KORKEAMMAN KL:N LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Krtalukua n olvassa diffrntiaalihtälössä F(,,,, (n) ) = siint n:nnn krtaluvun drivaatta (n) = d n /d n ja mahdollissti almpia drivaattoja, :tä ja :ää. Linaarinn n. kl:n DY standardimuodossa: (n) +p n- () (n-) + +p () +p () = r() ()
. Homognist linaarist diff.htälöt Jos r() =, htälö on homogninn: (n) + p n- () (n-) + + p () + p () = () HY:n linn ratkaisu välillä I () = C () + + C n n () () missä C,,C n ovat vakioita ja,, n linaarissti riippumattomia ratkaisuja li muodostavat ratkaisujn kannan. Yksitisratkaisu saadaan kiinnittämällä vakioidn C,,C n arvot.
Alkuarvothtävä: DY + alkuhdot ( ) = k ( ) = k () (n-) ( ) = k n-. Jos funktiot p (),, p n- () ovat jatkuvia avoimlla välillä I joll pist kuuluu, niin alkuarvothtävällä on ksikäsittinn ratkaisu () välillä I.
Funktiot (),, n () ovat linaarissti riippumattomia välillä I, jos k () + + k n n () = välillä I (5) totutuu vain, kun kaikki vakiot k,, k n ovat nollia. Funktiot (),, n () ovat linaarissti riippuvia välillä I, jos (5) totutuu krtoimilla, jotka ivät kaikki ol nollia.
5 Laus.. a) Jos funktiot p (),, p n- () ovat jatkuvia avoimlla välillä I, niin homognisn DY:n () ratkaisut,, n ovat linaarissti riippuvia välillä I, jos niidn Wronskin dtrminantti W(,..., n ) ' ' n ' n (6) (n) (n) (n) n on nolla jossakin välin I pistssä. Tällöin W = koko välillä I.
6 Suraus: b) Jos funktiot p (),, p n- () ovat jatkuvia avoimlla välillä I, niin ratkaisut,, n ovat linaarissti riippumattomia välillä I, jos W jossakin välin pistssä. Silloin W koko välillä I ja,, n muodostavat ratkaisujn kannan.
7 Laus.. Jos funktiot p (),, p n- () ovat jatkuvia avoimlla välillä I, niin homognislla DY:llä (n) + p n- () (n-) + + p () + p () = on linn ratkaisu muotoa () = C () + + C n n () missä,, n ovat linaarissti riippumattomia ja C,, C n vakioita.
8 Esimrkki.. Ovatko suraavat ratkaisut linaarissti riippumattomia? a), -, - b),, -
9. Vakiokrtoimist homognist diffrntiaalihtälöt Vakiokrtoiminn n. krtaluvun homogninn DY on (n) + a n- (n-) + + a + a = (7) missä a n-,, a ovat vakioita. Sijoittamalla rit = ja sn drivaatat saadaan karaktristinn htälö n + a n- n- + + a + a = (8)
Tapaus : Jos karaktristisn htälön juurt ovat raalist ja ksknään risuurt, ratkaisut n,..., n (9) muodostavat ratkaisujn kannan. Tapaukst voivat siintä riksn tai hdssä: Tapaus : Jos kaikki juurt ivät ol risuuria, d. ratkaisut ovat linaarissti riippuvia. Olkoon m-krtainn raalijuuri. Sitä vastaavat linaarissti riippumattomat ratkaisut ovat,,, m- ()
Tapaus : Jos karaktristislla htälöllä on konjugaattist komplksist juurt = ± i, niitä vastaavat linaarissti riippumattomat, raalist ratkaisut ovat = cos(), = sin() () Tapaus : Jos karaktristislla htälöllä on kaksinkrtaist komplksist juurt = ± i, niitä vastaavat linaarissti riippumattomat, raalist ratkaisut ovat cos(), sin(), cos(), sin() ()
Esimrkki.. a) Ratkais alkuarvothtävä hdoin () =, () = -, () =. () () b) Ratkais
. Epähomognist diffrntiaalihtälöt Epähomogninn htälö on (n) + p n- () (n-) + + p () + p () = r() () missä r(). Epähomognisn DY:n linn ratkaisu: missä () = h () + p () () h () = C () + + C n n () on homognisn DY:n linn ratkaisu p () on mikä tahansa pähomognisn DY:n (ksitis)ratkaisu
Alkuarvothtävä: DY + alkuhdot ( ) = k ( ) = k (n-) ( ) = k n- Olttaan, ttä krroinfunktiot p,,p n- ovat jatkuvia välillä I. Tällöin alkuarvothtävällä on ksikäsittinn ratkaisu () välillä I.
