4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon y (n) + p n 1 (x)y (n 1) + + p 1 (x)y + p 0 (x)y = r(x). (2) Jos r(x) 0, saadaan homogeeninen yhtälö: y (n) + p n 1 (x)y (n 1) + + p 1 (x)y + p 0 (x)y = 0. (3) 1
n:nnen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisu avoimella välillä I on funktio y = h(x), joka on määritelty ja n kertaa derivoituva tällä välillä. Homogeenisen lineaarisen differentiaaliyhtälön vakiokertoimilla kerrottujen ratkaisujen summa on myös ratkaisu välillä I. Homogeenisen yhtälön (3) yleinen ratkaisu avoimella välillä I on muotoa y(x) = c 1 y 1 (x) + + c n y n (x), (4) missä y 1,, y n on yhtälön (3) ratkaisujen kanta välillä I. Ratkaisut y 1,, y n ovat siis lineaarisesti riippumattomia välillä I. Erityisratkaisu välillä I saadaan kiinnittämällä c 1,, c n :n arvot. Funktiot y 1,, y n ovat lineaarisesti riippumattomia välillä I, jos ehdosta k 1 y 1 (x) + + k n y n (x) = 0 välillä I (5) 2
Alkuarvoprobleema koostuu yhtälöstä 3 ja alkuehdoista y(x 0 ) = K 0, y (x 0 ) = K 1,, y (n 1) (x 0 ) = K n 1, (6) missä x 0 on kiinteä piste välillä I. Jos p 0,, p n 1 (x) ovat jatkuvia funktioita välillä I, alkuarvoprobleemalla on yksikäsitteinen ratkaisu y(x) välillä I. Jos kertoimet p 0,, p n 1 (x) ovat jatkuvia välillä I, ratkaisut y 1,, y n ovat lineaarisesti riippuvia välillä I, jos ja vain jos niiden muodostama Wronskin determinantti on nolla jollain x = x 0 välillä I. y 1 y 2 y n y 1 y 2 y n W(y 1,, y n ) = (7) y (n 1) 1 y (n 1) 2 y n (n 1) 3
Jos W = 0 pisteessä x = x 0, niin W 0 välillä I. Jos siis on olemassa x 1 välillä I, jossa W 0, funktiot y 1,, y n ovat lineaarisesti riippumattomia välillä I. Jos kertoimet p 0,, p n 1 (x) ovat jatkuvia välillä I, yhtälöllä (3) on yleinen ratkaisu välillä I. Jos kertoimet p 0,, p n 1 (x) ovat jatkuvia välillä I, jokainen ratkaisu y = Y (x) välillä I on muotoa Y (x) = C 1 y 1 (x) + + c n y n (x), (8) missä y 1,, y n on yhtälön (3) ratkaisujen kanta ja C 1,, C n ovat sopivia vakioita. 4
4.2 Vakiokertoimiset homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tarkastellaan yhtälöitä, jotka ovat muotoa y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = 0 (9) Karakteristinen yhtälö: λ n + a n 1 λ (n 1) + + a 1 λ + a 0 = 0 (10) Jos yhtälön (9) juuret ovat reaaliset ja keskenään erisuuret, ratkaisut y 1 = e λ 1x,, y n = e λ nx (11) muodostavat kannan kaikilla x:n arvoilla ja vastaava yleinen ratkaisu on y = c 1 e λ 1x + + c λ nx n. (12) 5
Ratkaisujen e λ1x,, e λnx muodostama Wronskin determinantti on muotoa 1 1 1 λ 1 e λ 1x λ 2 e λ 2x λ n e λ nx W = e (λ 1+ +λ n )x λ 2 1e λ 1x λ 2 2e λ 2x λ 2 ne λ nx λ (n 1) 1 e λ 1x λ (n 1) 2 e λ 2x λ n (n 1) e λ nx (13) Tätä determinanttia kutsutaan myös Vandermonden tai Cauchyn determinantiksi ja sen arvo on missä V on tekijöiden λ j λ k tulo, j < k( n). ( 1) n(n 1)/2 V, (14) 6
Ratkaisut y 1 = e λ 1x, y n = e λ nx muodostavat yhtälön (9) ratkaisujen kannan, jos ja vain jos karakteristisen yhtälön kaikki n juurta ovat erisuuria. Mitkä tahansa ratkaisut y 1 = e λ 1x, y n = e λ mx ovat lineaarisesti riippumattomia avoimella välillä I, jos ja vain jos kaikki λ 1,, λ m ovat erisuuria. Jos karakteristisella yhtälöllä on kompleksiset juuret λ = γ + iω ja λ = γ iω, niitä vastaavat lineaarisesti riippumattomat ratkaisut ovat y 1 = e γx cos ωx, y 2 = e γx sinωx (15) Jos karakteristisella yhtälöllä on m:nnen kertaluvun reaalijuuri, vastaavat lineaarisesti riippumattomat ratkaisut ovat e λx,, xe λx,, x m 1 e λx (16) 7
