Vastuuvelan ja vakavaraisuusaseman markkinaherkkyyksien mallintaminen proxy-malleilla SII-maailmassa Timo Salminen, Model IT Matias Leppisaari, Mandatum Life
Esityksen sisältö Markkinaehtoinen tase & vastuuvelka Johdanto, arvostaminen, haasteet Proxy-mallit (Least Squares Monte Carlo, LSMC) Esimerkki: Laskuperustekorkoinen säästövakuutus Vastuuvelan markkinaehtoinen arvo ja herkkyydet Pääomavaateet, standardi- ja sisäinen malli (EC) Vakavaraisuusaseman monitorointi ja markkinaherkkyydet Advanced topics / Muita sovelluksia Monivuotinen analyysi ORSA
Markkinaehtoinen tase Varat: markkina-arvo Vastuut: markkinaehtoinen arvo (?)
Markkinaehtoinen vastuuvelka Diskontattujen nettokassavirtojen odotusarvo Ei epälineaarisia riippuvuuksia -> deterministinen laskenta Kassavirrat best estimate oletuksilla ja diskonttaus markkinakoroilla Epälineaarisia riippuvuuksia -> stokastinen laskenta Stokastinen laskenta: optioita ja takuita sisältävien vastuiden arvostaminen vaatii yleisesti Monte Carlo simulaatiota Korkotakuut, pääomatakuut Johdon toimenpiteet (ml. sijoituspolitiikka) Vakuutuksenottajien käyttäytyminen (optiot) "E g X = g E X " "E g X g E X " E g X g E X = V stoch V CE = TVoG 1) Riskifaktoreiden kehitys mallinnetaan riskineutraalin (markkinakonsistentin) todennäköisyysmitan alla Arbitraasivapaus, markkinaehtoisuus; suuri määrä simulaatiopolkuja 2) Skenaariot ajetaan kassavirta- / ALM-mallin läpi, lopputuloksena kassavirrat 3) Vastuut (ml. takuut & optiot) saadaan hinnoiteltua numeerisesti diskonttaamalla kassavirrat laskenta-hetkeen ja keskiarvoistamalla kaikkien skenaarioiden yli
Markkinaherkkyydet Minkälaisia markkinaherkkyyksiä vastuilla ja erityyppisillä tuotteilla on? Taatut edut Sijoitussidonnainen Lisäedut
Taatut edut (LPK) Tyypillisesti rajoitettu riippuvuus markkinoista Mikäli (vakuutus)kassavirtojen suuruus ja ajoitus eivät riipu markkinoista, ainoa vaikutus tulee diskonttauksen kautta Mahdollisia markkinariippuvuuksia takaisinostointensiteetti riippuu markkinatilanteesta kassavirtojen suuruudet riippuvat inflaatiosta Säästövakuutus lisäksi siirrot LPK <-> UL lisäsijoitukset, uusmyynti voivat riippua markkinoista
Sijoitussidonnainen vakuutus Säästöjen arvo sidottu suoraan valittujen kohteiden arvonkehitykseen Käytännössä UL-vastuu UL-kate, yhtiöllä ei markkinariskiä (korkoliikkeen tulos nolla) Poikkeukset: vakuutusyhtiön myöntämät takuut unit-linked tuotteissa merkittävä markkinariski Variable annuities; GMxBs (Guaranteed Minimum x Benefit) Markkinariippuvuus yhtiön kannalta: Palkkiotuotot riippuvat sijoitusten arvosta Säästöihin verrannolliset kuormitukset Sijoitussidonnaisen liikkeen tulevat ylijäämät (kustannusliikkeen tulos) riippuvat markkinoista Monimutkaisten palkkiosääntöjen (portaita, kattoja, leikkureita, tierpalkkioita ym. ym.) vaikutuksen kiinni saaminen edellyttää stokastista laskentaa Korkotaso vaikuttaa ylijäämien nykyarvoon diskonttauksen kautta
