Symbolinen laskenta Harjoitus 1 Jatkuu... Kursiivilla merkityt sanat ovat vinkkejä Maximan Help -järjestelmään. Tasaleveyisellä kirjasinlajilla merkityt sanat ovat (Maximan omia tai käyttäjän määrittelemiä) komentoja tai symboleita/muuttujia. Pääteviivattomalla kirjasinlajilla merkityt sanat ovat wxmaximan valikkojen ja/tai alavalikkojen nimiä. 1. Käynnistä wxmaxima, kirjoita ikkunaan laskutoimitukseksi vaikka 1+1, päätä syöterivi puolipisteeseen ( ; ) ja suorita laskutoimitus (=paina shift + return tai enter ). 2. Laske vaativampia laskutoimituksia, vaikkapa suuria kertolaskuja ja potenssiin korotuksia. Kertolaskuun tarvitset merkin * (returnin vieressä) ja potenssiinkorotukseen ^ (=aksenttimerkki välilyöntimerkin päälle, tai **). 3. Avaa Help-valikosta Maxima Help. Valitse hakutavaksi Index. Kirjoita hakusanaksi numer; lue dokumentaatio, ja laske piille %pi likiarvo. Likiarvon voi laskea myös komennolla float ja suurtarkkuuslikiarvon komennolla bfloat (float floating point, bfloat big float). Tarkkuus ilmaistaan muuttujalla fpprec ( floating point precision): bfloat(lauseke), fpprec:tarkkuus. Laske piin likiarvo 100 numeron tarkkuudella. Entä 1000 numeron? 4. Laske ensin lukujen 1 ja 3 summa ja tulo, ja sitten saadun tulon kolmas potenssi. Viimeisimpään tulokseen voi viitata symbolilla % ja aiempiin muodossa 8 5 %on, missä n on tulosrivin numero, tai muodossa %th(n), missä n = 1 viittaa viimeisimpään tulokseen, n = 2 toiseksi viimeiseen, jne. (Engl. n th n.s.) Lisää tulon kolmanteen potenssiin aiemmin saatu summa ja laske näin saadusta tuloksesta likiarvo. 5. Kätevämpi tapa käyttää aiempia tuloksia myöhemmissä laskuissa on nimetä tarvittavat suureet. Suure lauseke talletetaan muuttujan nimi kaksoispistesijoitukselle, nimi:lauseke (ks. Help Index : ). Anna luvuille 1 ja 3 nimet luku1 ja luku2, laske näitä nimiä käyttäen lukujen summa ja tulo samalla nimeten tulokset nimille summa ja tulo. (Ääkkösiä 8 5 nimeämisessä on syytä välttää.) Laske tulon kolmas potenssi, ja edelleen lisää tähän aiemmin saatu summa. Laske lopuksi tuloksesta likiarvo.
6. Lauseke, jonka arvoa edellä on laskettu, on tutummassa matemaattisessa muodossaan (x y) 3 +x+y. Jos muuttujiin x ja y ei haluta sitoa arvoja, voidaan näistä muuttujista riippuvan lausekkeen z arvo laskea pisteessä x = a ja y = b laskea komennolla ev(z, x=a, y=b). (ev evaluate, laske arvo). Laske lausekkeen (x y) 3 + x + y arvo komennon ev avulla, kun x = 1/8 ja y = 3/5. 7. Useita Maxima-komentoja voi antaa kerralla yhdelle syöteriville kaarisulkujen 1 avulla ja erottamalla eri komennot toisistaan pilkulla: (nimi1:lauseke1, nimi2:lauseke2,...); Muuttujat, joita ei enää tarvita, on hyvä vapauttaa Maximan muistista. Vapauttaminen tapahtuu komennolla kill. Lista muuttujista, joille on annettu arvo, saadaan komennolla values, ja kaikkien tämän listan muuttujien arvot voidaan vapauttaa kill(values). 8. Käyttöliittymästä wxmaxima: Siirry dokumentin alkuun, klikkaa osoitin aivan ensimmäisen syötesolun yläpuolelle (merkiksi pitäisi ilmestyä ohut ikkunan levyinen vaakaviiva). Valitse Cell Title Cell ja annan dokumentillesi otsikko Symbolinen laskenta, harjoitus 1. Klikkaa osoitin aivan otsikkosolun alapuolelle, ja valitse Cell Section Cell. Nämä väliotsikkosolut wxmaxima numeroi automaattisesti. Etsi dokumentista tämän harjoituksen eri tehtäviin liittyvät laskut ja liitä jokaisen kohdaan alkuun väliotsikkosolu, jolloin dokumenttisi osat tulee numeroiduksi tehtäväjaon mukaisesti. Tarpeen mukaan voit eri syötesolujen väliin lisätä kommentteja lisäämällä tekstisolun Cell Text Cell. Vaikka syötesolut ja tekstisolut eivät ulkoasultaan poikkea paljoa toisistaan, ei syötesoluja tulee käyttää muuhun tarkoitukseen kuin siihen, mihin ne on tarkoitettu. Talleta dokumentti wxmaxima wxm-muodossa nimellä SL harjoitus 1.wxm. Sulje dokumentti (mahdollisesti wxmaximakin on hyvä lopettaa välillä), avaa se uudelleen. Aukeavasta dokumentista puuttuvat tulokset, vain syötteet ja otsikot säilyvät. Valitse Cell Evaluate All Cells. Tarkista Maximan laskemista tuloksista, että dokumenttisi toimii oikein. Jos haluat tallettaa dokumentistasi kopion, jossa mukana kulkevat myös tulokset, talleta dokumentti wxmaximan wxmx-muodossa (File Save As; alkuperäinen wxm-dokumentti kannattaa säilyttää). Tallennusmuotona wxm on parempi, koska ne ovat tavallisia tekstidokumentteja, joita voi lukea millä tahansa tekstieditorilla; wxmx-dokumentit ovat binäärisiä xml-tiedostoja, joiden avaamiseen käyvät vain tietyt ohjelmat (mm. wxmaxima). 2 1 Maximaa (ja montaa muutakin ohjelmaa) käytettäessä on eri sulkuja hyvä oppia kutsumaan niiden oikeilla nimillä: ( kaarisulut ), [ hakasulut ] ja { aaltosulut }. Käyttöliittymäohjelma wxmaximassa voi useita komentoja laittaa samaan syötesoluun (Input Cell), mutta wxmaxima välittää ne laskentaydin Maximalle erillisinä syötteinä (eri %in- ja %out-nimikkeet). Kaarisuluilla ryhmitettynä ja pilkuin erotettuna syöte on Maximalla vain yksi syöte.
