6. elokuuta 2012
Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti
Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus Matriisin vapausaste
Kurssin sisältö 2/2 Determinantti Cramerin sääntö Käänteismatriiisi Gauss - Jordan Adjugoitu matriisi Matriisin ominaisarvot, ominaisvektorit Lineaarikuvaus Pääakselimuunnos
Sisältö 1 Osa 1 Laskutoimitukset, Gaussin eliminointi 2 3
Sisältö 1 Osa 1 Laskutoimitukset, Gaussin eliminointi 2 3
Matriisi 1/2 A on n m matriisi, eli A:ssa on n riviä ja m saraketta Jos n = m on A neliömatriisi Vektori on matriisi, jossa on vain yksi rivi tai sarake ā = [ a 1 a 2... a n ] A = a 11 a 12 a 13... a 1n a 21 a 22 a 23... a 2n a 31 a 32 a 33... a 3n....... a m1 a m2 a m3... a mn b = b 1 b 2. b n
Matriisi 2/2 A:n transpoosi A T saadaan kun vaihdetaan A:sta rivit ja sarakkeet A T = A niin A on symmetrinen A T = A niin A on vinosymmetrinen A T = a 11 a 21 a 31... a m1 a 12 a 22 a 32... a m2 a 13 a 23 a 33... a m3....... a 1n a 2n a 3n... a nm
Erityismatriiseja Alakolmiomatriisi a 11 0 0 T a = a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 Diagonaalimatriisi a 11 0 0 T d = 0 a 22 0 0 0 a 33 Yläkolmiomatriisi a 11 a 12 a 13 T y = 0 a 22 a 23 0 0 a 33 Yksikkömatriisi 1 0 0 I = 0 1 0 0 0 1
Laskutoimitukset Yhteenlasku A = [a ij ] B = [b ij ] A+B = [a ij +b ij ] Matriisien oltava samankokoisia Skalaarilla kertominen ca = [c a ij ] Ominaisuuksia (A+B) T = A T +B T (ca) T = ca T
Laskutoimitukset Kertolasku Tulo C = AB, missä A = [a ij ] m n, B = [b ij ] r p Tulo on määritelty jos ja vain jos n = r Tulon tulos C on tällöin m p c ij = n a il b lj = a i1 b 1j +a i2 b 2j +...+a in b nj l=1 Ominaisuuksia (AB) T = B T A T AB BA AB = 0 ei välttämättä tarkoita, että A = 0 B = 0 BA = 0
Matriisitulo lineaarimuunnoksessa { y1 = a 11 x 1 +a 12 x 2 { x1 = b 11 w 1 +b 12 w 2 y 2 = a 21 x 1 +a 22 x 2 Lineaarikuvaukset voidaan tällöin kirjoittaa muotoon: ȳ = A x x = B w Yhdistämällä saadaan: ȳ = A x = A(B w) = AB w = C w x 2 = b 21 w 1 +b 22 w 2 ȳ = [ y1 y 2 ] [ x1 x = x 2 [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 [ ] x1 x = w = x 2 [ w1 w 2 [ ] b11 b B = 12 b 21 b 22 ] ]
Lineaarinen yhtälöryhmä Rajoitutaan yhtälöryhmiin a 11 x 1 +...+ a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +...+ a 2n x n = b 2... a n1 x 1 +...+ a nn x n = b n Lineaarinen yhtälöryhmä voidaan lyhyesti kirjoittaa Ax = b, missä a 11... a 1n x 1 b 1 A =....., x =., b =. a n1... a nn x n b n
Gaussin eliminointi 1/2 Yhtälöryhmän ratkaisu säilyy samana, mikäli Vaihdetaan kaksi riviä Kerrotaan rivi vakiolla 0 Lisätään vakiolla kerrottu rivi toiseen riviin
Gaussin eliminointi 2/2 2x 1 + x 2 + x 3 = 7 4x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 21 6x 1 + 7x 2 + 4x 3 = 32 2x 1 + x 2 + x 3 = 7 2x 2 + 1x 3 = 7 4x 2 + 1x 3 = 11 2x 1 + x 2 + x 3 = 7 2x 2 + 1x 3 = 7 x 3 = 3 x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3
Sisältö 1 Osa 1 Laskutoimitukset, Gaussin eliminointi 2 3
Lineaarinen riippumattomuus Vektorit ā 1,ā 2,...,ā n ovat lineaarisesti riippumattomia jos ja vain jos yhtälön ainut ratkaisu on c 1 ā 1 +c 2 ā 2 +...+c n ā n = 0 c 1 = c 2 =... = c n = 0
Matriisin vapausaste (rank) Matriisin A vapausaste r(a) Kerrosmatriisin ei-nollarivien lukumäärä Lineaarisesti riippumattomien rivien tai sarakkeiden lukumäärä A:ssa r(a) saadaan Gaussin eliminaation jälkeisen yläkolmiomatriisin ei-nollarivien määrästä
