Käyrän kaarevuus ja kierevyys

Käyrän kaarevuus ja kierevyys LuK-tutkielma Recardt Jua Opiskelijanumero 2435589 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2017

Sisältö 1 Jodanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Derivointi polulla......................... 3 2.2 Ristitulo.............................. 4 2.3 Suunnistus............................. 7 3 Käyrä tasossa ja Frenet'n kaavat tasokäyrälle 8 4 Käyrä avaruudessa ja Frenet'n kaavat avaruuskäyrälle 9 5 Esimerkki 13 Lädeluettelo 14 1

1 Jodanto Tämän työn tarkoitus on kertoa lukijalle, miten än voi itse oppia määrittämään käyrälle kaarevuuden tasossa tai kaarevuuden ja kierevyyden avaruudessa. Aluksi määritellään muutamia asioita ja käydään läpi lauseita, joita tullaan tarvitsemaan myöempien kappaleiden teorioissa.tämän jälkeen käsitellään erillisissä kappaleissa ensin käyrää tasossa ja sen jälkeen käsittellään käyrää avaruudessa. Työssä on käytetty kata kirjaa [1] ja [2], joiden tiedot on tarkemmin ilmoitettu työn lopussa. Kirjoista kerättyä informaatiota on pyritty esittämään lukijalle madollisimman selkeässä järjestyksessä ja muodossa josta se olisi elpompi ymmärtää. Pääosin todistukset ovat läes suoraan otettu kirjoista kuten myös esimerki 5.1, mutta muuten teksti on tety siten, että suoraa lainaamista ei tekstissä ole. Kappaleessa 2.1 olevat säännöt olen itse todistanut. Jotta lukijalle olisi elpompaa ymmärtää työn sisältöä on suositeltavaa, että än allitsee vektorien ja vektorikenttien käsitteet sekä perustiedot derivoinnista. Näiden asioiden yleinen allitseminen ja ymmärtäminen edesauttavat tekstin lukemista. 2

2 Esitietoja 2.1 Derivointi polulla Olkoon I R avoin väli. Nyt polku α on jatkuva kuvaus joukolta I reaalilukuavaruudelle R n, jossa luku n on sellainen, että se kuulu luonnollisiin lukuiin N. Vektorikenttä X polulla α on jatkuva kuvaus joukolta I reaalilukuavaruudelle R n R n, missä vektorikenttä X(t) pisteessä t voidaan esittää polun α(t) pisteessä t komponenttifunktioina. Tämä kuvaa komponenttifunktioita jotka alkavat komponenttifunktiosta X 1 ja päättyät komponenttifnktioon X n, eli X(t) = (α(t); X 1 (t),..., X n (t)). Jos jokainen komponenttifunktio X i (t) on äärettömän monta kertaa derivoituva, sanotaan, että vektorikenttä X on C -vektorikenttä polulla α. Polulla α olevan vektorikentän derivaatta on X (t) = ( α(t); dx 1(t),..., dx n(t) ). dt dt Polun nopeusvektorikenttä α on muotoa α(t) = ( α(t); dα 1(t) dt Vastaavasti kiityvyysvektorikenttä on muotoa α(t) = ( α(t); d2 α 1 (t) dt,..., dα n(t) ). dt,..., d2 α n (t)). dt Seuraavaksi käsitellään muutamia sääntöjä ja todistetaan ne. Säännöt voidaan todentaa derivoimisen avulla. Vektorin yläpuolella oleva piste kuvaa tavallista derivointia reaaliarvoiselle funktiolle, siis Säännöt: 1. ( X + Y ) (t) = X (t)+ Y (t) f(t) = df dt. 2. ( f X)(t) = f X(t), luku f vastaa jotain vakiota. 3

3. ( X Y ) (t) = X(t) Y (t) + X(t) Y (t), missä X Y = n i=1 X iy i on tavallinen pistetulo. Todistus. Ensimmäinen kodan todistus. Vektorit X ja Y ovat deriovoituvia pisteessä t niin ( X + Y )(t + ) ( X + Y )(t) = X(t + ) + Y (t + ) X(t) + Y (t) X(t = + ) X(t) Toisen kodan todistus + Y (t + ) Y (t) X(t) + Y (t), 0. (f X)(t + ) (f X)(t) = f X(t + ) f X(t) f ( X)(t + ) ( X)(t) Kolmannen kodan todistus f X(t), 0. ( X Y )(t + ) ( X Y )(t) X(t = + ) Y (t + ) X(t) Y (t + ) + X(t) Y (t + ) X(t) Y (t) X(t + ) X(t) Y (t+)+ X(t) Y (t + ) Y (t) X(t) Y (t)+ X(t) Y (t). 2.2 Ristitulo Määritelmä 2.1. Jos jossakin avaruuden R 3 pisteessä p on kaksi tangenttivektoria v ja w, niiden ristitulo saa aikaan tangenttivektorin, joka voidaan esittää matriisina e 1 e 2 e 3 v w = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 Lasketaan yllä olevan matriisin determinantti ensimmäisen rivin suteen. 4

