MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan ensin itseisarvo hauskasti mieleen: kana = (kana), kana < 0 a + b + a b a) Osoita, että = ma(a, b) eli on suurempi luvuista a ja b a + b a b b) Sievennä 4 Ilmoita epäyhtälön < 8 ratkaisujoukko tehtävän a)-kohdan mukaisella tavalla 5 a) Millä :n arvoilla funktio f() = on määritelty 5 + 4 b) Laske taulukkoon (käytä laskinta tai tietokonetta) funktion arvot, kun saa arvot 09, 095, 099, 0995, 0999,, 05, 0, 005, 00 c) Mikä näyttäisi laskelmien perusteella olevan lim f ()? 6 Jaa tehtävän 5 funktion osoittajan ja nimittäjän lausekkeet ensiasteen tekijöihin Supista Sijoita supistettuun lausekkeeseen muuttujan paikalle = Vertaa tehtävän 5 c) kohtaan 5 7 Olkoon g() =, a) Osoita, että erotus g() 7 voidaan sieventää muotoon Menettele kuten tehtävässä 6 b) Mitä arvoja voi saada, jos vaaditaan, että g() 7 < 004? (98 < < tai < < 0)
+ 8 Määritä raja-arvot a) lim 4 b) lim + 8 c) lim 4 + 9 9 Määritä raja-arvot a) lim b) lim ( ja ) 0 6 6 0 Olkoon f() = + + + 4, kun < 4, kun > Määritä lim f () ja lim f () Onko lim f () + olemassa? 5 +, kun > Olkoon f() = 5a + a, kun < Määritä vakio a siten, että lim f () on olemassa Mikä tämä raja-arvo on? Olkoon f() = 5 + a + 0 Määritä vakio a siten, että lim f () Mikä tämä raja-arvo on? (Joko a tai raja-arvo on 7 ) on olemassa ( ) Määritä lim, kun a) n = b) n = c) n = n ( ) (on nollaa ja nelosta) 4 Laadi funktion f() merkkikaavio ja sitäkin hyväksi käyttäen tutki, onko 4 lim olemassa Ellei ole, määritä toispuoleiset raja-arvot 5 Määritä lim ½ 8 6 + (On olemassa ja itseisarvoltaan suuri) 6 Määritä lim ( ), kun a) M = b) M = (toinen on ääretön) M
+ h 7 Määritä lim ( ) h 0 h 8 Ratkaise epäyhtälö n < n, missä n > ja lisäksi n on positiivinen kokonaisluku Ratkaisu tulee ilmoittaa luvun n funktiona Osoita lopuksi, että ratkaisujoukko lähestyy rajattomasti avointa väliä < <, kun n Ohje: epäyhtälön molemmat puolet ovat positiiviset, joten mitään vierasta kamaa ei tule mukaan, jos korotat itseisarvojen poistamiseksi puolittain neliöön Päädyt tavalliseen toisen asteen epäyhtälöön 9 Määritä vakio a siten, että funktio f on jatkuva pisteessä =, kun, kun < f () = + + a, kun 0 Määritä vakio a siten, että funktio f on jatkuva kaikkialla R:ssä, kun, kun < a f () = +, kun a (a = ja eräs toinenkin arvo kelpaa) Funktio f toteuttaa kaikilla :n arvoilla ehdon 0 f () 5 a) Määritä f(5) b) Osoita, että f on jatkuva pisteessä = 5 Olkoon f() = + + + 7 a) Laske f( ) ja f( ) 5 5 b) Mitä voidaan sanoa yhtälön + + + 7 = 0 juurista seurauslauseen 79 nojalla Rajaako lause juurien lukumäärää ylöspäin jotenkin c) Etsi kokeilemalla (haarukoimismenetelmällä) (ainakin yhden) juuren likiarvo yhden desimaalin tarkkuudella Olkoon f() = + + Tarkastellaan tätä funktiota suljetulla välillä [, ] 5 + 6 Onko funktio jatkuva tällä välillä? Laske f(-) ja f() Voidaanko varmuudella sanoa, että funktiolla on nollakohta välillä < <?
