Kuormat on yhdistettävä rakennesuunnittelussa riippuvasti

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kuormat on yhdistettävä rakennesuunnittelussa riippuvasti"

Transkriptio

1 /1(6)/tp Kuormat on yhdistettävä rakennesuunnittelussa riippuvasti Pysyvät kuormat ovat riippumattomia, mutta ne yhdistetään nykyisissä rakennesuunnittelunormeissa aina riippuvasti 1. Pysyvä ja muuttuva kuorma ovat yhden vuoden aikana riippumattomia, mutta 50 vuoden aikana riippuvia. Nämä kuormat yhdistetään ja varmuusluvut G, Q, M lasketaan murtotilassa joskus riippumattomasti 2, joskus riippuvasti, mutta käyttötilassa aina riippuvasti. Muuttuva kuormat yhdistetään ja yhdistelykertoimet 0 lasketaan yleensä puoliriippuvasti 3, mutta joskus riippuvasti. Kuormat on kuitenkin yhdistettävä aina riippuvasti, mihin johtopäätökseen voidaan päätyä monesta syystä: Riippumaton ja puoliriippuva yhdistäminen johtaa epärealistiseen tulokseen. Eräitä esimerkkejä tästä selostetaan jäljempänä. Kuormat ovat aina keskenään riippuvia, kun aika on suuri tai kun tarkastellaan useita kuormia. Kun tarkastellaan 50 vuoden aikana esiintyviä kuormia tai jos kuormia on noin 50, kuormat ovat jo luonnossa keskenään suurella tarkkuudelle (noin 1 %) keskenään riippuvia. Yksittäiset kuormat ovat keskenään riippumattomia, mutta nekin on yhdistettävä riippuvasti, mikä voidaan päätellä siitä, että kuormitusyhdistelyn uuden kuormaa vaikutus on aikaisemmista kuormista riippumaton. Jos kuormat yhdistetään riippumattomasti tai puoliriippuvasti, uuden kuorman vaikutus riippuu aikaisemmista kuormista. Tämä on mahdotonta, sillä uuden kuorman ja aikaisempien kuormien välillä ei ole mitään vaikutusyhteyttä. Kuormien riippuvassa yhdistämisessä osakuormien arvot summeerataan sellaisenaan, joten kuormaa ei häviä yhdistämisessä. Riippumattomassa ja puoliriippuvassa yhdistämisessä sen sijaan osa kuormista häviää yhdistämisessä: Kun kuormien satunnaisarvot summeerataan keskenään, 0 10 % kuormista häviää, jolloin varmuusluvut G, Q, M tulevat liian pieniksi. Vastaavasti puoliriippuva yhdistäminen johtaa 0 15 %:n kuormien häviämiseen ja liian pieniin yhdistelykertoimiin 0. Sallittujen jännitysten mukainen pysyvän ja muuttuvan kuorman yhdistely on riippuva ja siten oikea, mutta eurokoodissa nämä kuormat yhdistetään riippumattomasti ja väärin 4. Kaikissa normeissa muuttuvat kuormat yhdistetään puoliriippuvasti eli väärin. Kuormat yhdistetään riippuvasti summeeraamalla osakuormat fraktiileittain. Vaihtoehtoisesti yhdistelyjakauma voidaan määrittää konvoluutiokaavalla niin, että yhdistelyjakauma sovitetaan kulkemaan osajakaumien leikkauspisteiden kautta. Jos yhdistäminen tehdään Monte Carlo simuloimalla, käytetään yhtä siemenlukua. Käytännön rakennesuunnittelussa osakuormien laskenta-arvot summeerataan sellaisenaan ilman (implisiittisiä tai eksplisiittisiä) yhdistelykertoimia, vähennyskertoimia tms. 1 Summajakauman fraktiiliarvo saadaan laskemalla yhteen osajakaumien vastaavien fraktiilien arvot. 2 Summajakauma muodostetaan osajakaumista satunnaisesti, Ferry Borges Castanhetan menetelmä. 3 Toisen jakauman arvo on suurin tavoiteluotettavuuden mukainen deterministinen arvo ja toinen on satunnaisarvo, Turkstran menetelmä. 4 kun käytetään eurokoodin yhdistelysääntöä 6.10a,b tai 6.10a,mod, yhdistelysääntö 6.10 on oikea

2 /2(6)/tp Ääriarvojakauma Rakennesuunnittelun jakaumat ovat ääriarvojakaumia, joko valitun todennäköisyyden suurimpia kuormia tai pienimpiä lujuuksia. Jos jakaumat yhdistetään riippumattomasti, näin saatu jakauma ei ole ääriarvojakauma. Kuormin riippuvasta yhdistämisestä saatu jakauma sen sijaan on ääriarvojakauma. Hook:n laki, lineaaarisuus Hook:n laki ja lineaarisuus ovat rakennesuunnittelun peruspilareita: kuorman ja sen vaikutuksen välinen riippuvuus on lineaarinen. Suomen eurokoodeissa sovelletaan sääntöä 6.10a, mod. Sen mukaan, kun pysyvä kuorma on vähäinen ja muuttuva kuorma kasvaa, vaikutus ei kasva lainkaan. Em. kuormien yhdistelysääntö on riippumattoman kuormayhdistelyn mukainen. Riippumaton kuormien yhdistely on siten ristiriidassa lineaarisuuden ja Hook:n lain kanssa. Mitoituskava Rakennesuunnittelun perusmitoitusyhtälö on G G Q Q M M (1) G on pysyvä kuorma, Q muuttuva kuorma ja M materiaalilujuus, G, Q, M ovat vastaavat varmuusluvut. Tämä epäyhtälö voi aina olla yhtäsuuruusyhtälö, mikä tekee yhdistelyssä käytettävät kuormat täydellisesti riippuviksi ja korreloiviksi riippumatta siitä ovatko nämä kuorma muuten riippuvia vai riippumattomia, sillä lujuus on kuormiin nähden vakio. Korreloivat kuormat on yhdistettävä riippuvasti. Kuormien häviäminen Jos jakaumat yhdistetään riippumattomasti, yhdistelyjakauma on osajakaumien satunnainen summa. Tällaisessa yhdistämisessä osa kuormista häviää. Osajakaumat on kuitenkin summattava ehdottomasti ja riippuvasti, sillä uusi kuorma on lisättävä aikaisempaan täydellä määrällään. Pysyvä ja muuttuva kuorma G + Q ovat riippuvia, kun aika on suuri Pysyvän kuorman jakauma G määrittelee, millä todennäköisyydellä pysyvästä kuormasta aiheutuva mitoituspistekuorma ei toteudu. Vastaavasti muuttuvan kuorman jakauma Q määrittelee, millä todennäköisyydellä muuttuvan kuorman mitoituspistekuorma ei toteudu yhden vuoden aikana. Nämä jakaumat, G ja Q ovat riippumattomia 5. Kuormat on yhdistettävä riippuvasti myös siksi, että kuormat ovat riippuvia, kun aika on suuri: Muuttuvan kuorman yhden vuoden mitoituspistekuorman todennäköisyys P f1 on pieni luku. Esimerkiksi eurokoodissa se on Kun aika kasvaa, tämä todennäköisyys kasvaa. Esimerkiksi t vuodessa todennäköisyys on 1 (1 - P f1 ) t. Kun aika on hyvin suuri, saadaan kaikki jakauman Q arvot niin, että kukin fraktiilin i arvo vastaa jotakin aikaa t. Olkoon pysyvän kuorman fraktiilin i alkio g i. Tämän kanssa esiintyvät samanaikaisesti jonakin aikana 0 t kaikki muuttuvan kuorman fraktiilin j alkiot q j, j = 0 1 ja siten myös q i. Jakaumien G ja Q välillä vallitsee siis täydellinen riippuvuus, sillä jakaumien kaikkien fraktiilien arvot esiintyvät samanaikaisesti. Kun tällaiset jakaumat yhdistetään, tämä riippuvuus on otettava huomioon eli jakaumat G ja Q on yhdistettävä riippuvasti. 5 Tarkemmin ilmaistuna: jakaumat ovat riippuvia, jos fraktiilit ovat pienempiä kuin 0.02.