det( v w) = ( 1) 1+1 e 1 det v 2 v 3 w 2 w 3 + ( 1) 1+2 e 2 det v 1 v 3 w 1 w 3 + ( 1)1+3 e 3 det v 1 v 2 w 1 w 2 = e 1 (v 2 w 3 v 3 w 2 ) e 2 (v 1 w 3 v 3 w 1 ) + e 3 (v 1 w 2 v 2 w 1 ). Determinantin perimmäinen tarkoitus on ilmaista, että ristitulo tangenttivektorien v ja w välillä on lineaarinen kummallekin tangenttivektorille v ja w, sekä täyttää vuorotteluedon v w = w v. Siitä seuraa erityisesti, että tangenttivektorin v ristitulo itsensä kanssa on nolla. Lemma 2.2. Vektoreiden v ja w keskenään otettu ristitulo on sellainen, että se on kotisuorassa vektoreiin v ja w näden ja vektoreiden ristitulon pituudeksi saadaan seuraavaa v w 2 = ( v v)( w w) ( v w) 2. Todistus. Tedään vektoreiden v ja w ristitulon ja pistetulon kaavasta v ( v w) matriisiesitys v 1 v 2 v 3 v ( v w) = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3. Lasketaan determinantti kolmannen rivin suteen det(v (v w)) = ( 1) 1+1 w 1 det v 2 v 3 v 2 v 3 + ( 1) 1+2 w 2 det v 1 v 3 v 1 v 3 + ( 1)1+3 w 3 det v 1 v 2 v 1 v 2 = w 1 (v 2 v 3 v 3 v 2 ) w 2 (v 1 v 3 v 3 v 1 ) = w 1 0 + w 2 0 w 3 0 = 0 Matriisin determinantiksi saadaan nolla, koska sen ensimmäinen ja toinen rivi ovat samat. Tästä seuraa se, että vektoreiden ristitulo on ortogonaalinen. Lasketaan seuraavaksi vektoreiden ristitulon pituus seuraavasti (vv)(ww) (vw) 2 = ( v i 2 )( w j 2 ) ( v i w i ) 2 5

= i,j v i 2 w j 2 ( v i 2 w i 2 + 2 i<j v i w j v j w j ) = i j v i 2 w j 2 2 i<j v i w i v j w j. Avataan summa ( (vi1 w j2 ) 2 +(v i2 w j1 ) 2 +(v i1 w j3 ) 2 +(v i3 w j1 ) 2 +(v i2 w j3 ) 2 +(v i3 w j2 ) 2 +...+(v in w jn+1 ) 2 ( (v i1 v j2 w i1 w j2 )+(v i1 v j3 w i1 w j3 )+(v i2 v j3 w i2 w j3 )+...+(v in v jn+1 w in w jn+1 ) ) Toisaalta v w = ( v w) ( v w) = Σc i 2 = (v 2 w 3 v 3 w 2 ) 2 + (v 3 w 1 v 1 w 3 ) 2 + (v 1 w 2 v 2 w 1 ) 2 Avaamalla potenssin saamme saman vastauksen minkä saimme yläpuolelle = (v 2 w 3 v 3 w 2 )(v 2 w 3 v 3 w 2 ) + (v 3 w 1 v 1 w 3 )(v 3 w 1 v 1 w 3 ) +(v 1 w 2 v 2 w 1 )(v 1 w 2 v 2 w 1 ) = ( (v 2 w 3 ) 2 + (v 3 w 2 ) 2 2(v 2 v 3 w 2 w 3 ) ) + ( (v 3 w 1 ) 2 + (v 1 w 3 ) 2 2(v 1 v 3 w 1 w 3 )) ) + ( (v 1 w 2 ) 2 + (v 2 w 1 ) 2 2(v 1 v 2 w 1 w 2 ) ) = ( (v 2 w 3 ) 2 + (v 3 w 2 ) 2 + (v 3 w 1 ) 2 + (v 1 w 3 ) 2 + (v 1 w 2 ) 2 + (v 2 w 1 ) 2) 2 ( (v 2 v 3 w 2 w 3 ) + (v 1 v 3 w 1 w 3 ) + (v 1 v 2 w 1 w 2 ) ) Muuttamalla ieman järjestystä saadaan = ( (v 1 w 2 ) 2 + (v 2 w 1 ) 2 + (v 1 w 3 ) 2 + (v 3 w 1 ) 2 + (v 2 w 3 ) 2 + (v 3 w 2 ) 2) 2 ( (v 1 v 2 w 1 w 2 ) + (v 1 v 3 w 1 w 3 ) + (v 2 v 3 w 2 w 3 ), joka on verrattavissa edellä ilmoitettuun pituuteen v 2 i w 2 j 2 v i w i v j w j. i<j i j 6