+ 4 Olkoon f() = Laske f(6) ja f() Voidaanko tästä päätellä, että funktiolla f 5 + on nollakohta välillä < < 6 Onko sitten yhtälöllä = 0 ollenkaan 5 ratkaisua? 5 Olkoon m positiivinen reaaliluku Osoita, että yhtälöllä 5 + 5m + = 0 on ainakin yksi juuri välillä Voiko kyseistä väliä yhtään kaventaa? m 6 Tarkastellaan alaspäin avautuvaa paraabelia y = 5 pisteessä, jonka -koordinaatti on Otetaan paraabelilta toinen piste, jonka -koordinaatti on + h Laske erotusosamäärän arvo, kun a) h = b) h = 05 c) h = 0 d) h = 00 e) Mikä on erotusosamäärän raja-arvo, kun h lähestyy rajattomasti nollaa? 7 Olkoon f() = Johda funktion derivaatta erotusosamäärän raja-arvona pisteessä, joka ei kuitenkaan ole ½ Ja miksei saa olla ½? 8 Kuinka suuri lisäys on annettava :lle pisteessä =, jotta funktion f saama lisäys olisi yhtä suuri, kuin :n saama lisäys Ratkaisu saattaa olla yhteydessä erotusosamäärään mielenkiintoisella tavalla Itse funktio f() = + +, kun > 9 Olkoon f () = +, kun Osoita, että funktio f on jatkuva pisteessä =, mutta sillä ei ole derivaattaa tässä pisteessä ( ), kun < 0 Olkoon f() = +, kun a) Tutki, onko f jatkuva pisteessä = f ( + h) f () f ( + h) f () b) Määritä raja-arvot lim ja lim h 0+ h h 0 h c) Onko erotusosamäärällä raja-arvoa pisteessä = Muodosta derivaatat, kun f() = a) 5 n+ p p+ b) c) d) ( + )
Derivoi funktio P() = 4 + 77 Ratkaise sitten yhtälö P () = 0 (toinen derivaatan nollakohta lienee nelonen) Olkoon P() = a + b + + Määritä kertoimet a ja b siten, että P( ) = ja P ( ) = (a = ja b on myös pieni positiivinen kokonaisluku) 4 Millä vakion a arvoilla lausekkeen + a + + derivaatta saa kaikilla :n arvoilla vain positiivisia arvoja ( < a < ) 5 Osoita, että funktion Q: Q() = ( ) + 9 derivaatalla on nollakohta välillä 0 < < ½ 6 Määritä paraabelille y = 5 + 7 pisteeseen (,y 0 ) asetun tangentin yhtälö ( y = 6 ) 7 Määritä funktion f kuvaajan pisteeseen (,) asetetun tangentin ja normaalin yhtälöt, kun f() = + (hiukan erikoinen tapaus) 8 Määritä paraabelin y = + se piste, johon sille asetettu normaali on suoran 9 y = + 98 suuntainen (,0) 9 Määritä paraabelin y = + sen tangentin yhtälö, joka käy pisteen (,) kautta (4 y = 7) 40 Käyrät y = a ja y = leikkaavat toisensa origossa ja eräässä muussakin pisteessä Tähän jälkimmäiseen pisteeseen asetetaan kummallekin käyrälle normaali Näytä, että sen kolmion pinta-ala, jonka nämä normaalit muodostavat yhdessä y-akselin kanssa, on riippumaton vakion a arvosta, kunhan se vain ei ole nolla 4 Kalliota louhitaan räjäyttämällä ja kivi lentää 0 metrin päähän, jolloin lentoratana olevan alaspäin aukeavan paraabelin huippu on 0 m korkeudessa Määritä kiven lähtökulma (vaakasuoran maanpinnan suhteen) asteen kymmenesosan tarkkuudella (5 astetta) Hint: Oleta, että kivi lähtee origosta ja osuu maahan -akselin pisteessä (0,0)
4 Mitä voit sanoa funktion P() = ( )( )( 7)( 5) derivaatan nollakohdista määrittämättä koko derivaattaa ollenkaan nojautumalla a) funktion P astelukuun b) Rollen lauseeseen c) molempiin 4 Suorita tehtävä 5 nojautumalla pelkästään Rollen lauseeseen 44Olkoon f() = + a + b Määrää a ja b siten, että f(0) = ja f () = Mitä arvoja näin määritelty funktio saa? (f() = 4 + ja f() > 45 Määritä funktion f suurin ja pienin arvo välillä [, ] (suurin 0, pienin 0) 46 Paraabelin y = ja -akselin rajoittaman alueen sisään piirretään suorakulmio, jonka kaksi kärkeä on -akselilla ja kaksi kärkeä paraabelin kaarella Määritä suorakulmion alan suurin mahdollinen arvo (4 pinnan yksikköä), kun f() = + 47 Yhtälö y = 4b + 4b b esittää kaikilla b:n arvoilla paraabelia Kyseessä on niin sanottu paraabeliparvi Osoita, että parven jokaisen paraabelin huippu sijaitsee samalla suoralla Määrää tämän suoran yhtälö (Vihje: suora on laskeva ja kulkee origon kautta) 48 Tasakylkisen kolmion kanta on a ja kylki a Kolmion sisään asetetaan suorakulmio, jonka yksi sivu on kolmion kannalla ja kaksi kärkeä kolmion kyljillä Laske suorakulmion suurin mahdollinen pinta-ala (Ehkä a ) 49 R-säteisen pallon sisään asetetaan neliöpohjainen suorakulmainen särmiö Määritä sen suurin mahdollinen tilavuus R:n avulla lausuttuna Kuinka monta prosenttia se on pallon tilavuudesta? 