MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto

DY-teoriaa

DY-teoriaa Käsitellään seuraavaksi differentiaaliyhtälösysteemeitä, eli lyhyesti differentiaaliyhtälöitä. Olkoon F : R R n R n jatkuva kuvaus.tällöin yhtälöä x (t) = F(t, x(t)), x(t) R n kutsutaan n dimensioiseksi differentiaaliyhtälösysteemiksi. Komponenttimuodossa kirjoitettuna tämä on x 1 (t) = f 1(t, x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) x 2 (t) = f 2(t, x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)) x n(t). = f n (t, x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t)). 1 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

DY-teoriaa Jos F ei eksplisiittisesti riipu t :stä eli yhtälö on muotoa x (t) = F(x(t)), niin yhtälöä kutsutaan autonomiseksi. Differentiaaliyhtälön ratkaisulla tarkoitetaan jollakin välillä (α, β) R määriteltyä jatkuvasti derivoituvaa funktiota x : R R n, joka toteuttaa yhtälön kaikilla t (α, β). Differentiaaliyhtälöllä on yleensä paljon ratkaisuja: esimerkiksi yhtälöllä x = x on ratkaisut x(t) = c e t, vakion c C kaikilla arvoilla. Tällä kurssilla tarkastellaan pääasiassa alkuarvotehtäviä, millä tarkoitetaan differentiaaliyhtälöä lisäehdolla x(t 0 ) = x 0, eli kiinnitetään ratkaisun lähtöpiste. Sopivin oletuksin tämä yleensä määrää ratkaisun yksikäsitteisesti. 2 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

DY-teoriaa Esimerkki 1 (Heiluri) Tasapainoasemastaan kulman θ verran poikkeutetulle, L-pituiselle ja m-massaiselle heilurille voidaan Newtonin lain mukaan kirjoittaa yhtälö mv (t) = mg sin(θ(t)) ja heilurin geometriasta saadaan yhtälö v(t) = Lθ (t). Täten heiluri toteuttaa yhtälöparin θ (t) = 1 L v(t) v (t) = g sin(θ(t)). [ ] [ ] 1 θ(t) Merkitään x(t) = ja F(x(t)) = L x 2(t). Näin v(t) g sin(x 1 (t)) systeemi voidaan kirjoittaa lyhyesti x (t) = F(x(t)). 3 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

DY-teoriaa Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt voidaan palauttaa 1. kertaluvun systeemiksi: Yhtälölle y (t) = g(t, y(t), y (t), y (t)) asetetaan x 1 (t) = y(t), x 2 (t) = y (t), x 3 (t) = y (t), jolloin saadaan x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) = x 2(t) = x 3(t) = g(t, x 1(t), x 2 (t), x 3 (t)). 4 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

DY-teoriaa Määritellään sitten vektorifunktio ( F(t, x(t)) = x 2 (t), x 3 (t), g ( t, x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t) )), jolloin alkuperäinen 3. kertaluvun yhtälö voidaan kirjoittaa 1. kertaluvun muodossa x (t) = F(x(t)). Esimerkki 2 Esitä toisen asteen differentiaaliyhtälö y (t) + y(t) = 0, y(0) = a, y (0) = b, 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmänä. 5 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

DY-teoriaa Ratkaisu: Asetetaan x 1 (t) = y(t) ja x 2 (t) = y (t). Tällöin yhtälö y (t) + y(t) = 0 voidaan yhtäpitävästi esittää yhtälöparina x 1 (t) = x 2(t) x 2 (t) = x 1(t) ja alkuehdot ovat nyt x 1 (0) = a, x 2 (0) = b. Matriisimuodossa yhtälöpari voidaan kirjoittaa [ ] x 0 1 (t) = x, 1 0 kun x(t) = [ ] x1 (t) x 2. Alkuehto on tietenkin x(0) = [ a (t) b ]. 6 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

DY-teoriaa Huom: Äsken tarkastellun differentiaaliyhtälön y (t) + y(t) = 0, y(0) = a, y (0) = b, kaikki ratkaisut ovat muotoa y(t) = b sin(t) + a cos(t). Vastaavan matriisimuotoisen yhtälön x (t) = [ ] 0 1 1 0 x, x(0) = [ a b ] ratkaisu kirjoitetaan tällöin [ ] b sin(t) + a cos(t) x(t) =. b cos(t) a sin(t) 7 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