2.3 Suunnistus Seuraavaksi määritellään pinnalle suunnistus.tämä saadaan määritettyä pinnassa olevien vektorikenttien avulla seuraavasti. Määritelmä 2.3. Pinnan S suunnistus n-ulotteiselle pinnalle on sen C - yksikkönormaalivektorikenttä. Suunnistetuksi pinnaksi sanotaan pintaa, joka on varustettu suunnistuksella N. Lause 2.4. Olkoon nyt S R n+1 n-ulotteinen pinta, joka on myös polkuytenäinen. Täten pinnalle S on olemassa tasan kaksi yksikkönormaalivektorikenttää X ja Y, jotka ovat C -yksikkönormaalivektorikenttiä. Lisäksi pätee, että yksikkönormaalivektorikenttä X on ytäsuuri kuin negatiivinen yksikkönormaalivektorikenttä Y. Toisin sanoen X(p) = Y (p). Todistus. Olkoon nyt fuktio f kuvaus reaalilukuavaruudelta R n+1 reaalilukuavaruudelle R sellainen C -kuvaus, että pinta S on fuktion f alkukuva pisteessä c, joka kuuluu reaalilukuiin R, sekä funktion f ensimmäisen derivaatan tulee olla erisuuri kuin nolla jokaisessa pisteessä x, joka kuuluu joukolle S. Tällöin voidaan merkitä, N 1 (p) := f(p) f(p). Vektorikenttä N on pinnan S yksikkönormaalivektorikenttä. Kuten on myös yksikkönormaalivektorikenttä N 2, joka on negatiivinen yksikkönormaalivektorikenttä N 1. Lauseen pääväite on se, että ei ole olemassa kolmatta yksikkönormaalivektorikenttää N 3. Jos näin olisi yksikkönormaalivektorikenttä N 3 tulisi olla kotisuorassa pinnan S tangenttia koti pisteessä p josta seuraisi, että olisi olemassa jokin luku g(p) siten, että N 3 (p) = g(p) N 1 (p). Edellä olleesta saadaan, että piste g(p) on sama asia kuin yksikkönormaalivektorikenttien N 3 (p) ja N 1 (p) tulo. Piste g(p) on siis näin ollen joko plus tai miinus yksi. Koska kuva g(s) on jatkuva polkuytenäisellä joukolla S niin kuvakin on polkuytenäinen. Tästä seuraa, että funktio g on vakio. Siis yksikkönormaalivektorikenttä N 3 on, joko yksikkönormaalivektorikenttä N 1 tai yksikkönormaalivektorikenttä N 2. 7

