ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016"

Transkriptio

1 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 Kierros 7, 29. helmikuuta 4. maaliskuuta Demonstraatiotehtävien ratkaisut D1: Osoita, yhteydettömien kielten pumppauslemmaa käyttäen, että kieli {ww w {a,b} } ei ole yhteydetön. (Vihje: Tarkastele muotoa a n b n a n b n olevia merkkijonoja.) Ratkaisu: Yhteydettömien kielten pumppauslemma: Lemma 1 ( uvwxy-lemma ). Olkoon L yhteydetön kieli. Tällöin on olemassa sellainen n 1, että mikä tahansa z L, z n, voidaan jakaa osiin z = uvwxy siten, että vx 1, vwx n, uv i wx i y L kaikilla i = 0,1,2,... Kokeillaan ensin harjoituksen vuoksi (ja näyttääksemme, että pumpattavan merkkijonon valinta ei ole aina yhtä suoraviivaista kuin säännöllisten kielten pumppauslemman yhteydessä), mitä tapahtuisi jos valittaisiin pumpattavaksi merkkijono a n ba n b L. Tälle voidaan valita u = a n 1 v = a w = b x = a ja y = a n 1 b. Nyt uv i wx i y = a n 1+i ba i+n 1 b L kaikilla i = 0,1,2,... Eli merkkijonoa a n ba n b voidaan pumpata eikä se siis ollut oikea valinta kun pyritään näyttämään kieli ei-yhteydettömäksi. Valitaan seuraavaksi pumpattavaksi merkkijono z = a n b n a n b n L. Tarkastellaan kaikki tavat jakaa merkkijono pumppauslemman ehtojen, vx 1 ja vwx n, mukaisesti osiin z = uvwxy: (a) Alimerkkijono vwx sisältää pelkästään a-kirjaimia merkkijonon ensimmäisestä neljänneksestä: koska vx 1 pitää päteä, tällöin merkkijono uv 0 wx 0 y joko sisältää parittoman määrän merkkejä tai sen ensimmäinen puolisko loppuu a-merkkiin (joka on vuotanut alkuperäisen merkkijonon toisen puoliskon alusta) toisin kuin b-merkkiin loppuva toinen puolisko. Eli uv 0 wx 0 y / L. 1

2 (b) Tapaukset, joissa vwx sisältää merkkejä vain toisen, kolmannen tai neljännen neljänneksen sisältä voidaan käsitellä vastaavasti. (c) Alimerkkijono vwx sisältää merkkejä merkkijonon ensimmäisestä ja toisesta neljänneksestä: merkkijono uv 0 wx 0 y joko sisältää parittoman määrän merkkejä tai sen ensimmäinen puolisko loppuu a-merkkiin (joka on vuotanut alkuperäisen merkkijonon toisen puoliskon alusta) toisin kuin b-merkkiin loppuva toinen puolisko. Eli uv 0 wx 0 y / L. (d) Alimerkkijono vwx sisältää merkkejä merkkijonon kolmannesta ja neljännestä neljänneksestä: merkkijono uv 0 wx 0 y joko sisältää parittoman määrän merkkejä tai sen toinen puolisko alkaa b-merkillä (joka on vuotanut alkuperäisen merkkijonon ensimmäisen puoliskon lopusta) toisin kuin a-merkillä alkava ensimmäinen puolisko. Eli uv 0 wx 0 y / L. (e) Alimerkkijono vwx sisältää merkkejä merkkijonon toisesta ja kolmannesta neljänneksestä: merkkijono uv 0 wx 0 y on nyt muotoa a n b k a l b n, missä joko k < n tai l < n (tai molemmat). Tämän muotoiset merkkijonot eivät kuulu kieleen. (f) Koska pitää päteä vwx n, alimerkkijono vwx ei voi sisältää merkkejä merkkijonon a n b n a n b n kolmesta tai neljästä eri neljänneksestä. On siis käyty läpi kaikki mahdolliset tavat jakaa merkkijono osiin lemman vaatimusten mukaisesti ja näytetty, ettei mitään näistä osituksista voida pumpata lemman mukaisesti. Täten kieli ei ole yhteydetön. D2: Osoita, että yhteydettömien kielten luokka ei ole suljettu leikkausten eikä komplementtien suhteen. (Vihje: Esitä kieli {a k b k c k k 0} kahden yhteydettömän kielen leikkauksena.) Ratkaisu: Olkoon kieli L = {a k b k c k k 0}. Opetusmonisteessa (s.75) on todistettu, että tämä kieli ei ole yhteydetön. Osoitetaan, että yhteydettömät kielet eivät ole suljettuja leikkauksen suhteen esittämällä L:n kahden yhteydettömän kielen leikkauksena. Olkoon L 1 = {a i b k c k i,k 0} ja L 2 = {a k b k c i i,k 0}. Nyt sekä L 1 että L 2 ovat yhteydettömiä, mutta L = L 1 L 2, joten yhteydettömät kielet eivät ole suljettuja leikkauksen suhteen. Tuloksesta seuraa suoraan se, että yhteydettömät kielet eivät voi olla suljettuja komplementin suhteen, sillä ne ovat suljettuja unionin suhteen ja DeMorganin sääntöjen perusteella L 1 L 2 = L 1 L 2. Osoitetaan vielä lopuksi, että L 1 ja L 2 ovat todellakin yhteydettömiä muodostamalla niitä vastaavat kieliopit. Kielen L 1 generoi yhteydetön kielioppi G 1 = ({S,A,B,a,b,c},{a,b,c}, P 1,S), missä P 1 = {S AB,A aa ε,b bbc ε}. Kielen L 2 generoiva kielioppi G 2 = ({S,A,B,a,b,c},{a,b,c},P 2,S), P 2 = {S AB,A aab ε,b cb ε}. 2

3 D3: Muodosta kielioppia S (SS) S (S S) /0 a b vastaava pinoautomaatti. Tässä päätesymbolien joukko on Σ = {(,),,, /0, a, b}. Ratkaisu: Käyttämällä Orposen prujun luvun 3.7 (tai Sipserin kirjan Lemman 2.21 todistuksen) konstruktiota saadaan pinoautomaatti a,a / ε b,b / ε (,( / ε ),) / ε *,* / ε, / ε, / ε ε,s / ε,s / a ε,s / b ε,s / (SS) ε,s / S* ε,s / (S S) start ε,ε / S# loop ε, # / ε acc Tässä # on pinon pohjan merkitsemiseen käytetty uusi symboli ja käytetään lyhennysmerkintää s x,x / YZV t rakenteelle x,x / V s s' ε,ε / Z s'' ε,ε / Y t jotta voidaan laittaa useampia symboleja pinoon kerrallaan. Automaatin ideana on rakentaa annetulle merkkijonolle kieliopin mukaista vasenta johtoa pinoon käyttämällä muotoa ε,s/x 1...X n olevia siirtymiä kieliopin vastaaville produktioille S X 1...X n. Pinoon syntynyttä merkkijonoa verrataan automaatin syötteeseen muotoa x,x ε olevilla siirtymillä, missä x on päätesymboli. Tarkastellaan, kuinka automaatti voisi toimia syötteellä (a b ): 3

