Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Määritelmä Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortogonaaliseksi, jos sen vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan eli w i w j = 0 kaikilla i, j {1, 2,..., k}, missä i j. Kantaa ( w 1,..., w k ) kutsutaan ortonormaaliksi, jos se on ortogonaalinen ja lisäksi sen kaikkien vektorien normi on yksi eli w i = 1 kaikilla i {1, 2,..., k}. LM1, Kesä 2012 139/218
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Huom. Oletetaan, että n {1, 2,...}. Avaruuden R n luonnollinen kanta E n = (ē 1,..., ē n ) on ortonormaali, sillä ē i ē j = 0, jos i j ja ē i = 1 kaikilla i. ē 2 ē 3 ē 1 LM1, Kesä 2012 140/218
Ortogonaalinen ja ortonormaali kanta Projektiota voidaan käyttää kannan ortogonalisoimiseen (tästä lisää jatkokurssilla): Esimerkki 28 Merkitään v 1 = ( 1, 2) ja v 2 = (3, 1). Tällöin jono ( v 1, v 2 ) on avaruuden R 2 kanta. v 1 (Voit osoittaa sen käyttämällä lausetta 20 tai kannan määritelmää.) v 2 LM1, Kesä 2012 141/218
Muodostetaan uusi jono ( w 1, w 2 ) seuraavasti: Valitaan w 1 = v 1. Valitaan w 2 = v 2 proj w1 ( v 2 ). w 1 = v 1 proj w1 ( v 2 ) v 2 w 2 = v 2 proj w1 ( v 2 ) LM1, Kesä 2012 142/218
Näin saatu jono ( w 1, w 2 ) on avaruuden R 2 ortogonaalinen kanta. w 1 w 2 Tässä siis w 1 = ( 1, 2) ja w 2 = v 2 v 2 w 1 w 1 w 1 w 1 = (3, 1) + ( 1, 2) = (2, 1). LM1, Kesä 2012 143/218
Vielä voidaan muodostaa uusi jono (ū 1, ū 2 ) seuraavasti: Valitaan ū 1 = 1 w 1 w 1. Valitaan ū 2 = 1 w 2 w 2. ū 1 ū 2 Jono (ū 1, ū 2 ) on avaruuden R 2 ortonormaali kanta. Tässä ū 1 = 1 5 ( 1, 2) ja ū 2 = 1 5 (2, 1). LM1, Kesä 2012 144/218
Ortonormaali kanta Vektorin koordinaatit ortonormaalin kannan suhteen on helppo määrittää: Lause 22 Oletetaan, että B = (ū 1,..., ū k ) on aliavaruuden W ortonormaali kanta. Oletetaan, että w W. Tällöin vektorin w koordinaatit kannan B suhteen ovat w ū 1, w ū 2,..., w ū k eli w = ( w ū 1 )ū 1 + ( w ū 2 )ū 2 + + ( w ū k )ū k. LM1, Kesä 2012 145/218
Lauseen 22 perustelu: Oletetaan, että B = (ū 1,..., ū k ) on aliavaruuden W ortonormaali kanta. Tutkitaan vektorin w W koordinaatteja kannan B suhteen. Merkitään koordinaatteja a 1,..., a k ; ts. Huomataan, että w = a 1 ū 1 + a 2 ū 2 + + a k ū k. w ū 1 = (a 1 ū 1 + a 2 ū 2 + + a k ū k ) ū 1 = a 1 (ū 1 ū 1 ) + a 2 (ū 2 ū 1 ) + + a k (ū k ū 1 ) = a 1 1 + a 2 0 + + a k 0 = a 1. Vastaavalla tavalla nähdään, että w ū i = a i kaikilla i {1, 2,..., k}. Vektorin w koordinaatit saadaan siis laskemalla kantavektorien pistetulo vektorin w kanssa. LM1, Kesä 2012 146/218
Esimerkki 29 Vektorin w = (2, 9, 7) koordinaantit ortonormaalin kannan E 3 = (ē 1, ē 2, ē 3 ) suhteen ovat lauseen 22 nojalla w ē 1 = (2, 9, 7) (1, 0, 0) = 2, w ē 2 = (2, 9, 7) (0, 1, 0) = 9, w ē 3 = (2, 9, 7) (0, 0, 1) = 7. Siis w = 2ē 1 + 9ē 2 7ē 3. LM1, Kesä 2012 147/218