Symbolinen laskenta Harjoitus 2 Jatkuu... Kursiivilla merkityt sanat ovat vinkkejä Maximan Help -järjestelmään. Tasaleveyisellä kirjasinlajilla merkityt sanat ovat (Maximan omia tai käyttäjän määrittelemiä) komentoja tai symboleita/muuttujia. Pääteviivattomalla kirjasinlajilla merkityt sanat ovat wxmaximan valikkojen ja/tai alavalikkojen nimiä. Muista strukturoida dokumenttisi väliotsikoin ja kommentein, sekä tallettaa se riittävän usein. 1. Yhtälö x 2 +2 x+1 = (x+1) 2 on koulusta tuttua perusalgebraa. Myös Maxima osaa tämän kaavan, kunhan sitä käskee oikein (factor). Sievennyskomentoja löytyy valmiina Maximan valikosta Simplify. Huomaa toimintatapa: toiminta kohdistuu valittuun kohtaan tai kohde on viimeksi laskettu syöte. Jaa tekijöihin lauseke x 5 + 3 x 4 + x 3 + 3 x 2 2 x 6. Miten pääset tulomuodosta takaisin polynomin tässä olevaan muotoon? 1 2. Määrää rationaalifunktion osamurtokehitelmä (partfrac). x 5 +3 x 4 +x 3 +3 x 2 2 x 6 Miten pääset osamurtokehitelmästä takaisin alkuperäiseen rationaalifunktioon? 3. Selvitä lausekkeen sin x 4 cos 2 x 1 sin 3x cos 2x sieventämistä Maximan valikon Simplify kohdan Trigonometric Simplification eri komennoilla. 4. Logaritmin laskusääntöjä muistelemalla lauseke (log(x 2 2x + 1) log(x 1)) p (log(x 1)) p 2 sievenee helposti muotoon (log(x 1)) p 2. Maxima ei kuitenkaan tunnu osaavan tätä tehtävää. Ongelma ei löydy niinkään logaritmeista kuin radikaaleista (engl. radical = juuri; tässä mielivaltainen potenssi... p on tällainen). (Tutki komentoa radcan tai Simplify Simplify Radicals.) 5. Logaritmilausekkeiden sieventämisestä. Aseta aluksi logexpand:false. Systeemimuuttujan logexpand arvoina voi olla false, true, all tai super. Selvitä Maximan käsikirjan (Help) avulla miten muuttujan logexpand arvo vaikuttaa logaritmien sieventämiseen; sen käyttötapa on lauseke, logexpand=arvo; Syötä Maximalle lauseke log((x 1) 2 ) ja nimeä se vaikka nimelle y. Sievennä lauseke y. Entä jos y = log(3 (x 1) 2 )? Polynomeille expand ja factor ovat jossakin mielessä käänteisiä operaatioita. Muuttujan logexpand eri arvojen vaikutus voidaan kääntää komennolla logcontract. Miten logcontract vaikuttaa edellisiin tuloksiin? Entä jos y = log(a (x 1) n ) (missä parametreilla a ja n ei ole numeerista arvoa)?
