Kappale 7: Parametrigrafiikka 7 Johdanto: Parametrigrafiikka... 128 Parametriyhtälöiden piirtämisen vaiheet... 129 Parametri- ja funktiografiikan eroja... 130 Tässä kappaleessa kerrotaan, miten parametriyhtälöitä piirretään TI-89 / TI-92 Plus-laskimella. Ennen tätä kappaletta kannattaa lukea kappale 6: Tavallinen funktiografiikka. Parametriyhtälöt koostuvat x- ja y-komponentista, jotka ovat saman riippumattoman t-muuttujan funktioita. Parametrisillä yhtälöillä voit mallintaa projektiililiikkeen. Liikkuvan ammuksen (projektiili) sijainti sisältää horisontaalisen (x) ja vertikaalisen (y) komponentin, joka ilmaistaan ajan funktiona (t). Esimerkiksi: y(t) = v 0 t sin q (g/2)tñ (x(t),y(t)) x(t) = v 0 t cos q Kuvaaja näyttää ammuksen liikkeen, kun oletetaan että ammukseen vaikuttaa vain yhdensuuntainen vetovoima (ei kitkaa tms.). Kappale 7: Parametrigrafiikka 127
Johdanto: Parametrigrafiikka Piirrä parametriyhtälöt, jotka kuvaavat potkaistun pallon lentorataa, jonka kulma (q) on 60 ja alkunopeus (v 0 ) 15 metriä sekunnissa. Vetovoimavakio g = 9.8 metriä sekunnissa 2. Jos ilmanvastus ja muut kitkatekijät jätetään huomiotta, mikä on pallon maksimikorkeus ja milloin se osuu maahan? Vaihe ³ TI-89 Näppäimet TI-92 Plus Näppäimet Näyttö 1. Avaa MODE-valintaikkuna. Valitse Graph-tilaksi PARAMETRIC. 3 B 2 3 B 2 2. Avaa ja tyhjennä Y=editori. Määrittele horisontaalinen komponentti xt1(t) = v 0 t cos q. Syötä arvot v 0 ja q. TI-89: Näppäile T p2x, älä T 2X. TI-92 Plus: Näppäile T p X, älä T X. Syötä -symboli. Näppäile joko 2 tai 2I2 1. Näin varmistat, että lukua tulkitaan asteena, vaikka kulmatilana olisikin radiaani. # ƒ8 2X60 2 d # ƒ8 X60 2 d xt1(t)=15tù cos(60 ) 3. Määritä vertikaalinen komponentti yt1(t) = v 0 t sin q (g/2)t 2. Syötä arvot v 0,q ja g. 2W60 2 d c 9.8e2d TZ2 W60 2 d c 9.8e2d TZ2 4. Avaa Window-editori. Syötä sopivat ikkunamuuttujat. Voit syöttää arvon ja siirtyä seuraavaan muuttujaan näppäimellä D tai. $ 0D3D.02D 2D 25D5D 2D10D 5 $ 0D3D.02D 2D 25D5D 2D10D 5 5. Mallinna pallon lentorata. Piirrä parametriyhtälöt. 6. Valitse Trace. Siirrä kohdistin sitten rataa pitkin, niin löydät: y:n arvon maksimikorkeudessa. t:n arvon, missä pallo osuu maahan. % % B tai A tarpeen mukaan B tai A tarpeen mukaan 128 Kappale 7: Parametrigrafiikka
Parametriyhtälöiden piirtämisen vaiheet Kun piirrät parametriyhtälöitä, noudata kappaleessa 6 Tavallinen funktiografiikka y(x) -funktioille annettuja ohjeita. Parametriyhtälöitä koskevat poikkeukset kuvataan seuraavilla sivuilla. Parametriyhtälöiden piirtäminen Aseta Graph-tilaksi (3)PARAMETRIC. Aseta myös kulmatila, jos se on tarpeen. Määritä x- ja y- komponentit Y=editorilla ( #). Vihje: Jos haluat kytkeä tilastokaavioita (kappale 16), pois, paina 5 tai poista valinta -näppäimellä. Vihje: Tämä on valinnainen useampien yhtälöiden erottamista toisistaan. Vihje: Zoom vaihtaa myös tarkasteluikkunan. Valitse ( ) piirrettävät yhtälöt. Valitse x- tai y- komponentti, tai molemmat. Aseta yhtälölle