Tilastollinen päättömyys, kevät 7 Harjoitus 6B Heikki Korpela 8. helmikuuta 7 Tehtävä. Monisteen teht. 6... Olkoot Y,..., Y 5 Nµ, σ, ja merkitään S 5 i Y i Y /4. Näytä, että S/σ on saranasuure eli sen jakauma ei riipu µ:stä eikä σ :sta. Etsi keskihajonnalle σ ylempi 95 %:n luottamusraja b eli 95 %:n luottamusväli muotoa, b, kun on havaittu s. Vastaus: Tunnetusti TN, lause.7b annetussa tilanteessa Z merk. n S /σ χ 4. Muuttuja S/σ merk. W, on muunnos tästä: W gz n Z. g on diffeomorfismi joukkojen R + ja R + välillä, jonka käänteiskuvaus on w h n w kuvaus ja käänteiskuvaus ovat selvästi jatkuvasti derivoituvia näissä joukoissa. Siten TN, lause. tai 9. W :llä on jatkuva jakauma, joka selvästi riippuu vain n:stä, ei parametreista µ tai σ. Jakauman tf olisi siis muotoa f W w f Z hw h w, missä f Z on χ n -jakauman tf. Sen tätä tarkempi määritys ei ole välttämätöntä, koska luottamusjoukko voidaan kuitenkin määrittää χ n -jakauman avulla. Etsitään sitten luottamusjoukkoa luottamustasolla α ja merkitään χ n -jakauman kvantiilifunktiota q:lla: n S σ qα α kvantiilifunktion määr. n S σ qα α todennäköisyyden kompl. n S qα σ α σ S n α qα normaalijakaumalla σ > σ 4.5 q,5 sijoitetaan arvot,. josta saadaan b:n arvoksi 4,6. q,5 Tehtävä. Vuonna 898 ilmestyneessä tilastossa oli raportoitu hevosenpotkuun kuolleiden miesten vuosittaiset lukumäärät neljässätoista reussin armeijan yksikössä kahdenkymmenen vuoden ajalta, yhteensä siis 8 havaintoa. Yhteenveto tuloksista on alla. Kuolleita 4 5 Havaintoja 44 9 Oletetaan, että kuolleiden lukumäärä yhtenä vuonna yhdessä yksikössä noudattaa oissonjakaumaa ja on riippumaton sekä muiden yksiköiden että vuosien lukumääristä. Olkoon µ kyseisen oisson-jakauman odotusarvo. Laske µ:n suurimman uskottavuuden estimaatti ˆµ ja muodosta sitten approksimatiivinen 99 %:n luottamusväli Waldin testisuureeseen perustuen, tätä käsitellään monisteen luvussa 6.4..
. Vastaus: Määritellään satunnaismuuttujat Y i,k niin, että se on i. yksikössä k. vuonna kuolleiden miesten lukumäärä. Tehtävänannon oletuksen mukaan nämä ovat riippumattomia ja oissonjakautuneita parametrein µ. oisson-jakauman parametrin SU-estimaatti on tunnetusti otoskeskiarvo y. Koska ny 9 + + + 4 96, niin µ:n SU-estimaatti on 96/8. Lasketaan vanha tuttu oisson-jakauman informaatio tai kopioidaan esim. H4AT:sta: f Yi y i ; µ exp µ µy i y i! f Y y; µ exp nµµ ny n i y i! lµ nµ + ny log µ l µ n + ny µ l µ ny µ ιµ E µ [ lµ] µ ne µy n µ Siis 99 %:n luottamusväli olisi ˆθ z α/ ιˆθ / y z α/ y y ιn/y / n z α/ y ny ny nyq α/ y n z α/ n 96 96q,995 8 96 96,576,57;,8 8 ny n z α/ Tehtävä. Monisteen teht. 6.. Olkoot Y Y ja Y Nµ, sekä Y Nµ,. Etsi sellaiset luvut a, b >, että Y µ a, Y µ a,95, Y µ + Y µ b,95 Havaittu aineisto on y, y,,5. Mitkä kaksi 95 %:n luottamusjoukkoa saadaan yo. yhtälöiden perusteella parametriparille µ, µ? iirrä kuva. Kumpi luottamusjoukoista on mielestäsi parempi? Tarvitset jakaumien N, ja χ -taulukoita. Näistä löydät tietoa presemokeskustelusta ja laitan eräät taulukot kurssisivulle piakkoin.. Vastaus: Jos Y ja Y ovat riippumattomia, niin näin ovat myös satunnaismuuttujat Y µ ja Y µ. Lisäksi todetaan, että Z Y µ N, ja Z Y µ N,. Ensimmäinen todennäköisyys osittuu riippumattomuuden nojalla tuloksi: Y µ a, Y µ a Y µ a Y µ a Z a Z a a Z a a Z a Φa Φ a Φa Φa Φa