6. Laske edellisen tehtävän lausekkeelle y = log(a (x 1) n ) arvo, kun a = 4, n = 3, x = 2 ja a) y on alkuperäisessä muodossaan; b) y on avattu arvolla logexpand:all. (Muista harjoituksista 1 komento ev(lauseke, muuttujat).) Laske molemmille tuloksille likiarvot (vaikka komenolla float). 7. Maxima osaa käsitellä kompleksilukuja, t.s. lukuja, jotka ovat muotoa a + b i, missä a ja b ovat reaalilukuja ja i on ns. imaginaariyksikkö, joka toteuttaa yhtälön i 2 = 1. Katso käsikirjan kohtia Data Types and Structures Numbers Complex numbers ja Mathematical functions Functions for complex numbers. (Maximan versio 5.27). Kompleksiluvun 2 + 3 i reaaliosa on 2 ja imaginääriosa 3. Miten selvität tämän Maximalla? Entä mitä ovat luvun moduli (engl. complex absolute value; myös itseisarvo) ja argumentti (engl. complex argument; myös vaihekulma). Jos kompleksiluvun z moduli on r ja argumentti ϕ, niin luku z voidaan esittää muodossa z = r e iϕ. Tätä esitystä kutsutaan kompleksiluvun napakoordinaattiesitykseksi (polarform). Normaali esitys a + b i on nimeltään karteesinen esitys (rectform).. Määrää tälle käänteis- 1 8. Laske edellä olleen kompleksiluvun käänteisluku luvulle karteesinen esitys ja napakoordinaattiesitys. 2+3 i 2 9. Maxima tuntee useimmille funktioille arvot myös kompleksiselle muuttujan arvolle. Selvitä reaali- ja imaginääriosat kompleksiluvulle cos(4 + 8 i) ja yleisemmin kompleksiselle kosinille cos(x + y i). Kommentteja. Käyttöliittymäohjelman wxmaxima valikoista Equations, Algebra, Calculus, Simplify ja Plot (miksei myös Numeric) löytyy varsin paljon perustyöskentelyssä tarvittavia Maximan komentoja. Näiden komentojen tarkempi käyttötapa on syytä selvittää Maximan käsikirjasta. Edellä olleista tehtävistä (ja jo ensimmäisistä harjoituksista) näkyy, että Maximaa käytetään ainakin kahdella selkeästi toisistaan poikkeavalla tavalla. Jos kyse on funktiotyyppisestä komennosta, sitä käytetään kuten komentoja float tai logcontract: logcontract(lauseke); Jos taas kyse on systeemimuuttujasta, kuten logexpand tai numer, tälle muuttujalle annetaan arvo, joka vaikuttaa uudelleenlaskettavan lausekkeen arvoon kuten lauseke, logexpand=all; Jos muuttujan arvo jätetään ilmaisematta, niin oletusarvo on true kuten lauseke, numer; Tässä käytössä oleva komentomuoto on itse asiassa lyhenne komennosta ev(lauseke, numer=true); Maximan käsikirjaa selatessa on siis hyvä kiinnittää huomiota siihen, onko kyse komennosta vai muuttujasta (tai vastaavasta).
Symbolinen laskenta Harjoitus 3 Jatkuu... Kursiivilla merkityt sanat ovat vinkkejä Maximan Help -järjestelmään. Tasaleveyisellä kirjasinlajilla merkityt sanat ovat (Maximan omia tai käyttäjän määrittelemiä) komentoja tai symboleita/muuttujia. Pääteviivattomalla kirjasinlajilla merkityt sanat ovat wxmaximan valikkojen ja/tai alavalikkojen nimiä. Muista strukturoida dokumenttisi väliotsikoin ja kommentein, sekä tallettaa se riittävän usein. 1. Määrittele muuttujan lauseke arvoksi e x sin x. Maxima osaa laskea lausekkeille derivaattoja (diff ) ja integraalifunktioita (integrate) tai vaikkapa piirtää (plot2d) lausekkeiden kuvaajia koordinaatistoon. Laske derivaatta symbolin lauseke arvolle. Yhtä helposti onnistuu toisen derivaatan (derivaatan derivaatan) laskeminen. Laske samalla myös kolmas, neljäs jne derivaatta... 2. Piirrä funktion x e x sin x kuvaaja välillä 0 x 2 π. 1 Jos käytät komentoa plot2d, kuva ilmestyy erilliseen GnuPlot-ohjelman ikkunaan. Kuvan saa ilmestymään wxmaximan ikkunaan, johon syöte on annettu, kun käytetään wx-alkuista komentoa wxplot2d. (Sama toiminallinen ero soveltuu myös komentoihin contour plot ja plot3d.) 3. Laske funktion x e x sin x derivaatta ja nimeä se. Piirrä saamasi derivaatan kuvaaja. 4. Useamman lausekkeen piirtäminen samaan koordinaatistoon/kuvaan on melkein yhtä helppoa kuin yhdenkin. Piirrä funktion x e x sin x ja sen derivaatan kuvaajat samaan kuvaan. 5. Laske muuttujan lauseke arvolle integraalifunktio (integrate); nimeä integraalifunktio, ja piirrä funktion x e x sin x ja sen integraalifunktion kuvaajat samaan kuvaan. Piirrä samaan kuvaan funktion x e x sin x, sen derivaatan ja integraalifunktion kuvaajat. Mikä kuvan käyristä on minkäkin olion kuvaaja? 6. Laske muuttujaa lauseke käyttäen määrätylle integraalille 2 π 0 e x sin x dx tarkka arvo ja likiarvo. 7. Laske määräämätön integraali e a x sin x dx ja määrätty integraali 0 e a x sin x dx ( = inf ). Jotta määrätty integraali suppenisi (=olisi olemassa äärellisenä), pitää luvun a olla positiivinen. (Jatkuu... ) 1 Ilmaisu funktio x e x sin x tarkoittaa muuten samaa kuin funktio y = e x sin x, mutta funktion lauseketta ei nimetä mitenkään.
