Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 3 / vko 10 Tuntitehtävät 17-18 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 21-22 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 19-20 tarkastetaan loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 23-24 tulee palauttaa seuraavan alkuviikon harjoituksiin paperilla tai pdf-muodossa kurssin MyCourses-sivuille maanantaihin klo 20.00 mennessä. Sama kellonaika on myös viikoittaisten verkkotehtävien dl, joskin verkkotehtävät kannattaa tehdä ennen palautettavia kotitehtäviä. Alkuviikko: funktiot ja mahtavuudet Tuntitehtävä 17: Olkoon f : Z Z Q, f(m, n) a) Määritä perustellen alkukuva f 1 ({0}). b) Onko f injektio? Entä surjektio? Perustele. m n + 1. a) Alkukuva f 1 ({0}) on joukko {(m, n) f(m, n) 0}. Tässä nimittäjä on aina nollasta poikkeava, joten funktio saa arvon nolla jos ja vain jos osoittaja saa arvon nolla. Näin ollen alkukuva on {(m, n) m 0, n Z}. b) Injektio on kuvaus, jossa kuhunkin maalijoukon alkioon kuvautuu korkeintaan yksi määrittelyjoukon alkio. Selvästikään f ei ole injektio, sillä esimerkiksi f(1, 1) f(1, 1) Surjektio on kuvaus, jossa jokaiseen maalijoukon alkioon kuvautuu vähintään yksi määrittelyjoukon alkio. f on surjektio, sillä mikä tahansa maalijoukon alkio p saadaan seuraavasti: q 1) Jos q on positiivinen, valitaan m p, n q 1. 2) Jos q on negatiivinen, valitaan m p, n q 1. (Tämän voinee ratkaista myös jollain vähemmän teknisellä päättelyllä.) Tuntitehtävä 18: Konstruoi bijektio f : [0, 1[ [0, 1]. Huomaa, että 1 kuuluu maalijoukkoon mutta ei määrittelyjoukkoon! Vihje: Voit helposti konstruoida injektion määrittelemällä f(x) x kun 0 x < 1. Silloin ei ole olemassa lukua x [0, 1[ siten, että f(x) 1, mutta voit korjata tämän 1
puutteen muuttamalla funktion määritelmää siten, että f( 1) 1 (eikä 1 ). Tämä ei 2 2 vieläkään ole bijektio, mutta jatka funktion korjaamista niin että saat bijektion. Vihjeessä määritelty funktio ei ole surjektio, koska ei löydy lukua x [0, 1[ siten, että f(x) 1. Mutta voimme määritellä 2 f(1) 1 ja sitten jatkaa tätä prosessia siten, että 4 2 f( 1) 1, f( 1 ) 1 jne. jolloin siis funktioksi f tulee 8 4 16 8 { x, 0 x < 1, x 2 n, n 1, f(x) 2 n, x 2 n 1, n 0. Tällä tavalla saamme bijektion ja sen käänteisfunktio (jota ei tehtävässä kysytty) on { f 1 x, 0 x 1, x 2 n, n 0, (x) 2 n 1, x 2 n, n 0. Kotitehtävä 19: Selvitä mitä tarkoitetaan osittaisella järjestyksellä (eng. partial order; partially ordered set) ja siihen liittyvällä Hassen diagrammilla. a) Anna osittaisen järjestyksen määritelmä. b) Anna esimerkki osittaisesta järjestyksestä ja havainnollista esimerkkiä Hassediagrammilla. c) Mainitse monimutkaisempi sovellus (esimerkiksi matematiikan sisältä tai tietotekniikasta), jossa osittainen järjestys esiintyy. a) Osittaisjärjestys on relaatio joukossa S, joka on refleksiivinen, antisymmetrinen ja transitiivinen, eli täyttää seuraavat ehdot kaikilla a, b, c S: 1) a a 2) jos a b ja b a niin a b. 3) jos a b ja b c niin a c. b) Yksinkertainen esimerkki on jonkin joukon osajoukkojen joukko, jossa relaationa on joukkoinkluusio, alla havainnollistava kuva. Muita esimerkkejä ovat esimerkiksi kokonaislukujen jaollisuus tai kaikista triviaalein esimerkki eli on suurempi kuin -relaatio reaalilukujen joukossa. 2
