MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c V = reaaliset 2 2 matriisit ja S = {,, 0 0 1 1 (, Ratk a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} Ei viritä Olkoon a = (a 1,a 2,a 3 R 3 Ratkaistaan yhtälö ( 0 1 } 0 1 x 1 (1,0, 1x 2 (2,0,4 x 3 ( 5,0,2 x 4 (0,0,1 = (x 1 2x 2 5x 3,0, x 1 4x 2 2x 3 x 4 3x 3 = (a 1,a 2,a 3 Ei viritä, sillä toista koordinaattia ei saada nollasta eroavaksi b V = P 2 ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} Olkoon p(t = a 0 a 1 ta 2 t 2 P 2 mivaltainen Ratkaistaan yhtälö x 1 (t1x 2 (t 2 1x 3 (t 2 t = (x 2 x 3 t 2 (x 1 x 3 t(x 1 x 2 = a 0 a 1 ta 2 t 2, kaikilla t R Saadaan yhtälöryhmä x 1 x 2 = a 0 x 1 x 3 = a 1 x 2 x 3 = a 2 Yhtälöryhmä ei ratkeaa kaikilla oikeilla{( puolilla, joten ( joukko S( ei viritä avaruutta ( } P 2 1 0 0 1 c V = reaaliset 2 2 matriisit ja S =,,, 0 0 1 1 0 1 Olkoon A mivaltainen 2 2 matriisi Ratkaistaan yhtälö ( ( ( ( ( 1 0 0 1 a11 a a b c d = 12 0 0 1 1 0 1 a 21 a 22 Yhtälö sievenee matriisien väliseksi yhtälöksi ( ac ad bc bd ( a11 a = 12 a 21 a 22 Vastaava yhtälöryhmä a c = a 11 a d = a 12 b c = a 21 b d = a 22 ei ratkeaa kaikilla oikeilla puolilla, joten joukko S ei viritä reaalisten 2 2 matriisien avaruutta 23 Tutki, muodostavatko vektorit (1,1,0, (2,1,3 ja ( 1,1, 5 R 3 :n kannan Jos muodostavat, niin etsi vektorin (4,1,5 koordinaatit tämän kannan suhteen Ratk Vektorijoukko on lineaariavaruuden L kanta mikäli vektorit ovat vapaita vektorit virittävät avaruuden L Vapaus: Avaruuden R 3 nollavektorin esitys annetussa kannassa on x(1,1,0 T y(2,1,3 T z( 1,1, 5 T = (0,0,0 T
x 2y z = 0 x y z = 0 3y 5z = 0 Yhtälöryhmän yksikäsitteinen ratkaisu on x = y = z = 0 (laske! Virittäminen Vektorit (1,1,0, (2,1,3 ja ( 1,1, 5 virittävät avaruuden R 3, jos jokainen avaruuden R 3 vektori (a 1,a 2,a 3 voidaan lausua vektoreiden (1,1,0, (2,1,3 ja ( 1,1, 5 lineaarikombinaationa Olkoon x(1,1,0 T y(2,1,3 T z( 1,1, 5 T = (a 1,a 2,a 3 T, x 2y z = a 1 x y z = a 2 3y 5z = a 3 Sama matriisimuodossa: 1 2 1 x a 1 1 1 1 y = a 2 0 3 5 z a 3 1 2 1 Merkitään A = 1 1 1 0 3 5 Vektori (a 1,a 2,a 3 voidaan lausua vektoreiden(1,1,0, (2,1,3 ja ( 1,1, 5 lineaarikombinaationa, jos edellä olevalla yhtälöryhmällä on ratkaisu Ratkaisu on olemassa, jos kerroinmatriisilla A on