Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Olkoon perusjoukkona X := {,,,, } ja := {(, ), (, ), (, ), (, )}. Muodosta yhdistetyt (potenssi)relaatiot,,,. Entä mitä on yleisesti n, kun n 6? atkaisu. Katsotaan kaavioesitystä relaation yhdistämisestä itsensä kanssa: X Havaitaan, että = {(, ), (, ), (, ), (, )} = = {(, ), (, ), (, ), (, )} = {(, ), (, ), (, ), (, )} = {(, ), (, ), (, ), (, )} = {(, ), (, ), (, ), (, )} Havaitaan edelleen, että = ja = = =. elaation potenssin määritelmästä johtuen tämän relaation potensseista muodostuu jaksollinen relaatiojono niin, että n = n arvoilla n, ja yleisesti arvoilla k N: k = k = k =. Huomaa, että relaation potenssin määritelmästä on luettavissa = 0 = Id X, ja Tehtävässä todistetaan, että tämä on itse.. Olkoon X X relaatio. Todista yksikkörelaation ominaisuudet Id X = Id X =. atkaisu. Selvästi myös Id X X X ja Id X X X. iittää siis näyttää, että = Id X ja = Id X. I Olkoon (x, y) mielivaltainen. Koska (x, y) ja (y, y) Id X, on (x, y) Id X. Täten Id X. Olkoon toisaalta (x, y) Id X. Silloin on olemassa a X, jolle (x, a) ja (a, y) Id X. Mutta yksikkörelaation määritelmän mukaan on oltava a = y, ja siten edellä todetun mukaan (x, y) = (x, a). Siis Id X. II Toinen todistetaan samaan tapaan osissa: Id X ja Id X.
. Selvitä seuraavista joukon X := {a, b, c, d} relaatioista niiden refleksiivisyys, symmetrisyys, antisymmetrisyys ja transitiivisuus: a) := {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d), (b, d), (c, c), (c, d), (d, d)}, b) S := {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d), (b, b), (b, d), (c, c), (c, d), (d, c), (d, d)}, c) T := {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d), (b, b), (b, d), (c, c), (c, d), (d, d)}, d) U := {(a, a), (a, b), (a, c), (b, b), (b, d), (c, c), (c, d), (d, d)}. atkaisu. Tällaisessa tehtävänannossa voidaan olettaa, että kaikki neljä perusjoukon alkiota ovat eri alkiota. a) ei ole refleksiivinen, sillä (b, b) puuttuu. ei ole symmetrinen, sillä (a, b) on mutta (b, a) / puuttuu. on antisymmetrinen, koska (käymällä läpi kaikki tilanteet nähdään, että) ei ole yhtään sellaista paria x y, joille sekä (x, y) että (y, x). on transitiivinen, koska (käymällä läpi kaikki tilanteet nähdään, että) aina, kun (x, y) ja (y, z), on myös (x, z). b) S on refleksiivinen, koska jokaiselle x X pari (x, x) S (tässä siis (a, a), (b, b), (c, c) ja (d, d) S). S ei ole symmetrinen, sillä (a, b) S on mutta (b, a) puuttuu. S ei ole antisymmetrinen; csd ja dsc, mutta (ilmeisesti) c d. S ei ole transitiivinen, sillä on bsd ja dsc mutta ei ole bsc. c) T on refleksiivinen, antisymmetrinen ja transitiivinen; perustelut samaan tapaan kuin vastaavat edellisissä. T ei ole symmetrinen, sillä (a, b) T on mutta (b, a) puuttuu. d) U on refleksiivinen, koska jokaiselle x X pari (x, x) U (tässä siis (a, a), (b, b), (c, c) ja (d, d) U). U ei ole symmetrinen, sillä (a, b) U on mutta (b, a) puuttuu. U on antisymmetrinen, koska ei ole yhtään sellaista paria x y, joille sekä (x, y) U että (y, x) U. U ei ole transitiivinen; auc ja cud, muttei ole aud.. Tarkastele seuraavien tasossa olevia geometrisiä olioita koskevien relaatioiden refleksiivisyyttä, symmetrisyyttä, antisymmetrisyyttä ja transitiivisuutta: a) st suora s on kohtisuorassa suoraa t vastaan. b) st suora s on yhdensuuntainen suoran t kanssa. c) xy piste x on samalla suoralla pisteen y kanssa. atkaisu. Kohdissa a) ja b) perusjoukko X = tason suorat ja relaatiot ovat tulojoukon X X osajoukkoja. a) Nyt =. elaatio ei ole refleksiivinen, suora ei ole kohtisuorassa itseään vastaan. on symmetrinen, sillä jos s t, niin tunnetusti t s. ei ole antisymmetrinen, sillä esimerkiksi koordinaattiakseleille x y on x y ja y x. ei ole transitiivinen. Mm. koordinaattiakseleille x ja y on x y ja y x, mutta ei ole x x.
