x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A kuvaa pisteeksi/vektoriksi b Toisaalta nämä kertoimet ovat vektorin b koordinaatit kun se ilmoitetaan kannassa {a a 2 a 3 } eli a 5 2 a 2 + 2a 3 = b Esimerkki 2 (lasketaan luennolla) Etsi menetelmällä yhtälöryhmän x 2x 2 + x 3 = 2x 2 8x 3 = 8 4x + 5x 2 + 9x 3 = 9 ratkaisu Vastaus: x 29 x 2 = 6 x 3 3 3 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2 4 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2 menetelmässä lineaarinen matriisiyhtälö Ax = b kirjoitetaan liittomatriisina [A b] jota muokataan rivioperaatioin: lisämällä (painotettu) rivi toiseen riviin vastaa (painotetun) yhtälön lisäämistä toiseen 2 vaihtamalla kahden rivin paikkaa keskenään vastaa yhtälöiden paikan vaihtoa 3 kertomalla yksittäinen rivi vakiolla c vastaa yhden yhtälön kertomista vakiolla c Jos lineaarisesta yhtälöstä Ax = b saadaan rivioperaatioin C x = d merkitään [A b] [C d] Esimerkki 3 (lasketaan luennolla) Etsi virrat I I 2 ja jännite E I 6V 3 Ω Ω 8V 3A 2 Ω 3 Ω I 2 E 5 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2 6 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2
Ratkaisu: Kirchhoffin virtalain mukaan virtapiirissä tiettyyn pisteeseen tulevien ja siitä lähtevien virtojen summa on sama joten piirin yläreunan keskellä olevassa risteyksessä täytyy päteä I + 3 = I 2 (A) Kirchhoffin jännitelain mukaan potentiaalierojen summan virtapiirin ympäri täytyy olla nolla joten vasemman puoleisesta piiristä saadaan 6 = 3I + 8 + I (V ) ja oikeasta E = 2I 2 3I 2 + 8 (V ) kun muistetaan että vastuksen aiheuttama potentiaalin muutos on U = RI Saadaan siis yhtälöryhmä I I 2 = 3 4I = 2 5I 2 + E = 8 Matriisimuodossa 4 5 I 3 I 2 = 2 E 8 askeleilla tämä saadaan muotoon I 5 I 2 = 8 E 4 (Huomaa että kahden ylimmän rivin järjestystä on vaihdettu!) Vastaus on siis I = 5A I 2 = 8A ja E = 4V Olisikin näemmä kannattanut valita virran I suunta toisin päin 7 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2 8 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2 Esimerkki 4 Etsi yhtälöryhmän kaikki ratkaisut kun x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 2x + 4x 2 + 8x 3 + x 4 = 6 3x + 6x 2 + x 3 + 4x 4 = 7 Ax = b Ratkaisu: Kirjoitetaan yhtälö matriisimuotoon Ax = b eli x 2 3 4 2 4 8 x 2 x 3 6 4 3 = 6 7 x 4 Ennen kuin sijoitamme liittomatriisiin oikealle puolelle vektorin b b = 6 suoritetaan eliminaatioaskeleet yleisellä b = b 2 7 b 3 2 3 4 b 2 3 2 4 8 b 2 + 3 6 4 + 2 3 4 2 2 2 2 b 3 b b 2 2b b 3 3b + 9 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2 2 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2
2 3 4 2 2 b b 2 2b b 3 b 2 b Jotta viimeiselle riville ei syntyisi ristiriitaa on pädettävä b 3 b 2 b = Tämä on konsistenssiehto Annetulla vektorilla 7 6 = joten ristiriitaa ei synny 2 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2 Palataan sitten annettuun vektoriin b jolloin saadaan 2 3 4 + 2 2 6 2 :2 3 7 6 2 5 2 Matriisi A on nyt saatettu redusoituun porrasmuotoon Tämä tarkoittaa muotoa jossa jokaisen rivin ensimmäinen nollasta poikkeava alkio on ja alemmalla rivillä on alussa nollia aina useampi kuin ylemmällä 22 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2 Jaetaan muuttujat a) kiinnitetyiksi (x x 3 ) b) vapaiksi (x 2 x 4 ) Miksi nämä nimet? Vapaat voi korvata parametreilla ja ratkaista kiinnitetyt niiden avulla Olkoon x 2 = σ x 4 = τ σ τ R Ratkaistavana on siis x 2 σ 5 x 3 = 2 τ Helpoiten loppu onnistuu kirjoittamalla ongelma takaisin yhtälöryhmäksi { x + 2σ + τ = 5 x 3 + τ = 2 Tästä saadaan ratkaistua kiinnitetyt muuttujat x ja x 3 vapaiden avulla: { x = 5 2σ τ x 3 = 2 τ Kun lisäksi muistetaan että x 2 = σ ja x 4 = τ ovat mielivaltaisia reaalilukuja nähdään että yhtälöt ratkeavat millä tahansa lukunelikolla x x 2 x 3 x 4 joka on muotoa 23 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2 24 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2