3 /3(6)/tp Riippumaton ja puoliriippuva yhdistäminen johtaa epärealistiseen tulokseen Esimerkki 1 Oletetaan, että rakenne kestää sekä pysyvää että muuttuvaa kuormaa 1 voimayksikön, kun voimat vaikuttavat erikseen. On selvää, että jos rakenteeseen kohdistuu sekä pysyvä voima 0.5 että muuttuva voima 0.5 samanaikaisesti, rakenne kestää myös yhden voimayksikön. Riippumattoman kuormayhdistelyn ja nykyisten normien mukaan, rakenne kestää kuitenkin noin 1.1, mikä johtuu siitä, että riippumattomassa yhdistämisessä osa kuormasta häviää. On mahdotonta, että kuormien yhdistäminen kasvattaisi rakenteen lujuutta. Esimerkki 2 Kerrostalon ylimmän kerroksen hyötykuormaa pienennetään, jos kuormat yhdistetään riippumattomasti ja alemmissa kerroksissa on kuormaa, mutta ei pienennetä, jos ei ole. On selvää, että ylimmän kerroksen kuorman vaikutus on riippumaton siitä, onko alemmissa kerroksissa kuormaa vai ei. Jos kerrostalon yhdessä kerroksessa on kaksi henkilöä, joiden yhteispaino on 2 kn = kn, mutta jos samat henkilöt ovat kahdessa kerroksessa, riippumattoman yhdistelyn ja nykyisten normien mukaan, kokonaispaino on 1.7 kn? Kerrostaloissa ei voida soveltaa mitään kuormien vähennyskertoimia 0. Tämä johtuu siitä, että kerrostalon kerroksissa olevat hyötykuormat ovat talossa olevan kokonaishyötykuorman osakuormia, jolloin nämä osakuormat ovat keskenään riippuvia. Tältä osin ennen eurokoodia vallinnut mitoituskäytäntökin on ollut väärä. Esimerkki 3 Riippumaton kuormien yhdistäminen merkitsee, että rakenteen jokaisen uuden kuorman tulisi tietää onko rakenteella aikaisempaa kuormaa ja uuden kuorman täytyisi osata pienentää itseään 0 30 %, jos rakenteella on aikaisempaa kuormaa. Tämä on mahdotonta. Esimerkiksi, on mahdotonta, että katolle vaikuttava tuulikuorma voisi tietää onko katolla lumikuormaa ja että tuulikuorma osaisi sovittaa oman vaikutuksensa rakenteisiin tästä riippuvaksi 6. Esimerkki 4 Tarkastellaan pysyvän ja muuttuvan kuorman yhdistämistä eurokoodin perusoletusten mukaisesti. Asian yksinkertaistamiseksi muuttuvan kuorman jakauman oletetaan olevan normaali (eurokoodissa gumbel) ja pysyvän kuorman mitoituspistearvo asetetaan 0.98:ksi (eurokoodissa 0.5). Asetetaan mitoituspiste ykköseksi. Pysyvän kuorman variaatiokerroin on ja muuttuvan 0.4, joten jakaumaparametrit ovat: G = 0.842, G = 0.077, Q = 0.549, Q = Vaaditaan, että mitoituksen täytyy toteutua 98 %:n todennäköisyydellä. Valitaan kuormat ykkösiksi, jolloin ne ovat mitoituspisteessä ja 0.98 fraktiilissa, eli molemmat kuormat ovat kelpoisuusrajalla. Kuormat yhdistetään kuormasuhteessa = 0.5, eli kuormat yhdistetään suhteissa 50 % + 50 %. 6 Tuulikuorman yhdistämisessä sovelletaan tässä tapauksessa yhdistelykerrointa 0 0.8, mikä johtuu siitä, että lumi vaikuttaa vain talvella, mutta tuuli esiintyy koko vuoden ajan ja molemmat jakaumat määritellään vuoden ajalle.

