Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Arkkitehtimatematiikan koe..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x =? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x =? (1 p.) c) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön 1+x+ =? (1 p.) d) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x 4x 16 =? (1 p.) e) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat epäyhtälön x >? (1 p.) f) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat epäyhtälön x + 1 <? (1 p.) Ratkaisu: a) Yhtälö x = toteutuu jos ja vain jos x on tai x on -. Vastaus: Reaaliluvut ja -. Sarja B: x =, Vastaus: ja -. Sarja C: x =, Vastaus: ja -. Sarja D: x = 7, Vastaus: 7 ja -7. b) Yhtälö x = toteutuu jos ja vain jos x on tai x on. Vastaus: Reaaliluvut ja. Sarja B: x =, Vastaus: ja. Sarja C: x =, Vastaus: ja. Sarja D: x = 7, Vastaus: 7 ja 7. c) Huomataan, että Vastaus: Reaaliluku. Sarja B: 1+x+ =, Vastaus:. Sarja C: 1+x+9 =, Vastaus:. Sarja D: 1+x+1 = 7, Vastaus: 7. 1 + x + = 1 + x + = 1 + x + = 6 x + 4 = 6 x = 6 4 x =. 1
d) Huomataan, että Paraabelin y = x 4x 18 nollakohdat ovat x 4x 16 = x 4x 18 = 0. x = ( 4) ± ( 4) 4 1 ( 18) 1 = 4 ± 16 + 7 = 4 ± 4 (4 + 18) = 4 ± 4 + 18 = ±. Vastaus: Reaaliluvut + ja. Sarja B: x 4x 1 =, Vastaus: + ja. Sarja C: x 4x 1 =, Vastaus: + ja. Sarja D: x 4x 11 = 7, Vastaus: + ja. e) Epäyhtälö x > toteutuu jos ja vain jos x > tai x <. Vastaus: Lukua aidosti suuremmat ja lukua aidosti pienemmät reaaliluvut. Sarja B: x >, Vastaus: Lukua aidosti suuremmat ja lukua aidosti pienemmät reaaliluvut. Sarja C: x >, Vastaus: Lukua aidosti suuremmat ja lukua aidosti pienemmät reaaliluvut. Sarja D: x > 7, Vastaus: Lukua 7 aidosti suuremmat ja lukua 7 aidosti pienemmät reaaliluvut. f) Huomataan, että x + 1 < x < 1 x < 1. Vastaus: Lukua 1 aidosti pienemmät reaaliluvut. Sarja B: x + 1 <, Vastaus: Lukua aidosti pienemmät reaaliluvut. Sarja C: x + 1 <, Vastaus: Lukua 4 aidosti pienemmät reaaliluvut. Sarja D: x + 1 < 7, Vastaus: Lukua 6 aidosti pienemmät reaaliluvut.. Neliön muotoisesta levystä leikataan jokaisesta kulmasta pois kolmio niin, että syntyy säännöllinen kahdeksankulmio. a) Piirrä kuva neliön sisään syntyvästä kahdeksankulmiosta. (1 p.) b) Olkoon neliön sivun pituus 7 metriä. Mikä on kahdeksankulmion sivun pituus? Anna vastauksen tarkka arvo ja kaksidesimaalinen likiarvo. ( p.)
Ratkaisu: a) Kuva: b) Olkoon kahdeksankulmion sivun pituus b ja olkoon poisleikatun kolmion sivujen pituudet b, c ja c.