4 State Input Stack q start (a b ) ε q loop (a b ) S q loop (a b ) (S S) q loop a b ) S S) q loop a b ) a S) q loop b ) S) q loop b ) S ) q loop b ) b ) q loop ) ) q loop ) ) q loop ε q acc ε ε Tämä vastaa vasenta johtoa S lm (S S) lm (a S) lm (a S ) lm (a b ). Huom: kieliopin tuottama kieli L(G) määrittelee kaikki syntaktisesti oikeanmuotoiset aakkoston {a,b} yli muodostetut säännölliset lausekkeet. D4: Muodosta pinoautomaattia a,ε/a q 2 q 1 q 3 vastaava yhteydetön kielioppi. Ratkaisu: Yksi vaihtoehto on analysoida pinoautomaatin rakennetta ja päätellä suoraan sen hyväksymä kieli. Tässä yksinkertaisessa tapauksessa tämä onnistuu melko helposti ja nähdään, että automaatin hyväksymä kieli on ja siten eräs vastaava kielioppi on {a i b j i j} {a i c j i j} S B C B abb ab ε C acb ac ε 4

5 Näytetään seuraavassa kuitenkin systemaattinen tapa muodostaa yhteydetön kielioppi pinoautomaatista. Tämä pohjautuu Sipserin kirjan Lemman 2.27 todistukseen, joka sisältää formaalimman käsittelyn. Muutetaan ensin automaatti muotoon, jossa sillä on vain yksi hyväksyvä lopputila: a,ε/a q 1 q 2 ε,ε/ε q 3 ε,ε/ε ε,ε/ε q acc Seuraavaksi lisätään uusi, alussa pinoon laitettava ja viimeisellä askeleella poistettava pinon pohja -symboli $ sekä ennen viimeistä askelta pinon tyhjentävä lisätila, jolloin saadaan saman kielen hyväksyvä automaatti, jonka pino on aina tyhjä hyväksyvään tilaan päädyttäessä: a,ε/a ε,ε/$ ε,ε/ε ε,$/ε q 0 q 1 q 7 q acc q 2 q 3 ε,ε/ε ε,ε/ε ε,a/ε Lopuksi muokataan automaattia vielä niin, että sen jokaisella siirtymällä joko lisätään pinoon yksi pinosymboli tai poistetaan pinosta yksi pinosymboli (mutta ei molempia). Jotta päästään eroon siirtymistä, joko sekä poistavat että lisäävät pinoon tai eivät tee kumpaakaan, voidaan ottaa käyttöön tarvittava määrä välitiloja sekä mahdollisesti uusi pinosymboli (alla D): 5

6 q 0 a,ε/a ε,ε/$ q 1 ε,ε/d q 2 ε,ε/d q 3 ε,ε/d q 4 ε,d/ε ε,a/ε ε,d/ε ε,$/ε q 6 q7 q acc q 5 ε,d/ε Määritellään, että automaatti pääsee merkkijonolla x tilasta p tilaan q pino säilyttäen jos sillä on tilasta p merkkijonolla x ja tyhjällä pinolla käynnistettäessä suoritus, joka päätyy tilaan q siten, että koko merkkijono on käytetty ja pino on tyhjä. Esimerkiksi yllä oleva automaati pääsee merkkijonolla ε tilasta q 1 tilaan q 7 pino säilyttäen kahdella askeleella kulkemalla tilan q 6 kautta. Samoin se pääsee merkkijonolla aabb tilasta q 1 tilaan q 2 pino säilyttäen neljällä askeleella. Yllä esitettyjen muutosten jälkeen syntyneellä automaatilla on seuraavat hyödylliset ominaisuudet: Automaatti hyväksyy merkkijonon x jos ja vain jos se pääsee merkkijonolla x tilasta q 0 tilaan q acc pino säilyttäen. Automaatti pääsee merkkijonolla x tilasta p tilaan q pino säilyttäen tasan kolmella tavalla: (a) p = q ja x = ε. (b) x = yz, missä y,z Σ, ja automaatti pääsee merkkijonolla y tilasta p tilaan r pino säilyttäen ja merkkijonolla z tilasta r tilaan q pino säilyttäen. (c) x = σ 1 yσ 2, missä y Σ ja σ 1,σ 2 Σ {ε}, automaattissa on siirtymät (r,x) δ(p,σ 1,ε) ja (q,ε) δ(s,σ 2,X) jollekin pinosymbolille X ja automaatti pääsee merkkijonolla y tilasta r tilaan s pino säilyttäen. Muodostetaan pyydetty kielioppi ottamalla jokaiselle automaatin tilaparille p, q välikesymboli R p,q, josta johdettavat merkkijonot ovat täsmälleen ne, joilla automaatti pääsee tilasta p tilaan q pino säilyttäen. Kieliopin aloitussymboli on siis R q0,q acc. Muodostetaan produktiot yllä kuvatun kolmen tapauksen perusteella: (a) R p,p ε on produktio jokaiselle automaatin tilalle p. (b) R p,q R p,r R r,q on produktio kaikille automaatin tiloille p,r,q. (c) jos automaattissa on siirtymät (r,x) δ(p,σ 1,ε) ja (q,ε) δ(s,σ 2,X) jollekin pinosymbolille X ja σ 1,σ 2 Σ {ε}, niin R p,q σ 1 R r,s σ 2 on produktio. 6

7 Kielioppi yllä olevalle automaatille (vain osa produktioista kirjoitettu): R q0,q acc R q1,q 7 R q0,q 1 R q1,q acc... R q1,q 7 R q6,q 6 ar q1,q 7 R q1,q 2 R q2,q 7... R q1,q 2 ar q1,q 1 b ar q1,q 2 b... R q1,q 1 ε R q6,q 6 ε... D5: Laadi algoritmi, joka testaa onko annetun yhteydettömän kieliopin G = (V, Σ, P, S) tuottama kieli epätyhjä, so. voidaanko kieliopin lähtösymbolista S johtaa yhtään päätejonoa x Σ. Ratkaisu: Allaoleva proseduuri?generatesnonemptylanguage(g) ottaa syötteenä yhteydettömän kieliopin G, ja palauttaa arvon true, jos G:n generoima kieli ei ole tyhjä.?generatesnonemptylanguage(g = (V, Σ, P, S): context-free grammar) T Σ repeat V Σ times for each A X 1 X k P if A T X 1 X k T T T {A} if S T return true else return false Algoritmin idea on lähteä terminaalisymbolien joukosta Σ ja testata, onko näistä mahdollista perääntyä S:ään käyttäen joukon P produktioita käänteisesti. Perääntymistä simuloidaan iteroimalla V Σ kertaa saavutettavien symbolien joukkoa T. Perusteluksi sille, että V Σ askelta riittää, tarkastellaan sanaa z L(G), jolla on kielen sanoista kaikkein pienin jäsennyspuu. Jos z:lla on muotoa S uay uvaxy uvwxy oleva johto, missä u,v,w,x,y Σ, niin myös sana z = uwy voidaan johtaa kieliopin säännöillä 1. Tällöin kuitenkin z :n jäsennyspuu on pienempi kuin z:n jäsennyspuu, mikä on ristiriidassa sen oletuksen kanssa, että z:n puu on pienin. Tästä seuraa se, että missään z:n minimaalisen jäsennyspuun haaroissa ei voi esiintyä sama välike kahteen kertaan, joten algoritmissa riittää käydä sääntöjoukko läpi yhtä monta kertaa kuin kieliopissa on välikkeitä. 1 Vertaa yhteydettömien kielten pumppauslemmaan. 7