4 /4(6)/tp Pysyvät kuormat yhdistetään nykyisissä normeissa riippuvasti (kaikki kuormat tulee yhdistää riippuvasti: molemmat yhdistettävät kuormat ovat suurimmissa arvoissaan kaikissa fraktiileissa). Yhdistelykuorma lasketaan tässä tapauksessa normaalijakaumasta N: N x G 1 NGQ d x 2 Q G 1 Q 2 2 Q G 1 (1) Pysyvä ja muuttuva kuorma yhdistetään eurokoodissa riippumattomasti ja tästä yhdistelytuloksesta lasketaan varmuusluvut G, Q, M (molemmat kuormat ovat satunnaisarvoissaan, Ferry Borges - Castanheta:n malli): N x G 1 NGQ i x 2 Q G 1 Q 2 (2) Alla olevassa kuvassa on esitetty pysyvän kuorman jakauma ympyräviivalla ja muuttuvan kuorman jakauma neliöviivalla, vaaka-akselilla on kuorma, pystyakselilla fraktiili. Riippuva yhdistelykuorma on esitetty yhtenäisellä paksulla viivalla, riippumaton katkoviivalla. Oleellista nyt on, mikä on yhdistelyjakauman arvo kelpoisuusrajalla eli 0.98-fraktiilissa, joka on piirretty vaakaviivalla? Loogista on, että se on 1 (= ) eli kuormat ja myös niiden puolikkaat summeerataan sellaisenaan. Näin todella on, sillä pysyvä kuorma 1 esiintyy koko käyttöajan ja muuttuvan kuorman käy rakenteen 50 vuoden käyttöaikana ainakin kerron arvossa 1. Kuormat ovat samanaikaisia ja summeerataan sellaisenaan. Jos kuormat yhdistetään riippumattomasti, yhdistelykuorma on 0.934, minkä mukaan kuormitusyhdistely pienentää kokonaiskuormaa, < 1 ja vastaavasti lujittaa materiaalia, mikä on kuormien samanaikaisuuden vuoksi väärin ja lisäksi epäloogista Esimerkki 5 On kolme geometrialtaan samanlaista taloa. Talossa A on betonikatto, jonka omapaino on 20 kn eikä katolla ole kuormaa, talossa B on teräskatto, jonka omapaino on 10 kn ja katolla on 10 kn lunta, talon C katto on ideaalimateriaalia eikä se paina mitään ja katolla on 20 kn lunta. Suomen eurokoodin mukaan selvää on, että katon A murtotilan mitoituskuorma on 1.35*20=27 kn ja katon C vastaavasti 1.5*20=30 kn. Kiistanalaista sen sijaan on, mikä on katon B mitoituskuorma? Lasketaanko yhdistelykuorma riippumattomista jakaumista, kuten tehdään esimerkiksi Suomen eurokoodissa, jolloin mitoituskuorma on 1.15*10+1.5*10=26.5 kn vai lasketaanko yhdistelykuorma riippuvista jakaumista, jolloin yhdistelykuorma on 1.35*10+1.5*10=28.5 kn? Jaetaan katot A ja C kuormineen pieniin yhtä suuriin osiin ja tehdään neljäs katto D ottamalla siihen puolet katon A osista ja puolet katon C osista. On selvää, että katon D mitoituskuorma on puolet katon A ja C mitoituskuormien summasta eli 28.5 kn, mikä on sama kuin riippuvalla menetelmällä laskettu yhdistelykuorma. Katto D voidaan tehdä ainakin ideaalisena fysikaalisestikin niin, että katto tehdään ensin ja lumi sataa vain katosta C otetuille osille tai vaihtoehtoisesti katolla on lumenpoisto katon C osilta. On selvää, että katon B ja D alla olevien kantavien rakenteiden kuorma on sama, joten katon B mitoituskuoma on laskettava riippuvien jakaumien mukaan.

5 /5(6)/tp Tässä tapauksessa kuormasuhde (muuttuvan kuorman suhde kokonaiskuormaan) on 0.5 ja laskentamenetelmien ero on noin 7 %. Ero on hieman suurempi, kun kuormasuhde on pienempi. Riippuvan ja riippumattoman yhdistämisen ero kasvaa, kun kuormien vaihtelu kasvaa, esimerkiksi tuuli- ja lumikuorman yhdistämisessä menetelmien ero on noin 15 %. Pysyvien kuormien yhdistäminen Pysyvät kuormat ovat riippumattomia. Näissä kuormissa ei ole edes edellä selostettua ajan kasvusta johtuvaa kuormien korrelaatiota. Pysyvät kuormat yhdistetään kuitenkin kaikissa normeissa riippuvasti. Esimerkiksi kerrostalojen välipohja-, seinä-, yms. kuormat yhdistetään kaikissa normeissa riippuvasti. Pysyvien kuormien vaikutus on itsenäinen ja muista kuormista riippumaton, minkä johdosta nämä kuormat on yhdistettävä riippuvasti ja nykyiset normit ovat tältä osin oikeita. Näitä kuormia ei voida yhdistää riippumattomasti, sillä varmuus häviäisi kerrostaloissa käytännöllisesti katsoen kokonaan. Yhteenveto Perimmäinen syy kuormien riippuvaan yhdistämiseen on kunkin kuorman muista kuormista riippumaton ja itsenäinen vaikutus. Riippumattomassa ja puoliriippuvassa yhdistämisessä jokaisen kuorman vaikutus rakenteeseen on muista kuormista riippuva. Vaikutus on täysimääräinen vain, jos muita kuormia ei ole, ja jos muita kuormia on, vaikutus on pienempi. Vaikutus on sitä pienempi mitä enemmän muita kuormia on ja ääritapauksessa, kun kuormia on paljon, varmuus häviää kokonaan. Jos kuormia ei yhdistetä riippuvasti, päädytään tavoiteluotettavuuteen nähden noin 0 20 % alivarmaan mitoitukseen. Tampere Tuomo Poutanen, ,

Uusi rakenteiden mitoitusmenetelmä

Uusi rakenteiden mitoitusmenetelmä Rakenteiden Mekaniikka Vol. 45, Nro 4, 2011, s. 201-212 Uusi rakenteiden mitoitusmenetelmä Tuomo Poutanen Tiivistelmä. Uusi mitoitusmenetelmä esitetään kolmena variaationa: sallittujen jännitysten muunnelma,

Lisätiedot

Lumirakenteiden laskennassa noudatettavat kuormat ja kuormitukset

Lumirakenteiden laskennassa noudatettavat kuormat ja kuormitukset Lumirakenteiden laskennassa noudatettavat kuormat ja kuormitukset Kuormien laskemisessa noudatetaan RakMK:n osaa B1, Rakenteiden varmuus ja kuormitukset sekä Rakenteiden kuormitusohjetta (RIL 144) Mitoituslaskelmissa

Lisätiedot

M&T Farm s pressuhallit

M&T Farm s pressuhallit M&T Farm s pressuhallit Lasketaan M&T Farm s pressukaarihallin lujuudet. Laskenta tehdään EN standardia käyttäen. Rakenne: Kaarihallit on esitetty alla olevissa kuvissa. Kaarissa käytettävä materiaali

Lisätiedot

EC7 Kuormien osavarmuusluvut geoteknisessä suunnittelussa, vaihtoehtoja nykyarvoille

EC7 Kuormien osavarmuusluvut geoteknisessä suunnittelussa, vaihtoehtoja nykyarvoille EC7 Kuormien osavarmuusluvut geoteknisessä suunnittelussa, vaihtoehtoja nykyarvoille Tim Länsivaara TTY EUROKOODI 2014 SEMINAARI Sisältö 1. Johdanto 2. Kuormien osavarmuusluvut stabiliteettitarkastelussa

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN. SFS-EN EUROKOODI 1: RAKENTEIDEN KUORMAT Osa 1-3: Yleiset kuormat. Lumikuormat

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN. SFS-EN EUROKOODI 1: RAKENTEIDEN KUORMAT Osa 1-3: Yleiset kuormat. Lumikuormat 1 LIITE 4 KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN SFS-EN 1991-1-3 EUROKOODI 1: RAKENTEIDEN KUORMAT Osa 1-3: Yleiset kuormat. Lumikuormat Esipuhe Tätä kansallista liitettä käytetään yhdessä standardin SFS - EN 1991-1-3:

Lisätiedot

EC0 ja EC1. Keskeiset muutokset kansallisissa. liitteissä. Eurokoodi 2014 seminaari Rakennusteollisuus RT ry Timo Tikanoja 9.12.