5.. Määräämättömin krtoimin mntlmä li ritmntlmä Vakiokrtoiminn pähomogninn diffrntiaalihtälö: (n) + a n- (n-) + + a + a = r() (5) Ensin hataan homognisn DY:n linn ratkaisu h. Sittn hataan pähomognisn DY:n ksitisratkaisu p (kutn. kl:n vakiokrtoimisn DY:n ratkaisu). Valitaan rittksi oikan puoln funktiota r() vastaava samantppinn funktio: sama taulukko kuin. kl:n tapauksssa. Tuntmattomat krtoimt ratkaistaan sijoittamalla rit drivaattoinn DY:öön.
6 r() k a k n tai n:nnn astn polnomi (n=,,, ) k cos(), k sin() k a cos(), k a sin() rit p () c a k n n +k n- n- + +k +k c cos + c sin a (c cos + c sin )
7 Karaktristislla htälöllä voi olla usampikrtaisia juuria Modifikaatiosääntö: Jos p :n trmi on homognisn htälön ratkaisu, p () krrotaan k :lla, missä k on pinin positiivinn kokonaisluku sitn, tti ksikään k p ():n trmi ol homognisn htälön ratkaisu. Ylinn ratkaisu = h + p.
8 Esimrkki.. Ratkais määräämättömin krtoimin mntlmällä a) sin b) () () c)
Ratkaisu kohtaan b): 9 HY: Karaktristinn htälö: + + + = ( + ) = Kolminkrtainn juuri = - HY:n ratkaisu: h = C - + C - + C - Yrit: p = c - p c( ) p c( 6 6) c( 9 8 p 6)
Sijoittaan nämä DY:öön. c( = - 9 8 6) c( 6 6) + c( ) c Huomataan, ttä -trmit liminoituvat 6c - = - c = 5 p = 5 Ylinn ratkaisu: = h + p = C - + C - + C - + 5 - = (C + C + C + 5 ) -
.. Paramtrin variointimntlmä li vakioidn variointi Yhtälön (n) + p n- () (n-) + + p () + p () = r() ksitisratkaisu on W () W () W n () p() r()d r()d n r() d (6) W() W() W() missä,, n on homognisn DY:n ratkaisujn kanta, W j = Wronskin dtrminantti, jossa j:s sarak on korvattu sarakklla [ ] T.
Ylinn ratkaisu = h + p. Pät muillkin kuin vakiokrtoimisill DY:ill. Ensin ratkaistava homogninn DY! Esim. kun n = W W = - ' ' ' W = '
Esimrkki.. Ratkais paramtrin varioinnilla. HY:n kantaratkaisut (thtävästä...b) = -, = -, = -
W ( ) ( ) ( ) ( ) Jokaissta sarakksta otttiin htinn krroin - tn. Lisätään. rivi. riviin ja vähnntään. rivistä. ( )
5 ) ( ) ( ) ( ) ( W ) ( ) ) ( ) ((
6 ) ( ) ( W = - ( + ) = - ) ( ) ( W = - ( + ) = -
W W W r d r d p W W W r d 7 missä W = - W = - W = - W = - r = - p d d d 5 d d 5 d = - 5 + - (-5 ) + - 5 = 5 - Ylinn ratkaisu: = h + p = C - + C - + C - + 5 - = (C + C + C + 5 ) -
Korkamman krtaluvun Eulr-Cauch-diffrntiaalihtälöt 8 Krtalukua n olva homogninn Eulr-Cauch-htälö: n (n) n (n) a n a a (7) Epähomogninn Eulr-Cauch-htälö n (n) n (n) a n a a r() (8) Homognisn Eulr-Cauchn DY:n ratkaisut rittllä = m. Epähomogninn Eulr-Cauchn DY: muuta standardimuotoon jakamalla n :llä ja tsi ksitisratkaisu p vakion varioinnilla. Määräämättömin krtoimin mntlmä i kä: ksssä i ol vakiokrtoiminn DY!
9 Esimrkki.. Ratkais pähomogninn Eulr-Cauch: 6 6 ln 6 6 ln Homogninn htälö (HY) 6 6 Sijoittaan = m = m m- " = m(m-) m- = m(m-)(m-) m- ja jataan m :llä
Saadaan => => m(m-)(m-) m(m-) + 6m 6 = (m-)[m(m-) m + 6] = (m )(m 5m + 6) = Juurt m =, m =, m = h = C + C + C
Epähomognisn htälön ksitisratkaisu p paramtrin varioinnilla: Yhtälön oltava linaarisn DY:n standardimuodossa li korkimman drivaatan krroin on 6 6 ln, r() = ln HY:n kantaratkaisut =, =, = W = 6 6 6 ( 6 ) (6 )
W = 6 W = ) ( 6 W =
W =, W =, W =, W = r() = ln W W W r d r d p W W W r d ln d ln d ln d ln d ln d ln d Btan intgroimiskaavat: n n ln a ln a d ln a d ln a n (n )
p ln ln 9 ln ln ln 8 ln 6 ) 8 ( ln 6 6 ln 6 Ratkaisu: = h + p = ln 6 6 C C C