8 Tarkastellaan esimerkiksi kielioppia: S BAB ABA A aas bba B bbs c Algoritmin laskenta etenee joukon T osalta seuraavasti: T 0 = {a,b,c} T 1 = {a,b,c,b} (B c) T 2 = {a,b,c,a,b} T 3 = {a,b,c,a,b,c,s} (A bba) (S BAB,S ABA) Koska V Σ = 3, algoritmin suoritus päättyy ja T = T 3. Huomataan, että S T, joten kieli ei ole tyhjä. Pienin kieleen kuuluvan sanan jäsennyspuu on: S B A B c b B a c c Liite: Chomskyn normaalimuoto Muutetaan esimerkin vuoksi seuraava kielioppi Chomskyn normaalimuotoon: P = {S aas bbs ε A aaa b, B bbb a} Kielioppi on Chomskyn normaalimuodossa, mikäli seuraavat ehdot toteutuvat: 1. Ainoastaan alkuvälike S voi olla tyhjentyvä. 2. Alkuvälike S ei esiinny säännöissä oikealla puolella. 3. Mahdollisesti esiintyvää sääntöä S ε lukuunottamatta kaikki säännöt ovat muotoa A BC tai A a, missä A, B ja C ovat välikkeitä ja a terminaalisymboli. Kielioppi muutetaan normaalimuotoon vaiheittain: 8

9 1. Poistetaan lähtösymboli sääntöjen oikealta puolelta. Koska kieliopissa on säännöt S aas ja S bbs, lisätään uusi lähtösymboli S ja sääntö S S. Saadaan tulokseksi sääntöjoukko: 2. Poistetaan ε-produktiot. S S, S aas bbs ε A aaa b, B bbb a Koska Chomskyn normaalimuodossa ainoastaan lähtösymboli S saa olla tyhjentyvä, täytyy muut ε-säännöt poistaa kieliopista. Lasketaan aluksi tyhjentyvien välikkeiden joukko NULL: NULL 0 ={S} (S ε) NULL 1 ={S,S } (S S) NULL 2 ={S,S } = NULL Tämän jälkeen korvataan säännöt A X 1 X n joukolla sääntöjä { X i,x i / NULL A α 1 α 2, missä α i = X i tai ε,x i NULL Lopuksi poistetaan kaikki säännöt muotoa A ε (lukuunottamatta sääntöä S ε). Saadaan tulokseksi sääntöjoukko 2 : 3. Poistetaan yksikköproduktiot. S S ε S aas aa bbs bb A aaa b, B bbb a Seuraavaksi poistetaan kieliopista kaikki muotoa A B olevat säännöt, missä sekä A että B ovat välikkeitä. Lasketaan ensin joukot F(A) kaikilla A V Σ: F(A) = F(B) = F(S) = /0 F(S ) = {S} 2 Tarkkaan ottaen tässä vaiheessa pitäisi lisätä vielä uusi aloitusvälike S ja säännöt S ε S, mutta tässä tapauksessa ei synny ongelmia, vaikka käytetään S :a lähtösymbolina. 9

10 Välike B kuuluu joukkoon F(A) täsmälleen silloin, kun A:sta voidaan johtaa B käyttäen pelkkiä yksikköproduktioita. Sääntö A B korvataan sääntöjoukolla {A w C F(B) {B} : C w P}. Tulokseksi saadaan sääntöjoukko: 4. Poistetaan liian pitkät produktiot. S aas aa bbs bb ε S aas aa bbs bb A aaa b, B bbb a Viimeisessä vaiheessa lisätään kielioppiin uusi välike C σ sekä sääntö C σ σ kaikille σ Σ sekä jaetaan kaikki säännöt A w ( w > 2) ketjuksi sääntöjä, jotka kaikki johtavat tismalleen kaksi symbolia. Annetun kieliopin Chomskyn normaalimuodoksi saadaankin seuraava sääntöjoukko: Liite: CYK-algoritmi S C a S 1 C a A C b S 2 C b B ε S 1 AS S 2 BS S C a S 1 C a A C b S 2 C b B S 1 AS S 2 BS A C a A 1 b A 1 AA B C a B 1 a B 1 BB C a a C b b CYK-algoritmilla voidaan tutkia kuuluuko sana x = x 1 x n kieliopin G määrittelemään kieleen. Algoritmin kuluessa lasketaan välikejoukot N i,k. Joukko N i,k käsittää kaikki ne välikkeet, joista voidaan johtaa osajono x i x i+k 1, eli sanan x kohdasta i alkava k:n merkin mittainen osajono. Joukkojen laskemisessa voidaan käyttää apuna dynaamista ohjelmointia seuraavaan tapaan: N i,1 = {X X x i on produktio} N i,k = k 1 j=1 {X X Y Z on produktio, Y N i, j ja Z N i+ j,k j } kun k 2 10

11 Tarkastellaan kielioppia G: S C a D C a A C a E BC b a b A C a D C a A a B C a E BC b b D AC b E BC b C a a C b b Tarkistetaan, kuuluvatko sanat w 1 = aabbb ja w 2 = aabb kieleen (G). Koska w 2 on w 1 :n prefiksi, täytyy taulukko tehdä ainoastaan sanalle w 1. Lasketaan ensin joukot N i,1 jokaiselle 1 i 5: i 1 : a 2 : a 3 : b 4 : b 5 : b k 1 aabbb aabbb aabbb aabbb aabbb {S,A,C a } {S,A,C a } {S,B,C b } {S,B,C b } {S,B,C b } Kussakin taulukon solussa on alleviivattuna sitä vastaava sanan osajono. Lasketaan seuraavaksi N 1,2, eli niiden välikkeiden joukko, jolla voidaan johtaa sanan alussa oleva aa. Koska normaalimuotoisessa kieliopissa ei ole yhtään sääntöä, jolla voisi suoraan johtaa useamman kuin yhden terminaalisymbolin, voidaan aa saada ainoastaan siten, että johdetaan jostain välikkeestä kaksi a:n tuottavaa välikettä. Käytännössä tämä tapahtuu siten, että etsitään kaikki sellaiset välikkeet X, joille on olemassa sääntö X Y Z, missä Y N 1,1 ja Z N 2,1. N 1,1 = {S,A,C a } N 2,1 = {S,A,C a } N 1,2 = {S,A}. Tässä käytettiin sääntöjä S C a A ja A C a A. Solulle N 2,2 saadaan vastaavasti: N 2,1 = {S,A,C a } N 3,1 = {S,B,C b } N 2,2 = {D}. Ainoa ehdot täyttävä sääntö on D AC b. Kokonaisuudessaan taulukon toiseksi riviksi muodostuu: i 1 : a 2 : a 3 : b 4 : b 5 : b 1 aabbb aabbb aabbb aabbb aabbb {S,A,C a } {S,A,C a } {S,B,C b } {S,B,C b } {S,B,C b } k 2 aabbb aabbb aabbb aabbb {S,A} {D} {S,B,E} {S,B,E} 11