EC0 ja EC1. Keskeiset muutokset kansallisissa. liitteissä. Eurokoodi 2014 seminaari Rakennusteollisuus RT ry Timo Tikanoja 9.12. EC0 ja EC1 Keskeiset muutokset kansallisissa liitteissä Eurokoodi 2014 seminaari 9.12.2014 Kansallisten liitteiden muutokset Muutoksia tehdään osin käyttäjiltä tulleen palautteen pohjalta. Osa muutoksista

Lisätiedot

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11)

6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 6. laskuharjoitusten vastaukset (viikot 10 11) 1. a) Sivun 102 hypergeometrisen jakauman määritelmästä saadaan µ µ 13 39 13! 13 12 11 10 9 µ 0! 8! 1! 2 2! 2 1 0 49 48! 47!! 14440 120 31187200 120 1287

Lisätiedot

T512905 Puurakenteet 1 5 op

T512905 Puurakenteet 1 5 op T512905 Puurakenteet 1 5 op Kantavat puurakenteet Rajatilamitoituksen periaatteet Murtorajatila Materiaalin osavarmuusluku M Kuorman keston ja kosteusvaikutuksen huomioiva lujuuden ja jäykkyyden muunnoskerroin

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon käsittelystä p. 1/18 Puuttuvan tiedon käsittelystä pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto Puuttuvan tiedon

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Tilastollisen analyysin perusteet Luento 6: Korrelaatio ja riippuvuus tilastotieteessä Sisältö Riippumattomuus Jos P(A B) = P(A)P(B), niin tapahtumat A ja B ovat toisistaan riippumattomia. (Keskustelimme

Lisätiedot

7,2 10-5. Mikali tama muutetaan vuosittaiseksi vaurioitumistodenniikoisyydeksi, EUROCODE 1 KUORMITUS- JA V ARMUUSNORMIN PERUSTEET.

7,2 10-5. Mikali tama muutetaan vuosittaiseksi vaurioitumistodenniikoisyydeksi, EUROCODE 1 KUORMITUS- JA V ARMUUSNORMIN PERUSTEET. EUROCODE 1 KUORMITUS- JA V ARMUUSNORMIN PERUSTEET Tor-Ulf Week Rakenteiden Mekaniikka, Vol. 26 No 1 1993, ss. 3-14 TIIVISTELMA Kirjoitus ktisittelee yhteiseurooppalaisen rakennusalan suunnittelunormiston

Lisätiedot

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT

HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT HAVAITUT JA ODOTETUT FREKVENSSIT F: E: Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies (1) 59 28 4 91 Nainen (2) 5 14 174 193 Yhteensä 64 42 178 284 Usein Harvoin Ei tupakoi Yhteensä (1) (2) (3) Mies

Lisätiedot

Rakenteiden varmuus ja kuormitukset

Rakenteiden varmuus ja kuormitukset Jaakko Huuhtanen, rakennusneuvos Ympäristöministeriö, asunto- ja rakennusosasto jaakko.huuhtanen@vyh.fi Määräykset 1998 Ympäristöministeriö on rakennuslain 13 :n, sellaisena kuin se on laissa 557/89, nojalla

Lisätiedot

Esimerkkilaskelma. Liimapuupalkin hiiltymämitoitus

Esimerkkilaskelma. Liimapuupalkin hiiltymämitoitus Esimerkkilaskelma Liimapuupalkin hiiltymämitoitus 13.6.2014 Sisällysluettelo 1 LÄHTÖTIEDOT... - 3-2 KUORMAT... - 3-3 MATERIAALI... - 4-4 MITOITUS... - 4-4.1 TEHOLLINEN POIKKILEIKKAUS... - 4-4.2 TAIVUTUSKESTÄVYYS...

Lisätiedot

Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa Linkkikeskukset ja auktoriteetit (hubs and authorities) -algoritmi

Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa Linkkikeskukset ja auktoriteetit (hubs and authorities) -algoritmi Kurssin loppuosa Diskreettejä menetelmiä laajojen 0-1 datajoukkojen analyysiin Kattavat joukot ja niiden etsintä tasoittaisella algoritmilla Relevanttien sivujen etsintä verkosta: satunnaiskulut verkossa

Lisätiedot

pitkittäisaineistoissa

pitkittäisaineistoissa Puuttuvan tiedon ongelma p. 1/18 Puuttuvan tiedon ongelma pitkittäisaineistoissa Tapio Nummi tan@uta.fi Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Tampereen yliopisto mtl.uta.fi/tilasto/sekamallit/puupitkit.pdf

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-200 Todennäköisyyslaskenta Tentti 29.04.20 / Kimmo Vattulainen Funktiolaskin sallittu.. a) Pelaajat A ja B heittävät noppaa vuorotellen ja pelin voittaa se, joka saa ensimmäiseksi kuutosen. A aloittaa

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN. SFS-EN 1991-1-4 EUROKOODI 1: RAKENTEIDEN KUORMAT Osa 1-4: Yleiset kuormat. Tuulikuormat

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN. SFS-EN 1991-1-4 EUROKOODI 1: RAKENTEIDEN KUORMAT Osa 1-4: Yleiset kuormat. Tuulikuormat 1 LIITE 5 KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN SFS-EN 1991-1-4 EUROKOODI 1: RAKENTEIDEN KUORMAT Osa 1-4: Yleiset kuormat. Tuulikuormat Esipuhe Tätä kansallista liitettä käytetään yhdessä standardin SFS-EN 1991-1-4

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Orsien käytönrajat paljaille ja päällystetyille avojohdoille EN 50341, EN 50423. Johtokulma

Orsien käytönrajat paljaille ja päällystetyille avojohdoille EN 50341, EN 50423. Johtokulma Orsien käytönrajat paljaille ja päällystetyille avojohdoille EN 50341, EN 50423 40 50 60 70 80 90 100 110 03 Sisällysluettelo Orsien käytönrajat perusteet...04 20 kv paljaan avojohdon orret SH66 (seuraava

Lisätiedot

Simulointi. Varianssinhallintaa Esimerkki

Simulointi. Varianssinhallintaa Esimerkki Simulointi Varianssinhallintaa Esimerkki M C Esimerkki Tarkastellaan lasersäteen sirontaa partikkelikerroksesta Jukka Räbinän pro gradu 2005 Tavoitteena simuloida sirontakuvion tunnuslukuja Monte Carlo

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN. SFS-EN 1995 EUROKOODI 5: PUURAKENTEIDEN SUUNNITTELU Osa 1-2: Yleistä. Rakenteiden palomitoitus

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN. SFS-EN 1995 EUROKOODI 5: PUURAKENTEIDEN SUUNNITTELU Osa 1-2: Yleistä. Rakenteiden palomitoitus 1 LIITE 17 KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN SFS-EN 1995 EUROKOODI 5: PUURAKENTEIDEN SUUNNITTELU Osa 1-2: Yleistä. Rakenteiden palomitoitus Esipuhe Tätä kansallista liitettä käytetään yhdessä standardin SFS-EN