Lisäedut Henkivakuutus: voitonjakoon osallistuvat sopimukset, lisäetuoptio Option arvo riippuu yhtiön voitonjakopolitiikasta Benchmark-korot, sijoitustuotto, vakavaraisuusasema, lisäetujen tason jatkuvuus, sääntely-ympäristö, kilpailijat, Lisäetujen joustovaikutus stressiskenaarioissa
Vastuuvelan arvon laskenta (yhtiöissä) Solvenssi II vaatii yhtiöitä arvostamaan vastuuvelkansa markkinaehtoisesti Yhtiöt ovat rakentaneet (hienoja) laskentajärjestelmiä SII:n vaatimusten täyttämiseksi Järjestelmät voivat kuitenkin olla hitaita ja kankeita (Ensisijaisena) tavoitteena on usein ollut sääntelyvaatimusten täyttäminen Liiketoiminnan ja muut tarpeet helposti jääneet vähemmälle huomiolle
Tarve vastuuvelan nopeaan arvostukseen Jo tapahtunut T = 0 T = 1 T = 1,2,3, Markkinaehtoisten vastuiden ja pääomavaateiden arviointi virallisten laskentojen välillä Herkkyysanalyysi mitä tapahtuu vastuille ja yhtiön omalle pääomalle eri skenaarioissa Mille tekijöille yhtiön oma pääoma on herkin Monte Carlo analyysi mikä on yhtiön oman pääoman todennäköisyysjakauma vuoden päästä Value-at-Risk, taloudellinen pääomavaade Todennäköisyys ajautua kriisiin ORSA tulevien vastuiden ja pääomavaateiden arviointi Liiketoiminnan suunnittelu
Käytännön haasteita L @ t=0 SF- SCR @ t=0 IM- SCR @ t=0 L @ t>0 SCR @ t>0 Jo hetken 0 vastuiden arvon määrittäminen vaatii (henkivakuutuksessa) pitkää (~40-70v) stokastista kassavirtasimulaatiota Lisäksi tarvitaan sopiva ESG-data halutulle laskentahetkelle! Standardikaavan pääomavaatimus vaatii useiden shokkiajojen ajamista Sisäisen mallin mukaisen pääomavaatimuksen määrittäminen vaatii (1-vuoden) sisäkkäistä simulaatiota Vastuun markkinaehtoisen arvon määrittäminen hetkellä t > 0 vaatii sisäkkäisiä simulaatioita Polkuriippuvuus (päätökset jne.) -> yksi kerros simulaatioita lisää per eteenpäin mallinnettu vuosi Pääomavaateiden laskenta tulevilla hetkillä t > 0 edelleen astetta vaikeampaa Mikä ratkaisuna ongelmaan?
Proxy-malli Ratkaisuna on sovittaa sopiva funktio vastuiden arvoihin eri skenaarioissa t.s. kuvata vastuuvelan arvoa valittujen riskitekijöiden funktiona Esimerkiksi polynomi f x = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 1 2 + β 3 x 2 + β 4 x 2 2 + β 5 x 1 x 2 Proxy-malli korvaa tarpeen (uudelleen)arvostaa vastuut ajamalla kassavirtasimulaatio erikseen lähtien jokaisesta reaalimaailman tilasta (t = 0 tai t > 0)
