Insinöörimatematiikka D, 06 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Alla olevat esimerkkiratkaisut ovat melko ksitiskohtaisia Tenttivastauksissa ei leensä tarvitse muistaa lauseiden, määritelmien, esimerkkien tai seurausten numeroita Nuo on mainittu asiahteksien selventämiseksi Tiedetään, että A x+, jossa A ( ) Koska det(a) ( ), tiedämme matriisin A olevan säännöllinen eli käänteismatriisi A on olemassa Käänteismatriisin avulla saadaan alkuperaisestä htälöstä ( ) ( ) ( ) A x A x x A x+ }{{} () I Gaussin Jordanin menetelmän avulla saamme käänteismatriisin: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 A Todetaan lopuksi, että A on lineaarikuvauksen käänteiskuvauksen matriisi luonnollisten kantojen suhteen sijoittamalla saatu matrisi htälöön () saadaan htälö ( ) x+ Eli M A ( ) Tarkastellaan lineaarikuvausta : R R, (x,,z) (x+ +z,x+ z,x +z) x(,,) +(,, ) +z(,,) Yhtälöketjusta (x,,z) T x+ + z x () z saadaan htälön (x,,z) T A (x,,z) T mukaisesti lineaarikuvauksen matriisi A
luonnollisten kantojen suhteen Gaussin Jordanin menetelmällä voidaan samanaikaisesti todentaa käänteismatriisin olemassaolo ja muodostaa se: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 () 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 5 Koska identiteettimatriisi saatiin vasemmalle puolelle, on käänteismatriisi A olemassa ja A 5 5 Sijoittamalla saatu käänteismatriisi saadaan x+ +z A (x,,z) T x+ z 5 x +z (x++z)+(x+ z)+(x +z) x (x++z) (x+ z) (x +z) (x++z) 5(x+ z) (x +z) z Siis, saatiin htälö (x,,z) T A (x,,z) T, joka osoittaa lineaarikuvauksen käänteiskuvauksen matriisin luonnollisten kantojen suhteen olevan A Olkoon B {(,,),(,, ),(,,)} {b,b,b } ja E {e,e,e } Kuten edellisessä tehtävässä, matriisi A lineaarikuvaukselle (e ) b, (e ) b ja (e ) b luonnollisen kannan suhteen saadaan htälö (x,,z) T x(e ) T +(e ) T +z(e ) T x+ + z, josta edelleen htälön () avulla saadaan A Koska vektoriavaruuden R kanta on aina kolmialkioinen, tarvitsee ainoastaan osoittaa joukon B olevan lineaarisesti riippumaton Joukon B vektoreiden lineaarisen riippumattomuuden toteamiseen olisi monia keinoja: viittaus edelliseen tehtävään, riippuvuuden määritelmä, seuraus (esimerkki 4) tai determinantin det(a ) laskeminen ( 0)
Gaussin Jordanin menetelmällä saadaan matriisi redusoitua diagonaalimatriisiksi (tai identiteettimatriisiksi) täsmälleen silloin kun matriisin vaaka- tai pstvektorit ovat lineaarisesti riippumattomat (ja edelleen tämä on htäpitävä sen kanssa, että matriisin vaaka- tai pstvektorit muodostavat vektoriavaruutensa kannan) Ekvivalenssiketjun () mukaisesti saadaan osoitettua sekä lineaarinen riippumattomuus, että saadaan käänteismatriisi A 5 Haettaessa vektorin x (x,,z) R koordinaattivektoria x B (a,b,c) B kannan B suhteen kätetään htälöä (x,,z) a(e )+b(e )+c(e ), joka voidaan esittää muodossa ( (x,,z) T (0,0,) T (0,,0) T (0,0,) T) (a,b,c) T B A (a,b,c) T B (4) Huomautus: merkintä (x,,z) on tässä oikeastaan (x,,z) x E (x,,z) E eli vektorin x koordinaattivektori luonnollisen kannan E suhteen Yleisesti ilman kanta merkintää