Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 5A Vastaukset alkuviikolla 5 Aihepiiri: Lagrangen kerroin, usean muuttujan funktion ääriarvot Noppa-monisteet, Adams & Essex, 13.1 3, 14.1 Näistä tehtävistä taulutehtävät lasketaan ennen harjoituksia kotona. Laskuharjoituksissa opiskelijat merkkaavat tekemänsä tehtävät listaan, josta assistentti valitsee satunnaisesti kullekin tehtävälle esittäjän ja auttaa muita ratkaisun tulkitsemisessa. Palautettavat tehtävät palautetaan irtopaperilla siistillä käsialalla kirjoitettuna oman ryhmän palautuskaappiin. Taulutehtävät 1. Tarkista että funktiolla fx, y 1+y 3 x 2 +y 2 on ainakin yksi kriittinen piste, ja että f saavuttaa tässä pisteessä lokaalin minimiarvon. Onko tämä arvo funktion pienin arvo? Lasketaan funktion f gradientin nollakohdat: f 21 + y 3 x, 31 + y 2 x 2 + 2y 0, 0, kun x y 0. Hessen matriisilla origossa x 2 y x x y y 2 21 + y 3 61 + y 2 x 61 + y 2 x 61 + yx + 2 2 0 2I 0 2 on kaksinkertainen ominaisarvo 2 > 0. Origossa minimi on lokaali mutta ei globaali, koska esim. suoralla y x raja-arvo lim x fx, x. 2. Erään yrityksen tuottavuutta kuvaa Cobb-Douglas -hyötyfunktio fx, y 100x 3/4 y 1/4, missä x on työntekijöiden lukumäärä, ja y valmistettavien tuotteiden lukumäärä. a Maksimoi tuottavuus, kun käytettävissä on enintään 50000 e. b Yritys saa lisärahoitusta 20000 e edestä. Mikä on uusi maksimaalinen tuottavuus? Pysyyykö työntekijöiden ja valmistettujen tuotteiden suhde ennallaan?
a Rahan enimmäismäärää voidaan kuvata ehtofunktion g yhtälöllä gx, y x+y 50000 0. Voidaan olettaa, että koko summa käytetään hyötyä maksimoitaessa. Yhtälöstä voisi ratkaista jommankumman muuttujista ja sijoittaa hyötyfunktioon, mutta ratkaistaan tehtävä tässä Lagrangen kertoimien menetelmällä. Lasketaan uuden funktion L gradientin nollakohdat yhtälöryhmästä Lx, y, λ fx, y + λgx, y 100x 3/4 y 1/4 + λx + y 50000 100 3 4 x 1/4 y 1/4 + λ, 100 1 4 x3/4 y 3/4 + λ, x + y 50000 0, 0, 0. Riittää ratkaista x ja y euroina. λ 75x 1/4 y 1/4 25x 3/4 y 3/4 3y x. x + y 3y + y 4y 50000 y 12500 ja x 37500 Tämä on varmasti suurin arvo, koska jatkuva hyötyfunktio f häviää tutkittavan janan x, y > 0 päätepisteissä f0, y fx, 0 0. Hyötyfunktion suurimmaksi arvoksi saadaan f37500, 12500 100 37500 3/4 12500 1/4 2.8 10 6 > 0. b Jos suurin käytettävä rahasumma onkin 70000 e, antaa lasku edelleen suhteeksi 3y x. Voidaan aavistella, että suhde näkyy annetun hyötyfunktion eksponenteissa. Nyt x 3 70000 52500 ja 4 y 17500. Hyötyfunktion arvo on nyt f52500, 17500 4.0 10 6 ja yhä >0. 3. Olkoon w ui + vj. Operaattori w n määritellään w n u x + v n n n u k v n k n y b x k y. n k Kirjoita auki operaattori w 3. Tämä operaattori esiintyy kahden muuttujan Taylorin polynomin kolmannen asteen termissä. w 3 u x + v 3 u 3 3 y x + 3 3 3u2 v x 2 y + 3 3uv2 x y k0 missä luvut 1, 3, 3 ja 1 ovat binomikertomia 3 k, jotka saa myös Pascalin kolmiosta. y 3, 2 + v3 3
Palautettavat tehtävät 1. Millä vakion a arvoilla funktiolla f on paikallinen ääriarvo pisteessä 0, 0, kun a fx, y 4x 2 + axy + y 2 a + x, b fx, y e x2 2 cos y + axy + x 3. a Funktiolla f on kaikilla a:n arvoilla kriittinen piste origossa fx, y 8x + aya + x + 4x 2 + axy + y 2, ax + 2ya + x. f0, 0 0, 0. 8a + 24x + 2ay a H0, 0 2 + 2ax + 2y a 2 + 2ax + 2y 2a + 2x 8a a 2, 2a jonka ominaisarvot 5a ± 9a 2 + a 4 5a ± a 9 + a 2 ovat samanmerkkiset, kun 9 + a 2 < 5 eli a < 4, paitsi kun a 0, jolloin erotus fx, y f0, 0 4x 2 + y 2 x saa origon lähellä sekä positiivisia että negatiivisia arvoja satulapiste. Rajatapauksessa a 4 erotus fx, y f0, 0 2x + y 2 4 + x saa vain positiivisia arvoja origon lähellä, siis f:llä on lokaali minimi. Rajatapauksessa a 4 erotus fx, y f0, 0 2x y 2 4 + x saa vain negatiivisia arvoja origon lähellä, siis f:llä on lokaali maksimi. Yhteenveto: Funktiolla f on paikallinen ääriarvo pisteessä 0, 0, kun 4 a < 0 tai 0 < a 4. b Funktiolla f on kaikilla a:n arvoilla kriittinen piste origossa f0, 0 2xe x2 + ay + 3x 2, 2 sin y + ax 0, 0. 