Esimerkki 30 Ortonormaali kanta Tarkastellaan esimerkissä 28 muodostettua avaruuden R 2 ortonormaalia kantaa (ū 1, ū 2 ), jossa ū 1 = 1 5 ( 1, 2) ja ū 2 = 1 5 (2, 1). Vektorin v = (3, 4) koordinaatit tämän kannan suhteen ovat lauseen 22 nojalla v ū 1 = 1 ) ((3, 4) ( 1, 2) = 5 = 5, 5 5 v ū 2 = 1 ) ((3, 4) (2, 1) = 10 = 2 5. 5 5 LM1, Kesä 2012 148/218
v = 5ū 1 + 2 5 ū 2 5 ū1 ū 1 ū 2 2 5 ū2 LM1, Kesä 2012 149/218
Matriisit Määritelmä Reaalialkioinen m n -matriisi on reaalilukutaulukko, jossa on m riviä ja n saraketta. Esimerkiksi a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn on m n -matriisi. Sanotaan, että matriisin A tyyppi on m n. Matriisissa olevia lukuja kutsutaan matriisin alkioiksi, ja rivillä i sarakkeessa j olevaa alkiota merkitään A(i, j) tai a ij. Kaikkien reaalialkioisten m n -matriisien joukkoa merkitään R m n. LM1, Kesä 2012 150/218
Esimerkki 31 Merkitään 1 0 5 3 11 2 B = 4 0 2 0. 2 6 Tällöin B on reaalikertoiminen 4 3 -matriisi eli B R 4 3. Nähdään, että B(1, 3) = 5 ja B(2, 2) = 11. LM1, Kesä 2012 151/218
Määritelmä Matriisien yhteenlasku Oletetaan, että A, B R m n. Matriisien A ja B summa saadaan laskemalla yhteen samoissa kohdissa olevat alkiot. Tuloksena on m n -matriisi A + B, jolle pätee (A + B)(i, j) = A(i, j) + B(i, j). kaikilla i {1,..., m} ja j {1,..., n}. Esimerkiksi 1 2 2 1 1 + 2 2 + ( 1) 3 1 3 4 + 0 1 = 3 + 0 4 + 1 = 3 5. 5 6 3 2 5 + 3 6 + 2 8 8 Vain matriiseja, joilla on sama tyyppi, voidaan laskea yhteen. LM1, Kesä 2012 152/218
Määritelmä Matriisin kertominen skalaarilla Oletetaan, että A R m n ja c R. Matriisi A kerrottuna skalaarilla c tarkoittaa m n -matriisia ca, jota nimitetään skalaarimonikerraksi ja jolle pätee (ca)(i, j) = c A(i, j) kaikilla i {1,..., m} ja j {1,..., n}. Esimerkiksi 2 1 2 2 2 ( 1) 4 2 2 0 1 = 2 0 2 1 = 0 2. 3 2 2 3 2 2 6 4 LM1, Kesä 2012 153/218
Määritelmä Matriisin vastamatriisi ja matriisien erotus Oletetaan, että A, B R m n. Matriisin A vastamatriisi on skalaarimonikerta ( 1)A. Sitä merkitään A. Matriisien A ja B erotus tarkoittaa summaa Sitä merkitään A B. A + ( B) = A + ( 1)B. Esimerkiksi 1 2 2 1 1 2 2 ( 1) 1 3 3 4 0 1 = 3 0 4 1 = 3 3. 5 6 3 2 5 3 6 2 2 4 LM1, Kesä 2012 154/218
Erityisiä matriiseja Määritelmä Neliömatriisi on matriisi, jossa on yhtä monta riviä ja saraketta. Neliömatriisin alkio on lävistäjällä, jos alkion rivin ja sarakkeen numerot ovat samat. Matriisi, jonka kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat lävistäjällä, on lävistäjämatriisi. Esimerkiksi on lävistäjämatriisi 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 LM1, Kesä 2012 155/218