olevat vektorit mielletään luonnollisen kannan mukaisiksi Yhtälöketjusta (4) saadaan kertomalla puolittain oikealta käänteismatriisilla A htälö (a,b,c) T B A A }{{} I eli vektorin x koordinaattivektori x B A xt E 4 Olkoon x reaaliluku ja (a,b,c) T B A (x,,z)t x +x A x x x x Matriisi on singulaarinen täsmälleen silloin, kun sen determinantti on nolla Siis tutkitaan determinanttia x +x det(a) x x x x x x x +x x x +x x x x ( x ) x(x x(+x))+x(x (+x)) x x x+ Olkoon (x) x x x + Ratkaisemalla htälö (x) x x x + 0 saadaan kaikki reaaliarvot x, joilla matriisi A on singulaarinen Kokeilemalla nähdään, että x on ksi ratkaisu ja siten (x) (x )(x ) (x )(x )(x+ ) Siis arvoilla x, x ja x matriisi A on singulaarinen 5 a) b) 4 5 6 4 0 4 0 0 4 0 0 0 0 0 nollarivi 4 0 5 5 0 4 4 0 0 5 0 5 5 0 6 6 0 5 5 4+0 6
6 Olkoon Haetaan ominaisarvot a) A ( ) 4 ja B ( ) 0 det(a λi) λ 4 λ ( λ)( λ) 4 λ +4λ 5 (λ )(λ+5) 0 Ominaisarvot matriisille A ovat λ ja λ 5 b) det(b λi) λ 0 λ ( λ)( λ) 0 Ominaisarvot matriisille B ovat λ λ Edellisestä tehtävästä matriisin A ominaisarvot ovat λ ja λ 5 Ominaisarvolle λ saadaan ratkaistavaksi htälöksi ( ) ( )( ) ( ) x 4 4 x 0 (A λ I), 0 jolle ( ) 4 4 ( ) { x 0 0 0 0 0 Ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori on x Ratkaisut: ( ) Ominaisarvolle λ 5 saadaan ratkaistavaksi htälöksi ( ) ( ) 4 x (A λ I) 4 jolle ( ) 4 4 ( ) { x+ 0 0 0 0 0 Ratkaisut: Ominaisarvoa λ 5 vastaava ominaisvektori on x Matriisille P ( ( ) ) x x saadaan Gaussin Jordanin menetelmällä ( ) ( ) 0 0 0 0 ( ) 0 0, josta edelleen saadaan matriisin P käänteismatriisi P ( ) 4 ( ) 0, 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) ( )
Lisäksi saadaan matriisin avulla matriisille A esits A PDP ( ) λ 0 D 0 λ ( ) 0 0 5 Edelleen htälöstä A PDP saadaan htälö A i PD i P eli ( )( ) 06 ( ) 0 A 06 PD 06 P 0 5 ( )( )( ) ( 0 +( 5) 0 ( 5) 06 06 ( 5) 06 ) ( 5) 06 +( 5) 06 Lisäksms: Edellisestä tehtävästä matriisin B ominaisarvot ovat λ λ Ominaisarvolle λ saadaan ratkaistavaksi htälöksi ( ) ( )( ) ( ) x 0 x 0 (B λi), 0 0 0 jolle ( ) { ( ) ( ) ( ) 0 0 x x Ratkaisut: x 0 0 0 0 0 0 ( ) Ominaisarvoa λ vastaava ainoa ominaisvektori on x 0 Matriisin P B pitäisi olla säännöllinen ja toteuttaa htälö BP B P B D B P B I P B, koska D B I Tästä seuraa, että B BP B P B P BP B I, ristiriita Siis tuollaista matriisia P ei voi olla 8 Olkoon 5 4 A 5 4 0 Selvitetään ensin ominaisarvot ominaisarvohtälöstä: 5 λ 4 det(a λi) 5 λ 4 λ 5 λ 4 0 4 λ λ 4 λ (5 λ) 4 λ λ 4 + 4 λ 4 λ λ 4 [ (4 λ) (5 λ) ] λ + 4 (4 λ)[(5 λ)( λ)+] (4 λ)(λ )(λ 4) 0 Ominaisarvot matriisille A ovat λ λ 4 ja λ Ominaisarvolle λ λ 4 saadaan 4 4 x+ 4z 0 A 4I 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 ja sopivat ratkaisut ovat x +4z 4 +z 0 z z 0 5
