Erityisiä mallinnustekniikoita Suppea katsaus Bond-graafeihin Lagrangen differentiaalis-algebrallisiin yhtälöihin (Lagrangian DAEs) Taustalla analyyttinen systeemidynamiikka: Paynter 1961: Analysis and Design of Engineering Systems Layton, 1998: Principles of Analytic System Dynamics Palmroth & Piché (TTKK) 20sim-ohjelmisto (university of Twente)
Bond-graafit Suunnattuja graafeja, jotka kuvaavat tehon ja informaation virtoja teho = informaatio = Intensiteettimuuttujan kerääntyminen (esim. kondensaattoriin kertyvä jännite) e(t)= 1/β f(τ)dτ (lineaarinen): e C : β f Virtamuuttujan kerääntyminen, f(t)=1/α e(τ)dτ e f I : α
Bond-graafit Resistiiviset elementit, e(t)=h(f(t)): Lähteet: S e e f Yhdistäminen: solmupisteet Sarjaankytkentä = s-solmu: virtaukset samoja, intensiteettien summa = 0 merkintänä myös 1 huom. merkkisopimukset Rinnankytkentä = p-solmu: intesiteetit samoja, virtausten summa =0 Merkintänä myös 0 S f e f e f R : e=h(f)
Bond-graafit: muuntajat ja gyraattorit Muuntaja huom. eri puolilla voi olla eri sovellusala e1 f1 TR r Gyraattori: laite jossa intensiteetit ja virrat riippuvat toisistaan ristikkäin: e2=rf1, f2=1/r e1 esim. sähkömoottori: sähköenergian muuttuminen pyörimisenergiaksi e2 f2 e1 f1 GY r e2 f2
Kausaliteetti Tarkastellaan kahta osasysteemiä: e A B f On päätettävä, kumpi muuttujista e ja f aiheuttaa toisen jos e on A:n ulostulo ja B:n sisäänmeno, aiheuttaa se f:n jos taas toisinpäin, f aiheuttaa e:n On päätettävä muuttujien kausaliteetti Merkintä: e aiheuttaa f:n (ja on B:n input) A => lähteiden kausaalisuus on selvä: S e e f e f B S f f aiheuttaa e:n (ja on B:n input) A e f e f B
...Kausaalisuus Kerääntymisen kausaalisuus: intensiteettimuuttujan kerääntyessä sisäänmeno on intensiteettimuuttuja virtamuuttujan kerääntyessä päinvastoin Resistiivisille elementeille yhdentekevä Sarjakytkentäsolmu: n-1 intensiteettiä määrittelevät yhden intensiteetin n-1 kausaalisuusmerkkiä solmussa Rinnankytkentäsolmu: 1 virta määrittelee muut virrat 1 kausaalisuusmerkki solmussa Muuntajat ja gyraattorit: konsistentti valinta
Algoritmi kausaalisuuden määrittämiseen 1. Valitse jokin lähde ja merkitse sen kausaalisuus 2. Merkitse graafin 1-käsitteiset kausaalisuudet 3. Toista 1-2 kaikille lähteille 4. Valitse I- tai C-elementti ja merkitse sen kausaliteetti 5. Merkitse graafin 1-käsitteiset kausaalisuudet 6. Toista kaikille I- ja C-elementeille 7. Valitse R-elementti, jolla ei ole vielä kausaliteettia ja kiinnitä kausaliteetti sopivasti 8. Merkitse graafin 1-käsitteiset kausaalisuudet 9. Toista 7-8 kaikille R-elementeille
Miksi tämä kaikki? Keino varmistua mallin oikeellisuudesta Keino muodostaa tilayhtälöt automaattisesti mallintamisen automatisointi 1. Tilojen valinta: - intensiteettiä keräävissä elementeissä (C) virta x=f, dx/dt=e - virtaa keräävissä elementeissä (I) intensiteetti x=e, dx/dt=f 2. Tilayhtälöiden muodostaminen - ilmaistava C-elementtien virrat ja I-elementtien intensiteetit tilojen ja sisäänmenojen funktioina - Koska I-elementtien virrat ja C-elementtien intesiteetit tunnetaan, voidaan niitä pitää virta- ja intensiteettilähteinä! - kausaliteetit ilmaisevat mallin oikeellisuuden ja sen mitkä ovat lähteiden sisäänmenoja ja ulostuloja
