Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 3A (Vastaukset) Alkuviikolla 3 Aihepiiri: Korkeamman asteen osittaisderivaatat, osittaisdifferentiaaliyhtälö, gradientti Noppa-monisteet, Adams & Essex, 12.3 5 Näistä tehtävistä taulutehtävät lasketaan ennen harjoituksia kotona. Laskuharjoituksissa opiskelijat merkkaavat tekemänsä tehtävät listaan, josta assistentti valitsee satunnaisesti kullekin tehtävälle esittäjän ja auttaa muita ratkaisun tulkitsemisessa. Palautettavat tehtävät palautetaan irtopaperilla siistillä käsialalla kirjoitettuna oman ryhmän palautuskaappiin. Taulutehtävät 1. Osoita, että funktio u(x, t) = t 1/2 e x2 /4t toteuttaa osittaisdifferentiaaliyhtälön u t = 2 u x 2 Tätä ODY:tä kutsutaan lämpöyhtälöksi (tässä yksiulotteinen), sillä se mallintaa lämmön johtumista kappaleessa, kun u(x, t) ilmoittaa lämpötilan annetussa paikassa ja ajassa. Suoraan laskemalla saadaan t u(x, t) = 2 xu(x, t) = x ( 2x 4t 3/2 e x2 /4t ) = x2 /4t 4t 5/2 e x2 1 2t 3/2 e x/4t, x2 4t 5/2 e x2 /4t x 2t 3/2 e x2 /4t = t u(x, t) 2. Osoita, että funktio u(x, t) = cos t(sin x+cos x) toteuttaa osittaisdifferentiaaliyhtälön 2 u t = 2 u 2 x 2 Tätä ODY:tä kutsutaan aaltoyhtälöksi (jälleen yksiulotteinen), sillä se mallintaa aallon kulkua väliaineessa, kun u(x, t) ilmoittaa aallon poikkeaman annetussa paikassa ja ajassa. Lisätietoa tämän ja edellisen tehtävän yhtälöistä löytyy esim. Wikipediasta hakusanoin "heat equation"ja "wave equation". 2 t u(x, t) = t ( sin t(sin x + cos x)) = cos t(sin x + cos x), 2 xu(x, t) = x (cos t(cos x sin x)) = cos t(sin x + cos x) = 2 t u(x, t)
3. a) Tutki kuvaajaa katsomatta ovatko pisteet (2, 3), (3, 2), (1, 1) ellipsin 2x 2 + 3y 2 = 30 kehällä, ulkopuolella vai sisäpuolella. b) Näytä, että parametriesitys määrää ellipsin. x = a(1 t2 ) 1 + t 2, y = 2bt 1 + t 2, a) Käyrä 2x 2 +3y 2 = 30 voidaan pitää tasa-arvokäyränä. Sijoittamalla pisteen vasemmalle puolelle, näemme onko se käyrällä. Jos se on, niin yhtälö pitää paikkansa. Jos taas vastaus on pienenmpi kuin 30 niin piste on käyrän sisäpuolella ja jos vastaus on yli 30 niin piste on käyrän ulkopuolella. Tutkitaan eri pisteiden antamat arvot: (2, 3) : 2 2 2 + 3 3 2 = 35 > 30 (3, 2) : 2 3 2 + 3 2 2 = 30 = 30 (1, 1) : 2 1 2 + 3 1 2 = 5 < 30 Tästä nähdään että piste (2,3) on käyrän ulkopuolella, (1,1) sisäpuolella ja (3,2) on käyrällä. b) Tutkitaan funktiota: ( x a) 2 + ( y b ) 2. Sijoitetaan parametrisaatio yhtälöön. ( x a ) 2 + ( y b ) 2 = ( ) a(1 t 2 2 ) + a(1 + t 2 ) ( ) 2 2bt (1) b(1 + t 2 ) = 1 2t2 + t 4 (1 + t 2 ) 2 + 4t2 (1 + t 2 ) 2 (2) = 1 + 2t2 + t 4 (1 + t 2 ) 2 (3) = (1 + t2 ) 2 (1 + t 2 ) 2 = 1 (4) eli ( saatiin juuri ellipsin yhtälö. Täten siis parametrisaatio on ellipsin x ) 2 ( a + y ) 2 b = 1 yhtälö.