Shokit alkuarvoihin Markkinakonsistentit arvostusskenaariot Regressioanalyysi Shokatut vastuuvelan arvot Sovitettu polynomi Todellinen vastuuvelan arvo Suuri skenaarioiden tarve (noin 50 000) Silti vain murto-osa avaruudesta katetaan Sovituspisteet ja funktion muoto pitää valita etukäteen
Shokit alkuarvoihin Least Squares Monte Carlo Markkinakonsistentit arvostusskenaariot Shokatut vastuuvelan arvot Sovitettu polynomi Riippumattomat virhetermit, joiden odotusarvo = 0 Tarvittava skenaarioiden määrä selvästi pienempi (noin 5 000) Ei tarvetta valita etukäteen sovituspisteitä tai polynomin rakennetta
Validointi Tulos voidaan aina validoida ajamalla valituissa shokeissa täysi vastuuvelan arvostus ja vertaamalla tulosta polynomin antamaan arvoon 2500 shokkia 5 validointipistettä Viivalla polynomi ja vastuuvelan malli antavat saman tuloksen
Laskuperustekorko 3,5% Suuri korkoherkkyys Esimerkkituote Lisäetuoptio sidottu benchmark korkoihin Herkkyys korkotasoon ja korkovolatiliteettiin Lisäetuja maksetaan vain, jos vakavaraisuus sallii Herkkyys osaketuottoon ja osakevolatiliteettiin Lisäksi kassavirrat riippuvat oletetusta kuolevuudesta ja takaisinostokäyttäytymisestä Lähtöhetkellä Vastuuvelka, taatut edut ~ 124 M Vastuuvelka, lisäedut ~ 3 M
Sovitettu malli Omat funktiot taatuille eduille ja lisäeduille Riskifaktoreina Korkotaso Osaketuotto (vain lisäedut) Korkovolatiliteetti (vain lisäedut) Osakevolatiliteetti (vain lisäedut) Kuolevuus, takaisinostot Funktiona kolmannen asteen polynomi
Korkoherkkyys mutta lisäetujen arvo nousee kiihtyvästi Tietyn pisteen jälkeen hyöty korkojen noususta katoaa Taatun osan arvo laskee korkojen noustessa
Korkovolatiliteetin vaikutus Mutta noussut volatiliteetti vähentää lisäetujen konveksisuutta Vastuiden korkoherkkyys muuttuu Volatiliteetti ei vaikuta taattuun osaan
Korkovolatiliteettiherkkyys Jo 60% nousu volatiliteetissa kaksinkertaistaa option arvon
Puskurointi Lisäetujen arvo laskee osakeshokissa Taattu osa ei puskuroi osakeshokissa
Puskuri kasvaa korkoshokissa
Täydellinen kuva yhteisriippuvuudesta kaikkien riskifaktoreiden välillä Esim. kuolevuus ja korkovolatiliteetti Kuolevuuden noustessa lisäetuoption maturiteetti ja samalla volaherkkyys pienenee
Lisäetuoption mallinnusvalinnat Benchmark korko Herkkyys korkovolatiliteetille Taseen suojaus korko (Swap) optioilla Osuus tuloksesta Herkkyys osakevolatiliteetille Taseen suojaus osakeoptioilla
Volatiliteetti Markkinavolatiliteetti voi kaksinkertaistua muutamassa päivässä Virallisiin laskentoihin valikoituu vain kvartaalin viimeinen arvo
Demo Normaaliprosessi stressiskenaarion määrittelyyn 1. Shokin suunnittelu 2. Shokkiskenaarion tilaus ESG toimittajalta 3. Odotus 4. Mallin ajo 5. Tulokset Kestää helposti useita viikkoja!
