Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoitettu optimointi Lagrangen menetelmä: yksi yhtälörajoitus Lagrangen menetelmä: monta yhtälörajoitusta
Viime luennolla Tarkastelimme usean muuttujan funktioiden rajoittamatonta optimointia: max/min f(x 1,, x n ) Totesimme, että funktion ääriarvo löytyy gradientin nollakohdasta: f x 1,, x n Ääriarvo on Minimi, jos funktion Hessen matriisi on siinä positiividefiniitti Maksimi, jos funktion Hessen matriisi on siinä negatiividefiniitti Definiittisyys voitiin määrittää matriisin ominaisarvoista (ominaisarvot neg./pos. matriisi neg./pos-definiitti) Kahden muuttujan tapauksessa myös: o Jos det H x > ja 2 f 2 >, H on positiividefiniitti pisteessä x o Jos det H x > ja 2 f 2 <, H on negatiividefiniitti pisteessä x 2
Tällä luennolla Tarkastelemme usean muuttujan funktioiden yhtälörajoitettua optimointia max/min f(x 1,, x n ) siten, että g 1 x 1,, x n g m x 1,, x n m kpl yhtälörajoituksia 3
Rajoitettu optimointi: Yksi yhtälörajoitus Esim. Synteettisen kalanrehun tuotannossa käytetään kemikaaleja A (x kg/t) ja B (y kg/t). Tuotantoprosessissa rehuun jää lievästi myrkyllistä ainetta, jonka määrän (g/t) riippuvuutta kemikaalimääristä x ja y kuvaa funktio f: R + R + R +, f x, y 17.8x 2 + 71.2y 2 89.x 32.4y + 523. Millä A:n ja B:n määrillä myrkyn määrä on pienin mahdollinen, kun kemikaaleja tarvitaan yhteensä 7 kg/t? 4
Rajoitettu optimointi: Yksi yhtälörajoitus Kyseessä on kahden muuttujan rajoitettu optimointitehtävä, jossa on yksi yhtälörajoitus: min f(x, y) siten, että g x, y, missä f x, y 17.8x 2 + 71.2y 2 89.x 32.4y + 523 g x, y x + y 7 Tällainen tehtävä voidaan ratkaista Lagrangen menetelmällä 5
Lagrangen mentelemä Tehtävän min/max f(x 1,, x n ), g x 1,, x n L: R n+1 R Lagrangen funktio on L x 1,, x n, v f x 1,, x n + vg x 1,, x n Alkuperäinen kohdefunktio f + Lagrangen kerroin v Yhtälörajoitusfunktio g Pätee: (x 1,, x n, v ) on tehtävän min/max L x 1,, x n, v optimiratkaisu (x 1,, x n ) on tehtävän min/max f(x 1,, x n ), g x 1,, x n optimiratkaisu 6
Lagrangen menetelmä Rajoitetun optimointitehtävän min/max f(x 1,, x n ), g x 1,, x n ratkaisu saadaan siis ratkaisemalla rajoittamaton optimointitehtävä min/max L x 1,, x n, v Rajoittamattoman funktion L x 1,, x n, v ääriarvo löytyy gradientin nollakohdasta (x 1,, x n, v ) : L x 1,, x n, v Funktion L ääriarvokohdan (x 1,, x n, v ) laatu (minimi/maksimi) voidaan päätellä reunustetusta Hessen matriisista: ഥH v, x 1,, x n v 2 v x n v v 2 x n v x n x n x n 2 x n 2 x n x n x n x n 2 7