Palautettavat tehtävät 1. Saaren korkeus metreinä merenpinnasta on h(x, y) = 1000 x 2 + y 2 + xy + 1 500. a) Laske rantaviivan yhtälö. Millainen käyrä on kyseessä? b) Mihin suuntaan saaren korkeus kasvaa jyrkimmin rantaviivan pisteessä p = (x 0, y 0 )? c) Mihin suuntaan meri syvenee jyrkimmin samassa pisteessä p? a) Vedenpinnan voi olettaa olevan korkeudella h(x, y) = 0 eli rantaviivan yhtälö saadaan seuraavasti 1000 h(x, y) = 500 = 0 x 2 + y 2 + xy + 1 }{{} > 0, (x,y) R 1000 = 500(x 2 + y 2 + xy + 1) x 2 + xy + y 2 = 1 2 = x 2 + y 2 + xy + 1 Kyseessä on siis implisiittinen ellipsi käyrä, joka on hahmoteltu alla olevaan kuvaan.
b) Korkeusfunktion h(x, y) suurimman kasvusuunnan kertoo sen gradientti h(x, y). Lasketaan osittaisderivaatat h x h 1000(2x + y) = (x 2 + xy + y 2 + 1) 2 1000(x + 2y) = (x 2 + xy + y 2 + 1) 2 Gradienttivektori h(x, y) pisteessä p = (x 0, y 0 ) muodostuu seuraavasti h(x 0, y 0 ) = h(x 0, y 0 ) x i + h(x 0, y 0 ) j = 1000(2x 0 + y 0 ) (x 2 0 + x 0 y 0 + y 2 0 + 1) 2 i 1000(x 0 + 2y 0 ) (x 2 0 + xy 0 + y 2 0 + 1) 2 j Alla olevassa vektorikaaviossa on hahmoteltu lasketun gradienttivektorin suuntaa ja suuruutta koko xy-tasossa. Tehtävän kannalta oleelliset kasvusuuntavektorit löytyvät a-kohdan ellipsi-käyrän (rantaviivan) pisteistä p = (x 0, y 0 )
c) Koska meren syventyminen tarkoittaa korkeusfunktion laskua, löytyy meren suurin syventymissuunta b-kohdan gradienttivektorin päinvastaisesta suunnasta eli h(x, y) vektorin suunnasta. Joten pisteessä p meri syventyy jyrkimmin suuntaan h(x0, y0 ) = 1000(2x0 + y0 ) (x20 + x0 y0 + y02 + 1) 2 i+ 1000(x0 + 2y0 ) (x20 + xy0 + y02 + 1) 2 j Tehtävän saaren muotoa ja merenpinnan tasoa on hahmoteltu alla olevassa kuvassa. 500 400 300 200 h(x,y) 100 0-100 -200-300 -400-500 5 0 y -5 5 0-5 x 2. a) Osoita, että funktio f (x, y) = ex cos y on harmoninen, eli se toteuttaa yhtälön 2f 2f + 2 = 0. x2 b) Osoita ettei funktiolla ole ääriarvoja yksikköympyrässä. Lasketaan toiset derivaatat ja katsotaan toteutuuko yhtälö. x = ex cos y, = ex sin y, 2f x2 = ex cos y, 2f 2 = ex cos y a) Tästä
laskemalla toiset derivaatat yhteen saadaan: 2 f x 2 + 2 f 2 = ex cos y e x cos y = 0 Näin ollen kyseessä oleva funktio on harmoninen. b) Jotta funktiolla olisi ääriarvo niin osittaisderivaattojen täytyy ääriarvokohdassa olla nolla. Tästä saadaan: x = ex cos y = 0 = e x sin y = 0 Huomataan, että kyseiset derivaatat eivät ole koskaan samaan aikaan nollia. Tästä syystä funktiolla ei ole ääriarvokohtia ollenkaan, erityisesti niitä ei siis ole yksikköympyrässä. 3. Näytä että pinnat z = 8 x 3 y 2, ja z = 23 + y sin(πx) leikkaavat 8 16 4π toisensa kohtisuorasti pisteessä (1, 2, 3). Lasketaan pintojen normaalivektorit kyseisessä pisteessä. Normaalivektori saadaan gradientin avulla, kun pinnan yhtälö on muodossa f(x, y, z) = 0: f x n = f y. f z Derivoinnilla saadaan (tarkastelupiste on (1, 2, 3)) 3x 2 1 3 cos πx 4 n 1 = 2y = 4 ja n 2 = 1 = 16 1 1 1 1 4 1 16 Haluttuna lopputuloksena olisi kohtisuoruus, tällöin pintojen normaalivektorit olisivat kohtisuorassa, eli niiden välinen kulma olisi π. Kun lasketaan normaalien pistetulo (jonka pitäisi tällöin olla nolla!), 2 saadaan n 1 n 2 = 3 4 4 16 + 1 = 0. Koska vektorien välinen pistetulo on nolla, ovat vektorit kohtisuorassa toisiaan vastaan. Siis pinnat leikkaavat kohtisuorasti kyseisessä pisteessä. 1.