Tilastotieteen jatkokussi Sosiaalitieteiden laitos Hajoitus 9 (viikko 16) Ratkaisuehdotuksia (Laua Tuohilampi) 1. Alla mainituissa testitilanteissa saatiin otoskeskiavoon peustuvan testisuueen avoksi z = 1, 85 (noudattaa standadinomaalijakaumaa nollahypoteesin pätiessä). a) Testisuueella tutkittiin, onko otoskeskiavo tilastollisesti mekitsevästi pienempi kuin 15, 7. b) Testisuueella tutkittiin, poikkeaako otoskeskiavo tilastollisesti mekitsevästi 15, 7:stä. Vastaa seuaaviin kysymyksiin sekä a)- että b)-kohdan tilanteessa: Mikä on nollahypoteesi? Mikä on vastahypoteesi? Millaiset testisuueen avot tukevat nollahypoteesia? Mikä on kiittinen avo käytettäessä 5%:n iskitasoa? Mikä on testin p-avo? Jääkö nollahypoteesi voimaan? Ratkaisu: a) H 0 : μ =15, 7, H 1 : μ<15, 7. Nollahypoteesia tukevat " suuet" testisuueen avot, siis sellaiset, joiden jälkeen on ketynyt enemmän kuin esimekiksi 5%todennäköisyyttä. Kiittinen avo käytettäessä 5%:n iskitasoa on 1.64 (Φ( 1.64) = 0.0505). Testin p- avoksi tulee Φ( 1.85) = 0.032, joka on " melkein mekitsevä". H 0 hylätään 5%:n iskitasolla. b) H 0 : μ =15, 7, H 1 : μ 6= 15, 7. Nollahypoteesia tukevat " keskellä" olevat testisuueen avot. Kiittinen avo käytettäessä 5%:n iskitasoa on ±1.96 (Φ( 1.96) = 0.0250, Φ(1.96) = 0.9750). Testin p-avo on nyt [Φ( 1.85)] 2 = 0.032 2 = 0, 064, jokaeinyt ole iittävä. H 0 jää voimaan 5%:n iskitasolla. 2. Puduen yliopistosta satunnaisesti valituilta 865 opiskelijalta kysyttiin, kuinka moni heistä oli tuvautunut opintolainaan opiskelujensa ahoittamiseksi. Tulokset ovat taulukossa alla. Onko ottanut opintolainaa? Kyllä Ei Tiedekunta Agicultue 32 35 Child development and family studies 37 50 Engineeing 98 137 Libeal ats and education 89 124 Management 24 51 Science 31 29 Techonology 57 71
Testaa 5%mekitsevyystasolla, iippuvatko tiedekunta ja opintolainan ottaminen toisistaan? Ratkaisu: Asetetaan ensin hypoteesit. H 0 : Tiedekunnalla ei ole vaikutusta lainanottoon H 1 : Tiedekunnalla on vaikutusta lainanottoon. Muodostetaan testisuue X 2 = P P c (O ij E ij ) 2 i=1 j=1 E ij, joka noudattaa χ 2 -jakaumaa vapausastein ( 1)(c 1). Alla olevaan taulukkoon on laskettu ivisummat, saakesummat sekä havaittujen fekvenssien innalle (suluissa) odotetut fekvenssit, jotka saadaan kaavalla E ij = R i C j /n, jossar i on i. ivifekvenssi ja C j on j. saakefekvenssi (kijan s:t 183 ja 185). Käydään siis läpi kukin solu ketomalla vastaava ivisumma vastaavalla saakesummalla ja jakamalla otoskoolla. Esimekkinä ensimmäinen solu (agicultue, kyllä): 67 368/865 = 28, 504. Onko ottanut opintolainaa? Kyllä Ei yht. Tiedekunta Agicultue 32 (28.504) 35 (38.496) 67 Child development and family studies 37 (37,013) 50 (49,987) 87 Engineeing 98 (99,977) 137 (135,023) 235 Libeal ats and education 89 (90,617) 124 (122,383) 213 Management 24 (31,908) 51 (43,092) 75 Science 31 (25,526) 29 (34,474) 60 Technology 57 (54,455) 71 (73,544) 128 yht. 368 497 865 Laskemalla nyt ylläolevaa kaavaa käyttäen saadaan testisuueen avo: X 2 = (32 28, 504)2 28, 504 +... + (71 73, 544)2 73, 544 =6, 521 Vapausasteita on käytössä (2 1)(7 1) = 6, jolloin P (X 2 > 12.592) = 0.05. Koska testisuueen avo 6.521 on eilusti pienempi kuin kiittinen avo 12.592, jää H 0 voimaan 5%:n mekitsevyystasolla (itse asiassa jopa 10 %:n). Aineiston peusteella ei ole syytä hylätä nollahypoteesia, että opiskelijan tiedekunta ja päätös ottaa opintolainaa ovat iippumattomia muuttujia. 3. Apakuutiota heitettiin 120 ketaa. Tulokset olivat seuaavat: Silmäluku 1 2 3 4 5 6 Fekvenssi 17 15 18 22 20 28
