Mat-.103 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit Harjoitus 8, kevät 004 Esimerkkiratkaisut. 1. Myrkyllistä ainetta oli kaadettu jokeen, joka johtaa suurelle kalastusalueelle. Tie- ja vesirakennusinsinöörit tutkivat tapaa, jolla vesi kuljettaa myrkyllistä ainetta, mittaamalla myrkkypitoisuuksia kolmesta eri paikasta pyydystetyistä ostereista. Saatiin seuraavanlainen aineisto: Paikka 1 Paikka Paikka 3 15 19 6 15 6 0 10 4 0 6 6 9 11 15 8 0 17 1 13 4 6 15 18 Testaa onko myrkkypitoisuus eri ryhmissä sama. (Summat: i [Milton-Arnold: 13.1.5] j Y ij = 10546, T 1 = 185, T = 147, T 3 = 154) RATK. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: T = T i = 185 + 147 + 154 = 486. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen lukumäärä: n 1 = 8, n = 9, n 3 = 7, n = n i = 8 + 9 + 7 = 4. 1
Lasketaan neliösummat: SS T = n i j=1 ij T n Y = 10546 486 4 = 704.5, ja SS G = T i T n i n = 185 8 + 147 9 + 154 7 486 4 = 5.65. SS E = SS T SS G = 704.5 5.65 = 478.875. F = SS G/(k 1) SS E /(n k) = 5.65/(3 1) 478.875/(4 3) = 4.94714 Testisuure F noudattaa F,1 -jakaumaa nollahypoteesin H 0 : µ 1 = µ = µ 3 ollessa tosi. P-arvon laskeminen: Mellinin monisteen taulukosta 4.A saadaan ja taulukosta 4.C saadaan P-arvolle saadaan siis arvio P [F,1 3.467] = 5% = 0.05 P [F,1 5.780] = 1% = 0.01. 0.01 < P [F,1 4.94714] < 0.05 (Jotain tilasto-ohjelmistoa käyttämällä saadaan laskettua tarkka P- arvo P [F,1 4.94714] = 0.01736). Saadaan pieni ( melkein merkitsevä ) P-arvo, joten aineiston perusteella myrkkypitoisuudet näyttäisivät eroavan eri pyydystyspaikoissa.
. On testattu alumiinitankojen vetolujuutta. Neljäkymmentä samanlaista alumiinitankoa jaettiin satunnaisesti kolmeen yhtä suureen ryhmään. Jokaiselle ryhmälle annettiin erilaista lämpökäsittelyä ja sen jälkeen mitattiin tankojen vetolujuudet (mittayksikkö: 1000 pauna/tuuma ). Saatiin seuraavanlainen aineisto: Käsittely 1 3 4 18.9 18.3 1.3 15.9 0.0 19. 1.5 16.0 0.5 17.8 19.9 17. 0.6 18.4 0. 17.5 19.3 18.8 1.9 17.9 19.5 18.6 1.8 16.8 1.0 19.9 3.0 17.7.1 17.5.5 18.1 0.8 16.9 1.7 17.4 0.7 18.0 1.9 19.0 (a) Testaa yksisuuntaisen varianssianalyysin avulla onko eri käsittelyillä vaikutusta vetolujuuteen. (b) Testaa nollahypoteeseja H 0 : µ 1 µ + µ 3 µ 4 = 0 ja H 0 : µ 1 µ 3 = 0. (Summat: i T 4 = 173.5) j Y ij = 15194.1, T 1 = 03.4, T = 183.4, T 3 = 15.7, [Milton-Arnold: 13.3.(b) and 13.4.7] 3