8. Kaikilla (yksinkertaisillakaan) funktioilla ei ole alkeisfunktioiden avulla esitettävää integraalifunktiota. Kokeile vaikka miten käy integraalille e x2 cos x dx, 9. Maxima osaa kuitenkin laskea integraalille e x2 cos x dx tarkan arvon, kuten myös integraalille e a x2 cos x dx, kun a > 0. 10. Laske moniulotteinen integraali 1 0 1 0 1 1 y z e x dx dy dz = 1 0 ( 0 ( 1 1 1 ) ) y z e x dx dy dz. Huomaa tässä muuttujien järjestys sisältä ulospäin (t.s. muuttujaa x vastaa väli 1 x 1, jne). 2
Symbolinen laskenta Harjoitus 4 Jatkuu... Kursiivilla merkityt sanat ovat vinkkejä Maximan Help -järjestelmään. Tasaleveyisellä kirjasinlajilla merkityt sanat ovat (Maximan omia tai käyttäjän määrittelemiä) komentoja tai symboleita/muuttujia. Pääteviivattomalla kirjasinlajilla merkityt sanat ovat wxmaximan valikkojen ja/tai alavalikkojen nimiä. Muista strukturoida dokumenttisi väliotsikoin ja kommentein, sekä tallettaa se riittävän usein. 1. Maximassa yhtälöiden ja yhtälöryhmien perusratkaisija on solve. Ratkaise yhtälö 2 x 5 + 7 x 4 2 x 3 25 x 2 12 x + 12 = 0. Vaikka yhtälö on viidettä astetta, Maxima palauttaa vain neljä juurta. Polynomiyhtälöiden juurten kertaluvut Maxima kertoo komennolla (tai oikeammin systeemimuuttujalla) multiplicities. Tässä tilanteessa juuret saadaan melko helposti selville myös komennolla factor. 2. Viidennen ja korkeamman asteen polynomiyhtälöt voivat olla ongelmaisia. Yritä ratkaista yhtälo x 5 + 7x + 1 = 0. Maximan komento algsys ratkaisee polynomiyhtälöryhmiä (huomaa syntaksi) tarvittaessa numeerisesti. Kokeile tätä. Muita hyödyllisiä komentoja polynomiyhtälöiden ratkaisemiseen ovat nroots ja allroots. 3. Ratkaise yhtälöpari { x 2 + y 2 = 3 y 2 = x 3 3 x + 1 4. Yritä ratkaista yhtälö x + m sin x = y muuttujan x suhteen (m ja y ovat vakioita). Onko saamasi ratkaisu mielekäs? 5. (Jatkoa.) Aseta vakiolle m arvoksi 0.9 ja piirrä funktion x x+m sin x kuvaaja välillä [0, 4π] ja myös sen derivaatan kuvaaja. Derivaatan kuvaajasta (tai jo derivaatan lausekkeesta) pitäisi käydä selville, että funktio x x + m sin x on aidosti kasvava. Yksinkertaisella (teoreettisella) lisäpäättelyllä nähdään, että yhtälöllä x + m sin x = y on yksi ja vain yksi ratkaisu x jokaiselle y:n arvolle. Etsitään yhtälölle x + m sin x = 3 ratkaisu likimääräismenetelmin. Selvitä aluksi, miten komentoa find_root käytetään. Miten avuksi tarvittavat luvut a ja b on valittava? Määrää myös funktion x x + m sin x derivaatan arvo löytämässäsi pisteessä. 6. Yhtälöiden likimääräisten ratkaisujen määräämiseen käytetään usein myös Newtonin menetelmää, joka löytyy Maximasta nimillä newton (yhden muuttujan funktiot) ja mnewton (useamman muuttujan funktiot). Huomaa, että kumpikin näistä pitää ensin ladata käyttöön komennolla load (paketit newton1 ja mnewton). Määrää yhtälölle x + m sin x = 3 ratkaisu Newtonin menetelmällä.
7. Palataan edellisten harjoitusten funktioon f : x e x sin x. Määrää funktion f derivaatalle f lauseke. Piirrä funktion f ja sen derivaatan kuvaajat. Funktion f kuvaajasta ilmenee, että funktiolla f on lokaali maksimi välillä (0, π). Määrää tämä maksimikohta etsimällä derivaatan f nollakohta komennoilla find_root ja newton. Määrää myös funktion f arvo löytämässäsi ääriarvopisteessä. Seuraavat tehtävät eivät oleellisia kurssin kannalta. 8. Maxima antaa (algoritmiensa takia?) hieman hankalan muodon integraalille t sin( π x2) dx. Maximassa tämä integraali on kuitenkin valmiina ns. Fresnelin sini-integraalina fresnel_s. Mieti (matematiikkaa), miksi seuraavien 0 2 Maxima-komentojen tulosten nojalla on t sin( π x2) dx = fresnel_s(t) : 0 2 diff(fresnel_s(t), t); fresnel_s(0); 9. Jos tarvitaan lähinnä numeerisia likiarvoja, integraalin 1 sin( π x2) dx laskemiseen voi käyttää Rombergin menetelmää, joka löytyy nimellä romberg. 0 2 QUADpack-kirjaston integrointikomennot (mm. quad qag) ovat hieman mutkikkaampia käyttää, mutta ne soveltuvat hankalampien integraalien likiarvojen laskemiseen. 10. Monissa sovelluksissa derivaatat esiintyvät differentiaaliyhtälöissä. Esimerkiksi, jos pistemäiseen kappaleeseen vaikuttaa vakiovoima, kappaleen liikettä kuvaa differentiaaliyhtälö y = a, missä a on vakio (kiihtyvyys). Differentiaaliyhtälöideen ratkaisemiseen Maximassa on komennot ode2 ja ic1 (ensimmäisen kertaluvun yhtälöt) sekä ic2 (toisen kertaluvun yhtälöt). Selvitä, miten ylläolevalle yhtälölle löydetään ratkaisu, jolle y(0) = y 0 ja y (0) = y 1, y 0 ja y 1 annettuja alkuarvoja (engl. initial conditions). Differentiaaliyhtälöitä syötettäessä tarvitaan oikeanpuoleista lainausmerkkiä (returnin vieressä oleva, kertolaskutähden pari) estämään derivaattojen arvon laskeminen; normaalistihan diff(y,x) = 0. 2