12 Solun N 1,3 kohdalla huomataan, että sanan kolme ensimmäistä merkkiä (aab) voidaan johtaa kahdella eri tavalla: 1. johdetaan a välikkeellä Y N 1,1 ja ab välikkeellä Z N 2,2 ; tai 2. johdetaan aa välikkeellä Y N 1,2 ja b välikkeellä Z N 3,1. Vastaavat joukot ovat: j = 1 N 1,1 = {S,A,C a } j = 2 N 1,2 = {S,A} N 2,2 = {D} N 3,1 = {S,B,C b } Tapausta j = 1 vastaava välikejoukko on {S,A} (S C a D, A C a D) ja tapausta j = 2 vastaava on {D} (D AC b ), joten N 1,3 = {S,A,D}. Samaan tapaan jatkamalla saadaan lopulta koko taulukoksi: i 1 : a 2 : a 3 : b 4 : b 5 : b 1 aabbb aabbb aabbb aabbb aabbb {S,A,C a } {S,A,C a } {S,B,C b } {S,B,C b } {S,B,C b } 2 aabbb aabbb aabbb aabbb {S,A} {D} {S,B,E} {S,B,E} k 3 aabbb aabbb aabbb {A,S,D} {S,B} {S,B,E} 4 aabbb aabbb /0 {S,B,E} 5 aabbb {S,B} Viimeisessä vaiheessa täytyi käydä läpi neljä eri kombinaatiota: (N 1,1, N 2,4 ), (N 1,2, N 3,3 ), (N 1,3, N 4,2 ) sekä (N 1,4, N 5,1 ). Koska S N 1,5, niin aabbb (G). Toisaalta, koska S / N 1,4, niin aabb / (G). Taulukosta voidaan konstruoida suoraan sanan w 1 jäsennyspuu käymällä se läpi takaperin: S saadaan soluun N 1,5 ruuduista N 1,1 ja N 2,4 käyttäen välikkeitä C a ja E, joten ensimmäisenä käytetään sääntöä S C a E. Ylläolevassa taulukossa on sanan w 1 johdossa käytetyt välikkeet alleviivattu. Kokonaisuudessaan jäsennyspuu on seuraavanlainen: 12

13 S C a E a B C b C a E b a B C b b b 13

S BAB ABA A aas bba B bbs c

S BAB ABA A aas bba B bbs c T-79.148 Kevät 2003 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävä: Laadi algoritmi, joka testaa onko annetun yhteydettömän kieliopin G = V, Σ, P, S) tuottama

Lisätiedot

T Syksy 2006 Tietojenkäsittelyteorian perusteet T Harjoitus 7 Demonstraatiotehtävien ratkaisut

T Syksy 2006 Tietojenkäsittelyteorian perusteet T Harjoitus 7 Demonstraatiotehtävien ratkaisut T-79.1001 Syksy 2006 Tietojenkäsittelyteorian perusteet T Harjoitus 7 Demonstraatiotehtävien ratkaisut Lemma (Säännöllisten kielten pumppauslemma). Olkoon A säännöllinen kieli. Tällöin on olemassa n 1

Lisätiedot

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut

T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut T-79.148 Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 8 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävä: Laadi algoritmi, joka testaa onko annetun yhteydettömän kieliopin G = V, Σ, P, S tuottama

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 8, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 8, ratkaisuja 582206 Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 8, ratkaisuja 1. Tarkastellaan yhteydetöntä kielioppia S SAB ε A aa a B bb ε Esitä merkkijonolle aa kaksi erilaista jäsennyspuuta ja kummallekin siitä vastaava

Lisätiedot

Vasen johto S AB ab ab esittää jäsennyspuun kasvattamista vasemmalta alkaen:

Vasen johto S AB ab ab esittää jäsennyspuun kasvattamista vasemmalta alkaen: Vasen johto S AB ab ab esittää jäsennyspuun kasvattamista vasemmalta alkaen: S A S B Samaan jäsennyspuuhun päästään myös johdolla S AB Ab ab: S A S B Yhteen jäsennyspuuhun liittyy aina tasan yksi vasen

Lisätiedot

Olkoon G = (V,Σ,P,S) yhteydetön kielioppi. Välike A V Σ on tyhjentyvä, jos A. NULL := {A V Σ A ε on G:n produktio};

Olkoon G = (V,Σ,P,S) yhteydetön kielioppi. Välike A V Σ on tyhjentyvä, jos A. NULL := {A V Σ A ε on G:n produktio}; 3.6 Cocke-Younger-Kasami -jäsennysalgoritmi Osittava jäsentäminen on selkeä ja tehokas jäsennysmenetelmä LL(1)-kieliopeille: n merkin mittaisen syötemerkkijonon käsittely sujuu ajassa O(n). LL(1)-kieliopit

Lisätiedot

Testaa: Vertaa pinon merkkijono syötteeseen merkki kerrallaan. Jos löytyy ero, hylkää. Jos pino tyhjenee samaan aikaan, kun syöte loppuu, niin

Testaa: Vertaa pinon merkkijono syötteeseen merkki kerrallaan. Jos löytyy ero, hylkää. Jos pino tyhjenee samaan aikaan, kun syöte loppuu, niin Yhteydettömien kielioppien ja pinoautomaattien yhteys [Sipser s. 117 124] Todistamme, että yhteydettömien kielioppien tuottamat kielet ovat tasan samat kuin ne, jotka voidaan tunnistaa pinoautomaatilla.

Lisätiedot

uv n, v 1, ja uv i w A kaikilla

uv n, v 1, ja uv i w A kaikilla 2.8 Säännöllisten kielten rajoituksista Kardinaliteettisyistä on oltava olemassa (paljon) ei-säännöllisiä kieliä: kieliä on ylinumeroituva määrä, säännöllisiä lausekkeita vain numeroituvasti. Voidaanko

Lisätiedot

M =(K, Σ, Γ,, s, F ) Σ ={a, b} Γ ={c, d} = {( (s, a, e), (s, cd) ), ( (s, e, e), (f, e) ), (f, e, d), (f, e)

M =(K, Σ, Γ,, s, F ) Σ ={a, b} Γ ={c, d} = {( (s, a, e), (s, cd) ), ( (s, e, e), (f, e) ), (f, e, d), (f, e) Tik-79.148 Kevät 2001 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Laskuharjoitus 7 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 1. Pinoautomaatti M = K Σ Γ s F missä K Σ s ja F on määritelty samalla tavalla kuin tilakoneellekin.

Lisätiedot

Pinoautomaatit. Pois kontekstittomuudesta

Pinoautomaatit. Pois kontekstittomuudesta TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 3. joulukuuta 2015 Sisällys Pinoautomaatti NFA:n yleistys automaatilla on käytössään LIFO-muisti 1 eli pino Pino

Lisätiedot

Esimerkki 2.28: Tarkastellaan edellisen sivun ehdot (1) (3) toteuttavaa pinoautomaattia, jossa päätemerkit ovat a, b ja c ja pinoaakkoset d, e ja $:

Esimerkki 2.28: Tarkastellaan edellisen sivun ehdot (1) (3) toteuttavaa pinoautomaattia, jossa päätemerkit ovat a, b ja c ja pinoaakkoset d, e ja $: Esimerkki 2.28: Tarkastellaan edellisen sivun ehdot (1) (3) toteuttavaa pinoautomaattia, jossa päätemerkit ovat a, b ja c ja pinoaakkoset d, e ja $: a, ε d b, d ε ε, ε $ b, d ε 1 2 3 6 c, ε e c, ε e c,

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria. Tähän mennessä: säännölliset kielet. Säännöllisten kielten pumppauslemma M :=

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria. Tähän mennessä: säännölliset kielet. Säännöllisten kielten pumppauslemma M := ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Luento 5: Säännöllisten kielten pumppauslemma; yhteydettömät kieliopit Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan laitos Alue ja aiheet: Orposen prujun

Lisätiedot

Ei-yhteydettömät kielet [Sipser luku 2.3]

Ei-yhteydettömät kielet [Sipser luku 2.3] Ei-yhteydettömät kielet [Sipser luku 2.3] Yhteydettömille kielille pätee samantapainen pumppauslemma kuin säännöllisille kielille. Siinä kuitenkin pumpataan kahta osamerkkijonoa samaan tahtiin. Lause 2.25