RATK. (a) Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: T = T i = 03.4 + 183.4 + 15.7 + 173.5 = 776. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen lukumäärä: n 1 = n = n 3 = n 4 = 10, n = 4 10 = 40. Lasketaan neliösummat: SS T = n i j=1 ij T n Y = 15194.1 776 40 = 139.7 Ti SS G = T n i n = 03.4 + 183.4 + 15.7 + 173.5 776 10 10 10 10 40 = 109.186 SS E = SS T SS G = 139.7 109.186 = 30.514 F = SS G/(k 1) 109.186/(4 1) = SS E /(n k) 30.514/(40 4) = 4.9387 Testisuure F noudattaa F 3,36 -jakaumaa nollahypoteesin H 0 : µ 1 = µ = µ 3 = µ 4 ollessa tosi. P-arvon laskeminen: Mellinin monisteen taulukosta 4.C saadaan ja P [F 3,30 4.510] = 1% = 0.01 P [F 3,40 4.313] = 1% = 0.01. Näiden kahden arvon perusteella voidaan päätellä, että P [F 3,36 4.4] 0.01 4
P-arvolle saadaan siis arvio P [F 3,36 4.9387] < 0.01. (Tilasto-ohjelmistoja käyttämällä saadaan laskettua tarkka P-arvo P [F 3,36 4.9387] = 5.57764 10 1 ). Saadaan hyvin pieni ( erittäin merkitsevä ) P-arvo, joten nollahypoteesi voidaan hylätä. (b) Testataan nollahypoteesia H 0 : µ 1 µ + µ 3 µ 4 = 0 Kyseessä on kontrastin L 1 = k a iµ i testaus missä k = 4, a 1 = 1, a = 1, a 3 = 1, a 4 = 1. Lasketaan L 1 :n estimaatti ˆL 1 : ˆL 1 = a i Ȳ i = 1 03.4 10 1 183.4 10 + 1 15.7 10 1 173.5 = 6.. 10 Lasketaan summa Kohdan (a) perusteella: a i = 1 n i 10 + ( 1) + 1 10 10 + ( 1) 10 = 4 10 = 0.4. MS E = SS E /(n k) = 30.514/(40 4) = 0.8476111. Testisuureena on Q 1 /1 Q /(n k) = SS L 1 MS E missä ˆL 1 SS L1 = k a i n i on kontrastia L 1 vastaava neliösumma. Edellä oleva testisuure on F 1,n k -jakautunut, kun nollahypoteesi on tosi. SS L1 = 6. /0.4 = 96.71. 5
Q 1 /1 Q /(n k) = 96.71 0.8476111 = 114.1101. Lasketaan P-arvo: Mellinin monisteen taulukon 4.C perusteella ja P [F 1,30 7.56] = 0.01 P [F 1,40 7.314] = 0.01. Näiden kahden arvon perusteella voidaan päätellä, että P-arvolle saadaan siis arvio P [F 1,36 7.4] 0.01 P [F 1,36 114.1101] < 0.01. (Tilasto-ohjelmistoja käyttämällä saadaan laskettua tarkka P-arvo P [F 1,36 114.1101] = 1.03478 10 1 ). Saadaan erittäin merkitsevä P-arvo, joten nollahypoteesi voidaan hylätä. Siis aineiston perusteella näyttää siltä, että µ 1 µ + µ 3 µ 4 0 eli 1 (µ 1 + µ 3 ) 1 (µ + µ 4 ). Testataan seuraavaksi nollahypoteesia H 0 : µ 1 µ 3 = 0. Kyseessä on kontrastin L = k b iµ i testaus missä k = 4, b 1 = 1, b = 0, b 3 = 1, b 4 = 0. Lasketaan L :n estimaatti ˆL : ˆL = Lasketaan summa b i Ȳ i = 1 03.4 10 1 15.7 = 1.3. 10 b i = 1 n i 10 + ( 1) 10 = 0.. SS L = ( 1.3) /0. = 7.5645. 6
Q 1 /1 Q /(n k) = 7.5645 0.8476111 = 8.94494. Lasketaan P-arvo: Mellinin monisteen taulukon 4.C perusteella (katso kontrastin L 1 testaus) P-arvolle saadaan arvio P [F 1,36 8.94494] < 0.01. (Tilasto-ohjelmistoja käyttämällä saadaan laskettua tarkka P-arvo P [F 1,36 8.94494] = 0.005040638). Saadaan erittäin merkitsevä P-arvo, joten nollahypoteesi voidaan hylätä. Siis aineiston perusteella näyttää siltä, että µ 1 µ 3 0 eli µ 1 µ 3. 7