Symbolinen laskenta Harjoitus 5 Jatkuu... Kursiivilla merkityt sanat ovat vinkkejä Maximan Help -järjestelmään. Tasaleveyisellä kirjasinlajilla merkityt sanat ovat (Maximan omia tai käyttäjän määrittelemiä) komentoja tai symboleita/muuttujia. Pääteviivattomalla kirjasinlajilla merkityt sanat ovat wxmaximan valikkojen ja/tai alavalikkojen nimiä. Muista strukturoida dokumenttisi väliotsikoin ja kommentein, sekä tallettaa se riittävän usein. 1. Ratkaise lineaarinen yhtälöryhmä 12 x + 2 y + 34 z = 1 85 x + 4 y + 91 z = 2 29 x + 85 y + 98 z = 3 komennolla linsolve. 2. Laske lausekkeen x y z arvo, kun (x, y, z) on edellisen yhtälöryhmän ratkaisu. [Vihje: Komennon linsolve tulos on sen näköinen, jollaista kaivataan evaluointikomentoon ev.] 3. Ratkaise lineaarinen yhtälöpari { 12 x + 2 y + 34 z = 1 29 x + 85 y + 98 z = 3 komennolla linsolve. Mitä ovat ratkaisussa esiintyvät %rn, n = 1, 2,...? 4. Muodosta seuraavat matriisi A ja B ja sijoita ne muuttujien ma ja mb arvoiksi ( ) ( ) 1 2 29 78 75 A := ja B := c 3 0 71 48 Määrää matriisitulo A B, determinatti det A, käänteismatriisi A 1 (invert) ja laske matriisitulo A A 1. Tuloksena pitäisi olla yksikkömatriisi (ident). 5. Muodosta vektori v = (x, y) ja sijoita se muuttujan vek arvoksi. Laske matriisitulo A v. Miten Maxima tutkitsee tulon ma*vek? Miten lasket vektorin v pituuden (eli normin) neliön? 6. Selvitä, miten yhtälöryhmästä poimitaan vastaava kerroinmatriisi (coefmatrix). Määrää tehtävän 1 yhtälöryhmän kerroinmatriisi. Määrää saadun matriisin avulla yhtälöryhmän ratkaisu. 1 1 Muista, että a 1,1 x 1 +... a 1,n x n = b 1 yhtälöryhmä. a n,1 x 1 +... a n,n x n = b n ovat keskenään yhtäpitäviä. a 1,1... a 1,n ja matriisiyhtälö. a n,1... a n,n x 1. x n = b 1. b n
7. Selvitä, miten yhtälöryhmästä poimitaan vastaava laajennettu kerroinmatriisi (augcoefmatrix). Määrää tehtävän 3 yhtälöryhmän laajennettu kerroinmatriisi ja sen komennolla echelon muodostettu yläkolmiomatriisi. Miten tämä jälkimmäinen matriisi liittyy tehtävän 3 yhtälöryhmän ratkaisemiseen, jos ratkaiseminen tehtäisiin käsin laskien? (Muistele Gaussin (ja Jordanin) menetelmää.) 8. Lataa käyttöön (load) paketti eigen. Tämä paketti tuo käyttöön mm. komennon gramschmidt, jolla voidaan annetusta euklidisen avaruuden kannasta lähtien muodostaa ortogonaalinen kanta (Gramin ja Schmidtin menetelmä). Komennolle gramschmidt kanta voidaan antaa matriisin rivivektoreina. Sovella komentoa gramschmidt matriisiin 0 4 5 7 3 3 9 5 5 Poimi tuloksen kolme vektoria ja tarkista, että ne ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa. Määrää myös näiden vektoreiden pituuksien neliöt. 9. Määrää edellisen tehtävän matriisin ominaisarvot (eigenvalues). 2
Symbolinen laskenta Harjoitus 6 Jatkuu... Kursiivilla merkityt sanat ovat vinkkejä Maximan Help -järjestelmään. Tasaleveyisellä kirjasinlajilla merkityt sanat ovat (Maximan omia tai käyttäjän määrittelemiä) komentoja tai symboleita/muuttujia. Pääteviivattomalla kirjasinlajilla merkityt sanat ovat wxmaximan valikkojen ja/tai alavalikkojen nimiä. Muista strukturoida dokumenttisi väliotsikoin ja kommentein, sekä tallettaa se riittävän usein. 1. Lataa (load) käyttöön grafiikkapaketti draw. Piirrä draw-kirjaston komentojen (draw2d, implicit) avulla harjoituksissa 4 tarkastellun yhtälöparin { x 2 + y 2 = 3 y 2 = x 3 3 x + 1 määräämät käyrät samaan kuvaan. (Sopiva xy-tason alue on 3 x 3, 3 y 3; kuvan avulla on tarkoitus etsiä käyrien leikkauspisteet.) Kuten plot-komentojen kohdalla wxmaximassa draw-piirtokomennoista voi käyttää myös wx-alkuisia versioita, jotka tuottavat kuvan dokumentti-ikkunaan (käsikirja dokumentoi vain ilman wx-alkua olevat komennot). 2. (Jatkoa.) Määrää edelliselle yhtälöparille jokin ratkaisu (eli yksi käyrien leikkauspisteistä) paketin mnewton komennolla mnewton. Valitse alkuarvaus Guess- List edellisen tehtävän kuvan avulla. Tarvittaessa piirrä sopiva osasuurennos. 3. (Jatkoa.) Lisää tehtävässä 1 piirtämääsi kuvaan edellisessä tehtävässä löytämäsi käyrien leikkauspiste. Poimi aluksi komennon mnewton antamasta tuloksesta pisteen x- ja y-koordinaatit (ev, part,... ). Pisteen piirtäminen onnistuu graafisen objektin points avulla (lue kommennon points syntaksikuvaukset hyvin tarkkaan; ensimmäinen vaihtoehto lienee kätevin). Jotta piste erottuisi selkeästi, aseta pisteen kooksi (point size) kaksi ja pisteen muodoksi (point type)) filled_circle. Aseta kummallekin käyrälle ja leikkauspisteelle kullekin oma väri. (Hakusana color tuo väärän kohdan käsikirjasta; kannattaa selata sisällön (Contents) mukaan, hakea draw, sen alta kohta Graphics options ja edelleen color.) 4. Piirrä draw-kirjaston komentojen (draw2d, explicit) avulla funktion f(x) := x 3 5 x 2 + 2 x + 1 kuvaaja. 5. Määrää funktion f nollakohdat, eli pisteet x, joissa käyrä y = f(x) leikkaa x-akselin. Tässä komento allroots lienee kätevin. (Miksei solve?) Määrää myös lauseke funktion f derivaatalle f (x). 6. Valitse jokin funktion f nollakohta x 0 (käytä komentoa part tms, älä leikkaa liimaa -menetelmää). Määrää lauseke funktion f kuvaajan pisteeseen x 0 piirretylle tangenttisuoralle. (Muista, että tangenttisuoran yhtälö on y = f(x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ).) [Vihje: Kannattaa edetä pienin askelin.]