Laskutoimitukset Determinantti Determinantin sovelluksia lineaarisissa systeemeissä, ominaisarvo-ongelmissa, differentiaaliyhtälöissä, vektorilaskennassa Voidaan laskea vain neliömatriisille Merkitään a 11... a 1n det(a) = A =..... a n1... a nn A:n alimatriisi (n 1) (n 1) C ij Saadaan poistamalla A:sta i:s rivi ja j:s sarake
Determinantti Määritelmä det(a) = A = det(a) = A = n a ij ( 1) (i+j) C ij, i {1,...,n} j=1 n a ij ( 1) (i+j) C ij, j {1,...,n} i=1 Erityistapauksia: det(a) = A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 21 a 12
Determinantti a 11 a 12... a 1n a 11 0... 0 0 a 22... a 2n a 21 a 22... 0..... =....... 0 0... a nn a n1 a n2... a nn = a 11 a 22...a nn deta T = deta det(ab) = (deta)(detb) deta 1 = 1 deta deti = 1 det(xa) = x n deta deta = 0 A:n riveissä(sarakkeissa) on lineaarinen riippuvuus! deta 0 A 1 deta = λ 1 λ 2...λ n
Determinantti Jos kaksiriviä tai saraketta vaihdetaan, niin determinantin arvo vaihtuu vastakkaismerkkiseksi Rivi (sarake) voidaan kertoa vakiolla ja lisätä toiseen det:n arvon muuttumatta Rivin (sarakkeen) alkiot kerrotaan vakiolla C Determinantti tulee kerrotuksi C:llä
Cramerin sääntö Olkoon A x = b lineaarinen yhtälöryhmä Tällöin sen ratkaisut x j saadaan Cramerin säännön avulla seuraavasti: Määritelmä x j = D j D, j = 1,...,n D = deta ja D j on determinantti, joka saadaan vaihtamalla D:n j:s sarake vektorilla b
Käänteismatriisi Matriisin A käänteismatriisille A 1 pätee AA 1 = A 1 A = I Vrt. A A tai skalaareilla cc 1 = 1 Käänteismatriisi on olemassa vain n n neliömatriiseille, joiden rank = n (eli ei lineaarista riippuvuutta) Yhtälöryhmä voidaan ratkaista käänteismatriisin avulla: A x = b A 1 A x = A 1 b I x = A 1 b x = A 1 b Käänteismatriisin laskentaan kaksi peruskeinoa: Gauss-Jordan menetelmä Adjungoidun matriisin avulla
Käänteismatriisi Gaus-Jordan: Olkoon A n n matriisi, jonka ranka = n [A I]... [I A 1 ] Adjungoidu matriisi: A 1 = 1 deta adj(a) A 11 A 12... A 1n A 21 A 22... A 2n adj(a) =...... A n1 A n1... A nn T Missä A ij on alkion a ij cofaktori-determinantti Eli A:n alideterminantti, kun i:s rivi ja j:s sarake on poistettu
Sisältö 1 Osa 1 Laskutoimitukset, Gaussin eliminointi 2 3
Ominaisarvot Lukua λ sanotaan neliömatriisin A ominaisarvoksi ja x 0 vastaavaksi ominaisvektoriksi, jos Määritelmä A x = λ x (A λi) x = 0 det(a λi) = a 11 λ a 12... a 1n a 21 a 22 λ... a 2n.... a n1 a n2... a nn λ = 0
Ominaisarvot Ratkaise ominaisarvot yhtälöstä: det(a λi) = 0 Tämän jälkeen ominaisvektorit saat ratkaisemalla eri lambdan arvoilla yhtälöryhmän: (A λi) x = 0 Yhtälöryhmällä ääretön määrä ratkaisuja, valitaan yksi Moninkertainen ominaisarvo antaa yhtä monta ominaisvektoria
Matriisin diagonalisointi Jokainen n n neliömatriisi A, jolla on n ominaisvektoria voidaan diagonalisoida Olkoon X matriisi, jonka sarakkeina ovat A:n ominaisvektorit (nkpl) ja D diagonaalimatriisi, jonka alkioina ovat A:n ominaisarvot, tällöin: D = X 1 AX A m = XD m X 1
Lineaarikuvaus Lineaarisia kuvauksia, kierto ja skaalaus Voidaan esittää matriisimuodossa eli ȳ = T x Jos T on lineaarikuvaus, on oltava Määritelmä F( x +ȳ) = F( x)+f(ȳ) F(c x) = cf( x)
Pääakselimuunnos Neliömuoto: Q = Q( x) = a 11 x 2 1 +a 22x 2 2 +a 33x 2 3 +2a 12x 1 x 2 +2a 13 x 1 x 3 +2a 23 x 2 x 3 = x T A x Pääakselilause: λ 1,λ 2,λ 3 A:n ominaisarvot x 1, x 2, x 3 vastaavat ominaisvektorit (pareittain ortogonaaliset ja normitetut) X = [ x 1, x 2, x 3 ] ortogonaalinen matriisi Tällöin: Sijoitus x = Xȳ muuttaa Q:n kanoniseen muotoon Q = ȳ T Dy = λ 1 y 2 1 +λ 2y 2 2 +λ 3y 2 3