DY-teoriaa Olkoon U R n avoin joukko ja F : R U R n jatkuvasti derivoituva vektorikenttä. Tällöin differentiaaliyhtälösysteemin x (t) = F(t, x(t)) ratkaisuita x : R U kutsutaan sen integraalikäyriksi. Jos DY-systeemi on autonominen, eli x (t) = F(x(t)), integraalikäyriä on helppo visualisoida: ne ovat käyriä, jotka ovat joka pisteessä tangentiaalisia vektorikentälle F. 8 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

DY-teoriaa Lause 3 Jos vektorikenttä F : R U R n on jatkuvasti derivoituva, niin jokaisella s R ja u U on olemassa ɛ > 0 siten, että alkuarvotehtävällä x (t) = F(t, x(t)), x(s) = u on olemassa yksikäsitteinen ratkaisu x : [s ɛ, s + ɛ] U. Lause sanoo siis, että DY-systeemeitä voidaan (ei-patologisessa tapauksessa) aina ratkaista jonkin matkaa eteen- ja taaksepäin. Ratkaisu on yksikäsitteinen, kun se on olemassa. Mutta miltä ratkaisut oikein näyttävät? 9 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen DY

Lineaarinen DY Tarkastellaan homogeenista vakiokertoimista yhtälöä: x (t) = A x(t), missä A R n n. Osoitetaan, että tällaisen yhtälön ratkaisu on eksponenttifunktion muodossa, ja että se on yksikäsitteinen. Lause 4 Olkoon A R n n. Alkuarvotehtävän x (t) = A x(t), x(0) = x 0, ainoa ratkaisu on x(t) = e ta x 0. 10 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen DY Todistus. Suppenevia potenssisarjoja voidaan derivoida termeittäin, joten eksponenttifunktionkin derivaatta tunnetaan. Voidaankin kirjoittaa x (t) = d dt (eta x 0 ) = Ae ta x 0 = Ax(t), joten x(t) = e ta x 0 on differentiaaliyhtälön x (t) = A x(t) ratkaisu. Oletetaan, että y(t) on DY:n toinen ratkaisu. Asetetaan z(t) = e ta y(t). Tällöin z (t) = Ae ta y(t) + e ta Ay(t) = 0, joten z(t) on vakio, z(t) = x 0. Näin ollen y(t) = e ta z(t) = e ta x 0, joten x(t) = e ta x 0 on ainoa ratkaisu. 11 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen DY Esimerkki 5 Ratkaise alkuarvotehtävä x (t) = [ 1 1 0 2 ] x(t), x(0) = [ 1 1 ]. Ratkaisu: Matriisilla A = [ 1 0 1 2 ] on diagonaalihajotelma [ ] [ ] [ ] [ ] 1 1 1 1 1 0 1 1 =, 0 2 0 1 0 2 0 1 joten [ ] [ e ta 1 1 e t 0 = 0 1 0 e 2t ] [ 1 1 0 1 ] = [ ] e t e 2t e t 0 e 2t. DY:n ratkaisu on siis x(t) = e ta x(0) = [ e t e 2t e t 0 e 2t ] [ ] 1 1 = [ ] 2e t e 2t. e 2t 12 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen DY Määritelmä 6 Differentiaaliyhtälöä x (t) = A(t)x(t) + b(t) kutsutaan lineaariseksi epähomogeeniseksi yhtälöksi, ja systeemiä x (t) = A(t)x(t) lineaariseksi homogeeniseksi yhtälöksi. Jos A ei riipu ajasta, on kyseessä vakiokertoiminen yhtälö. Jos systeemiä ei voi esittää muodossa x (t) = A(t)x(t) + b(t), niin sitä kutsutaan epälineaariseksi. 13 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen DY Lineaarisille differentiaaliyhtälöille pätee: Lause 7 a) Jos x ja y ovat homogeenisen yhtälön x (t) = A(t)x(t) ratkaisuja ja α, β R, niin αx + βy on myös homogeenisen yhtälön ratkaisu. b) Olkoon x p jokin epähomogeenisen yhtälön x (t) = A(t)x(t) + b(t) ratkaisu. Tällöin x p + y on saman yhtälön ratkaisu täsmälleen silloin, kun y on vastaavan homogeenisen yhtälön ratkaisu. 14 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen DY Määritelmä 8 Olkoon F : R U R n on jatkuvasti derivoituva ja W R R U suurin mahdollinen osajoukko, jossa alkuarvotehtävällä x (t) = F(t, x(t)), x(s) = u on olemassa ratkaisu välillä a < t < b, kun (a, s, u) W ja (b, s, u) W. Tällöin systeemin ratkaisukuvaus on ψ : W U ψ(t, s, u) = x(t), missä x(t) on ko. alkuarvotehtävän ratkaisu. 