7. Piirrä samaan kuvaan (1) funktion f kuvaaja; (2) sen pisteeseen x 0 piirretyn tangenttisuoran kuvaaja; (3) piste (x 0, f(x 0 )) (tämä onnistuu graafisen objektin points avulla). Korjaa kuvaa niin, että (1) piste (x 0, f(x 0 )) on piirretty selkeästi erottuvana (point size, point type, color), ja (2) pisteeseen x 0 piirretty tangenttisuora, piste (x 0, f(x 0 )) ja itse kuvaaja y = f(x) on piirretty kukin omalla värillään. 8. Talleta työkirjasi, lopeta Maxima, ja avaa+evaluoi työsi uudestaan (Cell Evaluate all cells). Tulosta työkirjasi (ainakin osaksi) mikroluokan kirjoittimelle. Neuvoksi saatua: avaa Control panel hardware and sound devices and printers add printer add a network, wireless or bluetooth printer the printer that I want isn t listed kirjoita kenttään select a shared printer by name kirjoittimen nimi \\jyprint\mad-353-printer1 next aseta rasti kohtaan set as the default printer. 9. Jos aikaa riittää: Piirrä tehtävässä 7 piirtämäsi kuva uudestaan käyttäen komennon wxdraw2d(...) sijasta komentoa draw2d(terminal= pdf, dimensions=[1500,1000], file_name="u:/draw_esim", <...kuvan koodi...>)$ (Mäcissä pdf ei taida kelvata; kokeile sen sijaan terminaalia eps ja/tai svg (Inkscape-ohjelman dokumentit).) Huomio: Harjoitukset 7 ja 8 pidetään poikkeavina aikoina (katso Korpista): harjoitus 7 maanantaina 3.12. klo 12 14 ja klo 14 16 sekä tiistaina 4.12. klo 10 12 ja klo 12 14; harjoitus 8 tiistaina 4.12. klo 16 18 sekä keskiviikkona 5.12. klo 10 12, klo 14 16 ja 16 18. Kurssin päätekoe pidetään mikroluokissa MaD 353 (12 osallistujaa) ja MaD 247 (jos tarvitaan; max 9 osallistujaa) maanantaina 10.12. klo 12 14; ja tiistaina 11.12. klo 16 18. 2
Symbolinen laskenta Harjoitus 7 Jatkuu... Kursiivilla merkityt sanat ovat vinkkejä Maximan Help -järjestelmään. Tasaleveyisellä kirjasinlajilla merkityt sanat ovat (Maximan omia tai käyttäjän määrittelemiä) komentoja tai symboleita/muuttujia. Pääteviivattomalla kirjasinlajilla merkityt sanat ovat wxmaximan valikkojen ja/tai alavalikkojen nimiä. Muista strukturoida dokumenttisi väliotsikoin ja kommentein, sekä tallettaa se riittävän usein. 1. Lataa käyttöön grafiikkapaketti draw. Kahden muuttujan funktioiden kuvaajia (eli pintoja z = f(x, y)) voidaan piirtää komennolla (wx-)draw3d. Kuten yhden muuttujan funktioille kahden muuttujan funktioillekin funktion kuvaaja rakennetaan komennolla explicit. 1 Piirrä pallopinnan x 2 + y 2 + z 2 = 1 ylempään puoliavaruuteen z 0 jäävä osa funktion (x, y) 1 (x 2 + y 2 ) kuvaajana. 2. (Jatkoa.) Puolipallo näyttänee keskiaikaiselta maapallolta ( pannukakulta). Korjaa kuvaa muuttujien surface_hide ja proportional_axes avulla. Lisää kuvaan alempi pallonpuolisko z 0 (eli z = 1 (x 2 + y 2 )). 3. Pallon voi piirtää suoraan yhtälöstä x 2 + y 2 + z 2 = 1 implicit-objektina. Kokeile tätä. Lisää tunnelmaa muuttujan enhanced3d avulla. 