Tutkielma tasavireisestä, pythagoralaisesta ja diatonisesta sävelasteikosta Teuvo Laurinolli (8.2.2015) Johdanto Tarkastelemme sävelkorkeuksia (värähdystaajuuksia) yhden oktaavin alueella (esim. C1... C2). Jos alarajan (esim. perussävelen C1) korkeus on f, niin oktaavin määritelmän mukaan ylärajan (C2) korkeus on 2f. Tässä merkitsemme oktaavin ala- ja ylärajaa luvuilla 1 ja 2. Kyseiselle oktaavialalle sijoittuvat sävelkorkeudet merkitsemme vastaavasti luvulla xf, missä 1 x 2. Musisointia varten oktaavialalle on asetettava sopivin välein joitakin jakopisteitä (eli nuotteja), joista muodostuu sävelasteikko. Tässä tarkastelemme aluksi kahta historiallisesti vakiintunutta kromaattista sävelasteikkoa: tasavireistä ja pythagoralaista. Lopuksi tutkimme tavallista diatonista asteikkoa. Tasavireinen asteikko Tasavireinen asteikko saadaan muodostamalla matemaattisesti kolmentoista luvun 1 = p!, p!, p!, p!, p!, p!, 6, p!, p!, p!, p!", p!!, p!" = 2 geometrinen jono, joka alkaa oktaavin alarajasta 1 ja päättyy ylärajaan 2. Asteikon seuraava jakopiste (sävelkorkeus) saadaan aina edellisestä kertoimella p, jota historiallisista syistä kutsutaan puolisävelaskeleeksi. Kertoimen p lukuarvo voidaan ratkaista yhtälöstä p!"!" = 2, josta p = 2 2!!" 1,059463. Kun piano viritetään tasavireisesti (kuten tapana on), niin esim. oktaavialalla C1 = 262 Hz... C2 = 523 Hz olevien koskettimien säveltaajuudet ovat taulukon 1 mukaiset. = k p! p! 262 Tunnus k p! p! 262 Tunnus 0 1 262 C1 7 1,49831 392 G 1 1,05946 277 Db 8 1,58740 415 Ab 2 1,12246 294 D 9 1,68179 440 A 3 1,18921 311 Eb 10 1,78180 466 B 4 1,25992 330 E 11 1,88775 494 H 5 1,33484 349 F 12 2 523 C2 6 1,41421 370 F# Taulukko 1. Tasavireisen asteikon jakopisteet (nuotit) oktaavialalla C1... C2 puolisävelaskeleen välein. Merkki tarkoittaa, että säveltä vastaa pianon musta kosketin. Pythagoralainen asteikko Tasavireinen asteikko on musiikin historiassa uusi tulokas. Paljon sitä vanhempia ovat kuuloaistimuksella havaittuun harmoniaan perustuvat asteikot, joista tunnetuimman arvellaan olevan itsensä Pythagoraan (582-496 eaa) kehittelemä. Hän havaitsi, että sävelet, joiden korkeuksien suhde eli intervalli voidaan ilmaista pienillä kokonaisluvuilla, soivat harmonisesti 1
yhteen. Niinpä hän perustikin asteikkonsa priimin (1:1) ja oktaavin (2:1) jälkeen1 harmonisimpaan intervalliin, ns. puhtaaseen kvinttiin (3:2). Jos merkitsemme oktaavin ala- ja ylärajan sävelkorkeuksia jälleen luvuilla 1 ja 2, niin pythagoralaisen puhtaan asteikon ensimmäinen jakopiste saadaan siirtymällä alarajalta 1 kvintin verran ylöspäin kertolaskulla 1 3 2 = 3 2 = 1,5. Taulukosta 1 näemme, että tämä piste on hyvin lähellä tasavireisen asteikon G-pistettä 1,49831. Pythagoralaisella asteikolla nimeämme siis pisteen 3/2 (puhtaaksi) säveleksi G. Toinen jakopiste saadaan siirtymällä edellisestä taas kvintin verran ylöspäin kertolaskulla G 3 2 = 3 2 3 2 = 9 4 = 2,25. Mutta tämä piste menee oktaavialamme yli, joten palautamme sen oktaavia alemmaksi ( =) jakolaskulla 9 4 = 9 4 2 = 9 8 = 1,125. Vertaamalla taulukkoon 1 nimeämme tämän pythagoralaisen puhtaan asteikon säveleksi D. Jatkamalla kvinttihyppyjä ylöspäin ja suorittamalla tarvittaessa palauttamisen alaspäin ( =) perusoktaavialallemme saamme puhtaat arvot sävelille A, E, H ja F#. 