15 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen DY Esimerkki 9 Aiemmin todettiin, että tehtävän x (t) = Ax(t), x(0) = x 0, ratkaisu on x(t) = e At x 0. Jos alkuarvo onkin annettu jollakin muulla ajanhetkellä, eli esim. x(s) = u, niin ratkaisu on (Kokeile vaikka!) x(t) = e A(t s) u. Tehtävän x (t) = Ax(t), x(s) = u, ratkaisukuvaus on siis ψ(t, s, u) = e A(t s) u. Sijoittamalla tähän kulloinkin käytettävä alkuarvohetki ja alkuarvo, saadaan ratkaisu. 16 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen DY Lause 10 (Häiriön lisääminen) Olkoon ψ(t, s, u) lineaarisen homogeenisen systeemin x (t) = A(t)x(t) ratkaisukuvaus. Tällöin epähomogeenisen alkuarvotehtävän x (t) = A(t)x(t) + b(t), x(t 0 ) = u, ratkaisu on t x(t) = ψ(t, t 0, u) + ψ(t, s, b(s))ds. t 0 Erityisesti, kun A R n n on vakiokertoiminen, niin t x(t) = e A(t t0) u + e A(t s) b(s)ds. t 0 17 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen DY Esimerkki 11 Ratkaise alkuarvotehtävä x (t) = A x(t) + b(t) = [ ] 4 1 2 3 x(t) + [ 65 cos t 0 ], x(0) = [ ] 10 5. Ratkaisu: Ominaisarvojen ja vektoreiden avulla saadaan [ ] [ ] [ ] A = VΛV 1 1 1 2 0 1 1 1 =, 2 1 0 5 3 2 1 joten t x(t) = Ve Λt V 1 x(0) + 0 [ ] = 1 3 Vet Λ 5 t + 25 0 e A(t s) b(s)ds [ ] Ve (t s) Λ 1 3 65 130 cos(s) ds 18 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen DY ja edelleen [ ] [ ] x(t) = 1 3 V 5e 2t 65 25e 5t + 1 3 V 1+4 (sin t + 2 cos t 2e 2t ) 130 1+25 (sin t + 5 cos t = 5e 5t ) [ ] = 1 3 V 13 sin t + 26 cos t 21e 2t 5 sin t + 25 cos t [ ] [ ] = 7e 2t 1 6 sin t + 17 cos t +. 2 7 sin t + 9 cos t Integraalin laskemisessa on käytetty kaavaa t 0 eas cos(s) ds = 1 (e at (sin t + a cos t) a). Käytännössä 1+a 2 integraalit joudutaan usein laskemaan numeerisesti. 19 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Tarkastellaan lähemmin homogeenista vakiokertoimista yhtälöä x (t) = A x(t), missä A R n n. Olkoon λ A :n ominaisarvo ja v 0 vastaava ominaisvektori. Etsitään DY:lle ratkaisua muodossa x(t) = η(t)v, missä η on skalaarifunktio. Sijoittamalla yhtälöön saadaan η (t)v = A ( η(t)v ) = η(t)av = λη(t)v. Toisin sanoen yhtälö toteutuu, jos η on differentiaaliyhtälön η (t) = λη(t) ratkaisu. Tämä tunnetaan: η(t) = ce λt, missä c on mielivaltainen vakio. 20 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Saatiin: Av = λv = c e λt v on DY:n ratkaisu. Olkoon A :lla ominaisarvot λ 1, λ 2,..., λ k ja ominaisvektorit v 1, v 2,..., v k. Tällöin funktiot c 1 e λ1t v 1,..., c k e λkt v k ovat yhtälön x (t) = A x(t) ratkaisuja, joten edellisen lauseen mukaan myös x(t) = c 1 e λ1t v 1 + c 2 e λ2t v 2 + + c k e λkt v k on yhtälön ratkaisu. 21 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Jos nyt k = n ja jos vektorit v 1, v 2,..., v n ovat lineaarisesti riippumattomat, niin alkuehdosta x(0) = x 0 saadaan yhtälö: c 1 v 1 + + c n v n = x 0 eli c = V 1 x 0, missä c = (c 1,..., c n ), V = [ v 1 v 2... v n]. Näin saadaan ratkaisulle esitys [ ] e x(t) = V λ 1 t... V 1 x 0. e λnt Ominaisvektoreiden avulla esitetyn ratkaisun etuna on se, että siitä nähdään ratkaisun kulkusuunta, kun t. 22 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Esimerkki 12 Differentiaaliyhtälölle x (t) = [ 1 0 1 2 ] x(t), x(0) = [ ] 1 [ ] 1 saatiin aiemmin ratkaisu x(t) = e ta x(0) = 2e t e 2t. Koska matriisin A e 2t ominaisarvot ovat 1 ja 2 ja niitä vastaavat ominaisvektorit v 1 = [ 1 0 ] ja v 2 = [ 1 1 ], ratkaisu voidaan kirjoittaa myös muodossa x(t) = c 1 e t v 1 + c 2 e 2t v 2. Kertoimet c i määräytyvät alkuehdosta, mutta jo ilman alkuehtoa nähdään, että x(t), kun t, koska molemmat ominaisarvot ovat positiivisia. Ratkaisukäyrät karkaavat nopeammin v 2 :n suuntaan, koska sitä vastaa suurempi ominaisarvo. 23 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