3 Käyrä tasossa ja Frenet'n kaavat tasokäyrälle Seuraavaksi käydään läpi kuinka tasossa olevasta käyrästä on madollista määrittää käyrän kaarevuus derivaattaa apuna käyttäen, sekä määritetään Frenet'n kaavat tasolle. Olkoon polku α C -polku. Polku α on kuvaus joukolta I reaalilukuavaruudelle R 2. Lisäksi jokaisessa polun α pisteessä t olevan nopeusvektorikentän α pituus on yksi. Toisin sanoen α(t) = 1. Merkitään nyt yksikkötangenttivektorikenttä T (t) vastaamaan nyt polun nopeusvektorikenttä α(t) pisteessä t. Olkoon myös yksikkönormaalivektorikenttä N, joka kulkee pitkin polkua α ja on kotisuorassa nopeusvektorikentän α vastaan jokaisessa pisteessä t, joka kuuluu joukkoon I. Koska jokaisessa pisteessä t yksikkönormaalivektorikenttä N on pituudeltaan yksi, niin yksikkönormaalivektorikentän derivaatta N on yksikkönormaalivektorikentän N kanssa kotisuorassa, toisin sanoen, koska niin tämän derivaatan tulee olla 0, eli N(t) N(t) = 1, 0 = d dt ( N(t) N(t)) = N(t) N(t) + N(t) N(t), joten N(t) N(t) = 0. Näin ollen täytyy olla olemassa jokin luku κ(t), joka kuuluu reaalilukuiin R, joka kuvaisi ajan etkellä t polun α kaarevuutta siten, että N = κ(t) T (t). (1) Määritelmä 3.1. Määritellään luku κ(t) siten, että se on polun α kaarevuusluku pisteessä t, joka kuuluu polulle α. Koska yksikkötangenttivektorikenttän pituus on jokaisessa pisteessä t yksi, kun piste t kuuluu joukkoon I, yksikkötangenttivektorikenttä T on kotisuorassa oman derivaattavektorikenttänsä T kanssa. Toisin sanoen yksikkötangenttivektorikenttä on sama asia kuin yksikkönormaalivektorikenttä N(t), jota kerrotaan jollain luvulla λ, joka kuuluu reaalilukuiin R. Koska yksikkötangenttivektorin T (t) tulo yksikkönormaalivektorin N(t) kanssa on nolla jokaisessa pisteessä t, niin 0 = d dt ( T N) = T N + T N. 8

Siten T (t) N(t) = T (t) N(t) = T (t) ( κ(t) T (t)) = κ(t) T (t) T (t) = κ(t). Toisaalta joten Koska niin 0 = d dt ( T (t) T (t)) = 2 T (t) T (t), T (t) = λ(t) N(t). T (t) N(t) = λ(t) N(t) N(t) = λ(t), T (t) = κ(t) N. (2) Ydistämällä edellä olleet kaavat (1) ja (2) saadaan Frenet'n kaavat polulle α, { N = κt T = κn. 4 Käyrä avaruudessa ja Frenet'n kaavat avaruuskäyrälle Seuraavaksi esitetään, kuinka voidaan ilmaista avaruudessa olevasta käyrästä sen kaarevuus ja kierevyys. Tapa, jolla edellisessä kappaleessa määritettiin kaarevuus tasokäyrälle, ei sellaisenaan sovellu avaruuskäyrän kaarevuuden määrittämiseen. Tämä jotuu siitä, että tangentin ortogonaalikomplementti on kaksiulotteinen. Tangentin ortogonaalikomplementti vastaa avaruuskäyrän normaalia. Olkoon polku α kuvaus joukolta I reaaliavaruudelle R 3, sekä polun α nopeusvektorikenttä α pituudeltaan yksi. Siis α(t) = 1 kaikilla pisteillä t, jotka kuuluvat joukolle I. Oletetaan, että polun kiityvyys α on eri suuri kuin nolla kaikissa pisteissä t joukossa I. Siis polun α toinen derivaatta ei saa olla nolla. Koska 0 = d ( α(t) α(t)) = 2 α(t) α(t), dt niin pisteessä t polun ensimmäinen derivaatta α(t) on kotisuorassa polun toisen derivaatan α kanssa. Määritellään seuraavaksi,että 9

on polun α päänormaali ja N(t) = α(t) α(t) B(t) = T (t) N(t) on polun sivunormaali. Polun kaarevuus κ(t) määritellään tangentin avulla T (t) = κ(t) N(t). (3) Nyt B(t) = λ 1 T (t) + λ2 N(t) + λ3 B(t) Koska sivunormaalin B pituus on yksi B(t) = 1 niin se on kotisuorassa omaa derivaattaansa B(t) vastaan. Näin ollen λ3 = 0, jolloin B(t) = λ 1T (t) + λ2n(t) Toisaalta B(t) = d dt ( T (t) N(t)) = T (t) N(t) + T (t) N(t) = T (t) N(t) Koska T (t) N(t) on kotisuorassa yksikkötangenttivektorikenttää T (t) vastaan lemmen 2.2 nojalla, on λ 1 = 0. Siis B(t) = λ 2 N(t). Polun α kierevyyttä merkitään kierevyysluvulla τ(t), joka on nyt τ(t) = λ 2. Toisin sanoen B(t) = τ(t) N(t) (4) Lemman 2.2 nojalla sivunormaali B(t) on kotisuorassa sekä normaalin N(t), että tangentin T (t) kanssa. Lisäksi sivunormaalin B(t) pituus B(t) on yksi. 10