Pääomavaateet
SII-vakavaraisuus Pääomavaatimus: Omien varojen muutoksen 99.5% VaR yhden vuoden aikajänteellä Sellainen (minimi)määrä pääomaa, että yhtiö häviää sen kokonaan korkeintaan 0.5 % todennäköisyydellä yhden vuoden kuluessa ( yhtenä vuotena 200:sta )
Pääomavaatimus Sisäinen malli Täysi stokastinen laskenta Määritellään kaikille riskifaktoreille jakaumat/prosessit, sekä näiden väliset riippuvuudet Simuloidaan > Pääomavaatimus luettavissa oman pääoman jakaumasta
Pääomavaatimus - Standardikaava Täysi sisäisen mallin mukainen laskenta hankalahkoa ja raskasta Standardikaava approksimoi tarkkaa direktiivin määritelmän mukaista laskentaa Joukko stand-alone shokkeja ( kalibroituna 99.5 % luottamustasolle) Stand-alone vaateet aggregoidaan korrelaatiomatriisien kautta BSCR = i,j ρ ij SCR i SCR j SCR = BSCR + Op + Adj
Käytännön haasteet Ajoajoista ja laskentaprosessin kestosta johtuen täysi pääomavaatimusten laskenta pystytään tekemään käytännössä kvartaaleittain Siinä vaiheessa kun vastuiden arvot ja pääomavaatimukset kvartaalin tai vuoden lopusta on saatu laskettua, markkinatilanne on voinut jo muuttua merkittävästi > Johdolla käytettävissä aina osittain vanhaa informaatiota Tarve arvioida SCR:ää kvartaalien välissä Miten paljon arvio voi mennä ohi? Herkkyyksien laskenta vaikeaa
Pääomavaateiden laskenta proxy-mallilla Sisäinen malli (IM) Jakaumapohjainen lähestymistapa Standardikaava (SF) Stress-and-correlate t = 0 t 1 SF IM
Pääomavaateiden laskenta proxy-mallilla - Sisäinen malli Syöttämällä realisoituneet riskifaktoreiden arvot proxyfunktioon saadaan vastuiden arvo kussakin reaalimaailman skenaariossa Sijoitussalkun arvo voidaan evaluoida tarkasti kussakin skenaariossa (full valuation) Tuloksena oman pääoman (net asset value) jakauma Mahdollista käyttää hyvin suurta määrää reaalimaailman skenaarioita, koska laskenta nopeaa Informaatiota voidaan käyttää esim. SCR:n määrittämiseen (jakauman 0.5 % prosenttipiste)
IM-SCR laskenta proxy-mallilla Simuloidaan riskifaktorit Arvostetaan sijoitukset MVA OF MVL Arvostetaan vastuut proxyllä Oma pääoma = varat - vastuut Expected value MVA OF MVL OF OF SCR Expected value 1 α quantile MVA MVL 1 α quantile t = 0 t = 1 L t j = f t X t (j)
Pääomavaateiden laskenta proxy-mallilla - Standardikaava Laskentahetkellä t ( 0) tiedetään jokaisessa simulaatiossa i. maailman tila ii. polku jota pitkin tila saavutettiin, jos t > 0 Tämän informaation perusteella voidaan määrittää oma pääoma (nettovarallisuus) hetkellä t kaikissa simulaatioissa laskemalla sijoitusten arvo (full valuation), sekä vastuiden arvo (evaluoimalla proxy-funktio) Samalla tavalla voidaan evaluoida mikä tahansa shokkiskenaario: shokataan yhtä tai useampaa riskifaktorin arvoa määritetään oman pääoman määrä shokatun sijoitusomaisuuden ja shokatun vastuuvelan arvojen erotuksena Tuloksena saadaan standardikaavan komponenttipääomavaatimukset ja korrelaatiomatriisien läpi laitettuna SF-SCR
SF-SCR laskenta proxy-mallilla Base-skenaariossa Arvostetaan sijoitukset Arvostetaan vastuut proxyllä Oma pääoma = Varat - Vastuut Samoin shokkiskenaarioissa > Shokatut sijoitukset > Shokatut vastuut > Shokattu oma pääoma Oman pääoman muutokset Shock 1 OF MVA MVL OF t (1) = At 1 L t 1 L t 1 = f t s 1 x t 1 + + x t i + + x t m Korrelaatiomatriisi(e)n läpi Pääomavaade OF Base OF MVA MVL OF t = A t L t OF 1 L t = f t x 1 t + + x i m t + + x t OF1 ΔOF m ρ 11 ρ 1m OF ΔOF m ρ m1 ρ mm Shock m t = 0 OF MVA MVL (m) OF t = m m At L t L t m = f t x t 1 + + x t i + + s m x t m SCR