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Luento 5: Säännöllisten kielten pumppauslemma; yhteydettömät kieliopit Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan laitos Kevät 2016 Alue ja aiheet: Orposen

Lisätiedot

(0 1) 010(0 1) Koska kieli on yksinkertainen, muodostetaan sen tunnistava epädeterministinen q 0 q 1 q 2 q3

(0 1) 010(0 1) Koska kieli on yksinkertainen, muodostetaan sen tunnistava epädeterministinen q 0 q 1 q 2 q3 T-79.48 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Tentti 25..23 mallivastaukset. Tehtävä: Kuvaa seuraavat kielet sekä säännölisten lausekkeiden että determinististen äärellisten automaattien avulla: (a) L = {w

Lisätiedot

Rekursiivinen Derives on periaatteessa aivan toimiva algoritmi, mutta erittäin tehoton. Jos tarkastellaan esim. kieliopinpätkää

Rekursiivinen Derives on periaatteessa aivan toimiva algoritmi, mutta erittäin tehoton. Jos tarkastellaan esim. kieliopinpätkää Rekursiivinen Derives on periaatteessa aivan toimiva algoritmi, mutta erittäin tehoton. Jos tarkastellaan esim. kieliopinpätkää S AB CA... A CB...... ja kutsua Derives(S, abcde), niin kutsu Derives(B,

Lisätiedot

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä

Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Tommi Syrjänen 1 Yleistä pumppauslemmoista Pumppauslemmalla voidaan todistaa, että kieli ei kuulu johonkin kieliluokkaan.

Lisätiedot

2. Yhteydettömät kielet

2. Yhteydettömät kielet 2. Yhteydettömät kielet Yhteydettömät eli kontekstittomat kielet (context-free language, CFL) ovat säännöllisiä kieliä laajempi luokka formaaleja kieliä. Ne voidaan esittää yhteydettömillä kieliopeilla

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 12. lokakuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 12. lokakuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. lokakuuta 2016 Sisällys Harjoitustehtävät loppukurssilla luentojen 14 18 harjoitustehtävistä on tehtävä yksi

Lisätiedot

Yhteydettömän kieliopin jäsennysongelma

Yhteydettömän kieliopin jäsennysongelma Yhteydettömän kieliopin jäsennysongelma Yhteydettömän kieliopin jäsennysongelmalla tarkoitetaan laskentaongelmaa Annettu: yhteydetön kielioppi G, merkkijono w Kysymys: päteekö w L(G). Ongelma voidaan periaatteessa

Lisätiedot

Rajoittamattomat kieliopit

Rajoittamattomat kieliopit Rajoittamattomat kieliopit Ohjelmoinnin ja laskennan perusmalleista muistetaan, että kieli voidaan kuvata (esim.) kieliopilla joka tuottaa sen, tai automaatilla joka tunnistaa sen. säännölliset lausekkeet

Lisätiedot

Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit

Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit Chomskyn hierarkia ja yhteysherkät kieliopit Laskennan teorian opintopiiri Tuomas Hakoniemi 21. helmikuuta 2014 Käsittelen tässä laskennan teorian opintopiirin harjoitustyössäni muodollisten kielioppien

Lisätiedot

4. Tehtävässä halutaan todistaa seuraava ongelma ratkeamattomaksi:

4. Tehtävässä halutaan todistaa seuraava ongelma ratkeamattomaksi: T-79.148 Kevät 2004 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 12 Demonstraatiotehtävien ratkaisut 4. Tehtävässä halutaan todistaa seuraava ongelma ratkeamattomaksi: Hyväksyykö annettu Turingin kone

Lisätiedot

Yhteydettömät kieliopit [Sipser luku 2.1]

Yhteydettömät kieliopit [Sipser luku 2.1] Yhteydettömät kieliopit [ipser luku 2.1] Johdantoesimerkkinä tarkastelemme kieltä L = { a n b m a n n > 0, m > 0 }, joka on yhteydetön (mutta ei säännöllinen). Vastaavan kieliopin ytimenä on säännöt eli

Lisätiedot

Säännöllisten kielten sulkeumaominaisuudet

Säännöllisten kielten sulkeumaominaisuudet Säännöllisten kielten sulkeumaominaisuudet Osoitamme nyt, että säännöllisten kielten joukko on suljettu yhdisteen, konkatenaation ja tähtioperaation suhteen. Toisin sanoen jos A ja B ovat säännöllisiä,

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 4, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 4, ratkaisuja 582206 Laskennan mallit (syksy 2010) Harjoitus 4, ratkaisuja 1. Esitä tilakaaviona NFA N = (Q, Σ, δ, q 0, F ), missä Q = { q 0, q 1, q 2, q 3, q 4, q 5, q 6, q 7 }, Σ = { a, b, c }, F = { q 4 } ja δ on

Lisätiedot

jäsentäminen TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho 26. marraskuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS

jäsentäminen TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho 26. marraskuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 26. marraskuuta 2015 Sisällys Tunnistamis- ja jäsennysongelma Olkoon G = (N, Σ, P, S) kontekstiton kielioppi ja

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 31. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti

Lisätiedot

jäsennyksestä TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho 29. syyskuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS Kontekstittomien kielioppien

jäsennyksestä TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho 29. syyskuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS Kontekstittomien kielioppien TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 29. syyskuuta 2016 Sisällys Harjoitustehtävätilastoa Tilanne 29.9.2016 klo 8:41 (lähes kaikki kommentoitu) passed

Lisätiedot

Rajoittamattomat kieliopit (Unrestricted Grammars)

Rajoittamattomat kieliopit (Unrestricted Grammars) Rajoittamattomat kieliopit (Unrestricted Grammars) Laura Pesola Laskennanteorian opintopiiri 13.2.2013 Formaalit kieliopit Sisältävät aina Säännöt (esim. A -> B C abc) Muuttujat (A, B, C, S) Aloitussymboli

Lisätiedot

Kertausta 1. kurssikokeeseen

Kertausta 1. kurssikokeeseen Kertausta. kurssikokeeseen. kurssikoe on to 22.0. klo 9 2 salissa A (tai CK2). Koealueena johdanto ja säännölliset kielet luentokalvot 3 ja nämä kertauskalvot harjoitukset 6 Sipser, luvut 0 ja Edellisvuosien.

Lisätiedot

Osoitamme, että jotkut kielet eivät ole säännöllisiä eli niitä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla.

Osoitamme, että jotkut kielet eivät ole säännöllisiä eli niitä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että jotkut kielet eivät ole säännöllisiä eli niitä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen

Lisätiedot

Pinoautomaatit. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 6. kesäkuuta 2013 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. Pinoautomaatit.

Pinoautomaatit. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 6. kesäkuuta 2013 TIETOTEKNIIKAN LAITOS. Pinoautomaatit. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 6. kesäkuuta 2013 Sisällys Aikataulumuutos Tämänpäiväinen demotilaisuus on siirretty maanantaille klo 14:15 (Ag Delta).

Lisätiedot

Täydentäviä muistiinpanoja Turingin koneiden vaihtoehdoista

Täydentäviä muistiinpanoja Turingin koneiden vaihtoehdoista Täydentäviä muistiinpanoja Turingin koneiden vaihtoehdoista Antti-Juhani Kaijanaho 15. maaliskuuta 2012 1 Apumääritelmä Määritelmä 1. Olkoon Σ merkistö, jolla on olemassa täydellinen järjestys ( ) Σ 2.