Kuva 1: Wikipediasta varastettu Hasse-diagrammi kolmen alkion joukon osajoukoista. c) Osittaisjärjestys esiintyy tietojenkäsittelytieteessä esimerkiksi tehtävien aikataulutuksessa, jossa alkiot ovat suoritettavia tehtäviä ja osittaisjärjestys spesifioi presedenssirajoitteet, eli sen, mitkä tehtävät on pakko suorittaa ennen kuin jonkin toisen voi aloittaa (analogia: lienee makuasia pukeeko ensin housut vai kravatin, mutta molemmat täytynee pukea ennen takkia). Parallel task scheduling on hyvä Google-haku jos tämä aihe kiinnostaa. Kotitehtävä 20: Todista, että reaalilukujen joukko on ylinumeroituva. (Todistuksia löytyy kirjallisuudesta, netistä yms. Ei tarvitse keksi pyörää uudelleen: voit valita jonkin aiemman todistuksen, ymmärtää sen ja valmistautua selittämään sen muillekin.) Katso esim. Wikipedia: "Cantorin diagonaaliargumentti" Loppuviikko: kombinatoriikka Tuntitehtävä 21: Yhdistyksellä on hallitus, johon kuuluu seitsemän jäsentä: A, B, C, D, E, F ja G. Hallituksen jäsenistä on valittava puheenjohtaja, sihteeri ja varainhoitaja siten, että jokaisella valitulla on vain yksi tehtävä. a) Monellako tavalla tämän voi tehdä jos joko D:n tai E:n pitää olla puheenjohtaja? b) Monellako tavalla tämän voi tehdä jos B:n pitää tulla valituksi johonkin tehtävään? Satamaan saapuvalta risteilylaivalta 2000 matkustajaa kuljetetaan linja-autoilla kaupunkiin. Heitä varten on 30 linja-autoa, joihin jokaiseen mahtuu korkeintaan 80 matkustajaa. 3
c) Osoita, että ainakin yhdessä linja-autossa on ainakin 67 matkustajaa. d) Osoita, että ainakin yhdessä linja-autossa on ainakin 14 vapaata paikkaa. a) Ensin valitaan joko D tai E puheenjohtajaksi, jolloin on kaksi vaihtoehtoa. Sen jälkeen jäljellä olevista 6:sta jäsenestä valitaan sihteeri, jonka jälkeen jäljellä olevista 5:stä jäsenestä valitaan varainhoitaja. Tulosäännön nojalla vaihtoehtojen lukumääräksi tulee 2 6 5 60. b) Tässä tapauksessa on kolme vaihtoehtoa valita toimi, johon B valitaan. Tämän jälkeen jäljellä olevista 6:sta jäsenestä kaksi on valittava muihin toimiin, jolloin vaihtoehtojen lukumäärä on 6 5 30. Näin ollen valinnat voidaan tehdä 3 30 90:llä eri tavalla. c) Jos kaikissa linja-autoissa olisi korkeintaan 66 matkustajaa, niin linja-autoissa olisi kaiken kaikkiaan vain korkeintaan 30 6 1980 matkustajaa, mikä on liian vähän, eli ainakin yhdessä linja-autossa täytyy olla vähintään 67 matkustajaa. d) Jos kaikissa linja-autoissa olisi korkeintaan 13 vapaata paikkaa, niin jokaisessa olisi ainakin 67 matkustajaa eli yhteensä vähintään 30 67 2010. Tämä on liian suuri lukumäärä, joten ainakin yhdessä linja-autossa on ainakin 14 vapaata paikkaa. Tuntitehtävä 22: Laatikossa on erivärisiä palloja, värejä on yhteensä n erilaista. Kutakin väriä on paljon. Laatikosta poimitaan k palloa. Miksi erilaisten mahdollisten väriyhdistelmien määrä tälle k:n pallon joukolle on ( ) k+n 1 n 1? Määritellään väreille jokin järjestys. Ajatellaan, että valitut k palloa on asetettu jonoon, samanväriset aina peräkkäin, siten että värit ovat valitussa järjestyksessä. Laitetaan värien väliin aina keppi, jolloin tilanne muistuttaa seuraavaa: ooooo ooo ooo oo