Testaa, onko noppa hahaton. a) Käytä 5%:n mekitsevyystasoa. b) Käytä 1%:n mekitsevyystasoa. Ratkaisu: Asetetaan taas hypoteesit. H 0 : noppa on hahaton H 1 : Noppa on hahainen. Noppa on hahaton, jos silmälukujen todennäköisyydet noudattavat tasajakaumaa f(x) =1/6. Odotetut fekvenssit saadaan tällöin laskemalla p n, ja ne ovat jokaiselle silmäluvulle sama: E i =1/6 120 = 20. (O i E i ) 2 E i, Lasketaan nyt testisuueen avo käyttämällä kaavaa X 2 = P k i=1 joka vastaa edellisen tehtävän kaavaa (ja toimii vastaavalla tavalla) yhden ivin vesiona: X 2 = (17 20)2 20 +... + (28 20)2 20 =5, 3 Vapausasteita on nyt (k 1 m) = 6 1 0 = 4(m = 0, sillä aineistosta ei tavittu mitään minkään paametin estimoimiseksi). Nyt P (X 2 > 9.488) = 0.05 ja P (X 2 > 13.277) = 0.01, joten a) 5, 3 < 9.488: H 0 jää voimaan, ja b) 5, 3 < 13.277: H 0 jää voimaan. Seuaavat tehtävät liitttyvät taulukkoon alla. Maaliskuisen kannatuskyselyn tulokset peustuvat noin haastatteluun. Kannatusavioiden tilastollinen vihemaginaali on suuten puolueiden osalta noin ±1, 6 posenttiyksikköä. Kannatus kunnallisvaalit 08 eduskuntavaalit 07 maaliskuu 09 Puolue KOK 23,5 22,3 23,3 SDP 21,2 21,4 20,9 KESK 20,1 23,1 19,2 VIHR 8,9 8,5 10,1 VAS 8,8 8,8 8,1 PS 5,4 4,1 8,9 RKP 4,7 4,6 4,0 KD 4,2 4,9 3,9 MUU 3,2 2,3 1,6 4. a) Laske 95 %:n luottamusvälit kolmen suuimman puolueen kannatuksille kannatuskyselyssä.
b) Laske 99 %:n luottamusvälit kolmen suuimman puolueen kannatuksille kannatuskyselyssä. c) Mahtuvatko suuten puolueiden vaalien aikaiset kannatukset kyselyn aikaisille luottamusväleille? d) Mahtuvatko suuten puolueiden keskinäiset kannatukset kyselyssä toistensa luottamusväleille? Ratkaisu: Luottamusvälit alla on laskettu kijan sivulla 149 olevan kaavan avulla. a) 0.233 0.767 kok : 0.233 ± 1.960 = 0.233 ± 0.0151 eli 95 %:n luottamusväli on (21, 8%, 24, 8%). 0.209 0.791 sdp : 0.209 ± 1.960 = 0.209 ± 0.0145 eli 95 %:n luottamusväli on (19, 5%, 22, 4%). 0.192 0.808 kesk : 0.192 ± 1.960 = 0.192 ± 0.0141 eli 95 %:n luottamusväli on (17, 8%, 20, 6%). Kijan kaavojen peusteella 95 %:n luottamusvälit vaihtelevat ±1.4:n ja ±1.5:n posentin välillä; tehtävänannossa puhuttiin "±1.6 posentin vihemaginaalista". Sillä ilmeisesti takoitettiin 95 %:n luottamusväliä, joka on apotoitu vaovaisesti hieman yläkanttiin tai kyselynlaatijalla on käyttänyt luottamusvälien laskussa takempia lukuja kannatusosuuksista kuin tehtävässä on apotoitu. b) 0.233 0.767 kok : 0.233 ± 2.576 = 0.233 ± 0.0199 eli 99 %:n luottamusväli on (21, 3%, 25, 3%).e 0.209 0.791 sdp : 0.209 ± 2.576 = 0.209 ± 0.0191 eli 99 %:n luottamusväli on (19, 0%, 22, 8%). 0.192 0.808 kesk : 0.192 ± 2.576 = 0.192 ± 0.0185 eli 99 %:n luottamusväli on (17, 4%, 21, 1%).