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 10. kesäkuuta 2013

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 10. kesäkuuta 2013 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 etenevä Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 10. kesäkuuta 2013 Sisällys etenevä etenevä Chomskyn hierarkia (ja muutakin) kieli säännöllinen LL(k) LR(1)

Lisätiedot

Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki)

Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Hahmon etsiminen syotteesta (johdatteleva esimerkki) Unix-komennolla grep hahmo [ tiedosto ] voidaan etsia hahmon esiintymia tiedostosta (tai syotevirrasta): $ grep Kisaveikot SM-tulokset.txt $ ps aux

Lisätiedot

Äärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi

Äärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi Äärellisten automaattien ja säännöllisten kielten ekvivalenssi Osoitamme seuraavan keskeisen tuloksen: Lause 1.8: [Sipser Thm. 1.54] Kieli on säännöllinen, jos ja vain jos jokin säännöllinen lauseke esittää

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 12. marraskuuta 2015

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 12. marraskuuta 2015 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 12. marraskuuta 2015 Sisällys Muistathan A B -konstruktion 0 k 1 i 2 s 3 s 4 a 5 0 k 1 o 2 i 3 r 4 a 5 00 k 11 i

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 206 Kierros 0, 2. 24. maaliskuuta Huom! Perjantaina 25. maaliskuuta ei ole laskareita (pitkäperjantai), käykää vapaasti valitsemassanne ryhmässä aiemmin viikolla.

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 26. tammikuuta 2012

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 26. tammikuuta 2012 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 26. tammikuuta 2012 Sisällys Luennon pähkinä Millä tavalla voidaan rakentaa tietokoneohjelma (tai kirjasto), joka

Lisätiedot

Jos sekaannuksen vaaraa ei ole, samastamme säännöllisen lausekkeen ja sen esittämän kielen (eli kirjoitamme R vaikka tarkoitammekin L(R)).

Jos sekaannuksen vaaraa ei ole, samastamme säännöllisen lausekkeen ja sen esittämän kielen (eli kirjoitamme R vaikka tarkoitammekin L(R)). Jos sekaannuksen vaaraa ei ole, samastamme säännöllisen lausekkeen ja sen esittämän kielen (eli kirjoitamme R vaikka tarkoitammekin L(R)). Esimerkkejä: Σ koostuu kaikista aakkoston Σ merkkijonoista ja

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016 Kierros 6, 22. 26. helmikuuta Huom: arviointiviikolla 15. 19.2. ei ole laskuharjoituksia! Demonstraatiotehtävien ratkaisut D1: (a) Osoita, että seuraava yhteydetön

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 19. syyskuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 19. syyskuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 19. syyskuuta 2016 Sisällys Neuvoja opintoihin tee joka päivä ainakin vähän uskalla mennä epämukavuusalueelle en

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2008) 2. kurssikoe , ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2008) 2. kurssikoe , ratkaisuja 582206 Laskennan mallit (syksy 2008) 2. kurssikoe 11.12., ratkaisuja Tehtävän 1 tarkasti Harri Forsgren, tehtävän 2 Joel Kaasinen ja tehtävän 3 Jyrki Kivinen. Palautetilaisuuden 19.12. jälkeen arvosteluun

Lisätiedot

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys.

Tarkastelemme ensin konkreettista esimerkkiä ja johdamme sitten yleisen säännön, joilla voidaan tietyissä tapauksissa todeta kielen ei-säännöllisyys. Ei-säännöllisiä kieliä [Sipser luku 1.4] Osoitamme, että joitain kieliä ei voi tunnistaa äärellisellä automaatilla. Tulos ei sinänsä ole erityisen yllättävä, koska äärellinen automaatti on äärimmäisen

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 19. tammikuuta 2012

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 19. tammikuuta 2012 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 19. tammikuuta 2012 Sisällys Sisällys Muistathan A B -konstruktion 0 k 1 i 2 s 3 s 4 a 5 0 k 1 o 2 i 3 r 4

Lisätiedot

Automaatit. Muodolliset kielet

Automaatit. Muodolliset kielet Automaatit Automaatit ovat teoreettisia koneita, jotka käsittelevät muodollisia sanoja. Automaatti lukee muodollisen sanan kirjain kerrallaan, vasemmalta oikealle, ja joko hyväksyy tai hylkää sanan. Täten

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 29. toukokuuta 2013

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä Antti-Juhani Kaijanaho. 29. toukokuuta 2013 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 29. toukokuuta 2013 Sisällys Chomskyn hierarkia (ja muutakin) kieli LL(k) LR(1) kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 2. helmikuuta 2012

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. 2. helmikuuta 2012 TIEA241 Automaatit ja, kevät 2012 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 2. helmikuuta 2012 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti lueteltava

Lisätiedot

11.4. Context-free kielet 1 / 17

11.4. Context-free kielet 1 / 17 11.4. Context-free kielet 1 / 17 Määritelmä Tyypin 2 kielioppi (lauseyhteysvapaa, context free): jos jokainenp :n sääntö on muotoa A w, missäa V \V T jaw V. Context-free kielet ja kieliopit ovat tärkeitä

Lisätiedot

on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen.

on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen. 6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli H = { M pysähtyy syötteellä w} on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen. Todistus. Todetaan ensin, että kieli H on rekursiivisesti

Lisätiedot

Täydentäviä muistiinpanoja jäsennysalgoritmeista

Täydentäviä muistiinpanoja jäsennysalgoritmeista äydentäviä muistiinpanoja jäsennysalgoritmeista Antti-Juhani Kaijanaho 7. helmikuuta 2012 1 simerkki arleyn algoritmin soveltamisesta arkastellaan kielioppia G : + () c ja sovelletaan arleyn algoritmia

Lisätiedot

Laskennan teoria (kevät 2006) Harjoitus 3, ratkaisuja

Laskennan teoria (kevät 2006) Harjoitus 3, ratkaisuja 581336 Laskennan teoria (kevät 2006) Harjoitus 3, ratkaisuja 1. S! axc X! axc X! by c Y! by c Y! " 2. (a) Tehtävänä on konstruoida rajoittamaton kielioppi, joka tuottaa kielen f0 n 1 n jn 1g. Vaihe1: alkutilanteen

Lisätiedot

Luonnolliset vs. muodolliset kielet

Luonnolliset vs. muodolliset kielet Luonnolliset vs. muodolliset kielet Luonnollisia kieliä ovat esim. 1. englanti, 2. suomi, 3. ranska. Muodollisia kieliä ovat esim. 1. lauselogiikan kieli (ilmaisut p, p q jne.), 2. C++, FORTRAN, 3. bittijonokokoelma

Lisätiedot

Pinoautomaatit. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 6. lokakuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS

Pinoautomaatit. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 6. lokakuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS .. TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 6. lokakuuta 2016 Sisällys. Harjoitustehtävätilastoja Tilanne 6.10.2016 klo 8:28 passed potential redo submitters

Lisätiedot

Tehtävä 2: Säännölliset lausekkeet

Tehtävä 2: Säännölliset lausekkeet Tehtävä 2: Säännölliset lausekkeet Kun tietokoneohjelmalla luetaan käyttäjän syötettä, olisi syöte aina syytä tarkistaa. Syötteessä voi olla vääriä merkkejä tai merkkejä väärillä paikoilla (syntaktinen

Lisätiedot

TKT20005 Laskennan mallit (syksy 2018) Kurssikoe, malliratkaisut

TKT20005 Laskennan mallit (syksy 2018) Kurssikoe, malliratkaisut TKT20005 Laskennan mallit (syksy 2018) Kurssikoe, malliratkaisut Pisteytys on ilmoitettu välikoevaihtoehdon mukaan (joko tehtävät 1, 2 ja 3 välikokeen 1 uusintana tai tehtävät 4, 5 ja 6 välikokeen 2 uusintana).