käänteismatriisi Lasketaan käänteismatriisi vaakarivimuunnoksin 1 2 1 0 1 1 2 1 0 1 1 0 1 2 1 2 3 0 3 5 0 0 3 5 0 0 1 3 1 2 0 3 1 2 0 0 1 2 1 1 0 1 2 1 0 0 1 3 3 0 1 3 3 1 2 3 0 8 7 3 0 5 5 2 0 0 1 3 3 1 Käänteismatriisi on A 1 = 8 7 3 5 5 2 3 3 1 Vektorin b = (4,1,5 koordinaatit saadaan ratkaisemalla yhtälöryhmä x(1,1,0 T y(2,1,3 T z( 1,1, 5 T = (4,1,5 T Sama matriisimuodossa 1 2 1 x 4 x 4 1 1 1 y = 1 A y = 1 0 3 5 z 5 z 5 x 4 8 7 3 Silloin y = A 1 1 = 5 5 2 z 5 3 3 1 4 1 5 = 10 5 4 Kysytyt koordinaatit ovat10, 5, 4 24 a Selvitä onko vektorijoukko {(1,1, 2,2, (3,2, 4,5, (0, 2,3, 2, (1,1,0,3} R 4 :n vapaa (=lineaarisesti riippumaton vektorijoukko Jos on, niin lausu vektori (0, 0, 1, 0 vektorijoukon vektoreiden lineaarikombinaationa b Selvitä onko polynomijoukko S = {1t 2t 2 2t 3, 32t 4t 2 5t 3, 2t3t 2 2t 3, 1t3t 3 } vapaa reaalikertoimisten, korkeintaan astetta 3 olevien polynomien muodostamassa vektoriavaruudessa Jos on, niin lausu polynomi t 2 polynomijoukon polynomien lineaarikombinaationa
Ratk a Tutkitaan vapaus Merkitään a(1,1, 2,2 T b(3,2, 4,5 T c(0, 2,3, 2 T d(1,1,0,3 T = (0,0,0,0 T 2a 4b 3c = 0 Yhtälöryhmän yksikäsitteinen ratkaisu on a = b = c = d = 0 (laske! Siis annettu vektorijoukko on lineaarisesti riippumaton avaruudessa R 4 Lausutaan vektori (0,0,1,0 T annetun joukon vektoreiden avulla a(1,1, 2,2 T b(3,2, 4,5 T c(0, 2,3, 2 T d(1,1,0,3 T = (0,0,1,0 T 2a 4b 3c = 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä vaakarivimuunnoksin 1 3 0 1 2 1 2 2 2 4 3 0 1 2 5 2 3 0 6 0 1 2 0 0 1 0 0 1 2 1 1 0 0 0 6 0 1 2 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 2 1 3 0 0 1 2 0 0 2 0 2 3 2 1 0 1 2 x 6z w = 0 y 2z = 0 z 2w = 1 w = 0 Yhtälöryhmän ratkaisu on d = 0, c = 1, b = 2, a = 6 Vektorin (0,0,1,0 koordinaatit ovat -6, 2, -1,0 Siis: 6(1,1, 2,2 2(3,2, 4,5 1(0, 2,3, 2 0(1,1,0,3 = (0,0,1,0 b Reaalikertoimisten korkeintaan astetta 3 olevien polynomien muodostama vektoriavaruus on P 3 ((R = { p(t p(t = a 0 a 1 ta 2 t 2 a 3 t 3,a i R kaikilla i = 0,1,2,3 } Tutkitaan polynomijoukon {1t 2t 2 2t 3, 32t 4t 2 5t 3, 2t3t 2 2t 3, 1t3t 3 } vapaus Merkitään a(1t 2t 2 2t 3 b(32t 4t 2 5t 3 c( 2t3t 2 2t 3 d(1t3t 3 = 00t0t 2 0t 3 (a3bd(a2b 2cdt( 2a 4b3ct 2 (2a5b 2c3dt 3 = 00t0t 2 0t 3 1 Silloin 2a 4b 3c = 0