Siis ratkaisu a:lle saadaan yhtälöstä Φa,95,95 + Φa,95 + a q N,6, missä q N on N, -jakauman kvantiilifunktio. Toisessa todennäköisyydessä huomataan, että kyseessä on normaalijakautuneiden sm:ien Z ja Z neliöiden tulo, i Z merk. i W, joka on siis χ -jakautunut. W b F χ b,95 b q χ,95 b q χ,95,44 Sijoittamalla aineisto paikoilleen ensimmäisestä saadaan luottamusjoukoksi } C a µ, µ R : µ a, µ a µ, µ R : µ a, µ } a µ, µ R : a + µ a +, a + µ a + } µ, µ R :,6 µ,6;,76 µ,76 }, joka on, -keskinen suorakaide jopa neliö tasossa. Sen ala on a 4a,. Toisesta saadaan luottamusjoukoksi C b µ, µ R : µ + µ, µ R : µ + µ } b } µ 5,99, joka on, -keskinen, b-säteinen kiekko tasossa. Sen ala on πb 8,8. Tässä mielessä jälkimmäinen joukko vaikuttaisi siis paremmalta, ellei olla kiinnostuneita rajoittamaan nimenomaan toista parametreista mallissa jollekin välille. µ y, y µ Joukko C a :
µ y, y µ Joukko C b : Tehtävä 4. 4. Vastaus: a Olkoon Y satunnaismuuttuja jatkuvasta jakaumasta, jonka tiheysfunktio on f Y y; θ, kun θ < y < θ +, ja on nolla muuten. Näytä että Y θ on saranasuure. b Olkoon Z satunnaismuuttuja jatkuvasta jakaumasta, jonka tiheysfunktio on kun θ >. Näytä että Z/θ / on saranasuure. f Z z; θ z/θ, < z < θ /, c Muodosta α % luottamusvälit parametrille θ kummassakin tapauksessa a ja b. a Jatkuvan jakauman tiheyden skaalaukselle ja siirrolle pätee yleisperiaate X µ + σw f X x x µ σ f W. σ Merkitään X θ + Y, jolloin f X x; θ f Y θ + x θ < θ + x < θ + } < x < } joka on Tas, -jakauman tiheysfunktio. Koska X:n jakauma ei mitenkään riipu θ:n arvosta, X on saranasuure. b Kuten äskeisessä kohdassa, merkitään X θ / Z, jolloin f X x; θ x θ f / Z θ / < x < }x θ / f Z xθ / θ / < xθ / < θ /} xθ / /θ Koska tiheysfunktio ei selvästi mitenkään riipu θ:n arvosta, ei X:n jakaumakaan riipu siitä ja X on saranasuure. 4
c Todetaan, että tapauksessa a pätee, kun < p <, Y θ p p Y θ p F p F p p + p + Siis valitsemalla p α saadaan luottamusjoukoksi, kun on havaittu y, eli luottamusväliksi y α. C a θ R : y θ α} θ R : θ y α} θ R : α θ y α} θ R : y + α θ y + α} θ R : y α θ y + α} p p. Vastaavasti tapauksessa b pätee, kun < p < nyt ei liene mielekästä käyttää itseisarvoja, koska θ on varmasti positiivinen luku ja sm Z saa selvästi vain positiivisia arvoja: θ / Z p θ / Z p f X x dx p/ < x < }x dx x dx x p, josta asettamalla p α p α saadaan luottamusväliksi, kun on havaittu z >, C b θ R + : θ / z α} θ R + : θ α } z θ R + : θ / αz } / } z θ R + : θ, α eli luottamusväliksi, z α. 5