4. Yleisesti käytetty tapa kaksiulotteisten pintojen piirtämiseen on pinnan esittäminen parametrimuodossa. Tällöin pinnan pisteen koordinaatit x, y ja z esitetään joidenkin parametrien u ja v funktioina. Pallon tapauksessa yksi tavanomaisimmista esitystavoista on käyttää pallokoordinaatteja: (x, y, z) = (cos θ cos ϕ, sin θ cos ϕ, sin ϕ). Kulmalle θ luonnollinen väli on [ π, π] ja kulmalle ϕ vastaavasti [ π, π ]. (Kulman θ vakioarvoa vastaava pallopinnan käyrä on pituuspiiri etelänavalta poh- 2 2 joisnavalle ja kulman ϕ vakioarvoa vastaava käyrä on leveyspiiri.) Anna pallokoordinaattifunktioille nimet pallo_x, pallo_y ja pallo_z. Muuttujien θ ja ϕ tilalla voit käyttää muuttujia u ja v. Piirrä pallopinnan kuva parametric_surface-objektina. Kun käytät lyhyempiä parametrivälejä kulmille θ ja ϕ, saat pallopinnan leikatuksi auki. Katselukulmaa voi muuttaa asetuksella view = [φ, ϑ]. Käytettäessä komentoa draw3d, joka tekee kuvan GnuPlot-ikkunaan, katselukulman näkee ikkunan alareunasta; kappaletta voi myös kiertää hiiren avulla. Jatkuu... 1 Draw-kirjaston graafisia objekteja ovat 2d-grafiikkaan explicit, parametric, implicit, polar, points, polygon, rectangle, ellipse, triangle, quadrilateral, region, bars, vector, errors; ja 3d-grafiikkaan explicit, parametric, parametric surface, implicit, cylindrical, spherical, tube, points, triangle, quadrilateral, vector.
5. (Jatkoa.) Lisätään pallopinnalle käyrä (joka tunnetaan nimellä loksodromi). Jotta käyrä saataisiin näkymään kuvassa, nostetaan se hieman pallopinnan yläpuolelle: [xt,yt,zt]: ev(r*[pallo_x, pallo_y, pallo_z], u=a*t+b, v=c*t+d); Sijoita (ev-komennolla, kuinkas muuten) edellä saatuihin lausekkeisiin xt, yt ja zt parametreille arvot r = 1.05, a = 1, b = 0, c = 0.15 ja d = 0, ja tee saatujen koordinaattien avulla parametric-objekti, missä muuttuja t liikkuu välillä [ 10, 10]. Piirrä saatu käyrä yksinään ja yhdessä pallopinnan kanssa (aukileikattu pallopinta on tähän tarkoitukseen ehkä parempi). 2 1 0.5 0-0.5-1 1 0.5-1 -0.5 0 0.5 1-1 -0.5 0 Huomio: Kurssin päätekoe pidetään mikroluokissa MaD 353 (max 12 osallistujaa) ja MaD 247 (max 9 osallistujaa) maanantaina 10.12. klo 12 14, ja tiistaina 11.12. klo 16 18. Koetta varten varmista, että osaat tulostaa mikroluokan MaD 353 koneilta oheiselle kirjoittimelle \\jyprint\mad-353-printer1, ja että osaat tulostaa dokumentin pdf-tiedostoksi ja lähettää sähköpostia, johon mukaan tulee liite. Kreikan kielen aakkosto a:sta o:hon. Iso ja pieni kirjain sekä nimi (suluissa mahdollinen vaihtoehtoinen muoto): A α alfa, B β beeta, Γ γ gamma, δ delta, E ε (tai ɛ) epsilon, Z ζ zeeta, H η eeta, Θ θ (tai ϑ) theeta, I ι joota, K κ (tai κ) kappa, Λ λ lambda, M µ myy, N ν nyy, Ξ ξ ksii, O o omikron, Π π (tai ϖ) pii, P ϱ (tai ρ) roo, Σ σ (tai ς) sigma, T τ tau, Υ υ ypsilon, Φ ϕ (tai φ) fii, X χ khii, Ψ ψ psii, Ω ω oomega.