3. Kemian insinööri tutkii vasta kehitettyä polymeeriä, jota haluttaisiin käyttää myrkkyjätteiden poistamiseen vedestä. Puhdistuskoe suoritettiin viidessä eri lämpötilassa. Vedestä mitattiin kuinka suuri osa epäpuhtauksista (prosentteina) saatiin poistettua uuden polymeerin avulla. Lämpötila I II III IV V 40 36 49 47 55 35 4 51 49 60 4 38 53 51 6 48 39 53 5 63 50 37 5 50 59 51 40 50 51 61 (a) Testaa eroavatko eri ryhmät toisistaan. (b) Anna kontrasti, jota voidaan käyttää populaation 5 keskiarvon vertaamiseen neljän muun populaation yhdistettyyn keskiarvoon. Testaa onko tämän kontrastin arvo nolla. (Summat: i j Y ij = 73468, T 1 = 66, T = 3, T 3 = 308, T 4 = 300, T 5 = 360) [Milton-Arnold: 13.4.8, 13.4.30] RATK. (a) Lasketaan kaikkien havaintoarvojen summa: T = T i = 66 + 3 + 308 + 300 + 360 = 1466. Lasketaan kaikkien havaintoarvojen lukumäärä: n 1 = n = n 3 = n 4 = n 5 = 6, n = 5 6 = 30. 8
Lasketaan neliösummat: SS T = n i j=1 ij T n Y = 73468 1466 = 188.467 30 Ti SS G = T n i n = 66 + 3 + 308 + 300 + 360 1466 6 6 6 6 6 30 SS E = SS T SS G = 189.467 1535.467 = 94.0. = 1535.467 F = SS G/(k 1) 1535.467/(5 1) = SS E /(n k) 94.0/(30 5) = 3.64173. Testisuure F noudattaa F 4,5 -jakaumaa nollahypoteesin H 0 : µ 1 = µ = µ 3 = µ 4 = µ 5 ollessa tosi. P-arvon laskeminen: Mellinin monisteen taulukosta 4.C saadaan joten P-arvolle saadaan arvio P [F,5 5.568] = 1% = 0.01, P [F,5 3.64173] < 0.01. (Tilasto-ohjelmistoja käyttämällä saadaan laskettua tarkka P-arvo P [F,5 3.64173] = 1.069418 10 7 ). Saadaan hyvin pieni ( erittäin merkitsevä ) P-arvo, joten nollahypoteesi voidaan hylätä. Aineiston perusteella ryhmien odotusarvot näyttäisivät eroavan toisistaan. (b) Testataan hypoteesia H 0 : 1 4 (µ 1 + µ + µ 3 + µ 4 ) = µ 5 eli hypoteesia H 0 : µ 1 + µ + µ 3 + µ 4 4µ 5 = 0 9
Kyseessä on kontrastin L 1 = k a iµ i testaus missä k = 5, a 1 = 1, a = 1, a 3 = 1, a 4 = 1 ja a 5 = 4. Lasketaan L 1 :n estimaatti ˆL 1 : ˆL 1 = a i Ȳ i = 1 66 6 +1 3 6 +1 308 6 +1 300 6 4 360 6 = 55.66667. Lasketaan summa a i = 1 n i 6 + 1 6 + 1 6 + 1 6 + ( 4) 6 = 3.33333. SS L = ( 55.66667) /3.33333 = 99.6333. Q 1 /1 Q /(n k) = SS L = 99.6333 = 79.05045. MS E 11.76 Lasketaan P-arvo: Mellinin monisteen taulukon 4.C perusteella joten P-arvolle saadaan arvio P [F 1,5 7.770] = 0.01, P [F 1,5 79.05045] < 0.01. (Tilasto-ohjelmistoja käyttämällä saadaan laskettua tarkka P-arvo P [F 1,5 79.05045] = 3.51187 10 9 ). Saadaan erittäin merkitsevä P-arvo, joten nollahypoteesi voidaan hylätä. Siis aineiston perusteella näyttää siltä, että 1 4 (µ 1 + µ + µ 3 + µ 4 ) µ 5. 10