Lineaarialgebra, kertausta aiheita
Matriisitulo käänteismatriisi determinantin kehittäminen determinantin ominaisuudet adjungaatti ja Cramerin kaavat
yhtälöryhmän eri esitystavat Gauss-Jordan -algoritmi Cramerin kaavat Erikoistapaukset
Määritelmä (1) Vektorisysteemi { u 1, u 2,..., u n } on lineaarisesti riippumaton (eli vapaa), jos (λ 1 u 1 + λ 2 u 2 +... λ n u n = 0) (λ 1 = λ 2 = = λ n = 0) (1) (2)Vektorisysteemi { u 1, u 2,..., u n } on vapaa, jos mitään vektoreista ei voida lausua muiden lineaarikombinaationa.
Lauseita Olkoon U matriisi (m n), jonka sarakkeissa on vektorit { u 1, u 2,..., u n }. (3) Jos m = n, niin { u 1, u 2,..., u n } on vapaa, jos ja vain jos det(u) 0. (4) Jos m > n, niin { u 1, u 2,..., u n } on vapaa, jos ja vain jos det(u T U) 0.
Määritelmä Matriisin säännöllisyysaste on sen vapaiden sarakkeiden lukumäärä. n n neliömatriisi A on säännöllinen A 1 Det(A) 0 = n A on a matrix of full rank.
Olkoon m > n. Silloin m n matriisille A on voimassa = n Det(A T A) 0 Olkoon m = n. Silloin n n matriisille A on voimassa = n Det(A) 0 Olkoon m < n. Silloin m n matriisille A on voimassa m < n
Vapaaksi karsiminen Tarvittaessa matriisin sarakkeet saadaan karsittua vapaiksi Gaussin algoritmilla. Vapaaksi karsimalla saadaan sarakeavaruuden Col(A) kanta. Tarvittaessa tama kanta voidaan ortonormittaa Gramm-Schmidt algoritmilla
Pseudoinverssi määritelmä Milloin on olemassa? Miten lasketaan? Miten käytetään? Jos m n matriisin A säännöllisyysaste on n, niin on A = (A T A) 1 A T
Pseudoinverssi Käyttö Jos yhtälöryhmällä A x = b on yksikäsitteinen ratkaisu, niin Jos x = A b c 1 a 1 + c 2 a 2 + + c n a n = A c = ˆ y y niin parhaat kertoimet (PNS) saadaan kaavalla c = A y, ˆ y = AA y
määritelmiä Lineaarikuvauksen määritelmä Lineaarikuvauksen ydin ja kuva Lineaarikuvauksen matriisi Matriisin sarakeavaruus Matriisin ydin
Määritelmiä Lineaariavaruuden kanta (1) on vapaa ja (2) virittää koko lineaariavaruuden Kantavektoreiden lukumäärä on. Jos vektoreita on liikaa, systeemi voidaan karsia vapaaksi > saadaan selville
Koordinaatit kannassa Vektorin a koordinaattivektori kannassa U = { u 1, u 2,..., u n } on c, jos a = c 1 u 1 + c 2 u 2 + + c n u n = U c
Kaavat Olkoon U ja W kaksi kantaa ja U = W A Jos a = U c u = W c w, niin c w = A c u, ja c u = A 1 c w.
Määritelmä Olkoon T säännöllinen matriisi. Matriisit A ja B ovat similaariset, jos ja A = T 1 BT Similaarisilla matriiseilla on samat ominaisarvot Diagonalisointi
Q on ortogonaalinen, jos Q T = Q 1 Ortogonaalisen matriisin sarakkeet muodostavat ortonormitetun kannan. Ortonormitus: Gramm-Schmidt QR -hajoitelma
ehtävä Defektiivisyys Symmetrisen reaalisen matriisin ominaisarvotehtävä helppo! Yhteys singulaariarvohajoitelmaan
Muuta Singulaariarvohajoitelma Matriisinormit Matriisin kuntoluku Neliömuodot Miten laaditaan neliömuotoon liittyvä symmetrinen matriisi? Miten symmetrisen matriisin definiittisyys tutkitaa? Ominaisarvojen tulo on Det(A) Ominaisarvojen summa on Trace(A)
Pienimmän Neliösumman Menetelmä (OLS) Selitettävä vektori y (aikasarja) Selittävät vektorit x 1, x 2,..., x n (aikasarjat) Selitysmalli y = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n = X c. yhteys ortonaali-projektioon Yhteys in (X c = y) parhaat kertoimet ovat ĉ = X y Mallin antama estimaatti ŷ = X ĉ on lähinnä selitettävää aikasarjaa y oleva lineaarikombinaatio selittävistä aikasarjoista x i.