Erityisiä matriiseja Määritelmä Mitä tahansa m n -matriisia, jonka kaikki alkiot ovat nollia, kutsutaan nollamatriisiksi ja merkitään O m n tai lyhyesti O. Ykkösmatriisi puolestaan tarkoittaa n n -neliömatriisia, jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä ja muut alkiot nollia. Sitä merkitään I n tai lyhyesti I. 0 0 0 1 0 0 0 0 0 O m n =..., I 0 1. n =..... 0 0 0 0 0 0 1 LM1, Kesä 2012 156/218
Määritelmä Matriisikertolasku Oletetaan, että A R m n ja B R n p. Tällöin tulo AB on m p -matriisi, jolle pätee (AB)(i, j) = A(i, 1)B(1, j) + A(i, 2)B(2, j) + + A(i, n)b(n, j) n = A(i, k)b(k, j) k=1 kaikilla i {1,..., m} ja j {1,..., p}. Huom. Kaksi matriisia voidaan kertoa keskenään, jos ja vain jos ensimmäisessä on yhtä paljon sarakkeita kuin toisessa on rivejä. LM1, Kesä 2012 157/218
Matriisikertolasku Esimerkki 32 Lasketaan matriisien A = [ 2 1 ] 0 1 3 2 1 2 ja B = 2 1 0 1 tulo. Koska A:ssa on kolme saraketta (tyyppi 2 3) ja B:ssä on vastaavasti kolme riviä (tyyppi 3 2), matriisit voidaan kertoa keskenään. Tulosmatriisi on tyyppiä 2 2. LM1, Kesä 2012 158/218
Määritelmän mukaan [ ] 1 2 2 1 0 AB = 2 1 1 3 2 0 1 [ ] 2 1 + ( 1) ( 2) + 0 0 2 2 + ( 1) ( 1) + 0 1 = 1 1 + 3 ( 2) + 2 0 1 2 + 3 ( 1) + 2 1 [ ] 4 5 =. 5 1 LM1, Kesä 2012 159/218
Esimerkki 33 Matriisikertolasku Laske seuraavista matriisituloista ne, jotka ovat määriteltyjä. Mitä huomaat? (a) (d) (g) [ ] [ ] 1 2 1 3 0 2 [ ] 2 [ ] 1 3 1 [ ] [ ] 1 1 1 1 1 1 1 1 (b) (e) [ ] [ ] 1 1 2 2 3 0 [ ] [ ] 2 0 0 1 0 3 1 0 (c) (f) [ ] [ ] 2 1 3 1 [ ] [ ] 0 1 2 0 1 0 0 3 LM1, Kesä 2012 160/218
(a) (c) (e) (g) [ ] [ ] 1 2 1 = 3 0 2 [ ] [ ] 2 1 3 = 1 [ ] 5 3 [ ] [ ] 2 0 0 1 = 0 3 1 0 [ ] 1 [ ] [ ] 1 1 1 1 = 1 1 1 1 [ ] 0 2 3 0 [ ] 0 0 0 0 (b) (d) (f) [ ] [ ] 1 1 2 2 3 0 [ ] 2 [ ] 1 3 = 1 [ ] [ ] 0 1 2 0 = 1 0 0 3 ei määritelty [ 2 ] 6 1 3 [ ] 0 3 2 0 Huom. Usein AB BA. Siten matriisikertolasku ei ole vaihdannainen! Voi olla AB = O, vaikka A O ja B O. Siis tulon nollasääntö ei ole voimassa! LM1, Kesä 2012 161/218
Matriisipotenssi Koska matriisikertolasku on liitännäinen (sulkuja ei tarvita; ks. lause 24), voidaan asettaa seuraava määritelmä: Määritelmä Oletetaan, että A on n n -matriisi (siis neliömatriisi) ja k positiivinen kokonaisluku. Tällöin A k = AA A }{{} k tekijää ja A 0 = I n. LM1, Kesä 2012 162/218
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Lause 23 Oletetaan, että A, B ja C ovat m n -matriiseja ja s, t R. Tällöin (a) A + B = B + A (b) (A + B) + C = A + (B + C) (c) A + O = A (d) A + ( A) = O (e) s(a + B) = sa + sb (f) (s + t)a = sa + ta (g) s(ta) = (st)a (h) 1A = A. Vertaa lauseeseen 1! (vaihdannaisuus) (osittelulaki) (osittelulaki) (liitännäisyys) LM1, Kesä 2012 163/218
