Yksisuuntainen varianssianalyysi (jatkoa) Heliövaara 1
Odotusarvoparien vertailu Jos yksisuuntaisen varianssianalyysin nollahypoteesi H 0 : µ 1 = µ 2 = = µ k = µ hylätään tiedetään, että ainakin kaksi odotusarvoista µ i, i = 1, 2,...,k eroaa tilastollisesti merkitsevästi toisistaan. Jos nollahypoteesi H 0 hylätään, varianssianalyysia voidaan jatkaa ryhmittelyllä, jossa selvitetään missä ryhmissä odotusarvojen erot ovat tilastollisesti merkitseviä. Vertailu voidaan suorittaa käyttämällä luottamusvälejä tai testejä. Tehtävien parivertailujen lukumäärä on ( ) k 2 = k(k 1) 2 Heliövaara 2
Odotusarvoparien vertailu - luottamusvälin käyttö 1/2 Oletetaan, että haluamme verrata odotusarvoja µ k ja µ l. Vertaillu voidaan suorittaa siten, että konstruoidaan odotusarvojen µ k ja µ l erotukselle µ k µ l luottamusväli luottamustasolla (1 α) ja tutkitaan kuuluuko nolla väliin vai ei. Heliövaara 3
Odotusarvoparien vertailu - luottamusvälin käyttö 2/2 Käytetään odotusarvojen µ k ja µ l erotuksen luottamusvälinä luottamustasolla (1 α) väliä (ȳ k ȳ l ) ± t α/2 s P 1 n k + 1 n l, missä s 2 P = 1 N k (n i 1)s 2 i = 1 SSE = MSE N k on ns. yhdistetty varianssi, jossa s 2 i = 1 N k i havaintojen otosvarianssi. ni j=1 (y ji ȳ i ) 2 on ryhmän Heliövaara 4
Odotusarvoparien vertailu - testauksen käyttö 1/2 Oletetaan, että haluamme verrata odotusarvoja µ k ja µ l. Vertailu tapahtuu testaamalla nollahypoteesia merkitsevyystasolla α. Vaihtoehtoisen hypoteesina on H 0 : µ k = µ l H 1 : µ k µ l Heliövaara 5
Odotusarvoparien vertailu - testauksen käyttö 2/2 Käytetään t-testisuuretta t = ȳ k ȳ l s P 1 n k + 1 n l. Nollahypoteesin pätiessä t t(n k). Heliövaara 6
Bonferronin epäyhtälö Olkoot A 1,A 2,...,A m tapahtumia. Tällöin pätee Bonferronin epäyhtälö P(A 1 A 2 A m ) 1 [P(A c 1) + P(A c 2) + + P(A c m)] Heliövaara 7
Bonferronin menetelmä simultaanisissa testeissä 1/2 Bonferronin menetelmä odotusarvojen vertailussa perustuu Bonferronin epäyhtälöön. Oletetaan, että tehtävänä on suorittaa m tilastollista testiä. Simultaanisessa testauksessa tarkastellaan todennäköisyyttä α, että vähintään yksi testien nollahypoteeseista hylätään virheellisesti. α = P( Vähintään yksi virheellinen hylkäys ) Heliövaara 8
Bonferronin menetelmä simultaanisissa testeissä 2/2 Oletetaan, että kaikissa testeissä käytetään samaa merkitsevyystasoa α. Bonferronin epäyhtälöstä seuraa, että α mα. missä m on testien lukumäärä m = ( ) k 2 = k(k 1), 2 Kun valitaan saadaan α = β m, α β. Heliövaara 9
Kontrastit Heliövaara 10
Kontrastit Ryhmiin jaetun aineiston odotusarvoille µ i, i = 1, 2,...,k voidaan esittää muitakin hypoteeseja, kuin varianssianalyysissa käytetty tai parivertailuissa käytetty H 0 : µ 1 = µ 2 =... = µ k = µ, H 0 : µ k = µ l. Esimerkiksi H 0 : µ k + µ k+1 = µ l + µ l+1 tai H 0 : µ k = 1 2 (µ l + µ l+1 ) Tämän muotoisia hypoteeseja voidaan testata käyttämällä kontrasteja. Heliövaara 11
Kontrastin määritelmä Olkoon y ji = µ i + ε ji,j = 1, 2,...,n i, i = 1, 2,...,k yksisuuntaisen varianssianalyysin malli, jossa jäännöstermit ε ji ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita: ε ji N(0,σ 2 ), j,i Parametrien µ 1,µ 2,...,µ k lineaarikombinaatio Γ = c i µ i on kontrasti, jos c i = 0. Heliövaara 12
Kontrasteja koskevat hypoteesit Asetetaan kontrastille Γ nollahypoteesi ja vaihtoehtoinen hypoteesi H 0 : Γ = H 1 : Γ = c i µ i = 0 c i µ i 0 Heliövaara 13
Kontrastien estimointi Olkoon kontrastin estimaattori. C = Γ = c i ȳ i c i µ i Estimaattori C on normaalijakautunut: C N(µ C,σC 2 ), missä µ C = E(C) = c i µ i = Γ σ 2 C = D 2 (C) = σ 2 c 2 i n i Heliövaara 14
F -testi kontrasteille 1/3 Olkoon Q 1 = C2 D 2 (C). Jos nollahypoteesi H 0 : Γ = 0 pätee, niin Q 1 χ 2 (1). Olkoon jossa SSE = k Voidaan osoittaa, että jossa N = n 1 + n 2 + + n k. Q 2 = SSE σ, 2 ni j=1 (y ji ȳ i ) 2 = k (n i 1)s 2 i. Q 2 χ 2 (N k), Heliövaara 15
F -testi kontrasteille 2/3 Määritellään F -testisuure F = Q 1 /1 Q 2 /(N k) = (N k)q 1 Q 2. Jos nollahypoteesi H 0 : Γ = 0 pätee, niin F F(1,N k). Heliövaara 16
F -testi kontrasteille 3/3 Testisuure F voidaan kirjoittaa myös muodossa F = ( ) 2 k c iȳ i ( ), k c 2 i MSE n i jossa MSE = SSE N k. Heliövaara 17
t-testi kontrasteille Edellä esitetty F -testi ja testi, jossa käytetään t-testisuuretta t = MSE k c iȳ i ( k c 2 i n i ) ovat ekvivalentteja. Jos nollahypoteesi H 0 : Γ = 0 pätee, niin t t(n k). Heliövaara 18
Ortogonaaliset kontrastit Kontrastit ja ovat ortogonaalisia, jos Γ = = c i µ i d i µ i c i d i n i = 0 Heliövaara 19
Ortogonaaliset kontrastit ja SSG Toisistaan riippumattomien ortogonaalisien kontrastien lukumäärä on k 1, jossa k on ryhmien lukumäärä. Ortogonaaliset kontrastit dekomponoivat ryhmien välistä vaihtelua kuvaavan SSG-neliösumman (k 1) komponenttiin, joista jokaisen aste on 1. Siten ortogonaalisiin kontrasteihin liittyvät testit ovat riippumattomia. Heliövaara 20