Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Jos jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa, sanotaa, että vektorit v 1, v 2,..., v k ovat lineaarisesti riippumattomia. Jos jono ei ole vapaa, sanotaan, että se on sidottu. LM1, Kesä 2012 100/218
Esimerkki 19 Merkitään v 1 = (1, 2) ja v 2 = ( 3, 1). Onko jono ( v 1, v 2 ) vapaa vai sidottu? v 1 v 2 LM1, Kesä 2012 101/218
Oletetaan, että c 1 v 1 + c 2 v 2 = 0 joillakin reaaliluvuilla c 1 ja c 2. Tällöin c 1 (1, 2) + c 2 ( 3, 1) = (0, 0) eli komponentteittain: { c1 3c 2 = 0 2c 1 c 2 = 0. Ratkaistaan tästä c 1 ja c 2 : [ ] [ ] 1 3 0 1 3 0 2 1 0 r 2 2r 1 0 5 0 r 2 /5 [ ] [ ] 1 3 0 r1 + 3r 2 1 0 0. 0 1 0 0 1 0 Ainoa ratkaisu on c 1 = 0 ja c 2 = 0. Jono ( v 1, v 2 ) on vapaa. LM1, Kesä 2012 102/218
Esimerkki 20 Merkitään v 1 = (1, 2), v 2 = ( 3, 1) ja v 3 = ( 1, 1). Onko jono ( v 1, v 2, v 3 ) vapaa vai sidottu? v 3 v 1 v 2 LM1, Kesä 2012 103/218
Oletetaan, että c 1 v 1 + c 2 v 2 + c 3 v 3 = 0 joillakin c 1, c 2, c 3 R. Tällöin c 1 (1, 2) + c 2 ( 3, 1) + c 3 ( 1, 1) = (0, 0) eli komponentteittain: { c1 3c 2 c 3 = 0 2c 1 c 2 + c 3 = 0. Ratkaistaan tästä c 1 ja c 2 : [ ] [ ] 1 3 1 0 1 3 1 0 2 1 1 0 r 2 2r 1 0 5 3 0 r 2 /5 [ ] [ ] 1 3 1 0 r1 + 3r 2 1 0 4/5 0. 0 1 3/5 0 0 1 3/5 0 Voidaan valita esimerkiksi c 3 = 5, jolloin c 2 = 3 ja c 1 = 4. Näin 4 v 1 3 v 2 + 5 v 3 = 0. Jono ( v 1, v 2, v 3 ) on sidottu. LM1, Kesä 2012 104/218
5 v 3 4 v 1 3 v 2 4 v 1 3 v 2 + 5 v 3 = 0 LM1, Kesä 2012 105/218
Esimerkki 21 Merkitään w 1 = (2, 1) ja w 2 = ( 4, 2). Onko jono ( w 1, w 2 ) vapaa vai sidottu? w 1 w 2 Esimerkiksi 2 w 1 + w 2 = 0, joten jono ( w 1, w 2 ) on sidottu. LM1, Kesä 2012 106/218
Vähintään kahdesta vektorista muodostuva vektorijono on sidottu, jos ja vain jos jokin sen vektoreista voidaan ilmaista toisten lineaarikombinaationa: Lause 15 Oletetaan, että v 1,..., v k R n, missä k 2 ja n {1, 2,...}. (a) Jono ( v 1 ) on sidottu, jos ja vain jos v = 0. (b) Jono ( v 1,..., v k ) on sidottu, jos ja vain jos v i span( v 1,..., v i 1, v i+1,..., v k ) jollakin i {1,..., k}. LM1, Kesä 2012 107/218
Perustelu: (a) Tarkastellaan eri mahdollisuudet: Jos v 1 = 0, niin esim. 8 v 1 = 8 0 = 0. Siis jono ( v 1 ) on sidottu. Jos v 1 0, niin t v 1 = 0 t = 0. Siis jono ( v 1 ) on vapaa. Havaitaan, että jono ( v 1 ) on sidottu, jos ja vain jos v 1 = 0. (b) : Oletetaan, että jono ( v 1,..., v k ) on sidottu. Tällöin c 1 v 1 + + c k v k = 0, missä ainakin yksi kertoimista c i 0. Oletetaan, että esim. c 2 0. Tällöin c 2 v 2 = c 1 v 1 c 3 v 3 c k v k ja v 2 = c 1 v 1 + c 3 c 2 c 2 v 3 + + c k c 2 v k. Tässä jokainen c i /c 2 R, joten v 2 span( v 1, v 3,..., v k ). LM1, Kesä 2012 108/218