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN SFS-EN 1990 EUROKOODI. RAKENTEIDEN SUUNNITTELUPERUSTEET

KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN SFS-EN 1990 EUROKOODI. RAKENTEIDEN SUUNNITTELUPERUSTEET 1 LIITE 1 KANSALLINEN LIITE STANDARDIIN SFS-EN 1990 EUROKOODI. RAKENTEIDEN SUUNNITTELUPERUSTEET Esipuhe Tätä kansallista liitettä käytetään yhdessä standardin SFS-EN 1990:2002 kanssa. Tässä kansallisessa

Lisätiedot

Laskuharjoitus 5. Mitkä ovat kuvan 1 kanavien kapasiteetit? Kuva 1: Kaksi kanavaa. p/(1 p) ) bittiä lähetystä kohti. Voidaan

Laskuharjoitus 5. Mitkä ovat kuvan 1 kanavien kapasiteetit? Kuva 1: Kaksi kanavaa. p/(1 p) ) bittiä lähetystä kohti. Voidaan Informaatioteoria ELEC-C7 5 Laskuharjoitus 5 Tehtävä 5.3 Mitkä ovat kuvan kanavien kapasiteetit?.3.7 a b Kuva : Kaksi kanavaa b Binäärisessä Z-kanavassa virhe tapahtuu todennäköisyydellä p ja virhe todennäköisyydellä.

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Lumen teknisiä ominaisuuksia

Lumen teknisiä ominaisuuksia Lumen teknisiä ominaisuuksia Lumi syntyy ilmakehässä kun vesihöyrystä tiivistyneessä lämpötila laskee alle 0 C:n ja pilven sisällä on alijäähtynyttä vettä. Kun lämpötila on noin -5 C, vesihöyrystä, jäähiukkasista

Lisätiedot

Erään teräsrunkoisen teoll.hallin tarina, jännev. > 40-50 m

Erään teräsrunkoisen teoll.hallin tarina, jännev. > 40-50 m Erään teräsrunkoisen teoll.hallin tarina, jännev. > 40-50 m 1 HALLIN ROMAHDUS OLI IHAN TIPALLA - lunta katolla yli puoli metriä, mutta paino olennaisesti alle 180 kg neliölle KEHÄT HIEMAN TOISESTA NÄKÖKULMASTA

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1991-1-5 RAKENTEIDEN KUORMAT Lämpötilakuormat LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ

KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1991-1-5 RAKENTEIDEN KUORMAT Lämpötilakuormat LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1991-1-5 RAKENTEIDEN KUORMAT Lämpötilakuormat LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ 1.6.2010 Kansallinen liite (LVM), 1.6.2010 1/6 KANSALLINEN LIITE (LVM) STANDARDIIN SFS-EN 1991-1-5

Lisätiedot

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61

Odotusarvo. Odotusarvon ominaisuuksia Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 3.3. Satunnaismuuttujien ominaisuuksia 61 Odotusarvo Määritelmä 3.5 (Odotusarvo) Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka arvojoukko on S ja todennäköisyysfunktio f X (x). Silloin X:n odotusarvo on

Lisätiedot

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet

2. Jatkoa HT 4.5:teen ja edelliseen tehtavään: Määrää X:n kertymäfunktio F (x) ja laske sen avulla todennäköisyydet Tilastotieteen jatkokurssi Sosiaalitieteiden laitos Harjoitus 5 (viikko 9) Ratkaisuehdotuksia (Laura Tuohilampi). Jatkoa HT 4.5:teen. Määrää E(X) ja D (X). E(X) = 5X p i x i =0.8 0+0.39 +0.4 +0.4 3+0.04

Lisätiedot

Aineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin

Aineistoista. Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Aineistoista 11.2.09 IK Laadulliset menetelmät: miksi tarpeen? Haastattelut, fokusryhmät, havainnointi, historiantutkimus, miksei videointikin Muotoilussa kehittyneet menetelmät, lähinnä luotaimet Havainnointi:

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Teema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja

Teema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja Teema 3: Tilastollisia kuvia ja tunnuslukuja Tilastoaineiston peruselementit: havainnot ja muuttujat havainto: yhtä havaintoyksikköä koskevat tiedot esim. henkilön vastaukset kyselylomakkeen kysymyksiin

Lisätiedot

LATTIA- JA KATTOPALKIT

LATTIA- JA KATTOPALKIT LATTIA- JA KATTOPALKIT LATTIA- JA KATTOPALKIT Kerto -palkit soveltuvat kantaviksi palkeiksi niin puurunkoisiin kuin kiviainesrunkoisiin rakennuksiin. Kerto-palkkeja käytetään mm. alapohja-, välipohja-,

Lisätiedot

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi.

1 + b t (i, j). Olkoon b t (i, j) todennäköisyys, että B t (i, j) = 1. Siis operaation access(j) odotusarvoinen kustannus ajanhetkellä t olisi. Algoritmien DP ja MF vertaileminen tapahtuu suoraviivaisesti kirjoittamalla kummankin leskimääräinen kustannus eksplisiittisesti todennäköisyyksien avulla. Lause T MF ave = 1 + 2 1 i

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla?

(b) Onko hyvä idea laske pinta-alan odotusarvo lähetmällä oletuksesta, että keppi katkeaa katkaisukohdan odotusarvon kohdalla? 6.10.2006 1. Keppi, jonka pituus on m, taitetaan kahtia täysin satunnaisesti valitusta kohdasta ja muodostetaan kolmio, jonka kateetteina ovat syntyneet palaset. Kolmion pinta-ala on satunnaismuuttuja.

Lisätiedot

ESIMERKKI 2: Kehän mastopilari

ESIMERKKI 2: Kehän mastopilari ESIMERKKI : Kehän mastopilari Perustietoja: - Hallin 1 pääpilarit MP101 ovat liimapuurakenteisia mastopilareita. - Mastopilarit ovat tuettuja heikomman suunnan nurjahusta vastaan ulkoseinäelementeillä.

Lisätiedot

b6) samaan perusjoukkoon kohdistuu samanaikaisesti useampia tutkimuksia.

b6) samaan perusjoukkoon kohdistuu samanaikaisesti useampia tutkimuksia. 806109P TILASTOTIETEEN PERUSMENETELMÄT I 1. välikoe 11.3.2011 (Jari Päkkilä) VALITSE VIIDESTÄ TEHTÄVÄSTÄ NELJÄ JA VASTAA VAIN NIIHIN! 1. Valitse kohdissa A-F oikea (vain yksi) vaihtoehto. Oikeasta vastauksesta

Lisätiedot

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012

Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Johdatus tn-laskentaan torstai 16.2.2012 Muunnoksen jakauma (ei pelkkä odotusarvo ja hajonta) Satunnaismuuttujien summa; Tas ja N Vakiokerroin (ax) ja vakiolisäys (X+b) Yleinen muunnos: neulanheittoesimerkki

Lisätiedot

Suunnitteluharjoitus käsittää rakennuksen runkoon kuuluvien tavanomaisten teräsbetonisten rakenneosien suunnittelun.