A :n ominaisarvot ovat positiiviset, joten kaikki ratkaisut kulkevat origosta poispäin. Tätä kutsutaan lähteeksi. 24 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista Lineaarinen vakiokertoiminen DY Esimerkki 13 (Lähde) Tarkastellaan edellistä tehtävää x (t) = [ 1 0 1 2 ] x(t), x(0) = [ ] 1 1 alkuarvolla x(0) = (a 1, a 2 ) T. Edellä saatiin [ ] [ ] [ ] [ ] e t A = Ve Λt V 1 1 1 e t 0 1 1 e t e 2t e t = 0 1 0 e 2t = 0 1 0 e 2t. Alkuarvotehtävän x = Ax, x(0) = (a 1, a 2 ) T ratkaisu on siten [ ] [ ] [ ] e t x(t) = e 2t e t 0 e 2t a 1 a 2 = = (a 1 a 2 )e t v 1 + a 2 e 2t v 2 e t (a 1 a 2 ) + e 2t a 2 e 2t a 2.

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Edellisen esimerkin ratkaisukäyriä eri alkuarvoilla. Huomaa pakeneminen ominaisvektorisuunnissa. x 1 2 0.5-1 -0.5 0.5 1 x 1-0.5 25 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista -1

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Esimerkki 14 (Nielu) Matriisilla A = [ ] 2 1 1 2 on ominaisarvot λ1 = 3 ja λ 2 = 1 ja ominaisvektorit v 1 = ( 1, 1 ), v 2 = ( 1, 1 ). Kuten edellisessä esimerkissä saamme e t A = [ ] [ ] [ ] 1 1 e 3t 0 1/2 1/2 1 1 = 1 0 e t 1/2 1/2 2 [ e t + e 3t e t + e 3t ja alkuarvotehtävälle x = Ax, x(0) = (a 1, a 2 ) T ratkaisun [ ] x(t) = 1 e t (a 1 a 2 ) + e 3t (a 1 + a 2 ) 2 e t (a 1 a 2 ) + e 3t. (a 1 + a 2 ) Tällä systeemillä ominaisarvot ovat negatiiviset, joten kaikki ratkaisut kulkevat origoon päin. Tätä kutsutaan nieluksi. ] e t + e 3t e t + e 3t 26 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Edellisen esimerkin ratkaisukäyriä. Ominaisvektorisuunnissa liikutaan suoraan kohti origoa. 1 x 2 0.5-1 -0.5 0.5 1 x 1-0.5-1 27 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Esimerkki 15 (Satula) Matriisilla A = [ ] 2 1 4 1 on erimerkkiset ominaisarvot λ1 = 2 ja λ 2 = 3 ja ominaisvektorit v 1 = ( 1, 4 ), v 2 = ( 1, 1 ). Kuten edellä, saamme [ ] e t A = 1 e 2t + 4e 3t e 2t e 3t 5 4e 2t 4e 3t 4e 2t + e 3t ja alkuehto x(0) = (a 1, a 2 ) T, antaa ratkaisun [ ] x(t) = 1 e 2t (a 1 + a 2 ) + e 3t (4a 1 a 2 ) 5 e 2t (4a 1 + 4a 2 ) + e 3t ( 4a 1 + a 2 ). Tällä systeemillä ratkaisut kulkevat origoon päin v 1 :n suuntaista suoraa pitkin ja etääntyvät asymptoottisesti v 2 :n suuntaan. 28 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Edellisen esimerkin ratkaisukäyriä. Toisen om.vektorin suunnassa paetaan, toisen lähestytään origoa. x 1 2 0.5-1 -0.5 0.5 1 x 1-0.5-1 29 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Kompleksiset ominaisarvoparit Reaalisella matriisilla A saattaa olla kompleksisia ominaisarvoja. Ne esiintyvät liittolukupareina α ± iβ. Jos w = u + i v on ominaisarvoa λ = α + iβ vastaava ominaisvektori, niin Aw = λw, joten w = u i v vastaa ominaisarvoa λ = α