3. yläkvintti: D 3 2 = 9 8 3 2 = 27 16 = 1,6875 (A), 4. yläkvintti: A 3 2 = 27 16 3 2 = 81 32 = 81 64 = 1,26563 (E), 5. yläkvintti: E 3 2 = 81 64 3 2 = 243 128 = 1,89844 (H), 6. yläkvintti: H 3 2 = 243 128 3 2 = 729 256 = 729 512 = 1,42383 F#. Jatkaminen pidemmälle ylöspäin tuottaisi niin suuria lukuja, ettei harmonia enää voisi havaita. Siksi etsimmekin muiden taulukossa 1 esiintyvien sävelten vastineet tekemällä kvinttihyppyjä perussävelestä 1 alaspäin käyttämällä käänteistä kerrointa 2/3. Tarvittaessa siirrämme saadun pisteen ylöspäin = perusoktaavialallemme kertoimella 2. 1. alakvintti: C 2 3 = 1 2 3 = 2 3 = 4 3 1,33333 (F), 2. alakvintti: F 2 3 = 4 3 2 3 = 8 9 = 16 9 1,77778 (B), 3. alakvintti: B 2 3 = 16 9 2 3 = 32 27 1,18519 (Eb), 4. alakvintti: Eb 2 3 = 32 27 2 3 = 64 81 = 128 81 1,58025 (Ab), 5. alakvintti: Ab 2 3 = 128 81 2 3 = 256 243 1,0535 (Db), Näin olemme löytäneet puhtaisiin kvintti-intervalleihin perustuvat vastineet kaikille taulukossa 1 esitetyille tasavireisen asteikon jakopisteille. Huomaa, että mustalle koskettimelle osuvan sävelpisteen nimeksi on ylöspäin kiivettäessä valittu ylennysmerkillinen (F#) ja alaspäin kavutessa alennusmerkillinen (B=Hb, Eb, Ab, Db) vaihtoehto noudattaen ns. kvinttiympyrän vakiintunutta merkintätapaa. 1 Priimi- ja oktaavi- intervallit eivät tuota oktaavialalle muita jakopisteitä kuin ala- ja ylärajan. 2
Taulukossa 2 on vielä vertailu puhtaan pythagoralaisen ja tasavireisen asteikon vastaavista jakopisteistä. Taulukon näkökulman mukaan pythagoralaiset murtolukuarvot ovat oikeita ja tasavireiset niiden approksimaatioita, joiden prosentuaalinen virhe on viimeisessä sarakkeessa. Tunnus Puhdas Tasavireinen Ero % C 1 1 0 Db 256/243 1,05946 +0,57 D 9/8 1,12246 0,23 Eb 32/27 1,18921 +0,34 E 81/64 1,25992 0,45 F 4/3 1,33484 +0,11 F# 729/512 1,41421 0,68 G 3/2 1,49831 0,11 Ab 128/81 1,58740 +0,45 A 27/16 1,68179 0,34 B 16/9 1,78180 +0,23 H 243/128 1,88775 0,56 C 2 2 0 Taulukko 2. Puhtaan pythagoralaisen asteikon (jakopisteet murtolukuarvoja) ja tasavireisen asteikon (jakopisteet ala- ja ylärajaa lukuunottamatta irrationaalilukuja) vertailu. Tasavireiseen asteikkoon verrattuna pythagoralaisen asteikon etuna on kokonaislukusuhteisiin perustuvien intervallien puhtaampi harmonia. Haittana on, etteivät pythagoralaisen asteikon peräkkäisten nuottien väliset suhdeluvut (pythagoralaiset puoliaskeleet) ole keskenään samansuuruisia, sillä asteikolla esiintyy kahta erisuuruista puoliaskelta p! ja p!. Taulukon 2 mukaan ensimmäistä Pythagoraan puoliaskelta C Db vastaa suhdeluku p! = Db C = 256 243 1 = 256 243 1,0535. Vastaavasti toista Pythagoraan puoliaskelta Db D vastaa suhdeluku p! = D Db = 9 8 256 243 = 2187 2048 1,06787. Huomaamme, että p! p!. 3
