31.1.017 Ympyä sekä kehä-, keskus- ja tangenttikulmat GEMETRI M3 Ympyä: Ympyä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat säteen etäisyydellä keskipisteestä. Sanotaan, että ympyä on tällaisten pisteiden ua. Määitelmän nojalla ympyällä takoitetaan ympyäviivaa eli kehää. Keskipiste ei näin ollen kuulu ympyään. Ympyä ajaa tasosta ympyäalueen, jota kutsutaan kiekoksi. Kiekko = sisus Ympyä = kehä Nimityksiä: Jänne on jana, joka yhdistää kaksi ympyän pistettä. Halkaisija on keskipisteen kautta kulkeva ympyän jänne. jänne ympyäalue Nimityksiä: Ympyän (=kehän) kahden pisteen ajaamaa osaa sanotaan kaaeksi, huomaa mekintä. aempi mekintätapa on käyttää kolmea kijainta, jottei tule vääinymmäystä. Huom, koko ympyä on myös kaai,. Kulmaa, jonka käki on keskipisteessä, kutsutaan keskuskulmaksi. Yhdistämällä kaaen DE päätepisteet säteillä keskipisteeseen saadaan kaata vastaava keskuskulma. Yhtähyvin voidaan puhua kes- DE kuskulmaa vastaavasta kaaesta. kaai E D Kaata vastaa keskuskulma ja kaata DE DE keskuskulma. Koska kaata vastaavan keskuskulman suuuus määää täysin kaaen pituuden ja ympyän kehän pituuden suhteen, niin sovitaan, että kaaen asteluku on sama kuin sitä vastaavan keskuskulman asteluku. 1
31.1.017 Nimityksiä: Keskuskulman ajaama ympyäalueen osa on ympyän sektoi ja kaaen ja jänteen ajaama ympyäalueen osa on ympyän segmentti. Huomaa, että molemmissa tapauksissa muodostuu kaksi sektoia/segmenttiä! Sekä sektoin että segmentin keskuskulma voi olla välillä 0, 360. Ympyäaluetta voidaan pitää sekä 360 asteen sektoina että myös 360 asteen segmenttinä. Entä puoliympyä? nko se segmentti vai sektoi? Ympyän tangentti, eli sivuaja, on suoa, jolla on vain yksi yhteinen piste ympyän kanssa. Sivuamispisteeseen piietty säde on kohtisuoassa tangentti kohti. Ympyän sekantti, eli leikkaaja, leikkaa ympyän kahdessa pisteessä. sektoi segmentti Kaksi ympyää, joilla on yksi yhteinen piste, sivuavat toisiaan. Sivuaminen voi tapahtua joko ulkoisesti tai sisäisesti, eli ympyät sivuavat toisiaan ulko- tai sisäpuolisesti. 1 1 1 1 Ulkopuolisesti sivuavat ympyät Monikulmion sisään piietty ympyä sivuaa monikulmion jokaista sivua ja monikulmion ympäi piietty ympyä kulkee monikulmion jokaisen käjen kautta. Sisäpuolisesti sivuavat ympyät
31.1.017 Ympyälaskuja: alautetaan mieleen ympyään liittyvät laskukaavat: Ympyän kehän pituus on p = π d = π, = säde ja d = halkaisija Ympyän pinta-ala on Kaaen pituus on ympyä = π, = säde b = π, = säde ja = keskuskulma 360 Sektoin pinta-ala on sektoi = 360 π, = säde ja = keskuskulma Vieessä olevassa kuvasajassa suuimman puoliympyän säteen pituus on 1. Laske kuvasajaa jatkettaessa siihen viimeksi piiettyjen puoliympyöiden kaaien yhteenlaskettu pituus, kun puoliympyöitä on 1,,4,, n. Mitä paadoksaalista tulokseen liittyy? http://www.geogeba.og/en/upload/files/suomi/hmakio/ympintala.html Tangenttikulma: Kaksi toisiaan leikkaavaa ympyän tangenttia t 1 ja t muodostavat neljä kulmaa, joista yhden sisään ympyä jää, katso kuva. Tätä kulmaa kutsutaan tangenttikulmaksi. Sivuamispisteistä piietyt säteet muodostavat kaksi keskuskulmaa. Joista pienempää, eli kulmaa, sanotaan tangenttikulmaa vastaavaksi keskuskulmaksi ja vastaavaa kaata tangenttikulmaa vastaavaksi kaaeksi. Tangenttikulman asteluku on välillä t 1 = t = 0 0, 180, eli myös oikokulma hyväksytään. ätee tulos: + = 180, (suplementtikulmia) 3