iβ. Tehtävän x = Ax eräs ratkaisu on x(t) = d 1 e λt w + d 2 e λt w. 30 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Yleensä halutaan kuitenkin reaalinen ratkaisu. Yhtälön A(u + iv) = (α + iβ)(u + iv) reaali ja imaginaariosista saadaan Au = αu βv Av = βu + αv [ α eli A [u v] = [u v] β ] β. α Tällöin ratkaisu voidaan kirjoittaa reaalisessa muodossa x(t) = d 1 e λt w + d 2 e λt w =... [ = e αt cos(βt) [u v] sin(βt) ] sin(βt) [u v] 1 c cos(βt) jollain (alkuehdosta määräytyvällä) vakiovektorilla c. 31 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Ratkaisusta [ x(t) = e αt cos(βt) [u v] sin(βt) ] sin(βt) [u v] 1 c cos(βt) nähdään, että jos kompleksiset ominaisarvot α ± βi ovatkin aidosti imaginaariset, eli α = 0, niin ratkaisu jää kiertämään kehää origon ympärille. Jos taas reaaliosat ovat positiiviset, ratkaisut etääntyvät origosta. Vastaavasti ominaisarvojen reaaliosien ollessa negatiiviset, ratkaisukäyrät lähestyvät origoa. 32 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Ratkaisut kulkevat spiraalimaisesti origosta poispäin. 33 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista Lineaarinen vakiokertoiminen DY Esimerkki 16 (Epästabiili fokus) [ ] 9 8 Matriisilla A = on kompleksinen ominaisarvopari 16 7 λ 1,2 = 1 ± 8i. Kompleksisten ominaisvektorien reaali- ja imaginaariosista muodostetut vektorit ovat u = [ 1 0 ] ja v = [ ] 1 2 ja yhtälön x (t) = Ax(t) ratkaisu on siis yleisesti [ ] [ x(t) = e t 1 1 cos(8t) 1 2 sin(8t) ] [ ] 1 sin(8t) 1 1 c. cos(8t) 1 2 Alkuarvon x(0) = (a 1, a 2 ) T toteuttavaksi ratkaisuksi saadaan [ ] x(t) = e t a 1 cos(8t) + (a 1 a 2 ) sin(8t). a 2 cos(8t) + (2a 1 a 2 ) sin(8t)

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Edellisen esimerkin ratkaisukäyrät kahdesta eri alkuarvosta lähtien. Systeemiä kutsutaan epästabiiliksi fokukseksi. A :n ominaisarvojen reaaliosat ovat positiiviset. x 2 1 0.5-1 -0.5 0.5 1 x 1-0.5-1 34 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Esimerkki 17 (Stabiili fokus) [ ] 3 2 Matriisilla A = on kompleksinen ominaisarvopari 1 1 λ 1,2 = 2 ± i ja ja vektorit u = [ 1 1 ] ja v = [ ] 1 0. Alkuarvotehtävän x (t) = Ax(t), x(0) = (a 1, a 2 ) T, ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa [ ] x(t) = e 2t a 1 cos t + ( a 1 + 2a 2 ) sin t. a 2 cos t + ( a 1 + a 2 ) sin t Tällä systeemillä ratkaisut kulkevat spiraalimaisesti origoon päin. Systeemiä kutsutaan stabiiliksi fokukseksi. Nyt A :n ominaisarvojen reaaliosat ovat negatiiviset. 35 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Edellisen esimerkin ratkaisukäyriä 11 eri alkuarvosta lähtien. Ratkaisut kulkevat spiraalimaisesti origoon päin. 1 x 2 0.5-1 -0.5 0.5 1 x 1-0.5 36 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista -1