4 Ominaisarvoa λ λ 4 vastaavat ominaisvektorit ovat siis x ja x 0 0 Vastaavasti ominaisarvolle λ saadaan 4 4 4 8 A I 4 4 4 0 x z 0 0 0 z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ja saadaan lopulta ratkaisut x z z z z z Ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori on x Koostettaessa matriisia P pitää huomata moninkertaiselle ominaisarvolle ominaisvektoreita valittaessa pitää valita toisistaan lineaarisesti riippumattomat vektorit Eli tässä esimerkissä ominaisarvolle 4 pitää valita vektorit λ ja λ Saadaan siis matriisi P ( ) ( ) 4 x x x λ λ λ 0, 0 jolle matriisi P AP on diagonaalinen monisteen mukaan Ylimääräinen tarkastelu: Matriisille P Gaussin Jordanin menetelmä antaa 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Tästä saadaan ja edelleen saadaan P 4 0 0 D P AP 0 4 0 0 0 6
9 Olkoon a) A ( ) ja b) B ( ) 4 a) Ratkaistaan ominaisarvot ja -vektorit matriisille A: det(a λi) λ λ ( λ)( λ) ( ) ( ) λ 4λ+ (λ ) 0 Ominaisarvot matriisille A ovat λ + ja λ Ominaisarvolle λ + saadaan ( ) ( ) ( ) A λ I + + 0 0 { ( ) ( ) ( ) x ( ) 0 x ( ) Ratkaisut: 0 0 Ominaisarvoa λ + ( ) vastaava ominaisvektori on x Ominaisarvolle λ saadaan vastaavasti ( ) ( ) + A λ I + 0 0 { ( ) ( ) ( ) x (+ ) 0 x (+ ) + Ratkaisut: 0 0 Ominaisarvoa λ ( ) + vastaava ominaisvektori on x b) Ratkaistaan ominaisarvot ja -vektorit matriisille B: det(b λi) λ 4 λ ( λ)( λ) 4 ( ) λ λ+5 (λ ) +4 0 Ominaisarvot matriisille B ovat λ +i ja λ i Ominaisarvolle λ +i saadaan ( ) ( ) ( ) ( i) 4 ( i) 4 +i B λ I (+i) +i ( i) 4 0 0 { ( ) ( ) x+(+i) 0 x (+i) Ratkaisut: 0 0 ( ) +i Ominaisarvoa λ +i vastaava ominaisvektori on x Ominaisarvolle λ i saadaan vastaavasti ( ) (+i) 4 B λ I ( i) { x+( i) 0 0 0 ( i 0 0 Ratkaisut: ) Ominaisarvoa λ i vastaava ominaisvektori on x ( ) ( i) ( ) i ( ) +i ( ) i
0 Olkoon x T (0,,) R ja lineaarikuvauksen : R R matriisi 6 A 6 Mitä suuntaa vektori i (x) lähest osoittamaan, kun kuvausta toistetaan rajatta? Olkoon 6 A 6 ja lineaarikuvaus : R R,(x) Ax Selvitetään ensin ominaisarvot ominaisarvohtälöstä: λ 6 λ 0 λ 4 det(a λi) 6 λ 6 λ λ λ λ 0 (λ 6) 6 λ 0 6 λ (λ 6) 6 λ +(6 λ) λ 0 6 λ (6 λ)( λ)[ +(6 λ)] (6 λ)(4 λ)( λ) 0 Ominaisarvot matriisille A ovat λ 6, λ 4 ja λ Ominaisarvolle λ 6 saadaan 6 A 6I 0 0 0 0 0 x z 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ja sopivat ratkaisut ovat x z z 0 z z Ominaisarvoa λ 6 vastaava ominaisvektori on x 0 Ominaisarvolle λ 4 saadaan 5 6 A 4I 0 0 0 0 x + z 0 0 +z 0 0 0 0 0 0 ja sopivat ratkaisut ovat x z z z z z Ominaisarvoa λ 4 vastaava ominaisvektori on x 8
Vastaavasti ominaisarvolle λ saadaan 6 0 0 0 0 x 0 A I 4 4 0 0 z 0 5 5 0 0 0 0 0 ja sopivat ratkaisut ovat x z 0 0 Ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori on x 0 Ominaisvektorien joukko B {x,x,x } muodostaa vektoriavaruuden R kannan, koska matriisille P (x x x ) saadaan det(p) 0 0 0 (pstvektorit (vaakavektorit) matriisissa ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen silloin, kun matriisin determinantti on nolla) Koska B on vektoriavaruuden R kanta, on mielivaltaiselle vektorille x R on olemassa (ksikäsitteinen) esits x c x +c x +c x joillakin a,b,c R Lineaarikuvaukselle saadaan i (x) A i x c A i x +c A i x +c A i x c λ i x +c λ i x +c λ i x 6 i c x +4 i c x + i c x (5) Yhtälöstä (5) voidaan päätellä vektorin i (x) lähestvän määrättä vektoria seuraavasti: x, kun c 0, i x, kun c 0 ja c 0 (x) x, kun c 0,c 0 ja c 0 0, muulloin 9