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 16. marraskuuta 2015

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 16. marraskuuta 2015 ja ja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho NFA:ksi TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. marraskuuta 2015 Sisällys ja NFA:ksi NFA:ksi Kohti säännöllisiä lausekkeita ja Nämä tiedetään:

Lisätiedot

5.3 Ratkeavia ongelmia

5.3 Ratkeavia ongelmia 153 5.3 Ratkeavia ongelmia Deterministisen äärellisten automaattien (DFA) hyväksymisongelma: hyväksyykö annettu automaatti B merkkijonon w? Ongelmaa vastaava formaali kieli on A DFA = { B, w B on DFA,

Lisätiedot

Yllä osoitettiin, että säännöllisten kielten joukko on suljettu yhdisteen

Yllä osoitettiin, että säännöllisten kielten joukko on suljettu yhdisteen Yllä osoitettiin, että säännöllisten kielten joukko on suljettu yhdisteen suhteen, eli jos kielet A ja B ovat säännöllisiä, niin myös A B on. Tätä voi havainnollistaa seuraavalla kuvalla: P(Σ ) Säännölliset

Lisätiedot

M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q acc, q rej )

M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0, q acc, q rej ) 6. LASKETTAVUUSTEORIAA Churchin Turingin teesi: Mielivaltainen (riittävän vahva) laskulaite Turingin kone. Laskettavuusteoria: Tarkastellaan mitä Turingin koneilla voi ja erityisesti mitä ei voi laskea.

Lisätiedot

6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli. H = {c M w M pysähtyy syötteellä w}

6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli. H = {c M w M pysähtyy syötteellä w} 6.5 Turingin koneiden pysähtymisongelma Lause 6.9 Kieli H = {c w pysähtyy syötteellä w} on rekursiivisesti numeroituva, mutta ei rekursiivinen. Todistus. Todetaan ensin, että kieli H on rekursiivisesti

Lisätiedot

Turingin koneen laajennuksia

Turingin koneen laajennuksia Turingin koneen laajennuksia Turingin koneen määritelmään voidaan tehdä erilaisia muutoksia siten että edelleen voidaan tunnistaa tasan sama luokka kieliä. Moniuraiset Turingin koneet: nauha jakautuu k

Lisätiedot

ongelma A voidaan ratkaista ongelman B avulla, joten jossain mielessä

ongelma A voidaan ratkaista ongelman B avulla, joten jossain mielessä Edellä esitetyt kielten A TM ja HALT TM ratkeamattomuustodistukset ovat esimerkkejä palautuksesta (reduction). Intuitiivisesti ongelman A palauttaminen ongelmaan B tarkoittaa, että Oletetaan, että meillä

Lisätiedot

Rekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä

Rekursiolause. Laskennan teorian opintopiiri. Sebastian Björkqvist. 23. helmikuuta Tiivistelmä Rekursiolause Laskennan teorian opintopiiri Sebastian Björkqvist 23. helmikuuta 2014 Tiivistelmä Työssä käydään läpi itsereplikoituvien ohjelmien toimintaa sekä esitetään ja todistetaan rekursiolause,

Lisätiedot

Säännölliset kielet. Sisällys. Säännölliset kielet. Säännölliset operaattorit. Säännölliset kielet

Säännölliset kielet. Sisällys. Säännölliset kielet. Säännölliset operaattorit. Säännölliset kielet TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kesä 2013 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 24. toukokuuta 2013 Sisällys Formaalit kielet On tapana sanoa, että merkkijonojen joukko on (formaali) kieli. Hieman

Lisätiedot

Formalisoimme nyt edellä kuvatun laskennan.

Formalisoimme nyt edellä kuvatun laskennan. Formalisoimme nyt edellä kuvatun laskennan. Jos M = (Q, Σ, δ, q, F ) on äärellinen automaatti ja w = w... w n on n merkkiä pitkä aakkoston Σ merkkijono, niin automaatti M hyväksyy merkkijonon w, jos on

Lisätiedot

Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1]

Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1] Rekursiiviset palautukset [HMU 9.3.1] Yleisesti sanomme, että ongelma P voidaan palauttaa ongelmaan Q, jos mistä tahansa ongelmalle Q annetusta ratkaisualgoritmista voidaan jotenkin muodostaa ongelmalle

Lisätiedot

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset

815338A Ohjelmointikielten periaatteet Harjoitus 2 vastaukset 815338A Ohjelmointikielten periaatteet 2015-2016. Harjoitus 2 vastaukset Harjoituksen aiheena on BNF-merkinnän käyttö ja yhteys rekursiivisesti etenevään jäsentäjään. Tehtävä 1. Mitkä ilmaukset seuraava

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen

Lisätiedot

δ : (Q {q acc, q rej }) (Γ k {, }) Q (Γ k {, }) {L, R}.

δ : (Q {q acc, q rej }) (Γ k {, }) Q (Γ k {, }) {L, R}. 42 Turingin koneiden laajennuksia 1 oniuraiset koneet Sallitaan, että Turingin koneen nauha koostuu k:sta rinnakkaisesta urasta, jotka kaikki kone lukee ja kirjoittaa yhdessä laskenta-askelessa: Koneen

Lisätiedot

Muodolliset kieliopit

Muodolliset kieliopit Muodolliset kieliopit Luonnollisen kielen lauseenmuodostuksessa esiintyy luonnollisia säännönmukaisuuksia. Esimerkiksi, on jokseenkin mielekästä väittää, että luonnollisen kielen lauseet koostuvat nk.

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 31. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 9. lokakuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 9. lokakuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 9. lokakuuta 2016 Sisällys Kontekstiton kielioppi Kontekstiton kielioppi koostuu joukosta päätemerkkejä (engl. terminal symbols),

Lisätiedot

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS

JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS JOHDATUS TEKOÄLYYN TEEMU ROOS LUONNOLLISEN KIELEN KÄSITTELY (NATURAL LANGUAGE PROCESSING, NLP) TEKOÄLYSOVELLUKSET, JOTKA LIITTYVÄT IHMISTEN KANSSA (TAI IHMISTEN VÄLISEEN) KOMMUNIKAATIOON, OVAT TEKEMISISSÄ

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2010) 2. kurssikoe, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2010) 2. kurssikoe, ratkaisuja 582206 Laskennan mallit (syksy 2010) 2. kurssikoe, ratkaisuja Tehtävän 1 tarkasti Juha Kärkkäinen, tehtävän 2 Jyrki Kivinen ja tehtävän 3 Esa Junttila. 1. (a) (b) S 0S1 UV U 1U ε V 0V ε Tehtävässä on sallittu

Lisätiedot

jäsentämisestä TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho 27. marraskuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS

jäsentämisestä TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho 27. marraskuuta 2015 TIETOTEKNIIKAN LAITOS TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2015 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 27. marraskuuta 2015 Sisällys Rekursiivisesti etenevä engl. recursive descent parsing Tehdään kustakin välikesymbolista

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. toukokuuta 2011

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. toukokuuta 2011 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 16. toukokuuta 2011 Sisällys engl. random-access machines, RAM yksinkertaistettu nykyaikaisen (ei-rinnakkaisen)

Lisätiedot

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria

ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Luento 6: Jäsennyspuut, LL(1)-kielioppien jäsennys Aalto-yliopisto Perustieteiden korkeakoulu Tietotekniikan laitos Alue ja aiheet: Orposen prujun luvut 3.3 3.5 Kielioppien

Lisätiedot

Esimerkki 47. Kieli {a i b j c k : i = j tai j = k} on luonnostaan moniselitteinen.