Suunnitteluharjoitus käsittää rakennuksen runkoon kuuluvien tavanomaisten teräsbetonisten rakenneosien suunnittelun. Rak-43.3130 Betonirakenteiden suunnitteluharjoitus, kevät 2016 Suunnitteluharjoitus käsittää rakennuksen runkoon kuuluvien tavanomaisten teräsbetonisten rakenneosien suunnittelun. Suunnitteluharjoituksena

Lisätiedot

JOKELA - VÄLIPOHJAN KANTAVUUDEN MÄÄRITYS RAPORTTI 1. KRS. KATON VAAKARAKENTEISTA Torikatu 26 80100 Joensuu 02.09.2011

JOKELA - VÄLIPOHJAN KANTAVUUDEN MÄÄRITYS RAPORTTI 1. KRS. KATON VAAKARAKENTEISTA Torikatu 26 80100 Joensuu 02.09.2011 JOENSUUN JUVA OY JOKELA - VÄLIPOHJAN KANTAVUUDEN MÄÄRITYS RAPORTTI 1. KRS. KATON VAAKARAKENTEISTA Torikatu 26 80100 Joensuu 02.09.2011 JOENSUUN JUVA OY Penttilänkatu 1 F 80220 Joensuu Puh. 013 137980 Fax.

Lisätiedot

Eurooppalaisen rakenteiden mitoitusnormiston varmuusperusteet

Eurooppalaisen rakenteiden mitoitusnormiston varmuusperusteet akenteiden Mekaniikka Vol. 41, Nro 2, 2008, s. 99 107 Eurooppalaisen rakenteiden mitoitusnormiston varmuusperusteet Tor-Ulf Weck Tiivistelmä. Artikkelissa esitetään eurooppalaisen rakenteiden mitoitusnormiston

Lisätiedot

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja.

Tehtävä 1. Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. Tehtävä 1 Arvioi mitkä seuraavista väitteistä pitävät paikkansa. Vihje: voit aloittaa kokeilemalla sopivia lukuarvoja. 1 Jos 1 < y < 3, niin kaikilla x pätee x y x 1. 2 Jos x 1 < 2 ja y 1 < 3, niin x y

Lisätiedot

KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1991-1-4 RAKENTEIDEN KUORMAT Tuulikuormat LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ

KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1991-1-4 RAKENTEIDEN KUORMAT Tuulikuormat LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ KANSALLINEN LIITE (LVM) SFS-EN 1991-1-4 RAKENTEIDEN KUORMAT Tuulikuormat LIIKENNE- JA VIESTINTÄMINISTERIÖ 1.6.2010 Kansallinen liite (LVM), 1.6.2010 1/4 Alkusanat KANSALLINEN LIITE (LVM) STANDARDIIN SFS-EN

Lisätiedot

3. SUUNNITTELUPERUSTEET

3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3. SUUNNITTELUPERUSTEET 3.1 MATERIAALIT Rakenneterästen myötörajan f y ja vetomurtolujuuden f u arvot valitaan seuraavasti: a) käytetään suoraan tuotestandardin arvoja f y = R eh ja f u = R m b) tai käytetään

Lisätiedot

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1

Regressioanalyysi. Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysi Vilkkumaa / Kuusinen 1 Regressioanalyysin idea ja tavoitteet Regressioanalyysin idea: Halutaan selittää selitettävän muuttujan havaittujen arvojen vaihtelua selittävien muuttujien havaittujen

Lisätiedot

J. Virtamo Jonoteoria / Prioriteettijonot 1

J. Virtamo Jonoteoria / Prioriteettijonot 1 J. Virtamo 38.3143 Jonoteoria / Prioriteettijonot 1 Prioriteettijonot Tarkastellaan M/G/1-jonojärjestelmää, jossa asiakkaat on jaettu K:hon prioriteettiluokkaan, k = 1,..., K: - luokalla 1 on korkein prioriteetti

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut

Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut (1) Laske 20 12 11 21. Turun seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 18.1.2012 Tehtävät ja ratkaisut a) 31 b) 0 c) 9 d) 31 Ratkaisu. Suoralla laskulla 20 12 11 21 = 240 231 = 9. (2) Kahden peräkkäisen

Lisätiedot

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden

Jos nyt on saatu havaintoarvot Ü ½ Ü Ò niin suurimman uskottavuuden 1.12.2006 1. Satunnaisjakauman tiheysfunktio on Ü µ Üe Ü, kun Ü ja kun Ü. Määritä parametrin estimaattori momenttimenetelmällä ja suurimman uskottavuuden menetelmällä. Ratkaisu: Jotta kyseessä todella

Lisätiedot

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

ABHELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Mitä tänään? Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa. Tämä tapahtuu liittämällä

Lisätiedot

Esimerkkilaskelma. NR-ristikon yläpaarteen tuenta

Esimerkkilaskelma. NR-ristikon yläpaarteen tuenta Esimerkkilaskelma NR-ristikon yläpaarteen tuenta 27.8.2014 Sisällysluettelo 1 LÄHTÖTIEDOT... - 3-2 RAKENTEEN TIEDOT... - 3-3 RAKENTEEN KUORMAT... - 4-4 LYHIN NURJAHDUSPITUUS... - 5-5 PISIN NURJAHDUSPITUUS...

Lisätiedot

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun

Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Johtuuko tämä ilmastonmuutoksesta? - kasvihuoneilmiön voimistuminen vaikutus sääolojen vaihteluun Jouni Räisänen Helsingin yliopiston fysiikan laitos 15.1.2010 Vuorokauden keskilämpötila Talvi 2007-2008

Lisätiedot

Ritilän A kuormitustaulukko

Ritilän A kuormitustaulukko Ritilän A kuormitustaulukko Tyyppi A 22x22 c/c kantoteräs = 22 mm mitat (mm) 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 20x2 Q(maks. 93 52 33 23 17 13 10 8.3 6.9 5.8 4.9 4.3 3.7 Q(L/200)

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 4 (vko 41/2003) (Aihe: diskreettejä satunnaismuuttujia ja jakaumia, Laininen luvut 4.1 4.7) 1. Kone tekee

Lisätiedot

RUDUS OY ELEMENTO - PORRASELEMENTIT

RUDUS OY ELEMENTO - PORRASELEMENTIT RUDUS OY Sivu 1/15 RUDUS OY ELEMENTO - PORRASELEMENTIT SUUNNITTELUN LÄHTÖTIEDOT 1. Suunnittelun perusteet SFS-EN 1990 Eurocode: Rakenteiden suunnitteluperusteet, 2010 NA SFS-EN 1990-YM, Suomen kansallinen

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾.