esitystyyli. Voit asettaa joko x- tai y- komponentin. TI-89: 2 ˆ TI 92 Pl ˆ Määritä tarkasteluikkuna ( $). Muuta grafiikan esitystapaa, jos tarpeen. ƒ 9 tai TI-89: Í TI-92 Plus: F Piirrä valitut kuvaajat ( %). Kuvaajan tutkiminen Grafiikkanäytössä: Voit nähdä minkä tahansa pikselin koordinaatit vapaasti liikkuvalla kohdistimella. Merkityn kohdan koordinaatit näet, kun jäljität parametriyhtälön. Voit suurentaa tai pienentää osan kuvaajasta Zoom - työkalupalkkivalikon toiminnoilla. Voit etsiä derivaattoja, tangentteja jne. Math -työkalupalkkivalikon avulla. Eräitä valikkotoimintoja ei voi valita parametriyhtälöille. Kappale 7: Parametrigrafiikka 129
Parametri- ja funktiografiikan eroja Tässä kappaleessa oletetaan, että tiedät jo, miten y(x)-funktioita piirretään (kappale 6: Tavallinen funktiografiikka). Tässä osassa kuvataan parametriyhtälöiden piirtämisen erikoispiirteitä. Graph-tilan asetukset Aseta 3-näppäimellä Graph = PARAMETRIC, ennen kuin määrittelet yhtälöitä tai asetat ikkunamuuttujia. Y=editorissa ja Window-editorissa voit syöttää vain nykyisen Graph-tilan asetuksia. Parametriyhtälöiden määrittely Y=editorilla Kun piirrät parametriyhtälön, määrittele sekä x- että y-komponentit. Jos määrittelet vain yhden komponentin, yhtälöä ei voi piirtää. (Yksittäisillä komponenteilla voit kuitenkin luoda automaattisen taulukon kappaleessa 13 kuvatulla tavalla.) Syötä x- ja y-komponentit eri riveille. Voit määritellä xt1(t) xt99(t) ja yt1(t) yt99(t). Ole varovainen, kun käytät kertomerkitöntä kertolaskua t:n kanssa. Esimerkiksi: Huom! Kun käytät t:tä, varmista, että kertomerkitön kertolasku soveltuu tilanteeseen. Syötä: Älä syötä: Koska: tù cos(60) tcos(60) tcos tulkitaan käyttäjäkohtaiseksi funktioksi nimeltä tcos, ei kertomerkittömäksi kertolaskuksi. Useimmissa tapauksissa yllämainitun nimistä funktiota ei ole olemassa. Silloin TI-89 / TI-92 Plus palauttaa funktion nimen, ei numeroa. Vihje: Voit määritellä funktioita ja yhtälöitä missä tahansa grafiikkatilassa Perus-näytön Definekomennolla (ks. Liite A). Y=editorissa on riippumaton funktioluettelo kaikista Graph-tilaasetuksista. Oletetaan esimerkiksi: Määrittelet FUNCTION-grafiikkatilassa sarjan y(x)-funktioita. Vaihdat PARAMETRIC-grafiikkatilaan ja määrittelet sarjan x- ja y- komponentteja. Kun palaat FUNCTION-grafiikkatilaan, ovat määrittelemäsi y(x)- funktiot edelleen Y=editorissa. Kun palaat PARAMETRICgrafiikkatilaan, ovat x- ja y-komponentit edelleen määriteltyjä. 130 Kappale 7: Parametrigrafiikka
Parametriyhtälöiden valitseminen Kun haluat piirtää parametriyhtälön, valitse joko sen x- tai y-komponentti tai molemmat. Kun syötät tai muokkaat komponenttia, se valitaan automaattisesti. Komponenttien x ja y valitseminen erikseen voi olla käytännöllistä taulukoissa, kuten kerrotaan kappaleessa 13. Moninkertaisissa parametriyhtälöissä voit valita ja verrata kaikkia x-komponentteja tai kaikkia y-komponentteja. Esitystyylin valitseminen Vihje: Jos haluat nähdä mielenkiintoisia