9 Yhteenlaskusääntö ja komplementtitapahtuma Kahta joukkoa sanotaan erillisiksi, jos niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota. Jos pysytellään edelleen korttipakassa, niin voidaan ilman muuta sanoa, että

Lisätiedot

Ensimmäisiä tuloksia SETUKLIM-hankkeesta (Sektoritutkimusohjelman ilmastoskenaariot)

Ensimmäisiä tuloksia SETUKLIM-hankkeesta (Sektoritutkimusohjelman ilmastoskenaariot) Ensimmäisiä tuloksia SETUKLIM-hankkeesta (Sektoritutkimusohjelman ilmastoskenaariot) Jouni Räisänen, Helsingin yliopisto Milla Johansson, Ilmatieteen laitos 5.3.2012 Osa 1: Kylmien ja lämpimien kuukausien

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Tilastollinen testaus Tilastollinen testaus Tilastollisessa testauksessa tutkitaan tutkimuskohteita koskevien oletusten tai väitteiden paikkansapitävyyttä havaintojen avulla. Testattavat oletukset tai

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1

Lohkoasetelmat. Kuusinen/Heliövaara 1 Lohkoasetelmat Kuusinen/Heliövaara 1 Kiusatekijä Kaikissa kokeissa kokeen tuloksiin voi vaikuttaa vaihtelu, joka johtuu kiusatekijästä. Kiusatekijä on tekijä, jolla on mahdollisesti vaikutusta vastemuuttujan

Lisätiedot

Esimerkkejä vaativuusluokista

Esimerkkejä vaativuusluokista Esimerkkejä vaativuusluokista Seuraaville kalvoille on poimittu joitain esimerkkejä havainnollistamaan algoritmien aikavaativuusluokkia. Esimerkit on valittu melko mielivaltaisesti laitoksella tehtävään

Lisätiedot

Satunnaislukujen generointi

Satunnaislukujen generointi Satunnaislukujen generointi Hannu Toivonen, Marko Salmenkivi, Inkeri Verkamo Tutkimustiedonhallinnan peruskurssi Satunnaislukujen generointi 1/27 Kevät 2003 Lähteet Knuth, D., The Art of Computer Programming,

Lisätiedot

Mittausepävarmuuden laskeminen

Mittausepävarmuuden laskeminen Mittausepävarmuuden laskeminen Mittausepävarmuuden laskemisesta on useita standardeja ja suosituksia Yleisimmin hyväksytty on International Organization for Standardization (ISO): Guide to the epression

Lisätiedot