Koska ovat negatiiviset. Keskihajontoja ei pystytä laskemaan mutta pätee ¾. 24.11.2006 1. Oletetaan, että kaksiulotteinen satunnaismuuttuja µ noudattaa kaksiulotteista normaalijakaumaa. Oletetaan lisäksi, että satunnaismuuttujan regressiofunktio satunnaismuuttujan suhteen on ݵ

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Systeemianalyysin laboratorio Nordlund Mat-.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Harjoitus 7 (vko 44/003) (Aihe: odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia, satunnaismuuttujien lineaarikombinaatioita,

Lisätiedot

YLEISTÄ EUROKOODI MITOITUKSESTA

YLEISTÄ EUROKOODI MITOITUKSESTA YLEISTÄ EUROKOODI MITOITUKSESTA MITÄ KOSKEE 1. Rakenne- ja geosuunnittelua 2. Lähinnä varmuuskerroin menettely uudistuu. Itse laskenta menetelmät, kaavat ja teoriat pysyvät ennallaan (joitain esimerkkitapoja

Lisätiedot

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen

Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen MTTTP5, kevät 2016 4.2.2016/RL Lisätehtäviä ratkaisuineen luentomonisteen lukuihin 2-4 liittyen 1. Laitosneuvostoon valitaan 2 professoria, 4 muuta henkilökuntaan kuuluvaa jäsentä sekä 4 opiskelijaa. Laitosneuvostoon

Lisätiedot

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin)

Tehtävät. 1. Ratkaistava epäyhtälöt. a) 2(4 x) < 12, b) 5(x 2 4x + 3) < 0, c) 3 2x 4 > 6. 1/10. Sukunimi (painokirjaimin) 1/10 Tehtävä 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Yhteensä Pisteet (tarkastaja merkitsee) Kokeessa on kymmenen tehtävää, joista jokainen on erillisellä paperilla. Jokaisen tehtävän maksimipistemäärä on 6 pistettä. Ratkaise

Lisätiedot

LATTIAT - VÄRÄHTELYMITOITUS - Tero Lahtela

LATTIAT - VÄRÄHTELYMITOITUS - Tero Lahtela LATTIAT - VÄRÄHTELYMITOITUS - Tero Lahtela LATTIAN VÄRÄHTELY TYYPILLISET VÄRÄHTELYN AIHEUTTAJAT Kävely (yleisin), juokseminen, hyppiminen Pyykinpesukone Liikennetärinä VÄRÄHTELYN AISTIMINEN Kehon tuntemuksina

Lisätiedot

3.7 Todennäköisyysjakaumia

3.7 Todennäköisyysjakaumia MAB5: Todennäköisyyden lähtökohdat 4 Luvussa 3 Tunnusluvut perehdyimme jo jakauman käsitteeseen yleensä ja normaalijakaumaan vähän tarkemmin. Lähdetään nyt tutustumaan binomijakaumaan ja otetaan sen jälkeen

Lisätiedot

Ovi. Ovi TP101. Perustietoja: - Hallin 1 päätyseinän tuulipilarit TP101 ovat liimapuurakenteisia. Halli 1

Ovi. Ovi TP101. Perustietoja: - Hallin 1 päätyseinän tuulipilarit TP101 ovat liimapuurakenteisia. Halli 1 Esimerkki 4: Tuulipilari Perustietoja: - Hallin 1 päätyseinän tuulipilarit TP101 ovat liimapuurakenteisia. - Tuulipilarin yläpää on nivelellisesti ja alapää jäykästi tuettu. Halli 1 6000 TP101 4 4 - Tuulipilaria

Lisätiedot

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta

Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: Lokaatio ja hajonta Tilastollisen analyysin perusteet Luento 1: ja hajonta Sisältö Havaittujen arvojen jakauma Havaittujen arvojen jakaumaa voidaan kuvailla ja esitellä tiivistämällä havaintoarvot sopivaan muotoon. Jakauman

Lisätiedot

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen

MAT Todennäköisyyslaskenta Tentti / Kimmo Vattulainen MAT-5 Todennäköisyyslaskenta Tentti.. / Kimmo Vattulainen Vastaa jokainen tehtävä eri paperille. Funktiolaskin sallittu.. a) P A). ja P A B).6. Mitä on P A B), kun A ja B ovat riippumattomia b) Satunnaismuuttujan

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Approbatur 3, demo 1, ratkaisut 1.1. A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat. Käydään kaikki vaihtoehdot läpi. Jos A on rehti, niin B on retku, koska muuten

Lisätiedot

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä.

A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Esimerkki otteluvoiton todennäköisyys A ja B pelaavat sarjan pelejä. Sarjan voittaja on se, joka ensin voittaa n peliä. Yksittäisessä pelissä A voittaa todennäköisyydellä p ja B todennäköisyydellä q =

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut

4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut 4. laskuharjoituskierros, vko 7, ratkaisut D1. Kone valmistaa kuulalaakerin kuulia, joiden halkaisija vaihtelee satunnaisesti. Halkaisijan on oltava tiettyjen rajojen sisällä, jotta kuula olisi käyttökelpoinen.

Lisätiedot

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.

(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,

Lisätiedot

Ympäristöministeriön asetus Eurocode-standardien soveltamisesta talonrakentamisessa annetun asetuksen muuttamisesta

Ympäristöministeriön asetus Eurocode-standardien soveltamisesta talonrakentamisessa annetun asetuksen muuttamisesta Ympäristöministeriön asetus Eurocode-standardien soveltamisesta talonrakentamisessa annetun asetuksen muuttamisesta Annettu Helsingissä 5 päivänä marraskuuta 2010 Ympäristöministeriön päätöksen mukaisesti

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.

Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden

Lisätiedot

Kuormitukset: Puuseinärungot ja järjestelmät:

Kuormitukset: Puuseinärungot ja järjestelmät: PIENTALON PUURUNKO JA JÄYKISTYS https://www.virtuaaliamk.fi/bin/get/eid/51ipycjcf/runko- _ja_vesikattokaavio-oppimisaihio.pdf Ks Esim opintojaksot: Rakennetekniikka, Puurakenteet Luentoaineisto: - Materiaalia

Lisätiedot

TERÄSBETONISEN MASTOPILARIN PALOMITOITUSOHJE. Eurokoodimitoitus taulukoilla tai diagrammeilla

TERÄSBETONISEN MASTOPILARIN PALOMITOITUSOHJE. Eurokoodimitoitus taulukoilla tai diagrammeilla TERÄSBETONISEN MASTOPILARIN PALOMITOITUSOHJE Eurokoodimitoitus taulukoilla tai diagrammeilla Toukokuu 2008 Alkulause Betonirakenteiden suunnittelussa ollaan siirtymässä eurokoodeihin. Betonirakenteiden

Lisätiedot

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia

Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen

Lisätiedot

Satunnaisalgoritmit. Topi Paavilainen. Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos