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Huomaa, että tällä systeemillä Imλ / Reλ = 1/2 on paljon pienempi kuin edellisessä esimerkissä epästabiilille fokukselle, missä vastaava suhde oli 8. Tästä johtuen ratkaisut kiertävät vähemmän. Kerrataan sitten erilaiset tyyppitapaukset mahdollisimman yksinkertaisille matriiseille: 37 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Tyyppitapauksia yhtälöstä x = Ax avaruudessa R 2 : Nimi A x(t) Λ(A) Kuva Lähde [ ] 1 0 0 1 e t x(0) {1, 1} Nielu [ ] 1 0 0 1 e t x(0) { 1, 1} 38 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Nimi A x(t) Λ(A) Kuva Satula [ ] [ ] 1 0 e t 0 0 1 0 e t x(0) { 1, 1} Degener.lähde [ ] [ ] 1 1 e t te t 0 1 0 e t x(0) {1, 1} 39 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Nimi A x(t) Λ(A) Keskus [ 0 1 ] [ ] cos(t) sin(t) 1 0 x(0) { i, i} sin(t) cos(t) Epästab. fokus Stabiili fokus [ 1 1 ] 1 1 [ 1 1 ] 1 1 sin(t) sin(t) cos(t) e t [ cos(t) sin(t) sin(t) cos(t) e t [ cos(t) ] x(0) {1 ± i} ] x(0) { 1 ± i} 40 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Keskus Epästab. fokus Stabiili fokus 41 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Ratkaisujen luonne määräytyy siis A :n ominaisarvoista. Erityisesti: Reaaliset ominaisarvot: Ovatko positiiviset, negatiiviset vai erimerkkiset? Onko ei-triviaaleja Jordan lohkoja? Kompleksiset ominaisarvot: Onko reaaliosa positiivinen, negatiivinen vai nolla? 42 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Tarkemmin: Tarkastellaan yleistä 2 2 matriisia A. Tämän ominaisarvot saadaan yhtälöstä λ 2 (a 11 +a 22 )λ+a 11 a 22 a 12 a 21 = 0 eli λ 2 tr(a)λ+det(a) = 0, missä tr(a) = a 11 + a 22 on A :n jälki (trace) = A :n lävistäjäalkioiden summa = A :n ominaisarvojen summa ja det(a) = a 11 a 22 a 12 a 21 on A :n determinantti = A :n ominaisarvojen tulo. 43 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Ominaisarvot ovat siis λ 1,2 = 1 2 tr(a) ± 1 4 tr(a)2 det(a). Ominaisarvot ovat kompleksiset, kun diskriminantti D = 1 4 tr(a)2 det(a) on negatiivinen, muuten reaaliset. Ominaisarvo on kaksinkertainen, kun D = 0. Matriisin determinantin ja jäljen avulla voidaan siis luokitella yhtälön x (t) = Ax(t) ratkaisuiden käytöstä. Seuraava kuva pyrkii selittämään näiden yhteyksiä. Stabiili tarkoittaa tässä, että ratkaisut eivät pakene origosta. 44 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Ratkaisuiden luonne determinantin ja jäljen avulla: det(a) D=0 stabiili fokus epastabiili fokus D<0 nielu stabiili epastabiili lahde tr(a) D>0 satula 45 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Otetaan vielä yksi esimerkki, tällä kertaa avaruudessa R 3. Esimerkki 18 Tutki differentiaaliyhtälön x (t) = Ax(t) ratkaisuiden käyttäytymistä, kun 14 160 40 A = 181 5 2 96 84 18 46 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Ratkaisu: Matriisilla A on kompleksinen ominaisarvopari λ 1,2 = 6 ± 180i, joita vastaavia kompleksisia ominaisvektoreita kuvaavat reaaliset vektorit u = ( 1, 1, 1) ja v = (1, 1, 0), sekä yksi reaalinen ominaisarvo λ 3 = 3 ja vastaava ominaisvektori w = (0, 1, 4). Voidaan siis arvata, että ratkaisut lähestyvät origoa w:n suunnassa ja pyörivät u:n ja v:n määräämän ominaistason suunnassa. Yhtälö voidaa ratkaista esim. tekemällä A:lle Jordan-hajotelma ja laskemalla e At sen avulla. Alkuarvolla x(0) = (a 1, a 2 ) tehtävän ratkaisuksi x(t) = e At x(0) saadaan x(t) = [ a 1 e 6t ( cos(180t) sin(180t))+a 2 e 6t (cos(180t) sin(180t)) a 1 e 6t (cos(180t) sin(180t))+a 2 e 6t (cos(180t)+sin(180t)) a 3 e 3t e 6t (a 1 cos(180t)+a 2 sin(180t))+4a 3 e 3t ]. 47 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lineaarinen vakiokertoiminen DY Ratkaisut käyttäytyvätkin spiraalin tavoin: 48 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Stabiilisuus