Lisähuomioita Tässä esitetty teorian perusteet esim. vain suureiden kertymiset kytkeneet vain 2 muuttujaa kerrallaan Sähköisille ja mekaanisille systeemeille olemassa systemaattinen bond-graafimallinnustapa (app. 6.12) Graafien suureet voivat olla vektoriarvoisia Yksinkertaisia lämpöopillisia ongelmia voidaan käsitellä pitämällä muuttujina lämpövirtaa ja tilaa yleisesti virtausmuuttujana on pidettävä entropiamuutosta
Lagrangen DAEt Esimerkki: heiluri Liikeyhtälöt ilman lankaa: Rajoitus: x 2 +y 2 =l 2 => liikeyhtälöt x& = v y& = mv& mv& x y v x y = 0 = mg x& = y& = mv& mv& x 2 x y + v v x y + 2xλ = + 2yλ = y 2 = l 2 0 mg g y θ l m Differentiaalisalgebrallinen yhtälö (DAE) x
Mitä tapahtui? Newtonin mekaniikka: F=ma kaikille kappaleille luonnollisissa koordinaateissa => tilayhtälöt (ODE) tukivoimat eksplisiittisesti mukana Lagrangen mekaniikka: valitse (vapausasteiden määräämät) yleistetyt koordinaatit Kirjoita Lagrangen funktion Eulerin yhtälö, lisää virtuaalinen työ => tilayhtälöt (ODE) tukivoimat häviävät Modifioitu Lagrangen mekaniikka: F=ma kaikille kappaleille luonnollisissa koordinaateissa rajoitteet mukaan Lagrangen funktioon Lagrangen kertoimilla Eulerin yhtälö => tilayhtälöt (DAE) tukivoimat = Lagrangen kertoimet
... Lagrangen mekaniikassa rajoitutaan implisiittisesti vapausasteiden määräämälle monistolle luonnolliset koodinaatit lasketaan takaperin Modifioidussa Lagrangen mekaniikassa monisto ja liike sillä ilmaistaan eksplisiittisesti rajoittein ASD: Yleistyy myös muuhun kuin mekaniikkaan myös virtausrajoituksiin tukivoiman tulkinta saatetaan menettää
LDAE Mallinnuskehikko DAE solution methods Lagrangian formalism System Dynamics (Domain unification) Analytical Dynamics (Classical results) ASD Modular modeling
ASD-muuttujat Effort e Flow f Displacement q Momentum p force F velocity v position x lin. momentun p torque τ ang.vel ω angle θ ang. momentum H voltage e current i charge q flux linkage λ pressure p volume rate Q volume V pressure momentum pp temperature T entropy rate ds/dt entropy S -
Muuttujaparit Tehomuuttujat: intensiteetti e, virta f, e x f = teho käsitelty Energiamuuttujat liikemäärä p, paikka q d/dt p = e Newton (dp/dt = F), Euler (dh/dt = τ) Faraday (dλ/dt = e) d/dt q = f virta on paikan aikaderivaatta
Energian muuntuminen lever Electromagnetic thermoelectric, losses Thermal Electrical transformer bimetallic, losses piezoelectric, magn.strictive motor, generator electrohydraulic, magn.hydraulic Translational hydr. cylinder rack -pinion cam -follower pump, turbine Rotational losses gear fluid boiler, losses Thermal fluid transformer
Rajoitteet paikkarajoitteet: φ(q,t)=0 esim. heiluri Virtarajoitteet Ψ(f,q,t)=0 (oletetaan lineaarisiksi f:n suhteen) esim. virtapiirien tai hydrauliikan kytkennät
Deskriptorimuoto Mf& + Φ T q ( q, t) κ γ = intensiteetit (input): ulkoiset voimat kitkavoimat yms. + Ψ T f ( q, Ψ( q& f, t) µ = = γ Φ( q, t) = f, q, t) = f, 0, 0, dim M = inertiainformaatio, nxn matriisi κ ja µ Lagrangen kerroinvektorit Φ q ja Ψ q rajoitteiden Jacobin matriisit (nxm 1,nxm 2 ) 2n+m 1 +m 2 tuntematonta kullakin t, 2n+m 1 +m 2 yhtälöä => ok Systemaattinen tapa tuottaa malli sovellusalasta riippumatta n m m 1 2 ; = n
Modulaarinen mallintaminen Deskriptorimuoto voidaan ilmaista muodossa M(q,f)=0 Systeemin sisäiset muuttujat kätketty Mallinnusidea: mallinnetaan komponentit erikseen: M i (q i,f i )=0 Kytketään komponentit malliksi rajoitteilla M 1 (q 1,f 1 )=0 Φ(q 1,q 2 )=0 Ψ(q 1,q 2,f 1,f 2 )=0 M 2 (q 2,f 2 )=0 M i (q i,f i )=0...