: Oletetaan, että esimerkiksi v 3 span( v 1, v 2, v 4,..., v k ). Tällöin v 3 = a 1 v 1 + a 2 v 2 + a 4 v 4 + + a k v k joillakin reaaliluvuilla a 1, a 2, a 4,..., a k. Siten 0 = a 1 v 1 + a 2 v 2 v 3 + a 4 v 4 + + a k v k. Tässä ainakin vektorin v 3 kerroin 1 0, joten jono ( v 1,..., v k ) on sidottu. LM1, Kesä 2012 109/218
Esimerkki 22 Merkitään v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (1, 1, 0), v 3 = (0, 0, 2) ja v 4 = (3, 1, 0). Tällöin esimerkiksi 2 v 1 + v 2 + 0 v 3 v 4 = 0, joten jono ( v 1, v 2, v 3, v 4 ) on sidottu. Lisäksi esimerkiksi v 2 = 2 v 1 + 0 v 3 + v 4 mutta v 3 a v 1 + b v 2 + c v 4 kaikilla a, b, c R. LM1, Kesä 2012 110/218
Lause 16 Vapaan jonon osajono on vapaa. Huom. Osajono tarkoittaa jonoa, joka saadaan jättämällä alkuperäisestä jonosta pois yksi tai useampia vektoreita. Myös alkuperäinen jono sellaisenaan on yksi osajono. Lauseista 16 ja 15 seuraa, että vapaassa jonossa ( v 1, v 2,..., v k ) ei ole nollavektoria; jokainen vektori esiintyy vain kerran; v i v j kaikilla i j. LM1, Kesä 2012 111/218
Lauseen 16 perustelun idea: Oletetaan, että v 1,..., v 5 R n ja jono ( v 1,..., v 5 ) on vapaa. Osoitetaan, että sen osajono ( v 2, v 4, v 5 ) on vapaa. Tarkastellaan yhtälöä x v 2 + y v 4 + z v 5 = 0: x v 2 + y v 4 + z v 5 = 0 0 v 1 + x v 2 + 0 v 3 + y v 4 + z v 5 = 0 Oletuksen mukaan jono ( v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 ) on vapaa, joten oikeanpuoleinen yhtälö toteutuu vain, jos kaikki kertoimet ovat nollia. Tästä seuraa, että vasemmanpuoleisen yhtälön ainoa ratkaisu on x = 0, y = 0 ja z = 0. Siis jono ( v 2, v 4, v 5 ) on vapaa. LM1, Kesä 2012 112/218
Jos virittäjäjono on vapaa, niin kaikki aliavaruuden vektorit voidaan esittää tasan yhdellä tavalla virittäjävektorien lineaarikombinaatioina: Lause 17 Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,...}. Jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa, jos ja vain jos jokainen aliavaruuden span( v 1, v 2,..., v k ) alkio voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektorien v 1, v 2,..., v k lineaarikombinaationa. LM1, Kesä 2012 113/218
Perustelu: : Oletetaan, että jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. Oletetaan, että w span( v 1, v 2,..., v k ). Tämä tarkoittaa, että w voidaan kirjoittaa ainakin yhdellä tavalla vektoreiden v 1,..., v k lineaarikombinaationa. Oletetaan nyt, että w = a 1 v 1 + + a k v k ja w = b 1 v 1 + + b k v k joillakin a 1,..., a k, b 1,..., b k R. Tällöin a 1 v 1 + + a k v k = b 1 v 1 + + b k v k, joten a 1 v 1 + + a k v k (b 1 v 1 + + b k v k ) = 0 ja edelleen (a 1 b 1 ) v 1 + + (a k b k ) v k = 0. Jono ( v 1,..., v k ) on oletuksen mukaan vapaa, joten viimeisestä yhtälöstä seuraa, että a 1 b 1 = 0, a 2 b 2 = 0,..., a k b k = 0. Siten a 1 = b 1,..., a k = b k. Näin ollen vektoria w ei voida kirjoittaa lineaarikombinaationa usealla eri tavalla. LM1, Kesä 2012 114/218