Stabiilisuus Systeemin stabiilisuus on sovelluksissa usein päävaatimuksia. Määritelläänkin, mistä oikein on kyse. Piste p R n on systeemin x (t) = F(x(t)) tasapainotila, jos F(p) = 0. Tällöin vakio x(t) = p t on alkuarvotehtävän x(0) = p ratkaisu. Lineaarisella homogeenisella systeemillä x (t) = A(t) x(t) origo on aina tasapainotila: x(0) = 0 = x(t) = 0 kaikilla t. 49 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Stabiilisuus On oleellista tarkastella, miten muut ratkaisut käyttäytyvät. Pakenevatko ne pois tasapainopisteen läheisyydestä, pysyvätkö rajoitetulla etäisyydellä vai lähestyvätkö sitä? Määritellään lineaarisen systeemin stabiilisuus seuraavasti: Origo on stabiili tasapainotila, jos kaikille ratkaisuille pätee: sup t 0 x(t) <. Origo on asymptoottisesti stabiili, jos kaikille ratkaisuille pätee: lim t x(t) = 0. 50 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Stabiilisuus Esimerkki 19 Tarkastellaan edellisiä tyyppitapauksia. Nielulle ja stabiilille fokukselle origo on asymptoottisesti stabiili tasapainopiste. Keskukselle origo on stabiili tasapainopiste, mutta ei asymptoottisesti stabiili. Muissa tapauksissa (lähde, epästabiili fokus, satula) origo on epästabiili tasapainopiste. 51 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Stabiilisuus Yleisesti: Tasapainopistettä p kutsutaan stabiiliksi, jos jokaiselle ɛ > 0 on olemassa δ > 0 siten, että u B δ (p) = ψ(t, s, u) B ɛ (p) kaikilla t > 0. Ratkaisut siis pysyvät mielivaltaisen lähellä stabiilia tasapainopistettä, kunhan alkupiste on sitä riittävän lähellä. Tasapainopiste p on asymptoottisesti stabiili, jos edellisen lisäksi on olemassa p :n ympäristö B d (p) siten, että v B d (p) = lim ψ(t, s, v) = p, t eli kun riittävän läheltä lähtevät ratkaisut lähestyvät pistettä p. 52 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Linearisointi