Pythagoraan lauseen nojalla tiedetään, että b = c + c. Huomataan, että b = c + c b = c b = c c = b. Toisaalta, neliön sivun pituus 7 m = c + b + c. Kun tähän sijoitetaan c = b, saadaan Näin ollen b = 7 m + 1 = 7 m + 1 = 7 m = b + b + b = b ( ) + b = + 1 b. ( 1) 7 m ( 1) ( + 1) = ( 1) 7 m ( = 7 m 7 m,90 m. ) 1 Vastaus: Kahdeksankulmion sivun pituus on 7 7 metriä. Kaksidesimaalinen likiarvo on,90 metriä. Sarja B: Neliön sivun pituus on 11 metriä. Vastaus: Kahdeksankulmion sivun pituus on 11 11 metriä. Kaksidesimaalinen likiarvo on 4,6 metriä. Sarja C: Neliön sivun pituus on metriä. Vastaus: Kahdeksankulmion sivun pituus on metriä. Kaksidesimaalinen likiarvo on,07 metriä. Sarja D: Neliön sivun pituus on metriä. Vastaus: Kahdeksankulmion sivun pituus on metriä. Kaksidesimaalinen likiarvo on 1,4 metriä.. Todennäköisyys sille, että tulostettava kappale vioittuu D-tulostimen tulostusprosessissa on 1 6. Tulostettaessa useita kappaleita vioittumistodennäköisyydet ovat toisistaan riippumattomia. a) Mikä on todennäköisyys sille, että kolmesta tulostettavasta kappaleesta kaikki ovat ehjiä? Anna vastauksen tarkka arvo. ( p.) b) Mikä on todennäköisyys sille, että kolmesta tulostettavasta kappaleesta ainakin yksi on ehjä? Anna vastauksen tarkka arvo. ( p.) c) Tulostusprosessin jälkeen kappale (viallinen tai ehjä) menee jälkikäsittelyyn, missä todennäköisyys kappaleen vioittumiselle on 1 riippumatta siitä, onko kappale vioittunut jo tulostusprosessissa. Mikä on todennäköisyys sille, että valmiista kappaleesta tulee ehjä? Anna vastauksen tarkka arvo. ( p.) Ratkaisu: a) Todennäköisyys sille, että tulostettava kappale vioittuu tulostusprosessissa on 1 6. Tämän vuoksi todennäköisyys sille, että kappale ei vioitu tulostusprosessissa on 1 1 6 = 6 6 1 6 = 6. 4
Tulostettaessa useita kappaleita vioittumistodennäköisyydet ovat toisistaan riippumattomia. Tämän vuoksi todennäköisyys sille, että kolmesta tulostetusta kappaleesta kaikki ovat ehjiä on 6 6 6 = 6 6 6 = 1 16. Vastaus: Todennäköisyys sille, että kolmesta tulostetusta kappaleesta kaikki ovat ehjiä on 1 16. Sarja B: Tulostettavan kappaleen vioittumistodennäköisyys on 1 16. Vastaus:. 7 4 Sarja C: Tulostettavan kappaleen vioittumistodennäköisyys on 1. Vastaus: 64. 1 Sarja D: Tulostettavan kappaleen vioittumistodennäköisyys on 1 7. Vastaus:. 4 64 b) Todennäköisyys sille, että tulostettava kappale vioittuu tulostusprosessissa on 1 6. Tulostettaessa useita kappaleita vioittumistodennäköisyydet ovat toisistaan riippumattomia. Tämän vuoksi todennäköisyys sille, että kolmesta tulostetusta kappaleesta kaikki vioittuvat on 1 6 1 6 1 6 = 1 1 1 6 6 6 = 1 16. Näin ollen todennäköisyys sille, että kolmesta tulostetusta kappaleesta ainakin yksi on ehjä on 1 1 16 = 16 16 1 16 = 16 1 16 = 1 16. Vastaus: Todennäköisyys sille, että kolmesta tulostetusta kappaleesta ainakin yksi on ehjä on 1 16. Sarja B: Tulostettavan kappaleen vioittumistodennäköisyys on 1 4. Vastaus:. 7 4 Sarja C: Tulostettavan kappaleen vioittumistodennäköisyys on 1 14. Vastaus:. 1 Sarja D: Tulostettavan kappaleen vioittumistodennäköisyys on 1 6. Vastaus:. 4 64 c) Todennäköisyys sille, että tulostettava kappale vioittuu tulostusprosessissa on 1 6. Tämän vuoksi todennäköisyys sille, että kappale ei vioitu tulostusprosessissa on 1 1 6 = 6 6 1 6 = 6. Todennäköisyys kappaleen vioittumiselle jälkikäsittelyssä on 1 riippumatta siitä, onko kappale vioittunut jo tulostusprosessissa. Tämän vuoksi todennäköisyys sille, että kappale ei vioitu jälkikäsittelyssä on 1 1 = 1 = 1 = 4 riippumatta siitä, onko kappale vioittunut jo tulostusprosessissa. Näin ollen todennäköisyys sille, että kappale ei vioitu tulostusprosessissa eikä jälkikäsittelyssä (toisin sanoen, todennäköisyys sille, että valmiista kappaleesta tulee ehjä) on 6 4 = 4 6 = 4 6 =. Vastaus: Todennäköisyys sille, että valmiista kappaleesta tulee ehjä on.