: Oletetaan, että jokainen aliavaruuden span( v 1,..., v k ) alkio voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektorien v 1,..., v k lineaarikombinaationa. Osoitetaan, että jono ( v 1,..., v k ) on vapaa. Sitä varten oletetaan, että luvut c 1,..., c k R ovat sellaisia, että c 1 v 1 + c 2 v 2 + + c k v k = 0. Koska vektori 0 on aliavaruuden span( v 1,..., v k ) alkio, se voidaan kirjoittaa vektorien lineaarikombinaationa täsmälleen yhdellä tavalla. Tiedetään, että 0 v 1 + 0 v 2 + + 0 v k = 0, joten täytyy päteä c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Siten jono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa. LM1, Kesä 2012 115/218
Homogeeniset yhtälöryhmät Määritelmä Lineaarinen yhtälöryhmä, jonka kaikki vakiot ovat 0, on nimeltään homogeeninen yhtälöryhmä. a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0. =. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = 0 Huom. Homogeenisella yhtälöryhmällä on aina ainakin yksi ratkaisu: x 1 = 0, x 2 = 0,..., x n = 0. LM1, Kesä 2012 116/218
Lause 18 Jos homogeenisessa yhtälöryhmässä tuntemattomien määrä n on suurempi kuin yhtälöiden määrä m, niin homogeenisella yhtälöryhmällä on äärettömän monta ratkaisua. Esim. n = 5 ja m = 3: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + a 14 x 4 + a 15 x 5 = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + a 34 x 4 + a 25 x 5 = 0 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 + a 35 x 5 = 0 Homogeenisella yhtälöryhmällä on ainakin yksi ratkaisu. Johtavia alkioita enintään yksi joka rivillä; siis enintään m kpl. Vapaita muuttujia on ainakin yksi, koska tuntemattomien määrä n > m; ts. yhtälöryhmän matriisissa on ainakin yksi sarake, jossa ei ole johtavaa alkiota! LM1, Kesä 2012 117/218
Lause 19 Oletetaan, että v 1, v 2,..., v m R n, missä n {1, 2,...}. Jos m > n, niin jono ( v 1, v 2,..., v m ) on sidottu. Huom. Merkitsemällä v k = (v 1k, v 2k,..., v nk ) kaikilla k {1,..., m} saadaan yhtälöä x 1 v 1 + x 2 v 2 + + x m v m = 0 vastaavaksi matriisiksi v 11 x 1 + v 12 x 2 + + v 1n x m = 0 v 21 x 1 + v 22 x 2 + + v 2n x m = 0. =. v n1 x 1 + v n2 x 2 + + v nm x m = 0. LM1, Kesä 2012 118/218
Huom. Jos homogeenisessa yhtälöryhmässä tuntemattomien määrä n on pienempi tai yhtä suuri kuin yhtälöiden määrä m, ei lausetta 18 voi käyttää. Ratkaisuja voi olla yksi (x 1 = 0,..., x n = 0) tai äärettömän monta. Esim. n = 2 ja m = 4: a 11 x 1 + a 12 x 2 = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 = 0 a 31 x 1 + a 32 x 2 = 0 a 41 x 1 + a 42 x 2 = 0 LM1, Kesä 2012 119/218