c) Keskustan eduskuntavaalitulos ei mahdu 95 %:n eikä 99 %:n luottamusvälille. Kaikki muut suuten puolueiden vaalitulokset mahtuvat niiden kannatuksille lasketuille luottamusväleille (Kokoomuksen ja SDP:n molemmat vaalitulokset sekä Keskustan kunnallisvaalitulos). d) SDP:n ja Keskustan kannatukset mahtuvat toistensa 99 % luottamusväleille, mutta eivät kokoomuksen kummallekaan luottamusvälille. Kokoomuksen kannatus ei myöskään mahdu Keskustan eikä Sdp:n kummallekaan luottamusvälille. Huom! Puolueiden kannatus vaihtelee ajan kuluessa, joten aiempien vaalitulosten ei mitenkään "täydy" mahtua edellä lasketuille luottamusväleille. 5. Peussuomalaisten kannatus oli kunnallisvaaleissa 5, 4%. Oheisessa kyselyssä Peussuomalaisten kannatukseksi saatiin 8, 9%. RKP:n kannatus oli kunnallisvaaleissa 4, 7%. Oheisessa kyselyssä RKP:n kannatukseksi saatiin 4%. a) Testaa 5%mekitsevyystasolla, onko Peussuomalaisten kannatus muuttunut. b) Testaa 5%mekitsevyystasolla, onko Peussuomalaisten kannatus kasvanut. c) Testaa 5%:n ja 1%:n mekitsevyystasolla, onko RKP:n kannatus muuttunut? d) Testaa 5%:n ja 1%:n mekitsevyystasolla, onko RKP:n kannatus laskenut? Ratkaisu: Lasketaan ensin testisuueen avo kohtaan a) ja b). Testisuue saadaan kaavasta ˆp p 0 Z =, p0 (1 p 0 ) n joka noudattaa suuissa otoksissa appoksimatiivisesti standadoitua nomaalijakaumaa nollahypoteesin pätiessä (kijan s. 149). Mekitään Peussuomalaisten kannatusta 2009-kyselyssä ˆp:lla ja 2008-vaaleissa p 0 :lla. Testisuueeksi saadaan z = 0.089 0.054 p 0.054 0.946/ =8.48176. Muodostetaan nyt hypoteesit ja veataan testisuuetta kiittisiin avoihin pyydetyllä mekitsevyystasolla. a) H 0 : ˆp = p 0, H 1 : ˆp 6= p 0. Kyseessä on kaksisuuntainen testi, joten kiittinen avo on ±1.960. Testisuueen avo on itseisavoltaan huomattavasti kiittisen avon itseisavoa suuempi, joten H 0 voidaan hylätä 5%:n mekitsevyystasolla. b) H 0 :ˆp = p 0, H 1 :ˆp>p 0. Nyt kyseessä on yksisuuntainen testi, joten kiittinen aja madaltuu entisestään ja on 1.645. Testisuueen avo on edelleen
itseisavoltaan kiittisen avon itseisavoa suuempi, joten H 0 voidaan hylätä 5%:n mekitsevyystasolla ja aikaisempaa selvemmin. Lasketaan seuaavaksi testisuueen avo kohdissa c) ja d). Nyt ˆp on RKP:n kannatus 2009-kyselyssä ja p 0 2008-vaaleissa. Testisuue on z = 0.040 0.047 p 0.047 0.953/ = 1.8116 Muodostetaan taas hypoteesit ja veataan testisuuetta pyydetyillä mekitsevyystasoilla. c) H 0 : p =0.047, H 1 : p 6= 0.047. 5%:n mekitsevyystasolla kiittinen avo on 1.960 > 1.8116, 1%:n mekitsevyystasolla kiittinen avo on 2.576 > 1.8116, jotenh 0 jää voimaan kummassakin tapauksessa. d) H 0 : p =0.047, H 1 : p<0.047. 5%:n mekitsevyystasolla kiittinen avo yksisuuntaisessa testissä on 1.645 < 1.8116, jolloin H 0 hylätään, mutta 1%:n mekitsevyystasolla kiittinen avo on 2.326 > 1.8116, jolloin H 0 jää voimaan. 6. Oletetaan, että Vasemmistoliiton ja Viheiden maaliskuiset (2009) kannatusaviot ovat peäisin ei tutkimuksista, joissa molemmissa oli 1500 hengen otokset. a) Testaa 5%:n mekitsevyystasolla, poikkeavatko puolueiden kannatukset tosistaan. b) Testaa 5%:n mekitsevyystasolla, onko Viheiden kannatus suuempi kuin Vasemmistoliiton. c) Testaa 1%:n mekitsevyystasolla, onko Viheiden kannatus suuempi kuin Vasemmistoliiton. Ratkaisu: Testisuue saadaan nyt kaavasta ˆp 1 ˆp 2 z = ˆp(1 ˆp)( 1 + 1, ) n 1 n 2 joka jälleen noudattaa suuissa otoksissa appoksimatiivisesti standadoitua nomaalijakaumaa nollahypoteesin pätiessä (kijan s:t 170 171). Mekitään Viheiden kannatusta kyselyssä ˆp 1 :lla ja Vasemmistoliiton kannatusta kyselyssä ˆp 2 :lla. Yllä olevan kaavan ˆp lasketaan kaavasta Tehtävän tapauksessa ˆp = ˆp 1n 1 +ˆp 2 n 2 n 1 + n 2. ˆp = 0.101 1500 + 0.081 1500 1500 + 1500 =0.091.