Toisaalta N(t) = B(t) T (t), josta derivoimalla saadaan N(t) = B(t) T (t) + B(t) T (t) Sijoitetaan tunnetut T = κ(t) N(t) ja B(t) = τ(t) N(t). = τ(t) N(t) T (t) + B(t) κ(t) N(t) = τ(t) T (t) N(t) + N(t) κ(t) B(t) = τ(t) B(t) + κ(t) T (t). Täten yksikkönormaalivektorin deivaatta N voidaan ilmaista muodossa N = κ T + τ B (5) Kaavoista (3), (4) ja (5) saadaan avaruudessa R 3 Frenet'n kaavat T = κ N N = κ T + τ B B = τ N. Lause 4.1. Polku β on täsokäyrä, jos ja vain jos sen kierevyys τ on nolla ja kaarevuusluku κ on aidosti suurempaa kuin nolla. Todistus. Aluksi oletetaan, että käyrä β on tasokäyrä, jolta löytyy jotkin pisteet p ja q siten, että voimme esittää käyrän pisteen β(t) ja pisteen p erotuksen ristitulo pisteen q kanssa, joka tuottaa tulokseksi nollan, siis (β(s) p) q = 0, jokaisella pisteellä s. Derivoimalla edellä olevaa saamme β(s) (q) = β(s) (q) = 0 Näin ollen voimme sanoa, että piste q on aina ortogonaalinen yksikkötangenttivektorin T kanssa siis myös polun ensimmäisen derivaatan β kanssa. Lisäksi se on myös ortogonaalinen yksikköpäänormaalivektorin N kanssa, joka tarkoittaa samaa asiaa kuin yksikkösivunormaalivektorin derivaatan derivaattaa 11

β, joka sitten jaetaan kaarevuusluvulla κ, siis β/κ. Myös yksikkösivunormaalivektori B on ortogonaalinen yksikkönormaalivektorin N ja yksikkötangenttivektorin T kanssa. Tämä siksi, koska yksikkösivunormaalivektorin pituus on yksi. Sen derivaattaksi saadaan nolla ja kierevyys on näin myös nolla. Toisaalta kun kierevyysluku τ on nolla ja yksikkösivunormaalivektorin derivaatta B on nolla. Silloin yksikkösivunormaalivektori B on ydensuuntainen ja avaruudessa R 3 se voidaan nyt tunnistaa pisteeksi. Nyt asetamme niin, että käyrä β on taso joka kulkee käyrän nollapisteen β(0) kautta. Lisäksi se olisi kotisuorassa yksikkösivunormaalivektorin kanssa. Todistetaan tämä siten, että esitetään se funktiona josta derivoimalla f(s) = (β(s) β(0)) B, df ds = β B = T B = 0, Huomataan, että selvästi fuktion f arvo nollassa on nolla. Siitä seuraa (β(s) β(0)) B. Tästä seuraa, että käyrä β on kokonaan alutulla tasolla ja se on kotisuorassa omaan päänormaaliinsa näden. 12

5 Esimerkki Seuraavaksi käydään läpi esimerkki aieeseen liittyen. Esimerkki 5.1. Tarkastellaan ruuviviivaa eli spiraalia α(t)=(a cos t, a sin t, b t), a > 0, b > 0. Tässä α = a 2 + b 2 =: c. Jos β(t):=α(t/c) on β(t) = 1. Siis T (t) = β(t) = (β(t); ( a c sin t c, a c cos t c, b c )), N(t) = β(t)/ β(t) = (β(t); ( cos t c, sin t c, 0)), ja κ(t)= β(t) =a/b 2. Koska T = (β(t); ( b c sin t c, b c cos t c, a c )), on joten B(t) = (β(t); b c 2 cos t c, b c 2 sin t c, 0)), τ(t) = b/c 2. 13

Lädeluettelo [1] A. Letonen: Dierentiaaligeometria. Jyväskylä 1993 (sivut 59-60, 72-73 ja 87-95) [2] B. O'Neill: Elementary Dierential geometry Second edition. 2006 (sivut 49, 58-60 ja 64-65) 14