x = 5 2σ τ x 2 = σ x 3 = 2 τ x 4 = τ missä σ τ R Toisin sanoen kaikki muotoa 5 2 x = 2 + σ + τ σ τ R olevat vektorit toteuttavat siis alkuperäisen yhtälön Ax = b eli ratkaisuita on ääretön määrä 25 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2 Huom Vapaiden muuttujien kerroinvektorit 2 ja ratkaisevat yhtälön Ax = eli samaa matriisia vastaavan homogeenisen yhtälön Myös kaikki niiden lineaarikombinaatiot ratkaisevat homogeenisen yhtälön Sanotaankin että matriisin A ydin on yhtälöryhmän Ax = ratkaisuiden kantavektorien joukko eli tässä tapauksessa 2 N (A) = ; dim N (A) = 2 26 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2 Esimerkki 5 (lasketaan luennolla) Etsi yhtälöryhmän x + x 2 x 3 + 3x 4 = 3x + x 2 x 3 x 4 = 2x x 2 2x 3 x 4 = kaikki ratkaisut Vastaus: x = α α R Lause 6 Lineaarinen yhtälöryhmä Ax = b missä A on m n-matriisi voidaan aina saattaa muotoon ( ) I F c c 2 missä I on r r-identiteettimatriisi F on r (n r)-matriisi c on r-vektori ja c 2 on (m r)-vektori Ratkaisuiden lukumäärälle saadaan ehdot: Jos r < m ja c 2 lukumäärä on (r = m tai c 2 = ) ja r = n lukumäärä on (r = m tai c 2 = ) ja r < n lukumäärä on 27 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2 28 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2
Esimerkki 7 (lasketaan luennolla) Eräs yksinkertainen talous koostuu hiili- sähkö- ja terässektoreista Sähkösektorin tuotannosta myydään 4% hiilisektorin käyttöön 5% terässektorin käyttöön ja loput jää omaan käyttöön Hiilisektorin tuotannosta sähköteollisuus ostaa 6% ja terästeollisuus 4% Terässektorin tuotannosta puolestaan 6% myydään hiilisektorin käyttöön 2% sähkösektorille ja loput omaan käyttöön Merkitään sähkösektorin vuosituotannon arvoa p s hiilisektorin p h ja terässektorin p t Etsi tasapainotila jossa kunkin sektorin tulot ja menot vastaavat toisiaan Ratkaisu: Tasapainotilassa hiilisektorin vuosituotannon arvo p h on yhtä suuri kuin sen menot Menot koostuvat siitä että ostetaan 4% sähkösektorin tuotannosta ja 6% terässektorin tuotannosta Siis: p h = 4p s + 6p t Vastaavasti sähkö- ja terässektoreille: p s = 6p h + 2p t + p s ja p t = 5p s + 4p h + 2p t (Huomaa että näillä sektoreilla osa tuotannosta menee omaan käyttöön!) Saadaan siis yhtälöryhmä: p h 4p s 6p t = 6p h +9p s 2p t = 4p h 5p s +8p t = 29 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2 3 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2 Kirjoitetaan tämä matriisimuodossa: 4 6 p h 6 9 2 p s = 4 5 8 p t lla saadaan (pyöristettynä kahden luvun tarkkuudelle) 4 6 94 6 9 2 85 4 5 8 joten yleinen ratkaisu on p h 94 p s p t 85 p t R p t 3 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2 Esimerkki 8 (lisätehtävä) Fotosynteesissä kasvi muuttaa auringonvalosta saamallaan energialla hiilidioksidia CO 2 ja vettä H 2 O hapeksi O 2 ja glukoosiksi C 6 H 2 O 6 Reaktion kemiallinen yhtälö on siis x CO 2 + x 2 H 2 O x 3 O 2 + x 4 C 6 H 2 O 6 Etsi kertoimet x x 2 x 3 x 4 Vastaus: Hiili- vety- ja happiatomien lukumäärien täytyy pysyä vakioina joten yhtälön kummallakin puolella niitä kutakin on sama määrä Tästä saamme yhtälöryhmän joka ratkaistaan esim menetelmällä Vastaukseksi saadaan x = x 2 = x 3 = 6τ x 4 = τ τ R 32 / 32 N Hyvönen c R Kangaslampi 2