50 Derivoi tulon derivoimiskaavalla a) P() = ( )( ) b) Q() = ( ) 5 5 Derivoi ja osoita, että derivaatta on kaikilla sallituilla :n arvoilla saman merkkinen: f () = 5 Derivoi ja laadi derivaatan merkkikaavio: f() = (f () < 0, kun < <?) +
5 On annettu funktio P() = + 8 + Määritä funktion P derivaatan merkkikaavio, paikalliset ääriarvot ja niiden laatu sekä hahmottele kuvaaja näiden?6 avulla (Paikallinen minimi ja paikallinen maksimi ) 4 54 On annettu funktio Q() = + Määritä funktion Q derivaatan 4 merkkikaavio, paikalliset ääriarvot ja niiden laatu sekä hahmottele kuvaaja näiden avulla (Pitäisi olla kaksi paikallista minimikohtaa ja yksi maksimikohta) 55 Tutki, onko funktiolla f paikallisia ääriarvoja, kun a) f() = 5 b) f() = 6 c) f() = + + 4 d) f() = + + 56 Määritä funktion R paikalliset ääriarvot, kun R() = Laadi tätä varten derivaatan merkkikaavio Hahmottele kuvaaja Saatat ihmetellä, miksi paikallinen maksimiarvo on paikallista minimiä pienempi Asia voi avautua, jos otat toispuoleiset raja-arvot lim ja lim Tutki vielä ennen piirtämistä erotusta 0 + 0 R() ja selvitä, mitä tämä erotus lähenee, kun ja Mitä tämä raja-arvo kertoo funktion kuvaajasta suoraan y = nähden Entä mikä on erotuksen R() merkki milläkin :n arvoilla? Näiden seikkojen selvittäminen saattaa auttaa hahmottamaan kuvaaja melko paljon 4 57 Funktiolla f: f() = a + b + on paikallinen ääriarvo f() = 0 Onko kyseessä paikallinen maksimi vai minimi? Onko funktiolla muita paikallisia ääriarvoja + + 58 Määritä vakio a siten, että funktiolla R: R() = on paikallinen + a ääriarvo, kun = Onko kyseessä maksimi vai minimi? Onko funktiolla R muita paikallisia ääriarvoja Jos on, määritä laatuineen (a on pieni kokonaisluku) 59 Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat a ja b Hypotenuusalta valitaan piste ja tämän kautta piirretään kateettien suuntaiset suorat, jolloin kolmion sisään syntyy suorakulmio Kuinka monta prosenttia tämän ala voi itse kolmion alasta enimmillään olla
60 Ratkaise epäyhtälöt a ) > 0 b) > + + Tarkista kokeilemalla 6 Ratkaise epäyhtälö > ( < tai > 5) + + 4 6 Ratkaise epäyhtälö < 0 ( 4 < < tai < < ) + 4 + 6 Ratkaise epäyhtälö 5 > ( < < tai > 7) + Tehtävissä 64 68 on piirrettävä annetun funktion kuvaaja Sitä varten on selvitettävä määritysjoukko (mitä arvoja voi saada), derivaatan merkkikaavio, paikalliset ääriarvot ja kuvaajan asymptootit Lisäksi on selvitettävä, kummalla puolella vaakasuoraa tai vinoa asymptoottiaan kuvaaja milloinkin sijaitsee, ja sikäli kun vaikeuksitta käy, funktion itsensä merkkikaaviosta (= sijainti -akseliin nähden) on usein apua 64 + R() = 65 R() = + 66 + R() = 67 R() = 68 R() = ( ) 69 Jaa luku 4 kahteen osaan niin, että osien tulo on mahdollisimman suuri 70 Millä kaikista niistä suorakulmioista, joiden piirin pituus on p, on suurin? 7 Millä kaikista niistä suorakulmioista, joiden ala on a, on pienin piiri? 7 Laivan polttoainekulut tunnissa ovat suoraan verrannolliset vauhdin kuutioon (siis kolmanteen potenssiin) Laivan muut kulut ovat 000 euroa tunnissa Kun ajetaan vauhdilla 0 km/h, niin polttoainekulut ovat 50 /h Millä vauhdilla ajaen matka Pensacolasta Buenos Airesiin on mahdollisimman edullinen 7 Tasapaksusta peltilevystä on valmistettava litran vetoinen, suoran ympyrälieriön muotoinen kanneton astia Mikä on lieriön pohjan säde ja korkeus siinä tapauksessa että peltiä kuluu mahdollisimman vähän (esiintyy luvun π kuutiojuuri)