Linearisointi Epälineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen käyttäytymistä voidaan tarkastella linearisoimalla ne tasapainopisteiden ympäristössä. Perusajatus on yksinkertainen: korvataan F(x(t)) sen ensimmäisen kertaluvun approksimaatiolla F(x p) DF(p)(x p), kun F(p) = 0. Tässä on F:n Jacobin matriisi. F 1 x 1... DF(p) =. F n x n... F 1 x n F n x n Rn n 53 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Linearisointi Nyt kuvauksen F : U R n jatkuvasta derivoituvuudesta seuraa, että linearisoitu systeemi y (t) = Ay(t), A = DF(p), y(t) = x(t) p, käyttäytyy origon lähellä suurin piirtein samalla tavalla kuin alkuperäinen systeemi tasapainopisteen p lähellä. 54 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Linearisointi Lause 20 Olkoon F : U R n jatkuvasti derivoituva ja olkoon p U systeemin x (t) = F(x(t)) tasapainopiste. Jos matriisin DF(p) kaikki ominaisarvot ovat reaaliosaltaan negatiivisia, niin p on asymptoottisesti stabiili. Jos matriisilla DF(p) on reaaliosaltaan positiivinen ominaisarvo, niin p on epästabiili. Muissa tapauksissa DF(p):n tarkastelu ei riitä, koska vektorikentän F(x) Taylorin kehitelmän korkeamman asteen termit ratkaisevat tilanteen. 55 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Linearisointi Esimerkki 21 Systeemillä [ x 1 x 2 ] = [ 2 x 1 + x 2 2 x 1 + x 2 ] on origon p = (0, 0) lisäksi tasapainopiste q = (2, 2). Nyt Df(x) = [ ] [ 2 2x 2 1 1. Origossa Df(p) = 2 0 ] 1 1 ja tällä on ominaisparit ( 2, [ 1 3 ]) ja (1, [ 0 1 ]).Täten ratkaisut lähestyvät origoa likipitäen suunnasta ± [ 1 3 ] ja poistuvat likipitäen x 2 akselia pitkin. Pisteessä q = (2, 2) saadaan linearisointi matriisilla Df(q) = [ 2 4 1 1 ], jolla on kompleksiset ominaisarvot 1 2 ± i 7 2. Täten q on asymptoottisesti stabiili ja ratkaisut lähestyvät sitä pyörien. 56 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Linearisointi Edellisen esimerkin vektorikenttä f sekä muutamia ratkaisukäyriä. q p 57 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Linearisointi Linearisoinnin avulla voidaan siis hahmotella systeemin globaalia kvalitatiivista käytöstä. Ajatuksena on piirtää tasapainopisteiden lähelle vastaavien linearisoitujen systeemien ratkaisukäyriä ja sovittaa nämä yhteen tasapainopisteiden välimaastossa siten, että ratkaisukäyrät eivät leikkaa toisiaan. 58 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Heiluri Tarkastellaan vielä yhtä esimerkkiä, itse asiassa sitä, josta aloitimme koko differentiaaliyhtälösysteemien osuuden: Esimerkki 22 [ ] Tutki heilurisysteemin x 1 (t) = L x 2(t) g sin(x 1 (t)) käyttäytymistä. ratkaisuiden 59 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Heiluri Ratkaisu: Systeemin tasapainopisteet ovat (x 1, x 2 ) = (kπ, 0), k Z. Parillista k:ta vastaavat tasapainopisteet merkitsevät fysikaalisesti kaikki samaa: heiluri roikkuu levossa alaspäin. Parittomat k:t vastaavat pystysuoraan ylöspäin tasapainoilevaa heiluria. 2π-erot laskevat vain pyörähdyskierroksia. [ ] 1 0 Nyt DF(x) = L, joten tasapainopisteissä g cos(x 1 ) 0 [ ] 1 0 DF(2jπ, 0) = L g 0 [ ] 1 0 ja DF((2j + 1)π, 0) = L. g 0 60 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Heiluri Ominaisarvot ovat vastaavasti λ 1,2 = ±i g L ja λ 1,2 = ± g L. Paritonta k:n arvoa vastaavissa tasapainopisteissä Jacobin matriisilla on siis reaaliosaltaan positiivinen ominaisarvo, joten nämä tasapainopisteet ovat epästabiileja. Kun k on parillinen, ominaisarvot ovat puhtaasti imaginaariset. Tuloksemme ei siis riitä vielä sanomaan stabiilisuudesta mitään. Tarkastelemalla energian säilymistä ala-asento voidaan kuitenkin osoittaa stabiiliksi, mutta ei asymptoottisesti stabiiliksi (harjoitustehtävä). Nämä tasapainopisteet käyttäytyvät siis keskuksen tavoin. 61 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Heiluri Alla on esitetty muutamia ratkaisukäyriä. Huomaa erityisesti epästabiilista tasapainopisteestä toiseen kulkevat ratkaisut. 62 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Heiluri Jos otamme myös ilmanvastuksen huomioon voimana, joka on verrannollinen nopeuteen, systeemi saa muodon θ (t) = 1 L v(t), v (t) = g sin(θ(t)) αv(t), [ ] 1 eli f(x) = L x 2. Nyt tasapainopisteissä g sin(x 1 ) αx 2 [ ] 1 0 DF(2jπ, 0) = L g α ja DF((2j + 1)π, 0) = ( Ominaisarvot ovat nyt vastaavasti λ 1,2 = α 2 ± α 2 ( λ 1,2 = α 2 ± α ) 2 2 + g L. [ ] 1 0 L. g α ) 2 g L ja 63 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Heiluri Täten paritonta k:n arvoa vastaavat tasapainopisteet ovat edelleen epästabiileja, kun taas parillista k:ta vastaa reaaliosiltaan negatiiviset ominaisarvot, ja nämä tasapainopisteet ovat asymptoottisesti stabiileja. Itse asiassa tälle systeemille pätee, että kaikki ratkaisut lähestyvät jotakin tasapainopistettä, ja suurin osa ratkaisuista päätyy stabiiliin tasapainopisteeseen. 64 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Heiluri Alla on esitetty muutamia ilmanvastuksen huomioivan heilurisysteemin ratkaisukäyriä. Suurin osa ratkaisuista päätyy stabiiliin tasapainopisteeseen. 65 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Matlab-esimerkki Pelataan lopuksi vielä vähän diffisyhtälösysteemin avulla toteutettua marmorikuulapeliä Matlabilla. **** Kurssi päättyy tähän, kiitos kaikille! 66 / 66 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista