Erityisiä mallinnustekniikoita

Samankaltaiset tiedostot
Matemaattisesta mallintamisesta

Dynaamisten systeemien teoriaa. Systeemianalyysilaboratorio II

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt

Matemaattisesta mallintamisesta

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

v AB q(t) = q(t) v AB p(t) v B V B ṗ(t) = q(t) v AB Φ(t, τ) = e A(t τ). e A = I + A + A2 2! + A3 = exp(a D (t τ)) (I + A N (t τ)), A N = =

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1

1 Perusteita lineaarisista differentiaaliyhtälöistä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

Luento 11: Rajoitusehdot. Ulkopistemenetelmät

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Numeeriset menetelmät

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

DEE Sähkötekniikan perusteet

3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset

Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Tehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I

Hamiltonin formalismia

Varatun hiukkasen liike

Kertausta: Vapausasteet

Mat Työ 1: Optimaalinen lento riippuliitimellä

TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio. Mat Systeemien Identifiointi. 4. harjoitus

Ei-inertiaaliset koordinaatistot

Määritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

FYSA2031 Potentiaalikuoppa

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

Värähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.

Differentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaiseminen

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Tfy Fysiikka IIB Mallivastaukset

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Kokonaislukuoptimointi

KKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.

1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

Luento 14: Periodinen liike, osa 2. Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F t F r

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

Varatun hiukkasen liike

12 Jatkuva-aikaisten tehtävien numeerinen ratkaiseminen

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö

Dynaamiset regressiomallit

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 4. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

k=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu

Avaruuden R n aliavaruus

Insinöörimatematiikka D

Klassisen mekaniikan muotoilu symplektisen geometrian avulla

Klassisen mekaniikan historiasta

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

[4A] DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 1. Alkuarvotehtävät

1 Di erentiaaliyhtälöt

Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt

Numeeriset menetelmät

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Harjoitus 6: Simulink - Säätöteoria. Syksy Mat Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ

(s 2 + 9)(s 2 + 2s + 5) ] + s + 1. s 2 + 2s + 5. Tästä saadaan tehtävälle ratkaisu käänteismuuntamalla takaisin aikatasoon:

Jos siis ohjausrajoitusta ei olisi, olisi ratkaisu triviaalisti x(s) = y(s). Hamiltonin funktio on. p(0) = p(s) = 0.

Lineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi

Matemaattinen Analyysi

Iteratiiviset ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

DYNAMIIKKA II, LUENTO 7 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu

1.4 Funktioiden kertaluokat

Kanta ja dimensio 1 / 23

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Mat Systeemien identifiointi, aihepiirit 1/4

BM20A1501 Numeeriset menetelmät 1 - AIMO

6 Variaatiolaskennan perusteet

Katso Opetus.tv:n video: Kirchhoffin 1. laki

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 3. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 3 () Numeeriset menetelmät / 45

Säätötekniikkaa. Säätöongelma: Hae (mahdollisesti ulostulon avulla) ohjaus, joka saa systeemin toimimaan halutulla tavalla

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

Transkriptio:

Erityisiä mallinnustekniikoita Suppea katsaus Bond-graafeihin Lagrangen differentiaalis-algebrallisiin yhtälöihin (Lagrangian DAEs) Taustalla analyyttinen systeemidynamiikka: Paynter 1961: Analysis and Design of Engineering Systems Layton, 1998: Principles of Analytic System Dynamics Palmroth & Piché (TTKK) 20sim-ohjelmisto (university of Twente)

Bond-graafit Suunnattuja graafeja, jotka kuvaavat tehon ja informaation virtoja teho = informaatio = Intensiteettimuuttujan kerääntyminen (esim. kondensaattoriin kertyvä jännite) e(t)= 1/β f(τ)dτ (lineaarinen): e C : β f Virtamuuttujan kerääntyminen, f(t)=1/α e(τ)dτ e f I : α

Bond-graafit Resistiiviset elementit, e(t)=h(f(t)): Lähteet: S e e f Yhdistäminen: solmupisteet Sarjaankytkentä = s-solmu: virtaukset samoja, intensiteettien summa = 0 merkintänä myös 1 huom. merkkisopimukset Rinnankytkentä = p-solmu: intesiteetit samoja, virtausten summa =0 Merkintänä myös 0 S f e f e f R : e=h(f)

Bond-graafit: muuntajat ja gyraattorit Muuntaja huom. eri puolilla voi olla eri sovellusala e1 f1 TR r Gyraattori: laite jossa intensiteetit ja virrat riippuvat toisistaan ristikkäin: e2=rf1, f2=1/r e1 esim. sähkömoottori: sähköenergian muuttuminen pyörimisenergiaksi e2 f2 e1 f1 GY r e2 f2

Kausaliteetti Tarkastellaan kahta osasysteemiä: e A B f On päätettävä, kumpi muuttujista e ja f aiheuttaa toisen jos e on A:n ulostulo ja B:n sisäänmeno, aiheuttaa se f:n jos taas toisinpäin, f aiheuttaa e:n On päätettävä muuttujien kausaliteetti Merkintä: e aiheuttaa f:n (ja on B:n input) A => lähteiden kausaalisuus on selvä: S e e f e f B S f f aiheuttaa e:n (ja on B:n input) A e f e f B

...Kausaalisuus Kerääntymisen kausaalisuus: intensiteettimuuttujan kerääntyessä sisäänmeno on intensiteettimuuttuja virtamuuttujan kerääntyessä päinvastoin Resistiivisille elementeille yhdentekevä Sarjakytkentäsolmu: n-1 intensiteettiä määrittelevät yhden intensiteetin n-1 kausaalisuusmerkkiä solmussa Rinnankytkentäsolmu: 1 virta määrittelee muut virrat 1 kausaalisuusmerkki solmussa Muuntajat ja gyraattorit: konsistentti valinta

Algoritmi kausaalisuuden määrittämiseen 1. Valitse jokin lähde ja merkitse sen kausaalisuus 2. Merkitse graafin 1-käsitteiset kausaalisuudet 3. Toista 1-2 kaikille lähteille 4. Valitse I- tai C-elementti ja merkitse sen kausaliteetti 5. Merkitse graafin 1-käsitteiset kausaalisuudet 6. Toista kaikille I- ja C-elementeille 7. Valitse R-elementti, jolla ei ole vielä kausaliteettia ja kiinnitä kausaliteetti sopivasti 8. Merkitse graafin 1-käsitteiset kausaalisuudet 9. Toista 7-8 kaikille R-elementeille

Miksi tämä kaikki? Keino varmistua mallin oikeellisuudesta Keino muodostaa tilayhtälöt automaattisesti mallintamisen automatisointi 1. Tilojen valinta: - intensiteettiä keräävissä elementeissä (C) virta x=f, dx/dt=e - virtaa keräävissä elementeissä (I) intensiteetti x=e, dx/dt=f 2. Tilayhtälöiden muodostaminen - ilmaistava C-elementtien virrat ja I-elementtien intensiteetit tilojen ja sisäänmenojen funktioina - Koska I-elementtien virrat ja C-elementtien intesiteetit tunnetaan, voidaan niitä pitää virta- ja intensiteettilähteinä! - kausaliteetit ilmaisevat mallin oikeellisuuden ja sen mitkä ovat lähteiden sisäänmenoja ja ulostuloja

Lisähuomioita Tässä esitetty teorian perusteet esim. vain suureiden kertymiset kytkeneet vain 2 muuttujaa kerrallaan Sähköisille ja mekaanisille systeemeille olemassa systemaattinen bond-graafimallinnustapa (app. 6.12) Graafien suureet voivat olla vektoriarvoisia Yksinkertaisia lämpöopillisia ongelmia voidaan käsitellä pitämällä muuttujina lämpövirtaa ja tilaa yleisesti virtausmuuttujana on pidettävä entropiamuutosta

Lagrangen DAEt Esimerkki: heiluri Liikeyhtälöt ilman lankaa: Rajoitus: x 2 +y 2 =l 2 => liikeyhtälöt x& = v y& = mv& mv& x y v x y = 0 = mg x& = y& = mv& mv& x 2 x y + v v x y + 2xλ = + 2yλ = y 2 = l 2 0 mg g y θ l m Differentiaalisalgebrallinen yhtälö (DAE) x

Mitä tapahtui? Newtonin mekaniikka: F=ma kaikille kappaleille luonnollisissa koordinaateissa => tilayhtälöt (ODE) tukivoimat eksplisiittisesti mukana Lagrangen mekaniikka: valitse (vapausasteiden määräämät) yleistetyt koordinaatit Kirjoita Lagrangen funktion Eulerin yhtälö, lisää virtuaalinen työ => tilayhtälöt (ODE) tukivoimat häviävät Modifioitu Lagrangen mekaniikka: F=ma kaikille kappaleille luonnollisissa koordinaateissa rajoitteet mukaan Lagrangen funktioon Lagrangen kertoimilla Eulerin yhtälö => tilayhtälöt (DAE) tukivoimat = Lagrangen kertoimet

... Lagrangen mekaniikassa rajoitutaan implisiittisesti vapausasteiden määräämälle monistolle luonnolliset koodinaatit lasketaan takaperin Modifioidussa Lagrangen mekaniikassa monisto ja liike sillä ilmaistaan eksplisiittisesti rajoittein ASD: Yleistyy myös muuhun kuin mekaniikkaan myös virtausrajoituksiin tukivoiman tulkinta saatetaan menettää

LDAE Mallinnuskehikko DAE solution methods Lagrangian formalism System Dynamics (Domain unification) Analytical Dynamics (Classical results) ASD Modular modeling

ASD-muuttujat Effort e Flow f Displacement q Momentum p force F velocity v position x lin. momentun p torque τ ang.vel ω angle θ ang. momentum H voltage e current i charge q flux linkage λ pressure p volume rate Q volume V pressure momentum pp temperature T entropy rate ds/dt entropy S -

Muuttujaparit Tehomuuttujat: intensiteetti e, virta f, e x f = teho käsitelty Energiamuuttujat liikemäärä p, paikka q d/dt p = e Newton (dp/dt = F), Euler (dh/dt = τ) Faraday (dλ/dt = e) d/dt q = f virta on paikan aikaderivaatta

Energian muuntuminen lever Electromagnetic thermoelectric, losses Thermal Electrical transformer bimetallic, losses piezoelectric, magn.strictive motor, generator electrohydraulic, magn.hydraulic Translational hydr. cylinder rack -pinion cam -follower pump, turbine Rotational losses gear fluid boiler, losses Thermal fluid transformer

Rajoitteet paikkarajoitteet: φ(q,t)=0 esim. heiluri Virtarajoitteet Ψ(f,q,t)=0 (oletetaan lineaarisiksi f:n suhteen) esim. virtapiirien tai hydrauliikan kytkennät

Deskriptorimuoto Mf& + Φ T q ( q, t) κ γ = intensiteetit (input): ulkoiset voimat kitkavoimat yms. + Ψ T f ( q, Ψ( q& f, t) µ = = γ Φ( q, t) = f, q, t) = f, 0, 0, dim M = inertiainformaatio, nxn matriisi κ ja µ Lagrangen kerroinvektorit Φ q ja Ψ q rajoitteiden Jacobin matriisit (nxm 1,nxm 2 ) 2n+m 1 +m 2 tuntematonta kullakin t, 2n+m 1 +m 2 yhtälöä => ok Systemaattinen tapa tuottaa malli sovellusalasta riippumatta n m m 1 2 ; = n

Modulaarinen mallintaminen Deskriptorimuoto voidaan ilmaista muodossa M(q,f)=0 Systeemin sisäiset muuttujat kätketty Mallinnusidea: mallinnetaan komponentit erikseen: M i (q i,f i )=0 Kytketään komponentit malliksi rajoitteilla M 1 (q 1,f 1 )=0 Φ(q 1,q 2 )=0 Ψ(q 1,q 2,f 1,f 2 )=0 M 2 (q 2,f 2 )=0 M i (q i,f i )=0...

Differentiaalis-algebralliset yhtälöt Muotoa F(x,x,t)=0, df/dx singulaarinen semieksplisiittinen: x =f(x,t); g(x,t)=0 Hessenberg index-3: x =f(x,y,z,t);y =g(x,y,t);h(t,y)=0 Useita eroja dy:ihin verrattuna: vapausasteet: m yhtälöä, 0<=l<=m vapausastetta alkutilan konsistenssi: mielivaltainen alkutila ei toteuta DAEa (usein ei-triviaali ongelma) kätketyt rajoitteet: jos g(x(t))=0 kaikilla t, on oltava myös dg/dt=0, d 2 g/dt 2 =0,...

DAE:n indeksi Tärkeä käsite DAE:n ja ratkaisumenetelmien luokittelussa Useita yhtäpitäviä määritelmiä, yksinkertaisin: montako kertaa DAEa pitää derivoida, että kaikkien muuttujien aikaderivaatta saadaan laskettua Esim. mekaniikassa algebrallisia muuttujia ovat Lagrangen kertoimet: paikkarajoituksia on derivoitava 3 kertaa => index 3-DAE /DAE indeksiä 3 DY:t ovat indeksiä 0 (algebralliset yhtälöt indeksiä 1) Indeksi on indikaatio ratkaisemisen helppoudesta yli 3:n indeksi teennäinen indeksin pienentäminen, esim. Gear-Gupta-Leimkuhler

Ratkaisumenetelmistä Kaksi lähestymistapaa 1. eliminoidaan algebralliset muuttujat => DYS + invariantti 2. Ratkaistaan DAE sellaisenaan (suorat menetelmät) 1. Algebrallisten muuttujien eliminointi tarkastellaan Hessenberg index-2 DAEa derivoidaan rajoitteet ajan suhteen kunnes saadaan eliminoitua algebralliset yhtälöt => saadaan DYS + invariantti invariantti = alkup.rajoitus + sen aikaderivaatat jos alkutila on konsistentti, invariantti pysyy teoriassa vakiona Käytännössä ei toimi, numeeriseen virheen takia ajautuu ulos monistolta (nopeasti) Tarvitaan stabilointi

ODE:n stabilointi Baumgarten (1972) stabilointi: lisätään eliminoituun muotoon termit jotka tekevät niistä asymptoottisesti stabiilin periaatteessa toimiva, käytännössä jotenkuten Jälkistabilointi (post-stabilization, esim. Ascher & Petzold 1998): integroidaan eliminoitua muotoa ja projisoidaan ratkaisu invariantille

2. Suorat ratkaisumenetelmät Implisiittinen integrointi; implisiittinen Euler: F(y,y,t)=0 => Ratkaistaan y n yhtälöstä F(y n,(y n -y n-1 )/h,t n )=0 epälineaarinen yhtälöryhmä joka askelella Korkeamman kertaluvun Runge-Kutta- ja moniaskelmenetelmät eivät toimi kaikille ongelmille Lupaava lähestymistapa semi-implisiittiset Runge-Kutta - menetelmät: ratkaistaan linearisoitu yhtälöryhmä joka askelella