Differentiaalis-algebralliset yhtälöt Muotoa F(x,x,t)=0, df/dx singulaarinen semieksplisiittinen: x =f(x,t); g(x,t)=0 Hessenberg index-3: x =f(x,y,z,t);y =g(x,y,t);h(t,y)=0 Useita eroja dy:ihin verrattuna: vapausasteet: m yhtälöä, 0<=l<=m vapausastetta alkutilan konsistenssi: mielivaltainen alkutila ei toteuta DAEa (usein ei-triviaali ongelma) kätketyt rajoitteet: jos g(x(t))=0 kaikilla t, on oltava myös dg/dt=0, d 2 g/dt 2 =0,...
DAE:n indeksi Tärkeä käsite DAE:n ja ratkaisumenetelmien luokittelussa Useita yhtäpitäviä määritelmiä, yksinkertaisin: montako kertaa DAEa pitää derivoida, että kaikkien muuttujien aikaderivaatta saadaan laskettua Esim. mekaniikassa algebrallisia muuttujia ovat Lagrangen kertoimet: paikkarajoituksia on derivoitava 3 kertaa => index 3-DAE /DAE indeksiä 3 DY:t ovat indeksiä 0 (algebralliset yhtälöt indeksiä 1) Indeksi on indikaatio ratkaisemisen helppoudesta yli 3:n indeksi teennäinen indeksin pienentäminen, esim. Gear-Gupta-Leimkuhler
Ratkaisumenetelmistä Kaksi lähestymistapaa 1. eliminoidaan algebralliset muuttujat => DYS + invariantti 2. Ratkaistaan DAE sellaisenaan (suorat menetelmät) 1. Algebrallisten muuttujien eliminointi tarkastellaan Hessenberg index-2 DAEa derivoidaan rajoitteet ajan suhteen kunnes saadaan eliminoitua algebralliset yhtälöt => saadaan DYS + invariantti invariantti = alkup.rajoitus + sen aikaderivaatat jos alkutila on konsistentti, invariantti pysyy teoriassa vakiona Käytännössä ei toimi, numeeriseen virheen takia ajautuu ulos monistolta (nopeasti) Tarvitaan stabilointi
ODE:n stabilointi Baumgarten (1972) stabilointi: lisätään eliminoituun muotoon termit jotka tekevät niistä asymptoottisesti stabiilin periaatteessa toimiva, käytännössä jotenkuten Jälkistabilointi (post-stabilization, esim. Ascher & Petzold 1998): integroidaan eliminoitua muotoa ja projisoidaan ratkaisu invariantille
2. Suorat ratkaisumenetelmät Implisiittinen integrointi; implisiittinen Euler: F(y,y,t)=0 => Ratkaistaan y n yhtälöstä F(y n,(y n -y n-1 )/h,t n )=0 epälineaarinen yhtälöryhmä joka askelella Korkeamman kertaluvun Runge-Kutta- ja moniaskelmenetelmät eivät toimi kaikille ongelmille Lupaava lähestymistapa semi-implisiittiset Runge-Kutta - menetelmät: ratkaistaan linearisoitu yhtälöryhmä joka askelella