Kytkentäkentät - Rekursio, Cantor-verkko

Kytkentäkentät - Rekursio, Cantor-verkko Kertaus Estottomuus Uudelleen järjestely Tiukasti estoton Yleinen kolmiportainen verkko Closin -verkko Benes -verkko Cantor -verkko Kytkentäpisteet ja kompleksisuus Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7 - Kurssin kuva välitysjärjestelmästä H.33 or SIP IP SIP or ISUP CAS, R IP HLR PABX ISDN Kytkentäkenttä MAP puhetie YKM ISUP AN V5 Ohjaus INAP SCP Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7 - Page

Example An exchange with a subscriber capacity of N (each subscriber directly connected to fabric), 5: concentration ratio from subscribers to juction lines and 0% requirement for internal use requires a switching fabric with M = (N + 0.N) x. inputs and the same nrof of outputs. A one stage non-blocking switch matrix would contain: M -cross-points and the logical depth would be. M The length of each input and output bus would be M - this directly limits the feasible size of the matrix. NB: In practice, it is desirable that M = highly divisible by M Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-3 Example An exchange with a capacity of N simultaneous calls, 0.7 Erlang average occupancy on lines during busy hour and 0% requirement for internal use requires a switching fabric with M = x (. x N/0.7) inputs and the same nrof of outputs. Let's take N = 0 000 M = x. x 0 000/0.7 = =6 048 PCM M M Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-4 Page

Kytkentäkentän ominaisarvoja Kytkentäpisteiden lukumäärä on ristikytkentäpisteiden lukumäärä kentässä. Looginen syvyys on signaalin kulkutiellä käytettyjen kytkinten lukumäärä. Esto määräytyy kentän rakenteesta. Kytkentäpisteen ajokyky määritellään ajettavien kytkentäpisteiden lukumäärällä. Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-5 Kolmiportaisen kytkentäkentän yleinen esitystapa Kolmiportainen kytkentäkenttä, palautettuna puhtaaseen tilakytkentään, voidaan esittää tilakytkiminä, joista jokainen on kytketty seuraavan portaan jokaiseen kytkimeen. M xn M xn M 3 x M M R R R 3 M Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-6 Page 3

Closin -verkko M xr R xr 3 R x M M R R R 3 M porras : N =R porras : M =R ja N =R 3 porras 3: M 3 =R Esim. 89 PCM, 6M = 8 x M perusnopeus: M = = 04, R =R 3 = 8*3 = 56, R = 048 ---> tiukasti estoton Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-7 Tiukasti estoton Closin -verkko Closin -verkko on tiukasti estoton, kun toisen portaan kytkinten lukumäärä on R => M + - Erikoistapauksena symmetrinen kytkinkenttä, jossa M = =N R => N - Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-8 Page 4

Uudelleen järjesteltävä Clos -verkko Kolmiportainen Closin -verkko on uudelleen järjeteltävän estoton, kun R => max(m, ) Erikoistapauksena symmetrinen kytkinkenttä, jossa M = =N R => N Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-9 Kytkentä kytkimestä A kytkimeen B M xr R xr 3 R x M A B M R R R 3 M Yhdelle kytkennälle on R vaihtoehtoista tietä tyhjässä kentässä. Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-0 Page 5

Closin teoreema Closin verkko on tiukasti estoton, jos ja vain jos toisen portaan solmujen (kytkinten) lukumäärä on r m + n 3 Erityisesti symmetrinen verkko, jolle pätee m = n 3 = n, on tiukasti estoton jos ja vain jos r n. Todistus: Käytetään Paullin matriisia. -Rivia, jossa vapaa tulo ja sarake b, jossa vapaa lähtö - vapaan tulon kytkentä vapaalle lähdölle merkataan uudelle symbolilla ruutuun (a, b) - rivillä a on korkeintaan m erilaista symbolia, koska kytkimessä a on m tuloa - sarakkeessa b on korkeintaan n 3 erilaista symbolia - pahimmillaan yhteensä m +n 3 erilaista symbolia - jos meillä on yksi kytkin lisää, eli yhteensä m + n 3, kytkentä onnistuu. Välttämättömyys: Täytyy olla mahdollista tehdä seuraavat kytkennät: - yhteensä m kytkentää tulokytkimeltä a jaettuna kaikille lähtökytkimille (joka kerta erilainen symboli) - lähtökytkimeltä b kaikille tulokytkimille, paitsi a: yhteensä n 3 (joka kerta eri symboli), eli - riville a ja sarakkeeseen b tarvitaan yhteensä m + n 3 erilaista symbolia Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7 - Closin teoreeman välttämättömyyden visualisointi n =r =5 m =r =3 n =r 3 =4 m 3 =r =5 n 3 = m =3 a r =3 r =5 r 3 =4 b Eli r =4=(m + n 3 - ) riittää! Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7 - Page 6