ammuksen liike-efektejä, käytä tyylejä Animate ja Path. Ikkunamuuttujat Voit valita joko x- tai y-komponentin tyylin. Jos esimerkiksi haluat asettaa x-komponentin tyyliksi Dot, TI-89 / TI-92 Plus asettaa y- komponentin tyyliksi myös Dot. Et voi valita parametriyhtälöille tyylejä Above ja Below. Ne näkyvät himmeinä Y=editorin Style -työkalupalkkivalikossa. Window-editorissa on kaikille Graph-tila-asetuksille riippumaton sarja ikkunamuuttujia (aivan kuten Y=editorissa on riippumattomat funktioluettelot). Parametrikuvaajissa käytetään seuraavia ikkunamuuttujia. Huom! Voit käyttää myös negatiivista tstep-muuttujaa. Silloin tmin-muuttujan pitää olla suurempi kuin tmaxmuuttujan. Muuttuja tmin, tmax tstep xmin, xmax, ymin, ymax xscl, yscl Kuvaus Pienimmät ja suurimmat laskettavat t:n arvot. t:n arvon lisäys. Parametriyhtälöt lasketaan kohdissa: x(tmin) y(tmin) x(tmin+tstep) y(tmin+tstep) x(tmin+2(tstep)) y(tmin+2(tstep))... lisäys...... lisäys... x(tmax) y(tmax) Tarkasteluikkunan rajat. x- ja y-akselin merkkien välinen etäisyys. Standardiarvot (jotka saat kun valitset Zoom -työkalupalkkivalikosta 6:ZoomStd): tmin = 0. xmin = ë 10. ymin = ë 10. tmax = 2p (6.2831853... radiaania tai 360 astetta) xmax = 10. ymax = 10. tstep =p/24 (.1308996... radiaania tai 7.5 astetta) xscl = 1. yscl = 1. Jos haluat varmistaa, että pisteitä kaavioidaan riittävästi, voit muuttaa t-muuttujien standardiarvoja (tmin, tmax, tstep). Kappale 7: Parametrigrafiikka 131
Kuvaajan tutkiminen Voit tutkia kuvaajaa samoilla työkaluilla kuin funktiografiikassa. Työkalu Vapaasti liikkuva kohdistin Parametrikuvaajissa: Toimii samoin kuin funktiokuvaajissa. Zoom Toimii samoin kuin funktiokuvaajissa, paitsi: Vaikuttaa vain x- (xmin, xmax, xscl) ja y- (ymin, ymax, yscl) ikkunamuuttujiin. Ei vaikuta t-ikkunamuuttujiin (tmin, tmax, tstep) ellet valitse 6:ZoomStd (joka asettaa tmin = 0, tmax = 2p, ja tstep = p/24). Vihje: Jos haluat laskea x(t):n ja y(t):n jäljityksen aikana, syötä t:n arvo ja paina. Vihje: QuickCenteriä voi käyttää milloin tahansa jäljityksen aikana, vaikka kohdistin olisikin vielä näytössä. Trace Voit siirtää kohdistinta kuvaajaa pitkin yhden tstep:in kerrallaan. Kun aloitat jäljityksen, kohdistin on ensimmäisen valitun parametriyhtälön kohdassa tmin. QuickCenter vaikuttaa kaikkiin suuntiin. Jos siirrät kohdistimen pois näytöstä (ylös tai alas, vasemmalle tai oikealle), keskitä tarkasteluikkuna kohdistimen sijaintiin -näppäimellä. Automaattinen vaakavieritys ei toimi. Jos siirrät kohdistimen näytön vasemman tai oikean reunan yli TI-89 / TI-92 Plus ei automaattisesti siirrä tarkasteluikkunaa. Voit kuitenkin käyttää QuickCenter-toimintoa. Math Vain 1:Value, 6:Derivatives, 9:Distance, A:Tangent ja B:Arc ovat valittavissa parametrikuvaajille. Nämä työkalut perustuvat t:n arvoihin. Esimerkiksi: 1:Value esittää x- ja y-arvot määritetylle t:n arvolle. 6:Derivatives etsii dy/dx, dy/dt tai dx/dt t:n arvolle määritetystä pisteestä. 132 Kappale 7: Parametrigrafiikka