Esim. kaksinkertainen juuri λ 1 = λ 2, jolloin y 1 = y 2, valitaan y 1 ja y 2 = xy 1 lineaarisesti riippumattomiksi ratkaisuiksi. Nämä ovat lineaarisesti riippumattomia funktioita, koska 1, x,, x m 1 ovat lineaarisesti riippumattomia. Jos karakteristisella yhtälöllä on kaksinkertaiset kompleksiset juuret λ = γ + iω ja λ = γ iω, vastaavat lineaarisesti riippumattomat ratkaisut ovat e γx cos ωx, e γx sinωx, xe γx cos ωx, xe γx sinωx (17) 8
4.3 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt n:nnen kertaluvun epähomogeeninen differentiaaliyhtälö on muotoa y (n) + p n 1 (x)y (n 1) + + p 1 (x)y + p 0 (x)y = r(x). (18) Epähomogeenisen yhtälön kahden ratkaisun erotus avoimella välillä I on homogeenisen yhtälön ratkaisu välillä I. Epähomogeenisen yhtälön ja homogeenisen yhtälön ratkaisujen summa on epähomogeenisen yhtälön ratkaisu. Epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu voimella välillä I on muotoa y(x) = y h (x) + y p (x), (19) missä y h (x) = c 1 y 1 (x) + + c n y n (x) on vastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu ja y p (x) on mikä tahansa epähomogeenisen yhälön ratkaisu. 9
Erityisratkaisu välillä I saadaan yleisestä ratkaisusta antamalla kertoimille c 1,, c n kiinteät arvot. Jos kertoimet p 0 (x), p n 1 (x) ja r(x) ovat jatkuvia avoimella välillä I, yhtälöllä (18) on yleinen ratkaisu välillä I ja jokainen ratkaisu välillä I saadaan antamalla sopivat arvot ratkaisun vakioille tällä välillä. Alkuarvoprobleema koostuu yhtälöstä (18) ja n:stä alkuehdosta y(x 0 ) = K 0, y (x 0 ) = K 1,, y (n 1) (x 0 ) = K n 1 (20) Jos kertoimet p 0 (x), p n 1 (x) ja r(x) ovat jatkuvia avoimella välillä I ja x 0 on välillä I, alkuarvoprobleemalla on yksikäsitteinen ratkaisu välillä I. 10
4.4 Määräämättömien kertoimien menetelmä Vakiokertoimisen yhtälön y (n) + a n 1 y (n 1) + + a 1 y + a 0 y = r(x). (21) ratkaisut saadaan kuten toisen asteen lineaarisen vakiokertoimisen differentiaaliyhtälön ratkaisut. Koska karakteristisella yhtälöllä voi olla korkeamman kertaluvun juuria, muuttuu modifikaatiosääntö muotoon: Jos y p :ksi valittu termi on homogeenisen yhtälön ratkaisu, y p (x) kerrotaan x k :lla, missä k on pienin positiivinen kokonaisluku siten, että yksikään termi x k y p (x) ei ole homogeenisen yhtälön ratkaisu. 11
4.5 Parametrien variointimenetelmä Yhtälön y (n) + p n 1 (x)y (n 1) + + p 1 (x)y + p 0 (x)y = r(x). (22) erityisratkaisu avoimella välillä I saadaan parametrien varioinnilla: W1 (x) y p (x) = y 1 (x) W(x) r(x)dx + y W2 (x) 2 W(x) r(x)dx Wn (x) + + y n (x) W(x) r(x)dx, (23) missä y 1,, y n on homogeenisen yhtälön ratkaisujen kanta välillä I ja W j :t saadaan vastaavasta Wronskin determinantista korvaamalla j:s sarake sarakkeella [0 0 0 1] 12
Esim. kun n = 2 y W = 1 y 2 y 1 y 2 W 1 = 0 y 2 1 y 2 = y 2 W 2 = y 1 0 y 1 1 = y 1 (24) Myös parametrien variointimenetelmä toimii siis kuten toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöille. 13