Sarja B: Tulostettavan kappaleen vioittumistodennäköisyys on 1, vioittumistodennäköisyys jälkikäsittelyssä on 1. Vastaus:. 6 7 7 Sarja C: Tulostettavan kappaleen vioittumistodennäköisyys on 1, vioittumistodennäköisyys jälkikäsittelyssä on 1. Vastaus:. 4 Sarja D: Tulostettavan kappaleen vioittumistodennäköisyys on 1, vioittumistodennäköisyys jälkikäsittelyssä on 1. Vastaus: 1. 4 4. Arkkitehti K. Kansalainen omistaa hienon omakotitalon. Omakotitalon lämmittäminen suoralla sähkölämmityksellä maksaa 000 euroa vuodessa. Arkkitehti K. Kansalainen harkitsee ilmalämpöpumppua, jonka asentaminen maksaisi 000 euroa. Vaihtoehtona ilmalämpöpumpulle K. Kansalainen harkitsee maalämpöä, jonka asentaminen maksaisi 0 000 euroa. Ilmalämpöpumppu tuottaisi % säästön vuotuisiin lämmityskustannuksiin. Maalämpö puolestaan tuottaisi % säästön vuotuisiin lämmityskustannuksiin. Oletetaan, että yleinen kustannustaso pysyy muuttumattomana. a) Laske jokaisen kolmen lämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannus 10 vuoden aikana. ( p.) b) Arkkitehti K. Kansalainen päätyy ilmalämpöpumppuun. Kuinka pitkän ajan kuluttua tämän lämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen? Entäpä, jos K. Kansalainen päätyykin maalämpöön? Kuinka pitkän ajan kuluttua tämän lämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen? (4 p.) Ratkaisu: a) Suora sähkölämmitys: Yhden vuoden aikana suora sähkölämmitys maksaa 000 euroa, joten kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 10 000 euroa = 0000 euroa. Ilmalämpöpumppu: Ilmalämpöpumpun asennus maksaa 000 euroa. Toisaalta ilmalämpöpumppu tuo vuotuisiin lämmityskustannuksiin % säästön. Näin ollen vuotuiset kustannukset ovat 000 euroa 0, 000 euroa = 000 euroa 70 euroa = 0 euroa. Näin ollen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 000 euroa + 10 0 euroa = 700 euroa. Maalämpö: Maalämmön asennus maksaa 0000 euroa. Toisaalta ilmalämpöpumppu tuo vuotuisiin lämmityskustannuksiin % säästön. Näin ollen vuotuiset kustannukset ovat 000 euroa 0, 000 euroa = 000 euroa 160 euroa = 10 euroa. 6
Näin ollen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 0000 euroa + 10 10 euroa = 00 euroa. Vastaus: Suoran sähkölämmityksen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 0 000 euroa, Ilmalämpöpumpulla lämmityksen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 7 00 euroa ja maalämmöllä kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 00 euroa. Sarja B: Suora sähkölämmitys maksaa 00 euroa vuodessa. Ilmalämpöpumpun asennus maksaa 7 000 euroa ja tuo % säästöä vuotuisiin lämmityskustannuksiin. Maalämmön asennus maksaa 18 000 euroa ja tuo % säästöä vuotuisiin lämmityskustannuksiin. Vastaus: Suoran sähkölämmityksen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 000 euroa, ilmalämpöpumpulla lämmityksen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 70 euroa ja maalämmöllä kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 9 0 euroa. Sarja C: Suora sähkölämmitys maksaa 00 euroa vuodessa. Ilmalämpöpumpun asennus maksaa 7 000 euroa ja tuo % säästöä vuotuisiin lämmityskustannuksiin. Maalämmön