Lagrangen menetelmä Reunustettu Hessen matriisi on aina indefiniitti, eli ei tässä kerro ääriarvon laadusta Gradientin nollakohdassa on funktion lokaali maksimi, jos ഥH 1 <, ഥH 2 >, ഥH 3 <, ഥH 4 >, missä ഥH 1 2, ഥH 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 jne. Gradientin nollakohdassa on funktion lokaali minimi, jos ഥH 1 <, ഥH 2 <, ഥH 3 <, ഥH 4 <, 12.3.217 8
Lagrangen menetelmä Ehto ഥH 1 2 < toteutuu aina, joten Kahden muuttujan ja yhden yhtälörajoitteen tehtävässä gradientin v, x 1, x 2 nollakohdassa on lokaali Minimi, kun det ഥH v, x 1, x 2 < Maksimi, kun det ഥH v, x 1, x 2 > 12.3.217 9
Lagrangen menetelmä Esim. On minimoitava myrkyn määrää, kun A:ta ja B:tä on yhteensä 7 kg: min f x, y 17.8x 2 + 71.2y 2 89.x 32.4y + 523 s. e. g x, y x + y 7 Lagrangen funktio: L: R 3 R, L x, y, v 17.8x 2 + 71.2y 2 89.x 32.4y + 523 + v x + y 7 Gradientin nollakohta: L x, y, v D x (L x, y, v ) D y (L x, y, v ) D v (L x, y, v ) 35.6x 89. + v 142.4y 32.4 + v x + y 7 x y v 4.3 2.7 64.8 1
Lagrangen menetelmä Reunustettu Hessen matriisi: ഥH v, x, y x y x x 2 y x y x y y 2 1 1 1 D x (35.6x 89. + v) D y (35.6x 89. + v) 1 D x (142.4y 32.4 + v) D y (142.4y 32.4 + v) 1 1 1 35.6 1 142.4 ഥH det ഥH 1 1 1 35.6 1 142.4 178 < (esim. Excelissä) Rajoitettu funktio f x, y saavuttaa pisteessä x, y (4.3, 2.7) minimiarvonsa f 4.3, 2.7 123.39 g/t Vrt. Viime luennolla laskettu rajoittamaton minimi: f 2.5, 2.25 51.3 g/t 11
Lagrangen menetelmä Esim. Tuotannon arvon riippuvuutta työvoimasta x 1 (M ) ja fyysisestä pääomasta x 2 (M ) kuvaa Cobb- Douglas-tuotantofunktio f: f: R + R + R +, f x 1, x 2 2.28x 1.38 x 2.62 Miten 3 M kannattaa jakaa työvoiman ja pääoman kesken, jotta tuotannon arvo maksimoituisi? 12
Lagrangen menetelmä Maksimoidaan siis funktiota f x 1, x 2 g x 1, x 2 x 1 + x 2 3 2.28x 1.38 x 2.62 siten, että Lagrangen funktio: L x 1, x 2, v 2.28x 1.38 x 2.62 + v(x 1 + x 2 3) Gradientin nollakohta: L x 1, x 2, v D x1 (L x 1, x 2, v ) D x2 (L x 1, x 2, v ) D v (L x 1, x 2, v ) 2.28.38x 1.62 x 2.62 + v 2.28.62x 1.38 x 2.38 + v x 1 + x 2 3 13
Lagrangen menetelmä Kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä: 2.28.38x 1.62 x 2.62 2.28.62x 1.38 x 2.38 x 2.62.38 x 1 Sijoitetaan kolmanteen yhtälöön: x 1 +.62.38 x 1 3 x 1.38 3 11.4 Tällöin x 2 3 11.4 18.6 ja v 2.28.38 11.4.62 18.6.62 1.1736 Lagrangen funktion gradientin nollakohta on siis pisteessä x 1, x 2, v 11.4, 18.6, 1.1736 Mahdollinen ääriarvokohta funktiolle f x 1, x 2 on x 1, x 2 11.4, 18.6 14
Lagrangen menetelmä Muodostetaan reunustettu Hessen matriisi: ഥH v, x 1, x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 1 1 1 D x1 (.8664x.62 1 x.62 2 + v) D x2 (.8664x.62 1 x.62 2 + v ) 1 D x1 (1.4136x 1.38 x 2.38 + v ) D x2 (1.4136x 1.38 x 2.38 + v ) ഥH v, x 1, x 2 1 1 1.5372x 1.62.62 1 x 2.5372x.62.38 1 x 2 1.5372x 1.62 x 2.38.5372x 1.38 x 2 1.38 1 1 1.638.391 1.391.24 det ഥH v, x 1, x 2 1 1 1.638.391 1.391.24.1666 > maksimi Pisteessä x 1, x 2 11.4, 18.6 saavutetaan tuotannon maksimiarvo f x 1, x 2 2.28 11.4.38 18.6.62 35.2 M 15