Kytkentäkenttien vaihtoehtoinen esitystapa Kytkentäkenttä voidaan esittää käsittelyn helpoittamiseksi joko verkkona tai tasokuviona. Tasokuviossa säästytään yksittäisten yhteyksien piirtämiseltä. Verkkokuva on ymmärtämisen kannalta helpompi. Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-3 Kentän rekursiivinen rakentaminen tulot N=pXq Uudelleen järjestettävästi estoton ptasoa lähdöt N=pXq qtasoa pxp qxq pxp qtasoa Kytkentäpisteitä: p q+q p+p q=qp +q p Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-4 Page 7

Kentän rekursiivinen rakentaminen - tulot N=pXq Tiukasti estoton (p - ) tasoa lähdöt N=pXq qtasoa px(p-) (p-)xp qtasoa qxq Kytkentäpisteitä: p(p-)q + q (p-) + (p-)pq = p(p-)q + q (p-) Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-5 Kytkentäkentän rekursiivinen muodostaminen Rekursiivisessa muodostamisessa kytkentäkentän rakenne välittyy eri tasoille identtisenä. Tiukasti estottoman Closin-verkon yksittäiset kytkimet muodostetaan tiukasti estottomista Closin-verkoista, jne. Tiukasti estottomista kytkimistä voidaan saada aikaa uudelleen järjestettävästi estoton kenttä (CLOSin teoreema). (Näytämme jatkossa että ) Uudelleen järjestettävästi estottomista moduuleista voidaan rakentaa tiukasti estoton kenttä! Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-6 Page 8

Kytkentäkentän muodostamisen problematiikkaa Ihanteellinen ratkaisu: Vähän kytkentäpisteitä Pieni kompleksisuus Yksinkertainen muodostaa NxN -kytkentäkenttä, miten valita P ja Q??? Kytkentäkentän on laidoiltaan symmetrinen, joten oletuksena valitaan P mahdollisimman pieneksi (esim ) --> Q = N/P. Toisaalta tiukasti estottoman kytkentäkentän ongelma on kentän keskiportaan koon nopea kasvaminen pienillä P:n arvoilla. Tekijä q viittaa multipleksointikertoimeen --> täytyy jatkaa rekursiota niin kauan, että käytössä olevat komponentit pystyvät vastaavaan nopeuteen! Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-7 x-kytkinten tapaus Mikäli kentän koko on kahden potenssi ( N = n ), voidaan kenttä muodostaa valitsemalla P= ja Q=N/ N/xN/ N/xN/ Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-8 Page 9

Esim N=8 ) N/xN/ N/xN/ ) Baseline -verkko Käänteinen Baseline -verkko BENES -verkko Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-9 Benes -verkko Benes -verkko on rekursiivisesti x -kytkimistä muodostettu uudelleen järjesteltävä verkko. -puoliverkko tunnetaan nimellä baseline -verkko -puoliverkko tunnetaan nimellä käänteinen baseline - verkko Benes -verkossa on (log N-) porrasta. Kytkentäpisteiden lukumäärä on 4(N/)(log N-) = 4Nlog N-N ~ 4Nlog N Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-0 Page 0

Tiukasti estottoman kytkentäkentän muodostaminen rekursiolla Tiukasti estoton kytkentäkenttä voidaan muodostaa aivan vastaavasti mutta kentän koko kasvaa hyvin nopeasti. Esim. NxN -kenttä muodostettuna Nx N -kytkimistä Valitaan N = n ja n = l, jolloin kenttä rakentuu portaassa n/ kappaleesta ( n/ x n/ )-kytkimiä portaassa (x n/ -) kappaleesta ( n/ x n/ )-kytkimiä 3 portaassa n/ kappaleesta ( n/ x n/ )-kytkimiä Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7 - Jatkoa edelliseen Matemaattisen tarkastelun helpottamiseksi valitaan kytkinten koot hieman toisin. portaassa n/ kappaleesta ( n/ x n/+ )-kytkimiä portaassa (x n/ )kappaleesta( n/ x n/ )-kytkimiä 3 portaassa n/ kappaleesta ( n/+ x n/ )-kytkimiä ( n/ x n/+ )=( n/ x n/ ) Yhteensä 6( n/ )kappaletta( n/ x n/ )-kytkimiä Rekursiivinen palautuskaava F( n )= 6( n/ )F( n/ )=6 l ( n/+n/4+n/8+ + )F( ) ~N(log N),58 F() = 4N(log N),58 Tiukasti estoton kenttä sisältää eksponentin verran enemmän kytkimiä kuin uudelleen järjesteltävä kenttä Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7 - Page