asennus maksaa 18 000 euroa ja tuo 60% säästöä vuotuisiin lämmityskustannuksiin. Vastaus: Suoran sähkölämmityksen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 000 euroa, ilmalämpöpumpulla lämmityksen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 0 euroa ja maalämmöllä kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 000 euroa. Sarja D: Suora sähkölämmitys maksaa 000 euroa vuodessa. Ilmalämpöpumpun asennus maksaa 7 000 euroa ja tuo 0% säästöä vuotuisiin lämmityskustannuksiin. Maalämmön asennus maksaa 0 000 euroa ja tuo 60% säästöä vuotuisiin lämmityskustannuksiin. Vastaus: Suoran sähkölämmityksen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 0 000 euroa, ilmalämpöpumpulla lämmityksen kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 8 000 euroa ja maalämmöllä kokonaiskustannus 10 vuoden aikana on 000 euroa. b) Ilmalämpöpumppu: Suora sähkölämmitys maksaa 000 euroa vuodessa. Ilmalämpöpumpun asennus maksaa 000 euroa ja vuotuiset kustannukset ovat 000 euroa 0, 000 euroa = 000 euroa 70 euroa = 0 euroa. Olkoon x vuosien lukumäärä. Kokonaiskustannukset ovat samat, kun 000 euroa x = 000 euroa+ 0 euroa x. Koska 000x = 000 + 0x 70x = 000 x = 000 70, 000 = 0 = 6 + ja koska = 8, niin kokonaiskustannukset ovat samat kun aikaa kuluu 6 70 1 vuotta ja 8 kuukautta. Maalämpö: Suora sähkölämmitys maksaa 000 euroa vuodessa. Maalämmön asennus maksaa 0000 euroa ja vuotuiset kustannukset ovat 000 euroa 0, 000 euroa = 000 euroa 160 euroa = 10 euroa. 7
Olkoon x vuosien lukumäärä. Kokonaiskustannukset ovat samat, kun 000 euroa x = 0000 euroa+ 10 euroa x. Koska 000x = 0000 + 10x 160x = 0000 x = 0000 160, 0000 = 400 = 1 + 4 4 ja koska = 1 4, niin kokonaiskustannukset ovat 160 1 samat kun aikaa kuluu noin 1 vuotta ja 1,4 kuukautta. = (1 4)/ 1,44 1 1 Vastaus: Ilmalämpöpumpulla lämmityksen kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen kun aikaa kuluu noin 6 vuotta ja 8 kuukautta. Maalämmöllä lämmityksen kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen kun aikaa kuluu noin 1 vuotta ja yksi kuukausi. Sarja B: Vastaus: Ilmalämpöpumpulla lämmityksen kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen kun aikaa kuluu noin 11 vuotta ja kuukautta. Maalämmöllä lämmityksen kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen kun aikaa kuluu noin 1 vuotta ja yksi kuukausi. Sarja C: Vastaus: Ilmalämpöpumpulla lämmityksen kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen kun aikaa kuluu noin 8 vuotta. Maalämmöllä lämmityksen kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen kun aikaa kuluu noin 8 vuotta ja 7 kuukautta. Sarja D: Vastaus: Ilmalämpöpumpulla lämmityksen kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen kun aikaa kuluu noin 7 vuotta ja 9 kuukautta. Maalämmöllä lämmityksen kokonaiskustannus alittaa pelkän suoran sähkölämmitysvaihtoehdon kokonaiskustannuksen kun aikaa kuluu noin 11 vuotta ja yksi kuukausi.. Omakotitalossa ollaan vaihtamassa lämmitysjärjestelmää. Omistaja haluaa asentaa uuden järjestelmän vasta, kun öljysäiliössä oleva öljy on käytetty loppuun. Maan alle vaakasuoraan asennetun suoran ympyrälieriön muotoisen säiliön tilavuus on 000 litraa ja pääty-ympyröiden halkaisija on 100 cm. Öljypinnan korkeus on, säiliön alimmasta kohdasta mitattuna, 0 cm. Kuinka moneksi viikoksi öljy riittää, kun öljyä kuluu 70 litraa viikossa? (6 p.) Ratkaisu: Lasketaan jäljellä olevan öljyn määrä. 8