Presemo-kysymys Määritä funktion f x, y x 2 + y 2 2xy ääriarvokohta, kun x + y 2. 1. x, y,2 2. x, y 1,1 3. x, y 2, 12.3.217 16
Presemo-kysymys Määritä funktion f x, y x 2 + y 2 2xy reunustettu Hessen matriisi, kun x + y 2. 1. ഥH v, x, y 2. ഥH v, x, y 3. ഥH v, x, y 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2 Laske reunustetun Hessen matriisin determinantti (esim. Excelin MDETERMfunktiolla). Onko ääriarvokohdassa (1,1) funktion minimi vai maksimi? 12.3.217 17
Lagrangen funktion ja alkuperäisen funktion optimiarvot Huomaa, että ehto D v L x 1,, x n, v varmistaa rajoitteen g x 1,, x n toteutumisen: D v L x 1,, x n, v D v f x 1,, x n + vg x 1,, x n g x 1,, x n Ensimmäisessä esimerkissä: D v L x, y, v D v 17.8x 2 + 71.2y 2 89.x 32.4y + 523 + v x + y 7 x + y 7. Toisessa esimerkissä: D v L x 1., x 2, v D v 2.28x.38 1 x.62 2 + v x 1 + x 2 3 x 1 + x 2 3. Tästä syystä alkuperäisen funktion ja Lagrangen funktion optimiarvot ovat samat: L x 1,, x n, v f x 1,, x n + v g x 1,, x n f x 1,, x n 12.3.217 18
Lagrangen kerroin ja varjohinta Usein yhtälörajoitteen voi kirjoittaa muotoon: g x 1,, x n g x 1,, x n c, missä c on jokin vakio Ensimmäisessä esimerkissä g x, y x + y 7 g x, y 7 missä g x, y x + y Toisessa esimerkissä g x 1, x 2 x 1 + x 2 3 g x 1, x 2 3, missä g x 1, x 2 x 1 + x 2 Tällöin L x 1,, x n, v f x 1,, x n + v( g x 1,, x n c), jolloin L c v Lagrangen kertoimen optimiarvon vastaluku v kuvaa siis Lagrangen funktion muutosnopeutta rajoitteen side-ehdon c suhteen Kuinka paljon funktion optimiarvo muuttuu, jos c c + 1? Lagrangen kertoimen vastaluku v on toisin sanoen rajoitteen g x 1,, x n c varjohinta 19
Lagrangen kerroin ja varjohinta Ensimmäisen esimerkin tapauksessa tehtävä oli minimoida myrkyn määrää, kun A:ta ja B:tä oli yhteensä 7 kg: min f x, y 17.8x 2 + 71.2y 2 89.x 32.4y + 523 s. e. g x, y x + y 7 Optimissa x, y, v (4.3, 2.7, 64.8) Varjohinta v 64.8: Myrkyn määrä kasvaa 64.8 g/t, kun side-ehto (A:n ja B:n yhteismäärä) muuttuu 7 kg/t 8 kg/t 2
Lagrangen kerroin ja varjohinta Toisen esimerkin tapauksessa tehtävänä oli maksimoida tuoton arvoa, kun työvoimaan ja pääomaan investoitiin yhteensä 3 M max f x 1, x 2 2.28x 1.38 x 2.62 s. e. g x 1, x 2 x 1 + x 2 3 Optimissa x 1, x 2, v 11.4, 18.6, 1.17 Varjohinta v 1.17: Tuotannon arvo kasvaa 1.17 M, kun kokonaisinvestointi kasvaa 3 M 31 M 21