Cantor -verkko on tapa muodostaa tiukasti estottomia kenttiä pienemmällä kytkentäpiste määrällä Peruspalikkana on BENES -verkko. Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-3 Cantor -verkko Cantor -verkko on tapa muodostaa tiukasti estottomia kenttiä pienemmällä kytkentäpiste määrällä. Log N rinnakkaista Benes verkkoa Ntuloa N lähtöä Log Nlähtöä Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-4 Page

Cantor verkon ominaisuuksia Kytkentäpisteiden lkm = 4 Nlog N log N = 4N(log N) jos kanavointilaitteita ei lasketa. Cantor verkko on tiukasti estoton! Todistus: Merkataan rinnakkaisten Benes verkkojen määrää m ja Benes portaan numeroa k ja A(k) - portaassa k yhdestä Cantor verkon tulosta ilman uudelleen järjestelyä saavutettavien Benes -kytkinten määrä. A() = m. A() = A(). A(3) = A(). A(k) =A(k ) k = A(k ) k = k- A() (k ) k A(logN) = logn m (logν ) logn 4 = Nm (logν )Ν Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-5 Cantor todistus jatkuu Nm (logn )N > Nm 4 ÿ m > logn. Eli jos rinnakkaisia Benes verkkoja on logn kappaletta, Cantor verkko on tiukasti estoton. Ts. Tiukasti estoton Cantor verkko muodostuu laittamalla rinnan logn kappaletta uudelleen järjestettävästi estottomia Benes verkkoja. Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-6 Page 3

Cantor-verkossa saavutettavien kytkinten määrä Log N rinnakkaista Benes verkkoa Ntuloa N lähtöä Log Nlähtöä A() = A() (ilman uudelleen järjestelyä) Kytkimestä saavutettavien lähtöjen määrä Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-7 Numeerinen esimerkki Cantor verkosta N = 3 x 048 = 6 64 000 m=logn=6 Demultiplekseissa lähtöjä = 6 kappaletta Multipleksereissa tuloja = 6 kappaletta Muxeja = 64 000 kappaletta Demuxeja = 64 000 kappaletta Benes verkkoja = 6 kappaletta Benes verkoissa portaita = logn - = x6- = 3 kappaletta Benes verkoissa kytkimiä = Nlog N= 6 *3 M. kussakin Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-8 Page 4

Kytkentöjen kokonaismäärä kentässä I O I O Yksi yhteen C ={(i,o) i I, o O} (i,o) C ja (i,o ) C ÿ o = o (i,o) C ja (i,o) C ÿ i = i Yksi moneen C ={(i,n i ) i I, n i O} C - Kytkentöjen kuvaus tai yksi kentän tila Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-9 Kytkentäkentän kompleksisuus Kytkentäkentän kompleksisuus on likimain sama kuin kytkentäpisteiden lukumäärä. G on kytkentäkentän erilaisten, sallittujen kytkentöjen C{i,o} kuvaus. ζ(g) on log (G) eli logaritmi erilaisten, sallittujen kytkentöjen määrästä. ( ~ kytkentäpisteiden lukumäärä) ζ(g) käytetään kytkentäkentän kompleksisuuden aproksimoinnissa, sillä NxN -ristikytkentämatriisi sisältää suurimman määrän kytkentäpisteitä vastaavan kokoisista kytkentäkentistä. Mikäli ristikytkentämatriisissa on R-kytkentäpistettä, on siinä maksimissaan R erillistä tilaa (jokaisen kytkentäpisteen auki/kiinni -tila), minkä takia ζ <= R (osa ratkaisuista ei ole sallittuja). Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-30 Page 5

Kompleksisuuden alaraja Oletetaan että kytkentäkenttä on NxN ja sen rakenne on täysiulotteinen. G=N! ζ = log (N!) ~ Nlog (N) -,44N + ½log (N) Benes -verkkolle on ζ ~ (N/)(log N-) = Nlog (N)-½N eli likimain minimimäärä kytkimiä. Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-3 Benes -verkon kasvu Kytkinten lukumäärä BENES -verkko = N/ Baseline verkko Käänteinen baseline verkko Porrasten lukumäärä = log N - Kytkentäpisteiden lukumäärä on porrasten lukumäärä kytkinten lkm portaassa = 4 N/ (log ( N -) 4N log N Rka/ML -k00 Tiedonvälitystekniikka 7-3 Page 6