Esimerkki 23 Oletetaan, että v 1, v 2, v 3 R n, missä n {1, 2,... }. Oletetaan lisäksi, että jono ( v 1, v 2, v 3 ) on vapaa. Onko jono tällöin vapaa? ( v 1 + v 2 + v 3, 2 v 1 v 2 + v 3, v 3 4 v 1 5 v 2 ) Oletetaan, että c 1, c 2 ja c 3 ovat sellaisia reaalilukuja, että c 1 ( v 1 + v 2 + v 3 ) + c 2 (2 v 1 v 2 + v 3 ) + c 3 ( v 3 4 v 1 5 v 2 ) = 0. Muokataa yhtälöä kertomalla sulut auki: c 1 v 1 + c 1 v 2 + c 1 v 3 + 2c 2 v 1 c 2 v 2 + c 2 v 3 + c 3 v 3 4c 3 v 1 5c 3 v 2 = 0. LM1, Kesä 2012 120/218
Otetaan yhteisiksi tekijöiksi vektorit v 1, v 2 ja v 3 : (c 1 + 2c 2 4c 3 ) v 1 + (c 1 c 2 5c 3 ) v 2 + (c 1 + c 2 + c 3 ) v 3 = 0. Jono ( v 1, v 2, v 3 ) on oletuksen mukaan vapaa, joten saatu yhtälö toteutuu, jos ja vain jos sen kaikki kertoimet ovat nollia. Saadaan homogeeninen yhtälöryhmä c 1 + 2c 2 4c 3 = 0 c 1 c 2 5c 3 = 0 c 1 + c 2 + c 3 = 0. 1 2 4 0 1 0 0 0 1 1 5 0... 0 1 0 0. 1 1 1 0 0 0 1 0 Ainoa ratkaisu on c 1 = 0, c 2 = 0 ja c 3 = 0, joten alkuperäinen jono on vapaa. LM1, Kesä 2012 121/218
Kanta Oletetaan, että v 1,..., v j R n, missä n {1, 2,...}. Merkitään W = span( v 1,..., v j ); ts. W on vektoreiden v 1,..., v j virittämä aliavaruus. Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden W kanta, jos (a) W = span( w 1, w 2,..., w k ) (b) ( w 1, w 2,..., w k ) on vapaa. LM1, Kesä 2012 122/218
Kanta Esimerkki 24 Merkitään ē 1 = (1, 0) ja ē 2 = (0, 1). Osoitetaan, että jono (ē 1, ē 2 ) on avaruuden R 2 kanta. ē 2 ē 1 Huom. Lukion merkinnöillä kysymyksessä on jono (ī, j). Vastaavasti voidaan osoittaa, että jono (ē 1,..., ē n ) on avaruuden R n kanta. Vektorin ē i komponentit ovat nollia lukuunottamatta i:nnettä komponenttia, joka on 1. LM1, Kesä 2012 123/218
Esimerkin 24 ratkaisu Käytetään kannan määritelmää: (a) Oletetaan, että w R 2. Tällöin w = (w 1, w 2 ) joillakin reaaliluvuilla w 1 ja w 2. Havaitaan, että w = w 1 (1, 0) + w 2 (0, 1) = w 1 ī + w 2 j. Näin mikä tahansa avaruuden R 2 vektori voidaan esittää vektoreiden ī ja j lineaarikombinaationa. Siten span(ī, j) = R 2. (b) Oletetaan, että c 1 ī + c 2 j = 0 joillakin c 1, c 2 R. Tällöin c 1 (1, 0) + c 2 (0, 1) = (0, 0) eli (c 1, c 2 ) = (0, 0), mistä seuraa, että c 1 = 0 ja c 2 = 0. Siis jono (ī, j) on vapaa. LM1, Kesä 2012 124/218
Lause 20 Kanta ja koordinaatit Jono ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta, jos ja vain jos jokainen aliavaruuden W vektori voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektoreiden w 1,..., w k lineaarikombinaationa. Lause 20 mahdollistaa seuraavan määritelmän: Määritelmä Oletetaan, että B = ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta. Oletetaan, että ū W. Vektorin ū koordinaateiksi kannan B suhteen kutsutaan reaalilukuja a 1,..., a k, joilla ū = a 1 w 1 + + a k w k. LM1, Kesä 2012 125/218