o Tässä listan ensimmäistä väriä on 5 kappaletta, toista ei lainkaan, kolmatta 3, neljättä 3, viidettä 2 ja kuudetta 1 ja seitsemättä ei lainkaan. Erilaisia väriyhdistelmiä on yhtä monta kuin mahdollisuuksia laittaa värejä erottavat n 1 keppiä k:n pallon jonoon. Keppejä saa olla myös jonon alussa ja lopussa. Toisin sanoen, on siis asetettava n 1 keppiä ja k palloa jonoon, ja laskettava näin syntyvien jonojen lukumäärä. Vielä uudelleen muotoiltuna: kuinka monella tavalla k + n 1 pitkästä jonosta voidaan valita n 1 paikkaa, joihin asettaa keppi? Eli kuinka monella tavalla k + n 1 alkion joukosta voidaan valita n 1:n alkion osajoukko? Vastaus kysymykseen on ( k+n 1 n 1 ), ja samalla tämä on vastaus alkuperäiseen kysymykseen. 4
Kotitehtävä 23: Laatikossa on 7 sinistä, 6 keltaista, 5 punaista ja 2 vihreää palloa. Montako erilaista 5 pallon joukkoa laatikosta voidaan valita, kun ainoa ero pallojen välillä on niiden väri, eikä palloja järjestetä mitenkään? On olemassa ( ) k+n 1 k eri tapaa valita k palloa laatikosta, jossa palloja on n:ää erilaista väriä, ja jokaista väriä on riittävästi (kts. edellinen tehtävä). Koska vihreitä palloja on vain 2, niin on yksinkertaisinta tarkastella erikseen tapaukset, joissa valitaan 0, 1 ja 2 vihreää palloa (ja nämä tapaukset ovat toisensa poissulkevia). Muita palloja on tällöin riittävästi valittavaksi miten tahansa. Jos valitsemme j vihreätä palloa, niin on lisäksi valittava 5 j palloa, joiden väri on jokin muu kuin vihreä. Tällöin värivaihtoehtoja on 3. Kaikkien vaihtoehtojen lukumääräksi tulee silloin ( ) ( ) ( ) 5 0 + 3 1 5 1 + 3 1 5 2 + 3 1 + + 3 1 3 1 3 1 ( ) 7 + 2 ( ) 6 + 2 ( ) 5 42 2 2 + 30 2 + 20 2 46. Kotitehtävä 24: Kaksi henkilöä pelaa ristinollaa paperilla, jossa on 20 20 ruutua. Kumpikin pelaaja siis piirtää vuoronperään oman merkkinsä, x tai o, johonkin tyhjään ruutuun. Montako erilaista tilannetta voi syntyä kun pelaajat ovat piirtäneet 87 x:ää, 86 o:ta ja muut ruudut ovat tyhjiä? a) Esitä vastauksesi multinomikertoimena. b) Laske vastauksesi käyttäen tuloperiaatetta, jolloin ensimmäisessä vaihessa valitset ne 87 ruutua, joihin tulee x, ja sitten jäljella vapaana olevista ne, joihin tulee o. Esitä vastauksesi binomikertoimien avulla. c) Osoita, että a) ja b) kohtien vastaukset ovat samat, laskematta niitä auki. a) Koska paperilla on 20 20 400 ruutua niin kysymys on siitä, monellako tavalla tämä 400 ruudun joukkoa voidaan jakaa kolmeen pistevieraaseen osajoukkoon, joissa on 87, 86 ja 227 alkiota. Vastaus tähän saadaan multinomikertoimen avulla ja lukumääräksi tulee ( ) 400 87, 86, 227 87! 86! 227!. b) Jos ensin valitaan 400 ruudun joukosta 87 ruutua, joihin piirretään x niin vaihtoehtoja on ( ) 400 87 ja jos jäljellä olevista 400 87 313:sta valitaan 86 ruutua, joihin piirretään o niin vaihtoehtoja on ( ) 313 86 jolloin kaikkien vaihtoehtojen lukumääräksi tuloperiaatteen nojalla tulee ( ) ( ) 400 313. 87 86 5
c) Koska ( ) 400 87 ( ) 400 87 ( ) 313 86 87! (400 87)! ja 87! (400 87)! ( ) 313 86 313! 86 (313 86)! niin 313! 86 (313 86)! 313! 87! 313! 86! 227! 87! 62! 227! ( 400 87, 86, 227 ). Verkkotehtävät 3: Muistathan myös verkkotehtävät! Kolmas tehtäväsarja sulkeutuu maanantaina 13.3. klo 20.00. 6