Matriisikertolaskun ominaisuuksia Lause 24 Seuraavat säännöt pätevät matriiseille A, B ja C sekä reaaliluvulle t, jos laskutoimitukset on määritelty (ts. matriisit ovat sopivaa tyyppiä): (a) A(BC) = (AB)C (b) A(B + C) = AB + AC (c) (A + B)C = AC + BC (d) t(ab) = (ta)b = A(tB) (liitännäisyys) (osittelulaki) (osittelulaki) (e) Jos A on m n -matriisi, niin I m A = A ja AI n = A. LM1, Kesä 2012 164/218
Perustellaan malliksi lauseen 24 kohta (c): Oletetaan, että A ja B ovat m n -matriiseja ja C on n p -matriisi. Tällöin sekä (A + B)C että AC + BC ovat määriteltyjä ja tyypiltään m p -matriiseja. Oletetaan, että i {1,..., m} ja j {1,..., p}. Tarkastellaan alkiota rivillä i ja sarakkeessa j: ( (A + B)C ) (i, j) (1) = (A + B)(i, 1)C(1, j) + + (A + B)(i, n)c(n, j) (2) = ( A(i, 1) + B(i, 1) ) C(1, j) + + ( A(i, n) + B(i, n) ) C(n, j) (3) = A(i, 1)C(1, j) + B(i, 1)C(1, j) + + A(i, n)c(n, j) + B(i, n)c(n, j) (4) = A(i, 1)C(1, j) + + A(i, n)c(n, j) + B(i, 1)C(1, j) + + B(i, n)c(n, j) (1) = (AC)(i, j) + (BC)(i, j) (2) = (AC + BC)(i, j) LM1, Kesä 2012 165/218
Perusteluja: (1) matriisien kertolaskun määritelmä; (2) matriisien yhteenlaskun määritelmä; (3) reaalilukujen osittelulaki; (4) reaalilukujen yhteenlaskun vaihdannaisuus. Havaitaan, että matriiseissa (A + B)C ja AC + BC on sama alkio rivillä i ja sarakkeessa j. Koska tässä kysymyksessä saattoi olla mikä tahansa rivi ja mikä tahansa sarake, voidaan päätellä, että matriisit ovat samat. LM1, Kesä 2012 166/218
Matriisin transpoosi Määritelmä Oletetaan, että A on m n -matriisi. Sen transpoosi A T on n m-matriisi, joka saadaan vaihtamalla matriisin A rivit ja sarakkeet keskenään. Esimerkki 34 Jos A = [ ] 1 3 2, niin A T = 5 0 1 1 5 3 0. 2 1 LM1, Kesä 2012 167/218
Symmetrinen ja antisymmetrinen matriisi Määritelmä Neliömatriisin A sanotaan olevan symmetrinen, jos A T = A. Neliömatriisin A sanotaan olevan antisymmetrinen, jos A T = A. LM1, Kesä 2012 168/218
Symmetrinen ja antisymmetrinen matriisi Esimerkki 35 Merkitään 1 4 5 0 4 5 B = 4 2 6 ja C = 4 0 6. 5 6 0 5 6 0 Tällöin B T 1 4 5 0 4 5 = 4 2 6 = B ja C T = 4 0 6 = C. 5 6 0 5 6 0 Siis B on symmetrinen ja C on antisymmetrinen. LM1, Kesä 2012 169/218
Transponoinnin ominaisuuksia Lause 25 Seuraavat säännöt pätevät matriiseille A ja B sekä reaaliluvulle t, jos laskutoimitukset on määritelty (ts. matriisit ovat sopivaa tyyppiä): (a) (A T ) T = A (b) (A + B) T = A T + B T (c) (AB) T = B T A T (d) (ta) T = t(a T ). LM1, Kesä 2012 170/218
Perustellaan malliksi lauseen 25 kohta (c): Oletetaan, että A on m n -matriisi ja B on n p -matriisi. Tällöin sekä (AB) T että B T A T ovat määriteltyjä ja tyypiltään p m -matriiseja. Oletetaan, että i {1,..., p} ja j {1,..., m}. Tarkastellaan alkiota rivillä i ja sarakkeessa j: (AB) T (i, j) (1) = (AB)(j, i) (2) = A(j, 1)B(1, i) + + A(j, n)b(n, i) (1) = A T (1, j)b T (i, 1) + + A T (n, j)b T (i, n) (3) = B T (i, 1)A T (1, j) + + B T (i, n)a T (n, j) (2) = (B T A T )(i, 1) LM1, Kesä 2012 171/218