Lauseen 20 perustelu: : Oletetaan, että jono ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta. Tällöin kannan määritelmän nojalla W = span( w 1,..., w k ) ja jono ( w 1,..., w k ) on vapaa. Lauseesta 17 seuraa, että jokainen aliavaruuden W = span( w 1,..., w k ) vektori voidaan kirjoittaa tasan yhdellä tavalla vektoreiden w 1,..., w k lineaarikombinaationa. : Oletetaan, että jokainen aliavaruuden W vektori voidaan kirjoittaa täsmälleen yhdellä tavalla vektoreiden w 1,..., w k lineaarikombinaationa. Tästä seuraa ensinnäkin, että W = span( w 1,..., w k ). Tämän jälkeen voidaan käyttää lausetta 17, jonka mukaan jono ( w 1,..., w k ) on tällöin vapaa. Näin kannan määritelmän molemmat ehdot täyttyvät. Siis ( w 1,..., w k ) on aliavaruuden W kanta. LM1, Kesä 2012 126/218
Kanta ja koordinaatit Esimerkki 25 Merkitään w 1 = (2, 1), w 2 = (1, 3) ja ū = (8, 3). (a) Osoita lauseen 20 avulla, että ( w 1, w 2 ) on avaruuden R 2 kanta. (b) Määritä vektorin ū koordinaatit avaruuden R 2 ns. luonnollisen kannan E 2 = (ē 1, ē 2 ) suhteen. (c) Määritä vektorin ū koordinaatit kannan B = ( w 1, w 2 ) suhteen. LM1, Kesä 2012 127/218
(a) Oletetaan, että v R 2. Ratkaistaan yhtälö x 1 w 1 + x 2 w 2 = v eli yhtälö x 1 (2, 1) + x 2 (1, 3) = (v 1, v 2 ). Komponenteittain: { 2x1 + x 2 = v 1 x 1 + 3x 2 = v 2. [ ] 2 1 v1... 1 3 v 2 [ ] 1 0 (3v1 v 2 )/7. 0 1 (v 1 + 2v 2 )/7 Tasan yksi ratkaisu riippumatta vektorista v R 2. Siis jono ( w 1, w 2 ) on avaruuden R 2 kanta lauseen 20 nojalla. LM1, Kesä 2012 128/218
Kanta ja koordinaatit (b) Vektorin ū = (8, 3) koordinaatit avaruuden R 2 luonnollisen kannan E 2 = (ē 1, ē 2 ) suhteen ovat 8 ja 3, sillä ū = 8(1, 0) + 3(0, 1) = 8ē 1 + 3ē 2. 3ē 2 ē 2 ū = 8ē 1 + 3ē 2 ē 1 8ē 1 LM1, Kesä 2012 129/218
(c) Vektorin ū = (8, 3) koordinaatit avaruuden R 2 kannan B = ( w 1, w 2 ) suhteen saadaan a-kohdan avulla. Sen mukaan x 1 w 1 +x 2 w 2 = ū, jos ja vain jos { x1 = (3u 1 u 2 )/7 = (24 3)/7 = 3 x 2 = (u 1 + 2u 2 )/7 = (8 + 6)/7 = 2. Siis ū = 3 w 1 + 2 w 2 eli kysytyt koordinaatit ovat 3 ja 2. LM1, Kesä 2012 130/218
Kanta ja koordinaatit 2 w 2 w 2 ū = 3 w 1 + 2 w 2 w 1 3 w 1 LM1, Kesä 2012 131/218
Kanta ja dimensio Lause 21 Aliavaruuden W jokaisessa kannassa on yhtä monta vektoria. Lause 21 mahdollistaa seuraavan määritelmän: Määritelmä Aliavaruuden W kannan vektorien lukumäärä on aliavaruuden W dimensio. Sitä merkitään dim(w ). Jos aliavaruuden dimensio on n, sanotaan, että aliavaruus on n-ulotteinen. LM1, Kesä 2012 132/218