Vakavaraisuusaseman monitorointi ja markkinaherkkyydet Kun vastuille on rakennettu proxy-malli, voidaan evaluoida 1. Vastuun arvo ja standardi-scr hetkellä 0 kalenteripäivänä k 2. Vastuun arvo ja SF-SCR hetkellä 0 shokkiskenaarioissa -> herkkyydet 3. Vastuu ja SF-SCR (hetkellä 0) kalenteripäivinä k + 1,2,3,... eli markkinoiden liikuttua 4. Vastuiden ja SF-SCR:n muutos shokkiskenaarioissa markkinoiden liikuttua Vastuiden proxy-malli voidaan kalibroida kokonaan uudelleen kvartaaleittain osana säännöllistä kassavirtojen tuottamisprosessia Uudelleenkalibrointien välillä vakuutuskannan muutokset voidaan huomioida esim. skaalaus/translaatiotekijöillä proxyfunktiossa
Real-time Risk & Solvency Analytics Positioiden (markkina)riskin päivittäinen raportointi ja päivänsisäinen monitorointi on tavanomaista toimintaa trading-ympäristössä (Henki)yhtiön vastuiden markkina-arvostus puolestaan tehdään yleensä korkeintaan kvartaaleittain Vakuutusriskit muuttuu tyypillisesti hitaasti mutta markkinat potentiaalisesti erittäin nopeasti Proxy-mallia käyttämällä vastuiden arvostamisesta on mahdollista saada lähes reaaliaikaista i. Kun markkinat liikkuvat, vastuiden arvo voidaan päivittää syöttämällä proxy-malliin uudet riskifaktoreiden arvot Bloomberg-feedi tms. ii. iii. Yhdistettynä (nopeaan) sijoitusten arvostamiseen saadaan määritettyä yhtiön oma pääoma Oma pääoma voidaan saman tien laskea myös joukossa shokkiskenaarioita -> saadaan standardikaavan SCR
Advanced Topics
Monivuotinen Proxy Monivuotisissa ennusteissa kuljettu polku vaikuttaa vastuiden arvoon vastuita ei voida enää selittää pelkästään riskifaktorien arvoilla Option aika-arvot muuttuvat Yhtiön kyky maksaa lisäetuja muuttuu Yhtiön päättämät lisäedut ovat muuttaneet säästöä T=0 Vastuut, markkinakonsistentti T=1 Vastuut, markkinakonsistentti T=2 Toteuma, reaali Vastuut, markkinakonsistentti
Sovellus ORSA mallinnukseen Esimerkki: Yhtiön vakavaraisuuden kehityksen todennäköisyysrajat ja käyttäytyminen eri skenaarioissa
Yhteenveto Proxy-mallin käyttö mahdollistaa ajantasaisemman ja/tai tarkemman informaation päätöksenteon tueksi.
Kiitos! Kysymyksiä tai kommentteja? Yhteystiedot timo.salminen@modelit.fi matias.leppisaari@mandatumlife.fi
LIITE
Shokkiskenaariot Fittausskenaariot: Riskifaktoreiden shokatut arvot arvotaan tarpeeksi leveästä tasajakaumasta Shokin (t=0 tai t>0) jälkeinen kehitys markkinakonsistentti Shokkiskenaariot ajetaan olemassa olevan kassavirta/alm-mallin läpi samalla tavalla kuin normaalit ekonomiset skenaariotkin Tarvitaan vain yksi ajo Tuloksena shokatut kassavirrat joille LSMC-analyysi voidaan tehdä -> saadaan sovitettua proxy-funktio
LSMC-sovitusprosessi Valitse riskifaktorit Selittävien tekijöiden joukko Luo shokkiskenaariot sovitusta varten Stressatut ekonomiset skenaariot Aja kassavirtaprojektiomalli Stressatut kassavirrat & vastuiden arvot Valitse basisfunktiot Selittävien polynomitermien joukko Sovita regressio stressattuihin vastuiden arvoihin Proxy-funktio