Perusteluja: (1) transponoinnissa rivit ja sarakkeet vaihtuvat toisikseen; (2) matriisien kertolaskun määritelmä; (3) reaalilukujen kertolaskun vaihdannaisuus. Havaitaan, että matriiseissa (AB) T ja B T A T on sama alkio rivillä i ja sarakkeessa j. Koska tässä kysymyksessä saattoi olla mikä tahansa rivi ja mikä tahansa sarake, voidaan päätellä, että matriisit ovat samat. LM1, Kesä 2012 172/218
Kääntyvä matriisi Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Matriisin A käänteismatriisi tarkoittaa sellaista n n -matriisia B, että AB = I n ja BA = I n. Jos tällainen matriisi on olemassa, niin sanotaan, että A on kääntyvä eli säännöllinen. LM1, Kesä 2012 173/218
Kääntyvä matriisi Esimerkki 36 1 1 0 0 0 1 Matriisin C = 0 2 1 käänteismatriisi on D = 1 0 1, 1 0 0 2 1 2 1 1 0 0 0 1 1 0 0 sillä CD = 0 2 1 1 0 1 = 0 1 0 = I 3 1 0 0 2 1 2 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 ja DC = 1 0 1 0 2 1 = 0 1 0 = I 3. 2 1 2 1 0 0 0 0 1 LM1, Kesä 2012 174/218
Kääntyvä matriisi Lause 26 Matriisilla on korkeintaan yksi käänteismatriisi. Huom. Jos matriisi A on kääntyvä, niin sillä on lauseen 26 nojalla tasan yksi käänteismatriisi. Sitä merkitään A 1. Jos matriisi A on kääntyvä, niin AA 1 = I ja A 1 A = I. Merkintää A 1 ei voi käyttää ennen kuin on perustellut, että matriisi A todella on kääntyvä. LM1, Kesä 2012 175/218
Lauseen 26 perustelu: Oletetaan, että n n -matriisilla A on käänteismatriisit B ja C. Tällöin pätee, että AB = I n ja BA = I n sekä lisäksi AC = I n ja CA = I n. Tällöin B = BI n = B(AC) = (BA)C = I n C = C. Siten B ja C ovat välttämättä sama matriisi. Näin ollen käänteismatriiseja ei voi olla enempää kuin yksi. LM1, Kesä 2012 176/218
Kääntyvän matriisin ominaisuuksia Lause 27 Oletetaan, että matriisit A ja B ovat kääntyviä. Tällöin on olemassa A 1 ja se on kääntyvä. Lisäksi matriisit AB ja A T ovat kääntyviä. Niiden käänteismatriisit ovat seuraavat: (a) (A 1 ) 1 = A (b) (AB) 1 = B 1 A 1 (c) (A T ) 1 = (A 1 ) T. LM1, Kesä 2012 177/218
Perustellaan malliksi lauseen 27 kohta (b): Oletetaan, että matriisit A ja B ovat kääntyviä. Tällöin ne ovat neliömatriiseja ja on olemassa käänteismatriisit A 1 ja B 1, jotka ovat samantyyppisiä neliömatriiseja. Siten tulo B 1 A 1 on määritelty. Lisäksi (AB)(B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AIA 1 = AA 1 = I ja (B 1 A 1 )(AB) = B 1 (A 1 A)B = B 1 IB = B 1 B = I. Tämä tarkoittaa, että B 1 A 1 on matriisin AB käänteismatriisi. Siten AB on kääntyvä. LM1, Kesä 2012 178/218