Alla olevaan taulukkoon 3 on merkitty pythagoralaisen asteikon puoliaskeleet (niitä vastaavat suhdeluvut, ylemmän suhde alempaan). C1 Db D Eb E F F# G Ab A B H C2 p! p! p! p! p! p! p! p! p! p! p! p! Taulukko 3. Ylärivillä oktaavivälillä C1-C2 olevat peräkkäiset nuotit ja alarivillä niiden väliset väliset puoliaskeleet p! ja p! pythagoralaisella asteikolla. Tasavireisellä asteikollahan kaikki peräkkäisten jakopisteiden väliset puoliaskeleet ovat!" samansuuruisia. Jokaisen puoliaskeleen suhdeluku p = 2 1,059463. Musiikissa transponointi eli sävellajin muuttaminen tarkoittaa sitä, että melodia soitetaan alkuperäistä nuotinnusta korkeammalta tai matalammalta. Tasavireisellä asteikolla transponointi käy helposti: alkuperäiset nuotit (niiden sävelkorkeudet) vain kerrotaan transponointitekijällä eli luvulla p!, missä k on haluttua sävelkorkeuden muutoksen puoliaskelmäärää osoittava kokonaisluku. Jos sävelkorkeutta nostetaan, niin k > 0; jos lasketaan, niin k < 0. Jos esimerkiksi C-duuriin kirjoitettu sävelmä transponoidaan kaksi puoliaskelta korkeammalle eli D-duuriin, niin transponointitekijä on p! 1,12246. Tällä tekijällä kertominen nostaa sävelen C säveleksi D (eli C D) ja kaikki muutkin nuotit siirtyvät kaksi puoliaskelta ylemmille pianon koskettimille (esim. F G ja F# Ab) ilman, että pianoa tarvitsee virittää uudelleen. Pythagoralaisella asteikolla vastaava transponointitekijä C:stä D:hen on taulukon 3 mukaan p! p! = 256 243 2187 2048 = 9 8, jolloin nuotti F = 4/3 transponoituu nuotiksi F 9 8 F = 9 8 4 3 = 3 2 = G aivan kuten tasavireiselläkin asteikolla. Sensijaan nuotti F# = 729/512 transponoituu nuotiksi F# 9 8 F# = 9 8 729 512 = 6561 4096 1,60181, joka ei nyt osukaan täsmälleen nuotin Ab = 128/81 1,58025 kohdalle. Jos siis pianon koskettimet olisi viritetty pythagoralaisen asteikon mukaisesti, niin sävellajin muutos 4
C D vaatisi pianon virittämistä uudelleen, mikäli intervallit halutaan säilyttää puhtaina. Diatoninen asteikko Diatoninen asteikko saadaan jättämällä kromaattisesta 12 askeleen asteikosta pois pianon mustia koskettimia vastaavat sävelet Db, Eb, F#, Ab, B. Asteikko koostuu siis pianon valkoisia koskettimia vastaavista sävelistä C, D, E, F, G, A, H, joille on annettu myös tavunimet do, re, mi, fa, sol, la, ti. Taulukossa 4 ovat diatonisen asteikon C1 - C2 sävelkorkeudet pythagoralaisella puhtaalla asteikolla ja tasavireisellä asteikolla Tunnus Puhdas as Tasavireinen asteikko Ero % C 1 p! = 1 0 D 9/8 1,12500 p! = 1,12246 0,23 E 81/64 1,26563 p! = 1,25992 0,45 F 4/3 1,33333 p! = 1,33484 + 0,11 G 3/2 = 1,5 p! = 1,49831 0,11 A 27/16 = 1,68750 p! = 1,68179 0,34 H 243/128 = 1,89844 p!! = 1,88775 0,56 C 2 p!" = 2 0 Taulukko 4. Pianon valkoisia koskettimia vastaava diatoninen sävelasteikko. Luvut ilmaisevat sävelen korkeuden suhteessa perussäveleen (tässä C). Diatonisessa asteikossa peräkkäisten sävelten väliset askeleet eroavat merkittävästi. Seitsemästä askeleesta viisi on kokoaskeleita (C D, D E, F G, G A ja A H) ja kaksi puoliaskeleita (E F ja H C).!" Tasavireisellä asteikolla puoliaskelta vastaa kerroin p = 2 p!! = 2 1,12246. 1,05946 ja kokoaskelta kerroin Pythagoralaisella puhtaalla asteikolla puoliaskelta vastaa kerroin 256/243 1,0535 ja kokoaskelta kerroin 9/8 1,125. * * * * * * * 5