Näin ollen testisuue saa avon 0.101 0.081 z = 1 0.091(1 0.091)( 1500 + 1 =1.904. 1500 ) Muodostetaan hypoteesit ja suoitetaan vetailut kiittisiin avoihin. a) H 0 : p 1 = p 2, H 1 : p 1 6= p 2. 5%:n mekitsevyystasolla kiittinen avo on kaksisuuntaisessa testissä taas 1.960 > 1.904, jotenh 0 jää voimaan. b) H 0 : p 1 = p 2, H 1 : p 1 >p 2. 5%:n mekitsevyystasolla kiittinen avo on yksisuuntaisessa testissä 1.645 < 1.904, jotenh 0 hylätään. Riskitasolla 5 %:a tehdyn testin mukaan viheiden kannatus on suuempi kuin Vasemmistoliiton. c) H 0 : p 1 = p 2, H 1 : p 1 >p 2. 1%:n mekitsevyystasolla kiittinen avo on yksisuuntaisessa testissä 2.326 > 1.904, jotenh 0 jää voimaan. Nollahypoteesia yhtäsuuesta kannatuksesta ei voida hylätä 1 %:n iskitasolla. P.S. Ymmäsithän, miksi tehtävässä oletettiin, että kyselyjä oli tehty kaksi toisistaan iippumattomasti?! 7. a) Mikä olisi tavittava otoskoko suuten puolueiden (käytä kannatusaviona 20 posenttia) kohdalla, jos takkuudeksi valitaan ±1, 5 posenttiyksikköä 95 %:n vamuudella? b) Mikä olisi tavittava otoskoko keskisuuten puolueiden (käytä kannatusaviona 10 posenttia) kohdalla, jos takkuudeksi valitaan ±1, 5 posenttiyksikköä 95 %:n vamuudella? c) Mikä olisi tavittava otoskoko pienten puolueiden (käytä kannatusaviona 5 posenttia) kohdalla, jos takkuudeksi valitaan ±1, 5 posenttiyksikköä 99 %:n vamuudella? d) Mikä olisi tavittava otoskoko pienten puolueiden (käytä kannatusaviona 5 posenttia) kohdalla, jos takkuudeksi iittäisi ±3 posenttiyksikköä 99 %:n vamuudella?
Ratkaisu: Tehtävässä atkaistaan yhtälön avulla otoskoko, kun haluttu takkuus tunnetaan. Laskut alla peustuvat kijan sivuihin 147 ja 152. a) 0.20 0.80 1.96 =0.015 n 1.96 0.20 0.80 = 0.015 n 1.96 0.20 0.80 = n 0.015 Ã 1.96 0.20 0.80 n = 0.015 n = 2731.80.! 2 Haluttu otoskoko on 2732. Vastaavalla tavalla yhtälöä pyöittämällä voidaan muodostaa suoaan lauseke, johon oikeat luvut sijoittamalla saadaan vastaukset seuaaviin kohtiin: b) Ã 1.960! 2 0.10 0.90 = 1536.64. 0.015 Haluttu otoskoko on 1537. Huomattavasti pienempi otos iittää keskisuuten puolueiden kannatuksen avioimiseen samalla (absoluuttisella) takkuudella (vt. kijan s. 150). c) Ã 2.576! 2 0.05 0.95 = 1400.89. 0.015 Haluttu otoskoko on 1401. Puoluekoon pienetessä päästään suuempaan takkuuteen edellistäkin pienemmällä otoksella. d) Ã 2.576! 2 0.05 0.95 = 350.22. 0.030 Haluttu otoskoko on 351.