Satunnaisalgoritmit. Topi Paavilainen. Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Satunnaisalgoritmit Topi Paavilainen Laskennan teorian opintopiiri HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Helsinki, 23. helmikuuta 2014 1 Johdanto Satunnaisalgoritmit ovat algoritmeja, joiden

Lisätiedot

1 Kannat ja kannanvaihto

1 Kannat ja kannanvaihto 1 Kannat ja kannanvaihto 1.1 Koordinaattivektori Oletetaan, että V on K-vektoriavaruus, jolla on kanta S = (v 1, v 2,..., v n ). Avaruuden V vektori v voidaan kirjoittaa kannan vektorien lineaarikombinaationa:

Lisätiedot

RIL 201-3-2013. Suunnitteluperusteet ja rakenteiden kuormat. Vesirakenteet. Suomen Rakennusinsinöörien Liitto RIL ry

RIL 201-3-2013. Suunnitteluperusteet ja rakenteiden kuormat. Vesirakenteet. Suomen Rakennusinsinöörien Liitto RIL ry RIL 201-3-2013 Suomen Rakennusinsinöörien Liitto RIL ry Suunnitteluperusteet ja rakenteiden kuormat Vesirakenteet 2 RIL 201-3-2013 RILin julkaisuilla on oma kotisivu, joka löytyy osoitteesta www.ril.fi

Lisätiedot

Suojatuote PROxA Sääsuojan asennusohje. Suojatuote Pro Oy Rastaansiipi 15 D 10 90650 Oulu Suomi

Suojatuote PROxA Sääsuojan asennusohje. Suojatuote Pro Oy Rastaansiipi 15 D 10 90650 Oulu Suomi Suojatuote PROxA Sääsuojan asennusohje Suojatuote Pro Oy Rastaansiipi 15 D 10 90650 Oulu Suomi Yleisesti Sääsuoja on tilapäiseen suojaukseen tehty rakenne, jota ei ole mitoitettu täysille tuuli ja lumikuormille.

Lisätiedot

= = = 1 3.

= = = 1 3. 9. 10. 2008!"$#&%(')'*,#.-/* P1. lkuperäisen punaisen kuution pinta koostuu kuudesta 3 3-neliöstä, joten sen ala on 6 3 2 = 54. Koska 3 3 =, kuutio jakautuu leikatessa yksikkökuutioksi, joiden kokonaispinta-ala

Lisätiedot

Signalointi: autonromujen markkinat

Signalointi: autonromujen markkinat Signalointi: autonromujen markkinat Mat-.414 Optimointiopin seminaari Klaus Mattila 1.0.008 1 Esityksen rakenne Johdanto Autonromujen markkinat: Akerlofin malli Kustannuksellinen signalointi: Spencen malli

Lisätiedot

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi

Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 2: Otokset, otosjakaumat ja estimointi Estimointi TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Estimointi >> Todennäköisyysjakaumien parametrit ja niiden estimointi Hyvän estimaattorin

Lisätiedot

Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu

Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu Yhteistyötä sisältämätön peliteoria jatkuu Tommi Lehtonen Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Bayesilainen tasapaino Täysi informaatio Vajaa informaatio Staattinen Nash Bayes Dynaaminen Täydellinen

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

RIL Paalutusohje PO16

RIL Paalutusohje PO16 RIL 254-2016 Paalutusohje PO16 SGY Koulutustilaisuus 14.3.2017 Gunnar Åström RIL gunnar.astrom@ril.fi 14.3.2017/GÅ 1 Suomen rakentamismääräyskokoelman uusiminen - Korvaa nykyisen RakMK:n - Rakenteiden

Lisätiedot

2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut

2. laskuharjoituskierros, vko 5, ratkaisut 2. laskuharjoituskierros, vko, ratkaisut Aiheet: Klassinen todennäköisyys, kombinatoriikka, kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava D1. Eräässä maassa autojen rekisterikilpien tunnukset ovat muotoa XXXXNN,

Lisätiedot

PALONKESTO-OHJEISTUS - MITEN TAULUKKOMITOITUSTA VOIDAAN KÄYTTÄÄ - RAKENTEIDEN YHTEISTOIMINTA PALOTILANTEESSA

PALONKESTO-OHJEISTUS - MITEN TAULUKKOMITOITUSTA VOIDAAN KÄYTTÄÄ - RAKENTEIDEN YHTEISTOIMINTA PALOTILANTEESSA PALONKESTO-OHJEISTUS - MITEN TAULUKKOMITOITUSTA VOIDAAN KÄYTTÄÄ - RAKENTEIDEN YHTEISTOIMINTA PALOTILANTEESSA STANDARDIN EN 1992-1-2 SISÄLTÖÄ: Luvussa 2: Palomitoituksen perusteet Luvussa 3: Materiaaliominaisuudet

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/5 Mat-1.2620 Sovellettu todennäköisyyslaskenta B / Tehtävät Demo-tehtävät: 1, 3, 6, 7 Pistetehtävät: 2, 4, 5, 9 Ylimääräiset tehtävät: 8, 10, 11 Aiheet: Moniulotteiset jakaumat Avainsanat: Diskreetti jakauma,

Lisätiedot

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas

TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI. LTKY012 Timo Törmäkangas TUTKIMUSAINEISTON ANALYYSI LTKY012 Timo Törmäkangas KAKSIULOTTEISEN EMPIIRISEN JAKAUMAN TARKASTELU Jatkuvat muuttujat: hajontakuvio Koehenkilöiden pituus 75- ja 80-vuotiaana ID Pituus 75 Pituus 80 1 156

Lisätiedot

S Laskennallinen Neurotiede

S Laskennallinen Neurotiede S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede Laskuharjoitus 3 8.12.2006 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 2 Tehtävässä 2 piti tehdä 100 hermosolun assosiatiivinen Hopfield-muistiverkko. Verkko on rakennettu Matlab-ohjelmaan

Lisätiedot

EUROKOODI SUUNNITTELUN PERUSTEET JA RAKENTEIDEN KUORMITUKSET 1090 MITÄ SUUNNITTELIJAN TULEE TIETÄÄ? LUJUUSOPIN KERTAUSTA SUUNNITTELIJOILLE

EUROKOODI SUUNNITTELUN PERUSTEET JA RAKENTEIDEN KUORMITUKSET 1090 MITÄ SUUNNITTELIJAN TULEE TIETÄÄ? LUJUUSOPIN KERTAUSTA SUUNNITTELIJOILLE EUROKOODI SUUNNITTELUN PERUSTEET JA RAKENTEIDEN KUORMITUKSET 26. 27.11.2015 1090 MITÄ SUUNNITTELIJAN TULEE TIETÄÄ? 3.12.2015 LUJUUSOPIN KERTAUSTA SUUNNITTELIJOILLE 15. 16.12.2015 Skannaa tästä QR-koodi

Lisätiedot