Esimerkki 47. Kieli {a i b j c k : i = j tai j = k} on luonnostaan moniselitteinen. Aritmeettisen lausekkeen jäsennyspuun avulla voidaan helposti laskea lausekkeen arvo, kun muuttujien arvot tunnetaan. Yleisemmin, kääntäjä voi jäsennyspuun avulla generoida koodia lausekkeen evaluoimiseksi.

Lisätiedot

Algoritmin määritelmä [Sipser luku 3.3]

Algoritmin määritelmä [Sipser luku 3.3] Algoritmin määritelmä [Sipser luku 3.3] Mitä algoritmilla yleensä tarkoitetaan periaatteessa: yksiselitteisesti kuvattu jono (tietojenkäsittely)operaatioita, jotka voidaan toteuttaa mekaanisesti käytännössä:

Lisätiedot

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2]

Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Pysähtymisongelman ratkeavuus [Sipser luku 4.2] Osoitamme nyt vihdoin, että jotkin Turing-tunnistettavat kielet ovat ratkeamattomia ja jotkin kielet eivät ole edes Turing-tunnistettavia. Lisäksi toteamme,

Lisätiedot

Datatähti 2019 alku. task type time limit memory limit. A Kolikot standard 1.00 s 512 MB. B Leimasin standard 1.00 s 512 MB

Datatähti 2019 alku. task type time limit memory limit. A Kolikot standard 1.00 s 512 MB. B Leimasin standard 1.00 s 512 MB Datatähti 2019 alku task type time limit memory limit A Kolikot standard 1.00 s 512 MB B Leimasin standard 1.00 s 512 MB C Taulukko standard 1.00 s 512 MB D Ruudukko standard 1.00 s 512 MB E Sanalista

Lisätiedot

vaihtoehtoja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho 13. lokakuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS

vaihtoehtoja TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho 13. lokakuuta 2016 TIETOTEKNIIKAN LAITOS TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 13. lokakuuta 2016 Sisällys Harjoitustehtävätilastoa Tilanne 13.10.2016 klo 9:42 passed waiting redo submitters

Lisätiedot

Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista

Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista Täydentäviä muistiinpanoja laskennan rajoista Antti-Juhani Kaijanaho 10. joulukuuta 2015 1 Diagonaalikieli Diagonaalikieli on D = { k {0, 1} k L(M k ) }. Lause 1. Päätösongelma Onko k {0, 1} sellaisen

Lisätiedot

S uay uvaxy uv 2 Ax 2 y... uv i Ax i y uv i wx i y.

S uay uvaxy uv 2 Ax 2 y... uv i Ax i y uv i wx i y. 3.8 Yhtedettömien kielten rajoitksista Yhtedettömille kielille on oimassa säännöllisten kielten pmppaslemman astine. Nt kitenkin merkkijonoa on pmpattaa samanaikaisesti kahdesta paikasta. Lemma 3.9 ( -lemma

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

8. Kieliopit ja kielet

8. Kieliopit ja kielet 8. Kieliopit ja kielet Suomen kielen sanoja voidaan yhdistellä monella eri tavalla. Kielioppi määrää sen, milloin sanojen yhdistely antaa oikein muodostetun lauseen. "Mies räpyttää siipiään" on kieliopillisesti

Lisätiedot

Harjoitustyön testaus. Juha Taina

Harjoitustyön testaus. Juha Taina Harjoitustyön testaus Juha Taina 1. Johdanto Ohjelman teko on muutakin kuin koodausta. Oleellinen osa on selvittää, että ohjelma toimii oikein. Tätä sanotaan ohjelman validoinniksi. Eräs keino validoida

Lisätiedot

LR-jäsennys. Antti-Juhani Kaijanaho. 3. lokakuuta 2016

LR-jäsennys. Antti-Juhani Kaijanaho. 3. lokakuuta 2016 LR-jäsennys Antti-Juhani Kaijanaho 3. lokakuuta 2016 Tämä lisämoniste esittelee Yaccin, CUPin ja muiden vastaavien ohjelmien käyttämän LR-jäsennysmenetelmäperheen. Se ei kuulu kurssin koealueeseen. Tehtävänä

Lisätiedot

Laskennan mallit (syksy 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja

Laskennan mallit (syksy 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja 582206 Laskennan mallit (syksy 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja 1. Seuraavissa laskennoissa tilat on numeroitu sarakkeittain ylhäältä alas jättäen kuitenkin hyväksyvä tila välistä. Turingin koneen laskenta

Lisätiedot

Äärellisten automaattien ja säännöllisten lausekkeiden minimointi

Äärellisten automaattien ja säännöllisten lausekkeiden minimointi Äärellisten automaattien ja säännöllisten lausekkeiden minimointi Timi Suominen, Riia Ohtamaa ja Pessi Moilanen Helsinki..01 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos Äärellisten automaattien

Lisätiedot

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 3. lokakuuta 2016

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 3. lokakuuta 2016 TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy 2016 Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 3. lokakuuta 2016 Sisällys n tunnistin Jay : An Efficient Context-Free Parsing Algorithm. Communications of the

Lisätiedot

1. Universaaleja laskennan malleja

1. Universaaleja laskennan malleja 1. Universaaleja laskennan malleja Laskenta datan käsittely annettuja sääntöjä täsmällisesti seuraamalla kahden kokonaisluvun kertolasku tietokoneella, tai kynällä ja paperilla: selvästi laskentaa entä

Lisätiedot

Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia, niin A on rekursiivinen.

Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia, niin A on rekursiivinen. Lause: Tyhjyysongelma ei ole osittain ratkeava; ts. kieli ei ole rekursiivisesti lueteltava. L e = { w { 0, 1 } L(M w ) = } Todistus: Aiemmin esitetyn mukaan jos A ja A ovat rekursiivisesti lueteltavia,

Lisätiedot

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja

Säännöllisten operaattoreiden täydentäviä muistiinpanoja Säännöllisten operttoreiden täydentäviä muistiinpnoj Antti-Juhni Kijnho 1. huhtikuut 2011 Vnht määritelmät Määritelmä 1. Äärellinen epätyhjä joukko on merkistö, j sen lkioit kutsutn merkeiksi. Määritelmä

Lisätiedot

Attribuuttikieliopit

Attribuuttikieliopit TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 3. toukokuuta 2011 Sisällys t Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti

Lisätiedot

Säännöllisen kielen tunnistavat Turingin koneet

Säännöllisen kielen tunnistavat Turingin koneet 186 Säännöllisen kielen tunnistavat Turingin koneet Myös säännöllisen kielen hyväksyvien Turingin koneiden tunnistaminen voidaan osoittaa ratkeamattomaksi palauttamalla universaalikielen tunnistaminen

Lisätiedot

Lisää pysähtymisaiheisia ongelmia

Lisää pysähtymisaiheisia ongelmia Lisää pysähtymisaiheisia ongelmia Lause: Pysähtymättömyysongelma H missä H = { w111x w validi koodi, M w ei pysähdy syötteellä x } ei ole rekursiivisesti lueteltava. Todistus: Pysähtymisongelman komplementti

Lisätiedot