b) Nyt =. elaatio on refleksiivinen, suorille on s s. on symmetrinen, suorille on s t jos ja vain jos t s. ei ole selvästikään antisymmetrinen. on transitiivinen: jos s t ja t u, niin s u. c) Nyt on kyseessä relaatio. Huomaa, että mitkä tahansa kaksi pistettä ovat aina jollakin samalla suoralla. elaatio on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen! Ei ole antisymmetrinen.. Osoita, että relaatio X X on transitiivinen, jos ja vain jos. atkaisu. Molempiin suuntiin: Oletus: Olkoon transitiivinen. Väitös:. Todistus. Olkoon (x, z). Silloin on olemassa sellainen y X, että xy ja yz. Transitiivisuuden nojalla xz eli (x, z). Siis. Oletus: Olkoon. Väitös: on transitiivinen. Todistus. Olkoon xy ja yz. Silloin relaatioiden yhdistämisen määritelmän nojalla (x, z). Koska, on (x, z) eli xz. Siis on transitiivinen. 6. Mitkä tehtävien ja relaatioista ovat ekvivalenssirelaatioita? atkaisu. Yksikään tehtävän relaatioista ei ole ekvivalenssi. Tehtävän relaatioista b) ja c) kohdissa on kyse ekvivalenssista. 7. Määritellään reaalilukujen joukossa relaatio F asettamalla a) Osoita, että F on ekvivalenssirelaatio. xf y x y Q. b) Määritä ekvivalenssiluokat F (), F () ja F (π). c) Osoita, että luvut ja /( ) kuuluvat samaan ekvivalenssiluokkaan. atkaisu. a) elaatio F on ekvivalenssi: E) efleksiivisyys: Jokaiselle x on x x = 0 Q, joten on xf x kaikilla x. E) Symmetrisyys: Olkoon xf y, eli x y Q. Mutta silloin y x = (x y) Q ja siten yf x. E) Transitiivisuus: Olkoot xf y ja yf z, eli x y Q ja y z Q. Mutta silloin x z = (x y) + (y z) Q, ja siten on xf z. b) Joukkoon F () = { x F x } kuuluvat kaikki sellaiset luvut x, joille x Q. Mutta luvun kanssa ekvivalentteja ovat kaikki rationaaliluvut, siis F () = Q. Samoin F () = Q. Mutta F (π) = { x π x Q } = { π q q Q } ei juuri sievene, ehkä kuitenkin somempi on F (π) = { q π q Q }, jossa jokaista rationaalilukua on siirretty luvun π verran vasemmalle lukusuoralla.
c) Koska F on ekvivalenssi, riittää Lauseen.7.9 mukaan näyttää, että luvut ovat keskenään relaatiossa. Mutta näinhän on: ( ( ) ) = ( ( ) + ) = Q. 8. Olkoon A := {,,, }. Esitä xy-koordinaatistossa neljä tulojoukon A A osajoukkoa, jotka ovat ekvivalenssirelaatioita. Mikä on näissä tapauksissa alkion määräämä ekvivalenssiluokka? atkaisu. Kuvassa nähdään joukon A erilaiset ekvivalenssit E. Alkion määräämät ekvivalenssiluokat näkyvät esimerkiksi sen sarakkeista: E() = {} Kuvioissa,, 6, 7 ja E() = {, } Kuvioissa ja 8 E() = {, } Kuvioissa ja 9 E() = {, } Kuvioissa ja 0 E() = {,, } Kuviossa E() = {,, } Kuviossa E() = {,, } Kuviossa E() = {,,, } = A Kuviossa
Kuvio Kuvio Kuvio Kuvio Kuvio Kuvio 6 Kuvio 7 Kuvio 8 Kuvio 9 Kuvio 0 Kuvio Kuvio Kuvio Kuvio Kuvio Kuva : Tehtävän 8 erilaiset ekvivalenssit