Kanta ja dimensio Esimerkki 26 Esimerkin 24 mukaan vektorit ē 1 = (1, 0) ja ē 2 = (0, 1) muodostavat avaruuden R 2 kannan. Siten dim(r 2 ) = 2. ē 2 ē 1 Esimerkki 27 Merkitään v 1 = (3, 1, 5), v 2 = (2, 1, 3) ja v 3 = (0, 5, 1). Olkoon W = span( v 1, v 2, v 3 ). Määritä aliavaruuden W dimensio. LM1, Kesä 2012 133/218
Esimerkin 27 ratkaisu Oletetaan, että ū R 3. Ratkaistaan yhtälö x 1 v 1 + x 2 v 2 + x 3 v 3 = ū eli yhtälö x 1 (3, 1, 5) + x 2 (2, 1, 3) + x 3 (0, 5, 1) = (u 1, u 2, u 3 ). Komponentteittain 3x 1 + 2x 2 = u 1 x 1 + x 2 5x 3 = u 2 5x 1 + 3x 2 + x 3 = u 3. 3 2 0 u 1 1 1 5 u 2 1 1 5 u 2... 0 1 3 (u 1 + 3u 2 )/5. 5 3 1 u 3 0 0 0 (5u 3 + u 2 8u 1 )/5 LM1, Kesä 2012 134/218
Havaitaan, että yhtälöryhmällä on ratkaisu, jos ja vain jos 5u 3 + u 2 8u 1 = 0. Siten W = span( v 1, v 2, v 3 ) = { (x, y, z) 8x + y + 5z = 0 } on origon kautta kulkeva taso, jonka yksi normaali on ( 8, 1, 5). Jos 5u 3 + u 2 8u 1 = 0, niin x 3 on vapaa muuttuja ja voidaan valita x 3 = 0. Siten jokainen tason vektori voidaan ilmaista vektoreiden v 1 ja v 2 lineaarikombinaationa; ts. W = span( v 1, v 2, v 3 ) = span( v 1, v 2 ). Lisäksi v 1 v 2, joten lauseen 15 nojalla jono ( v 1, v 2 ) on vapaa. Näin jono ( v 1, v 2 ) on avaruuden W kanta ja siten dim(w ) = 2. LM1, Kesä 2012 135/218
Lauseen 21 perustelu: Oletetaan, että B = ( v 1,..., v j ) ja C = ( w 1,..., w k ) ovat aliavaruuden W kantoja. Pyritään osoittamaan, että j = k. Tehdään se osoittamalla, että muut vaihtoehdot j < k ja k < j johtavat ristiriitaan. Oletetaan, että j < k. Tarkastellaan yhtälöä x 1 w 1 + + x k w k = 0. (1) Koska B on W :n kanta, voidaan kaikki kannan C vektorit kirjoittaa kannan B vektorien lineaarikombinaatioina: w 1 = a 11 v 1 + a 12 v 2 + + a 1j v j w 2 = a 21 v 1 + a 22 v 2 + + a 2j v j. w k = a k1 v 1 + a k2 v 2 + + a kj v j LM1, Kesä 2012 136/218
Sijoittamalla nämä yhtälöön 1 saadaan yhtäpitävä yhtälö: x 1 (a 11 v 1 + a 12 v 2 + + a 1j v j ) + x 2 (a 21 v 1 + a 22 v 2 + + a 2j v j ) + + x k (a k1 v 1 + a k2 v 2 + + a kj v j ) = 0 ja edelleen ryhmittelemällä: (x 1 a 11 + x 2 a 21 + + x k a k1 ) v 1 + (x 1 a 12 + x 2 a 22 + + x k a k2 ) v 2 + + (x 1 a 1j + x 2 a 2j + + x k a kj ) v j = 0 LM1, Kesä 2012 137/218
Jono B = ( v 1,..., v j ) on kanta, joten se on vapaa. Siten edellinen yhtälö toteutuu, jos ja vain jos kaikki kertoimet ovat nollia: x 1 a 11 + x 2 a 21 + + x k a k1 = 0 x 1 a 12 + x 2 a 22 + + x k a k2 = 0. =. x 1 a 1j + x 2 a 2j + + x k a kj = 0 Kyseessä on homogeeninen yhtälöryhmä, jossa tuntemattomien määrä k on suurempi kuin yhtälöiden määrä j. Lauseen 18 mukaan yhtälöryhmällä on muitakin ratkaisuja kuin x 1 = 0,..., x k = 0. Siis jono C = ( w 1,..., w k ) on sidottu. Ristiriita! Tapaus j > k käsitellään vastaavasti. LM1, Kesä 2012 138/218