31.1.017 Kehäkulma: Kehäkulmaksi kutsutaan kulmaa, jonka käki on ympyän kehällä ja jonka kyljet leikkaavat ympyää. Toisena kylkenä voi olla tangentti (ajatapaus). Kuten tangenttikulman tapauksessa, niin kylkien väliin jäävää kaata kutsutaan kehäkulmaa vastaavaksi kaaeksi. Kaata vastaava keskuskulma on kehäkulmaa vastaava keskuskulma. Kehäkulmalle ja keskuskulmalle pätee kolme täkeää tulosta: LUSE 1: Kehäkulma on puolet keskuskulmasta. LUSE : Samaa kaata vastaavat kehäkulmat ovat yhtäsuuet. LUSE 3: uoliympyän sisältämä kehäkulma on suoa. LUSE 1: Kehäkulma on puolet keskuskulmasta. Muodostuu kolme tapausta, takastellaan ensimmäistä tapausta, jossa keskipiste on toisella kyljellä (muut katso moniste). TD. Tapaus 1, keskipiste kyljellä. Mekitään takasteltavaa kehäkulmaa :lla ja vastaavaa keskuskulmaa γ :lla. Kun on jänteellä, niin kolmio on tasakylkinen (säde on kahtena ei sivuna, eli ja ). Näin ollen myös kulma =. Kulmalle = γ saadaan: γ = 180, kolmion sivut yhteensä 180 γ = 180, vieuskulmat suplementtikulmia Siis γ = γ eli = =. 4
31.1.017 LUSE : Samaa kaata vastaavat kehäkulmat ovat yhtäsuuet. TD. Koska kaikilla samaa kaata, kuvassa, vastaavilla kehäkulmilla on yhteinen kaata vastaava keskuskulma, kuvassa, seuaa tulos välittömästi edellisestä lauseesta. Esimekki 1, moniste sivu 79. LUSE 3: uoliympyän sisältämä kehäkulma on suoakulma. TD. Kehäkulmaa vastaava keskuskulma on oikokulma, joten kulman asteluku on puo- let eli 180 : = 90. Esimekki Hippokateen puolikuut: Hippokateen puolikuut syntyvät siten, että puoliympyän sisään piietään suoakulmainen kolmio, jonka kateetit ja halkaisijoina piietään uudet puoliympyät. Laske Hippokateen puolikuiden yhteenlasketun pinta-alan (väitetty alue) suhde kolmion pintaalaan. x d y lkoon kateetin pituus x ja kateetin pituus y. Tällöin kolmion pinta-ala on kolmio = 1 xy. uoliympyän halkaisija, mekitään d, on ythagoaan nojalla d = x + y. 5
31.1.017 Näin ollen puoliympyän pinta-alaksi saadaan = d = x + y puoliympyä = π = π x + y = π x + y. 8 Vastaavalla tavalla lasketaan halkaisijoina ja olevien puoliympyöiden pinta-alat (säteen ala-indeksinä on sädettä vastaava halkaisija): = x = y puoliympyä, = π x puoliympyä, = π y = πx 8, = πy 8. Näistä puoliympyöistä pitää vielä poistaa ison puoliympyän osuus, jotta saadaan kysyttyjen Hippokateen puolikuiden pinta-alat. Hip.p. = kolmio + puoliymp., + puoliymp., puoliympyä = 1 πx xy + 8 + πy 8 π x + y 8 = 1 xy = kolmio. Eli Hippokateen puolikuiden yhteenlaskettu pinta-ala on sama kuin suoakulmaisen kolmion pinta-ala, jolloin pinta-alojen suhteeksi tulee 1 Hippokateen puolikuut = xy = 1. kolmio 1 xy x d y 6