Rajoitettu optimointi: Monta yhtälörajoitusta Esim. Tutkimuksen perusteella virvoitusjuoman kysynnän riippuvuutta sokerin x (kg/l), sitruunamehun y (mg/l) ja aromivahventeen z (g/l) määristä kuvaa funktio f: R 3 R, f x, y, z 4x 2 y 2 z 2 +.1xy.2xz +.22x + 14.8y + 1.12z Mitkä määrät sokeria, sitruunamehua ja aromivahvennetta maksimoivat kysynnän, kun 1. Sokeria ja aromivahvennetta tulee olla yhteensä 15 g/l ja 2. Sitruunamehua ja aromivahvennetta tulee olla yhteensä 6 mg/l? Optimointitehtävä: max f x, y, z 4x 2 y 2 z 2 +.1xy.2xz +.22x + 14.8y + 1.12z s.e. g 1 x, y, z 1x + z 15 g 2 x, y, z y + 1z 6 22
Lagrangen mentelemä Tehtävän min/max f(x 1,, x n ), g i x 1,, x n funktio L: R n+m R on i 1,, m Lagrangen L x 1,, x n, v 1,, v m f x 1,, x n + v i g i x 1,, x n m i1 Pätee: (x 1,, x n, v 1,, v m ) on tehtävän min/max L x 1,, x n, v 1,, v m optimiratkaisu (x 1,, x n ) on tehtävän min/max f(x 1,, x n ), g i x 1,, x n i 1,, m optimiratkaisu 23
Lagrangen menetelmä Esimerkkimme Lagrangen funktio L: R 5 R: L x, y, z, v 1, v 2 4x 2 y 2 z 2 +.1xy.2xz +.22x + 14.8y + 1.12z + +v 1 1x + z 15 + v 2 (y + 1z 6) Gradientin nollakohta (yhtälöryhmän ratkaisu jollakin ohjelmistolla): L x, y, z, v 1, v 2 8x +.1y.2z +.22 + 1v 1 2y +.1x + 14.8 + v 2 2z.2x + 1.12 + v 1 + 1v 2 1x + z 15 y + 1z 6 x y z v 1 v 2.1494 7.474.5926 3.53 1 4 9.47 1 5 Mahdollinen ääriarvokohta funktiolle f x, y, z on x, y, z.1494,7.474,.5926 24
Lagrangen menetelmä Funktion L ääriarvokohdan (x 1,, x n, v 1,, v m ) laatu (minimi/maksimi) funktion f näkökulmasta voitaisiin päätellä reunustetusta Hessen matriisista: ഥH x 1,, x n ; v 1,, v m 1 m 1 m x n x n 1 1 x n m m x n 2 x n x n x 2 1 x n Tämä aihe jätetään kuitenkin tällä kurssilla käsittelemättä 25
Lagrangen menetelmä Virvoitusjuomaesimerkin funktion voidaan todeta saavuttavan ääriarvokohdassa maksiminsa sillä perusteella, että funktio on kunkin muuttujansa suhteen alaspäin aukeava paraabeli f x, y, z 4x 2 y 2 z 2 +.1xy.2xz +.22x + 14.8y + 1.12z Pisteessä x, y, z.1494,7.474,.5926 saavutetaan siis kysynnän maksimiarvo f x, y, z 55.19 miljoonaa litraa/päivä Rajoittamaton optimi Rajoitettu optimi Sokeri (g/l) 16 149 Sitruunamehu (mg/l) 7.41 7.41 Aromivahvenne (mg/l) 549 593 Kysyntä (Ml/päivä) 55.119 55.19 Rajoitusten hinta: 1 litraa/päivä 26
Lagrangen funktion ja alkuperäisen funktion optimiarvot Huomaa, että ehdot D vi L x 1,, x n, v 1,, v m g i x 1,, x n toteutumisen: i varmistavat rajoitteiden D vi L x 1,, x n, v 1,, v m D vi f x 1,, x n + v i g i x 1,, x n g i x 1,, x n m i1 Tästä syystä alkuperäisen funktion ja Lagrangen funktion optimiarvot ovat samat: L x 1,, x n, v 1,, v m f x 1,, x n + v i g x 1,, x n m i1 f x 1,, x n 27