2 + 4x H0, 0 2 e x2 a 2 a, a 2 cos y a 2 jonka ominaisarvot 2 ± a ovat samanmerkkiset, kun 2 < 0 < 2. Rajatapauksissa a ±2 kehittämällä f kolmannen asteen Taylorin polynomiksi erotus fx, y f0, 0 1 + x 2 ± 2xy + y 2 + x 3 + Ox 4, y 4 1 x ± y 2 + x 3 + Ox 4, y 4 a 2
saa ainakin suoralla y x sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Siis 0, 0 on funktion satulapiste. Yhteenveto: Funktiolla f on paikallinen ääriarvo pisteessä 0, 0, kun 2 < a < 2. 2. Mitä seuraavista väittämistä voi sanoa, mikäli piste x, y on riittävän lähellä origoa? a x + y + 4 sin x sin y 0, b 2x 2 + 3y 2 + 4 sin x sin y 0. a Funktion fx, y x+y +4 sin x sin y arvo origossa f0, 0 0. Gradientti tai vastaavasti Taylorin polynomin ensimmäisen kertaluvun termien kertoimet f0, 0 1 + 4 cos x sin y, 1 + 4 sin x cos y 1, 1, joten funktio saa positiivisia arvoja lähellä origoa ainakin gradientin suunnassa ja negatiivisia vastakkaisessa suunnassa 1, 1. Väite ei päde. b Olkoon fx, y 2x 2 + 3y 2 + 4 sin x sin y. f0, 0 4x + 4 cos x sin y, 6y + 4 sin x cos y 0, 0. 4 4 sin x sin y 4 cos x cos y 4 4 H0, 0, 4 cos x cos y 6 4 sin x sin y 4 6 jonka ominaisarvot ovat 4 λ 4 4 6 λ 4 λ6 λ 16 λ2 10λ + 8 0. Ominaisarvot ovat siis λ 1 5 + 17 ja λ 2 5 17, jotka ovat molemmat positiivisia. Origo on funktion paikallinen minimi. Väite pätee. 3. Kirkustanian tasavalta ajautuu sotaan naapurivaltio Huutomaata vastaan. Kirkustanian armeijan herkkusuusotilaat taistelevat vain mikäli saavat aitoa voita. Valitettavasti Kirkustanian karja on haluton lisääntymään, ja lehmien määrä on rajallinen, mikä nostaa voin hintaa. Lisäksi armeijan tykkivarasto ammottaa tyhjyyttään. Kirkustanian armeijan menestymistä sodassa kuvaa funktio Ux, y xy, missä x on tykkien lukumäärä, ja y voikilojen lukumäärä taisteluun läh-
dettäessä. Yksi tykki maksaa 100 Hsl Häslinki, Kirkustanian rahayksikkö, ja kilo voita 50 Hsl. Valtion kirstun pohjalta löytyy 760 Häslinkiä, jotka päätetään käyttää armeijan varustamiseen. a Maksimoi Kirkustanian armeijan sotamenestyminen. b Juuri ennen taisteluun lähtöä luutnantti von Kervinkel syöksyy komentohuoneeseen ja huomauttaa, että tykkien lukumäärän pitäisi olla kokonaisluku. Tykkejä ja voita voidaan myydä ja ostaa ilman ylimääräisiä kuluja. Mikä on armeijan menestymisfunktion suurin arvo tämän tiedon valossa? a Kaikki häslingit on paras hyödyntää. Rajatapauksissa U0, y Ux, 0 0. Ehtoyhtälön kuvaaja on suora 100x+50y 760 0. Olemme kiinnostuneita vain suoranosasta x, y > 0. Menestys Ux, y on kaikkialla jatkuva. Tutkittava väli on suljettu, joten suurin arvo varmasti on olemassa. Menestysfunktion U xy pienin arvo on päätepisteissä saavutettava arvo nolla. Lasketaan funktion Lx, y, λ xy + λ100x + 50y 760 gradientin nollakohdat. Lx, y, λ y + 100λ, x + 50λ, 100x + 50y 760 0, 0, 0 ainoastaan, kun x 19/5 3.8 ja y 38/5 7.6. Menestysfunktion suurin arvo U19/5, 38/5 722/25 28.88 > 0 mietityttää huutomaalaisiakin. b Voidaan pyöristää x:ää sekä ylös- että alaspäin, ja poimia suuremman menestyksen antava vaihtoehto. U3, 760 3 100/50 3 46/5 138/5 27.6 U4, 760 4 100/50 4 36/5 144/5 28.8 Tykit kokonaisina säilyttävistä vaihtoehdoista parempi on vaihtoehto x 4, y 36/5, joka tuo menestystä vain hiukan vähemmän kuin a-kohdassa laskettu arvo x 19/5 tykkiä.