Yhtälöryhmän yksikäsitteinen ratkaisu on a = b = c = d = 0 (laske! Siis annettu polynomijoukko on lineaarisesti riippumaton avaruudessa P 3 (R Lausutaan vektori t 2 annetun polynomijoukon S polynomien avulla a(1t 2t 2 2t 3 b(32t 4t 2 5t 3 c( 2t3t 2 2t 3 d(1t3t 3 = 00t0t 2 0t 3 (a3bd(a2b 2cdt( 2a 4b3ct 2 (2a5b 2c3dt 3 = 00tt 2 0t 3 2a 4b 3c = 1 Yhtälöryhmän ratkaisu on d = 0, c = 1, b = 2, a = 6 (kts a kohta Polynomin t 2 koordinaatit ovat -6, 2, -1,0 Siis: 6(1t 2t 2 2t 3 2(32t 4t 2 5t 3 1( 2t3t 2 2t 3 0(1t3t 3 = t 2 25 a Vektorijoukko S = {(0,1,0,0,(1,0,1,0,(0,1,0,2,(1,0,2,0} on lineaarisen vektoriavaruuden R 4 kanta Vektorin u koordinaatit kannassa S ovat 1, 2,5 ja 0 Määrää vektorin u koordinaatit luonnollisessa kannassa ( ( ( ( 0 1 2 2 0 0 b Matriisijoukko S = {,,, } on reaalisten 2 2 matriisien muodostaman vektoriavaruuden kanta Määrää matriisin koordinaatit kannassa S 1 1 0 1 ( 1 3 Ratk a Nyt u = 1(0,1,0,0 2(1,0,1,0 5(0,1,0,2 0(1,0,2,0 = ( 2,6, 2,10 = 2(1,0,0,0 6(0,1,0,0 2(0,0,1,0 10(0,0,0,1 Vektorin u = ( 2, 6, 2, 10 koordinaatit luonnollisessa kannassa ovat 2, 6, 2, 10 b Matriisin koordinaateille a, b, c ja d kannassa S on voimassa ( 1 3 = a ( b ( 0 1 1 1 ( ( 1 3 a2c b2c = abc bd Saadaan yhtälöryhmä: a2c = 1 b2c = 3 c ( 2 2 d ( 0 0 0 1, abc = 2 bd = 4 Ratkaisu: a = ( 1 3,b = 5 3,c = 2 3 ja d = 7 3 1 3 Matriisin koordinaatit kannassa S ovat 1 3, 5 3, 2 3 ja 7 3 26 Määrää kaikki sellaiset reaaliluvutk, että vektorijoukkos = {(0, 1,0,k,(1,0,1,0,(0,1,1,0,(k,0,2,1} on R 4 :n kanta Ratk Avaruuden R 4 dimensio on 4 Lauseen 28 perusteella jokainen avaruuden R 4 4:n vektorin vapaa vektorijoukko on avaruuden R 4 kanta Silloin S on kanta täsmälleen niillä k:n arvoilla, joilla S on vapaa
Merkitään a(0, 1,0,k b(1,0,1,0 c(0,1,1,0 d(k,0,2,1 = (0,0,0,0 (bkd, ac,bc2d,kad = (0,0,0,0 Yhtälöryhmänä: b kd = 0 a c = 0 b c 2d = 0 ka d = 0 Ratkaistaan yhtälöryhmä vaakarivimuunnoksin: 0 k 0 0 k 0 1 0 1 1 2 0 0 k 0 0 1 1 2 0 k 0 0 k 0 0 0 0 0 k 0 1 0 1 1 2 0 0 k 0 0 0 1 2 k 0 1 0 0 k 0 0 k 0 2 k 0 0 k 0 0 0 1 2 k 0 0 0 0 1 k(2 k 0 k Jos 1 k(2 k 0 k 1, niin yhtälöryhmän ainoa ratkaisu on a = b = c = d = 0, vektorijoukko S on vapaa Jos k = 1, niin yhtälöryhmällä on myös muita ratkaisuja, S ei ole vapaa Vastaus: S on vektoriavaruuden R 4 kanta, jos k 1