Jäljellä olevan öljyn osuus säiliön kokonaistilavuudesta on sama kuin poikkileikkausympyrän segmentin AB pinta-alan osuus koko ympyrän pinta-alasta. Segmentin AB pinta-ala = sektorin OAB pinta-ala - kolmion OAB pinta-ala. Sektorin pinta-ala: Koska ympyrän halkaisija on 100 cm ja öljypinnan korkeus on 0 cm, niin pituudet OD = OA = 0 cm, OC = (0 0) cm = 0 cm ja CD = 0 cm. Suorakulmaisesta kolmiosta OAC saadaan ratkaistua cos α = OC OA = 0 0 = ja tästä edelleen ( α = arccos =,1 ). Sektorin OAB keskuskulma on α, joten sektorin pinta-ala Kolmion pinta-ala: A sektori = α 60 π (0 cm) = 18,6 cm. Suorakulmaisesta kolmiosta OAC saadaan Pythagoraan lauseen perusteella ratkaistua Nyt kolmion OAB pinta-ala AC = 0 0 cm = 40 cm. A kolmio = 1 AB OC = 1 AC OC = 40 0 cm = 100 cm. Segmentin pinta-ala: Segmentin ala A segmentti = A sektori A kolmio. 9
Öljyn määrä = Segmentin ala Säiliön kokonaistilavuus Poikkileikkausympyrän ala = A sektori A kolmio 000 l = 18,6 cm 100 cm 000 l = 47,18 l π OD π (0 cm) Öljyä kuluu viikossa 70 litraa, joten öljyä riittää 47,18 70 6,10 viikoksi. Vastaus: Öljyä riittää kuudeksi viikoksi. Sarja B: Viikossa kuluu 60 litraa öljyä. Vastaus: Öljyä riittää seitsemäksi viikoksi. Sarja C: Viikossa kuluu 80 litraa öljyä. Vastaus: Öljyä riittää viideksi viikoksi. Sarja D: Viikossa kuluu 0 litraa öljyä. Vastaus: Öljyä riittää kahdeksaksi viikoksi. 6. Pallon P säde on 6, cm. Pallon P sisään asetetaan suora ympyräkartio K (pohjaympyrän säde r, korkeus h) siten, että kartion K kärki ja pohjaympyrän kehä ovat pallon P sisäpinnalla. Piirrä kuva. Mikä on suoran ympyräkartion K suurin mahdollinen tilavuus? Anna vastauksen tarkka arvo. (6 p.) Ratkaisu: Kuva (1 p.): Tilavuus ( p.): Olkoon suoran ympyräkartion K pohjaympyrän säde r sekä korkeus h. 10
Leikkauskuviosta saadaan Pythagoraan lauseella joten (6, cm) = (h 6, cm) + r, r = (6, cm) (h 6, cm) = (6, cm) h + 6, cm h (6, cm) = 1, cm h h. Suoran ympyräkartion tilavuudelle pätee 1 πr h = π (1, cm h h ) h = π (1, cm h h ) = V (h). Tilavuus on suurin joko suljetun välin päätepisteissä h = 0 cm, h = 1, cm tai derivaatan nollakohdassa. Koska V (0 cm) = V (1, cm) = 0 cm, suurin arvo saavutetaan derivaatan nollakohdassa. Tilavuuden derivaatta on Tarkastellaan derivaatan nollakohtia: V (h) = π ( cm h h ). π ( cm h h ) = 0 cm ( cm h h ) = 0 cm h( cm h) = 0 cm h = 0 cm tai cm h = 0 h = 0 cm tai h = cm. Näin ollen suoran ympyräkartion K tilavuuden suurin mahdollinen arvo on ( V )= cm π ( ( ) ( ) ) 1, cm cm cm = 16π cm. 16 Vastaus: Ympyräkartion K suurin mahdollinen tilavuus on 16π 16 cm. Sarjat B, C ja D: Sama kuin sarja A. c 017 Aalto-yliopisto, Lappeenrannan teknillinen yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen teknillinen yliopisto, Turun yliopisto, Vaasan yliopisto, Åbo Akademi 11