Symbolinen laskenta Harjoitus 8 Jatkuu... Kursiivilla merkityt sanat ovat vinkkejä Maximan Help -järjestelmään. Tasaleveyisellä kirjasinlajilla merkityt sanat ovat (Maximan omia tai käyttäjän määrittelemiä) komentoja tai symboleita/muuttujia. Pääteviivattomalla kirjasinlajilla merkityt sanat ovat wxmaximan valikkojen ja/tai alavalikkojen nimiä. Muista strukturoida dokumenttisi väliotsikoin ja kommentein, sekä tallettaa se riittävän usein. 1. Funktioita Maximaan voi määritellä kahdella tavalla. Tavallinen tapa vastaa normaalia matemaattista tapaa; esimerkiksi funktio f, jolle f(x) := x 3 5 x 2 + 2 x + 1, määriteltäisiin Maximalla seuraavasti: f(x) := x^3-5*x^2 + 2*x + 1; Funktion f derivaatta f voitaisiin määritellä asettamalla df(x) := diff(f(x), x); Laske yllä olevan mukaisin määrityksin f (x), f(2) ja f (2). Ongelmia? Esiintyvä evaluaatio-ongelma voidaan ratkaista seuraavasti: df2(x) := block([t,d], d:diff(f(t), t), subst(x,t,d)); tai myös näin: df3(x) := (diff(f(x), x)); 2. (Jatkoa.) Lataa käyttöön grafiikkapaketti draw ja piirrä funktion f kuvaaja välillä 1 x 5. Kuvan perusteella funktiolla f on yksi maksimi ja yksi minimi tarkasteltavalla välillä. Määrää nämä ääriarvot etsimällä funktion f derivaatan nollakohdat ja laskemalla funktion f arvot näissä pisteissä. 3. Johdannoksi: Funktion f raja-arvoa esimerkiksi pisteessä x = 0 voi yrittää etsiä kuvan avulla seuraavasti: jos funktion f arvo pisteessä x = 0 ei ole määritelty, piirretään funktion f kuvaaja välillä δ 1 x δ 2, missä δ 1 ja δ 2 ovat pieniä. Seuraava esimerkki osoittaa, että tässäkin menetelmässä voi olla ongelmia: Aseta log(cos(x f(x) := 2 )) ja piirrä funktion f kuvaaja välillä 5 10 5 x 5 10 4. x 2 Huomaa, että f(x) ei ole määritelty, kun x = 0. 4. (Jatkoa.) Maximalla voi laskea raja-arvoja komennolla limit. Laske funktion f rajaarvo pisteessä x = 0. 5. (Jatkoa.) Tarkamman kuvan funktion f käyttäytymisestä saa ns. Taylorin polynomien avulla (näitä käsitellään kursseilla Approbatur 2B ja Analyysi 3; käsikirjassa taylor). Määrää funktion f astetta n = 8 oleva Taylorin polynomi pisteen a = 0 suhteen. 6. Komennolla sum voidaan laskea äärellisiä (ja äärettömiäkin) summia. Laske summia k n=1 1, kun k = 10, 20,.... Miten niitä numeerisia likiarvoja laskettiinkaan? Laske n 2 likiarvo summalle k n=1 1, kun k = 1000. n 2 7. Paketin simplify_sum komento simplify_sum sieventää summalausekkeita, jokusia äärettömiäkin. Laske summan n=1 1 n 2 tarkka arvo.
8. Summalle n=0 xn n! saadaan nätti tarkka arvo, mutta summalle tulos on ehkä hämmentävä. n=1 xn 2 n! saatava 9. Muodosta numeerinen lista pareja (k, y k ) satunnaislukugeneraattorin avulla: lst:makelist( [k, -1+random(2.0)], k,1,50) Lataa käyttöön kirjasto draw ja piirrä saadun listan luvuista kuva (draw2d, points) niin, että pisteet yhdistetään viivalla (points joined) ja että pisteiden kohdalle ei aseteta merkkiä (point_type=none). 10. (Jatkoa.) Miten aineistosta lst poimitaan tietyn ehdot toteuttavat parit (k, y k ) erilleen? Olkoon poimintaehtona y k < 0. Parien (k, y k ) poimiminen tehdään aluksi perinteisen ohjelmoinnin tapaan for-silmukalla (eri silmukkarakenteet on kuvattu käsikirjan kohdassa do) ja if...then -testin avulla; aluksi alustetaan muuttuja lst_n, johon ehdon y k < 0 toteuttavat parit (k, y k ) talletetaan (append; luku y k on listan lst k. alkion toinen osa eli y k = lst[j][2]): lst_n:[]$ for j:1 thru length(lst) do ( if lst[j][2]<0 then lst_n:append(lst_n, [ lst[j] ] ) )$ 11. (Jatkoa.) Lisää tehtävässä 9 piirtämääsi kuvaan edellisessä tehtävässä löytämäsi listaan lst_n talletetut pisteet niin, että listan lst_n pisteitä ei yhdistetä viivalla (points joined) ja että pisteiden kohdalla oleva merkki on filled_circle, jonka koko on kaksi (point size). Aseta lisäksi x-akseli näkyväksi (xaxis). 12. (Jatkoa.) Ehdon y k < 0 toteuttavat parit (k, y k ) voidaan poimia erilleen ilman forsilmukkaakin seuraavasti: Maximan komento sublist ottaa kaksi muuttujaa; ensimmäinen on lista ja toinen on predikaatti. Maximassa predikaatti tarkoittaa funktiota, jonka arvoina ovat true ja false. Funktion, joka muuttujasta (k, y k ) testaa, onko y k < 0, voi Maximaan määritellä esimerkiksi näin: f2select(ky):=is(ky[2]<0) jolloin sitä käytettäisiin näin (huomaa: vain funktion nimi): sublist(lst, f2select). Vaihtoehtoisesti funktio voidaan jättää nimeämättä ja käyttää lambda-esitystä: sublist(lst, lambda([ky], is(ky[2]<0))); Huomio: Kurssin päätekoe pidetään mikroluokissa MaD 353 (max 12 osallistujaa) ja MaD 247 (max 9 osallistujaa) maanantaina 10.12. klo 12 14, ja tiistaina 11.12. klo 16 18. Muista ilmoittautua Korpissa asianmukaiseen ryhmään. Koetta varten varmista, että osaat tulostaa mikroluokan MaD 353 koneilta oheiselle kirjoittimelle \\jyprint\mad-353-printer1, ja että osaat tulostaa dokumentin pdf-tiedostoksi ja lähettää sähköpostia, johon mukaan tulee liite. Käy läpi vanhat ratkaisusi ja tarkista, että jokaisen dokumentin syötteet toimivat oikein, kun valitset Cell Evaluate All Cells. Lopeta Maxima jokaisen dokumentin käsittelyn jälkeen, jotta uusi dokumenttisi aukeaisi puhtaalta pöydältä.