Lagrangen kerroin ja varjohinta Usein yhtälörajoitteet voi kirjoittaa muotoon: g i x 1,, x n g i x 1,, x n c i, missä c i on jokin vakio Esimerkin 1. rajoite: g 1 x, y, z 1x + z 15 g 1 x, y, z 15 missä g 1 x, y, z 1x + z Esimerkin 2. rajoite: g 2 x, y, z y + 1z 6 g 2 x, y, z 6, missä g 2 x, y, z y + 1z Tällöin L x 1,, x n, v 1,, v m f x 1,, x n + σ m i1 v i ( g i x 1,, x n c i ), jolloin L c i v i Lagrangen kertoimen optimiarvon vastaluku v i kuvaa siis Lagrangen funktion muutosnopeutta i. rajoitteen side-ehdon c i suhteen Kuinka paljon funktion optimiarvo muuttuu, jos c i c i + 1? Lagrangen kertoimen vastaluku v i on toisin sanoen rajoitteen g i x 1,, x n c i varjohinta 28
Lagrangen kerroin ja varjohinta Esimerkin tapauksessa tehtävänä oli maksimoida kysyntää, kun 1. Sokeria ja aromivahvennetta tuli olla yhteensä 15 g/l ja 2. Sitruunamehua ja aromivahvennetta tuli olla yhteensä 6 mg/l. max f x, y, z 4x 2 y 2 z 2 +.1xy.2xz +.22x + 14.8y + 1.12z s.e. g 1 x, y, z 1x + z 15 g 2 x, y, z y + 1z 6 Optimissa x, y, z, v 1, v 2.1494, 7.474,.5926, 3.53 1 4, 9.47 1 5 Varjohinta v 1 3.53 1 4 : Päiväkysyntä vähenee 353 l, kun sokerin ja aromivahventeen yhteismäärä kasvaa 15 g/l 151 g/l Varjohinta v 2 9.47 1 5 : Päiväkysyntä kasvaa 94.7 l, kun sitruunamehun ja aromivahventeen yhteismäärä kasvaa 6 mg/l 61 mg/l 29
Yhteenveto Kahden muuttujan ja yhden yhtälörajoitteen optimointitehtävä min/max f(x 1, x 2 ), g x 1, x 2 ratkaistaan 1. Muodostamalla Lagrangen funktio L x 1, x 2, v f x 1, x 2 + vg x 1, x 2 2. Määrittämällä Lagrangen funktion gradientin nollakohta x 1, x 2, v : L x 1, x 2, v 3. Muodostamalla reunustettu Hessen matriisi ഥH v, x 1, x 2 x 2 x2 1 x 2 x 2 x 2 x2 2 4. Tarkistamalla ääriarvon laatu reunustetun Hessen matriisin determinantin avulla: o Jos det ഥH v, x 1, x 2 >, funktio f saavuttaa maksiminsa pisteessä x 1, x 2 o Jos det ഥH v, x 1, x 2 <, funktio f saavuttaa miniminsä pisteessä x 1, x 2 Lagrangen kertoimen vastaluku v on rajoitteen varjohinta: kuinka paljon kohdefunktion arvo muuttuu, jos rajoitteen side-ehtoa kasvatetaan 1 yksiköllä? 12.3.217 3
Yhteenveto Yhtälörajoitteinen optimointitehtävä min/max f(x 1,, x n ), g i x 1,, x n i 1,, m ratkaistaan 1. Muodostamalla Lagrangen funktio L x 1,, x n, v 1,, v m f x 1,, x n + σ m i1 v i g i x 1,, x n 2. Ratkaisemalla Lagrangen funktion gradientin nollakohta L x 1,, x n, v 1,, v m 3. Tarkistamalla f:n mahdollisen ääriarvokohdan x 1,, x n laatu reunustetun Hessen matriisin avulla (ei käsitelty tarkasti) Lagrangen kertoimen vastaluku v i on i. rajoitteen varjohinta: kuinka paljon kohdefunktion arvo muuttuu, jos i. rajoitteen side-ehtoa kasvatetaan 1 yksiköllä? Usean rajoitteen tehtävää ei välikokeessa/tentissä tarvitse osata ratkaista, mutta periaatteet tulee ymmärtää 31