T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka ) A ( B C) A B C.

Samankaltaiset tiedostot
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset

T Kevät 2005 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Kertausta Ratkaisut

Johdatus logiikkaan I Harjoitus 4 Vihjeet

Ratkaisu: Yksi tapa nähdä, että kaavat A (B C) ja (A B) (A C) ovat loogisesti ekvivalentit, on tehdä totuustaulu lauseelle

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (opetusmoniste, lauselogiikka )


T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 1 Ratkaisut

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 2 (lauselogiikka )

T Syksy 2005 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )

Loogiset konnektiivit

-Matematiikka on aksiomaattinen järjestelmä. -uusi tieto voidaan perustella edellisten tietojen avulla, tätä kutsutaan todistamiseksi

Toinen muotoilu. {A 1,A 2,...,A n,b } 0, Edellinen sääntö toisin: Lause 2.5.{A 1,A 2,...,A n } B täsmälleen silloin kun 1 / 13

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 12 (opetusmoniste, kappaleet )

Luonnollisen päättelyn luotettavuus

T Kevät 2009 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (Predikaattilogiikka )

Totuusjakaumat. Totuusjakauma eli valuaatio v on kuvaus v : {p 0, p 1, p 2,...} {0, 1}. Käytämme jatkossa joukolle {0, 1} merkintää B.

Nimitys Symboli Merkitys Negaatio ei Konjuktio ja Disjunktio tai Implikaatio jos..., niin... Ekvivalenssi... jos ja vain jos...

T Kevät 2006 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )

LOGIIKKA johdantoa

Pikapaketti logiikkaan

1. Logiikan ja joukko-opin alkeet

Ratkaisu: Käytetään induktiota propositiolauseen A rakenteen suhteen. Alkuaskel. A = p i jollain i N. Koska v(p i ) = 1 kaikilla i N, saadaan

Johdatus logiikkaan 1

Lisää kvanttoreista ja päättelyä sekä predikaattilogiikan totuustaulukot 1. Negaation siirto kvanttorin ohi

Kirjoita käyttäen propositiosymboleita, konnektiiveja ja sulkeita propositiologiikan lauseiksi:

Taulumenetelmä modaalilogiikalle K

Logiikan kertausta. TIE303 Formaalit menetelmät, kevät Antti-Juhani Kaijanaho. Jyväskylän yliopisto Tietotekniikan laitos.

Insinöörimatematiikka A

LOGIIKKA, TIETÄMYS JA PÄÄTTELY

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Johdatus logiikkaan I, syksy 2018 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotukset

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Tehtävä 1. Päättele resoluutiolla seuraavista klausuulijoukoista. a. 1 {p 3 } oletus. 4 {p 1, p 2, p 3 } oletus. 5 { p 1 } (1, 2) 7 (4, 6)

Logiikka I. Kaarlo Reipas 17. huhtikuuta 2012 Ψ. Tämä materiaali on vielä keskeneräinen. 1 Johdanto Mitä logiikka on?... 3

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, syksy Antti-Juhani Kaijanaho. 8. syyskuuta 2016

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?

LAUSELOGIIKKA. 1 Lauselogiikan kieli. 1.1 Lauselogiikan aakkosto. atomiset lauseet: A,A 1,A 2,...,B,B 1,...,C, Lauselogiikan kieli

Johdatus logiikkaan (Fte170)

T Syksy 2003 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 8 (opetusmoniste, kappaleet )

Kesälukio 2000 PK2 Tauluharjoituksia I Mallivastaukset

Lause 5. (s. 50). Olkoot A ja B joukkoja. Tällöin seuraavat ehdot ovat

5.1 Semanttisten puiden muodostaminen

Johdatus logiikkaan 1

1 Johdanto, Tavoitteet 2. 2 Lähteitä 2. 3 Propositiologiikkaa 2. 4 Karnaugh'n kartat Predikaattilogiikkaa Relaatiot 42.

Approbatur 3, demo 1, ratkaisut A sanoo: Vähintään yksi meistä on retku. Tehtävänä on päätellä, mitä tyyppiä A ja B ovat.

FI3 Tiedon ja todellisuuden filosofia LOGIIKKA. 1.1 Logiikan ymmärtämiseksi on tärkeää osata erottaa muoto ja sisältö toisistaan:

Konnektiivit. On myös huomattava, että vain joillakin luonnollisen kielen konnektiiveilla on vastineensa lauselogiikassa.

Diskreetit rakenteet. 3. Logiikka. Oulun yliopisto Tietojenkäsittelytieteiden laitos 2015 / 2016 Periodi 1

Logiikka 1/5 Sisältö ESITIEDOT:

Induktiotodistus: Tapaus n = 0 selvä; ol. väite pätee kun n < m.

Insinöörimatematiikka A

T Syksy 2004 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Laskuharjoitus 7 (opetusmoniste, kappaleet )

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.

SAT-ongelman rajoitetut muodot

Propositiot: Propositiot ovat väitelauseita. Totuusfunktiot antavat niille totuusarvon T tai E.

2. Minkä joukon määrittelee kaava P 0 (x 0 ) P 1 (x 0 ) mallissa M = ({0, 1, 2, 3}, P M 0, P M 1 ), kun P M 0 = {0, 1} ja P M 1 = {1, 2}?

1 Logiikkaa. 1.1 Logiikan symbolit

Ei-yhteydettömät kielet [Sipser luku 2.3]

b) Määritä myös seuraavat joukot ja anna kussakin tapauksessa lyhyt sanallinen perustelu.

Tekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 1

Johdatus yliopistomatematiikkaan

TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 16. maaliskuuta 2011

T Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 11 (predikaattilogiikka )

ALGORITMI- MATEMATIIKKA. Keijo Ruohonen

Tietotekniikka ja diskreetti matematiikka

2. M : T kevät 2007 Laskennallisen logiikan jatkokurssi Laskuharjoitus 11 Ratkaisut 1. M :

Lauselogiikka Tautologia

Ilpo Halonen Päätelmistä ja niiden pätevyydestä. Luonnehdintoja logiikasta 1. Johdatus logiikkaan. Luonnehdintoja logiikasta 2

Matematiikan peruskäsitteitä

Todistusteoriaa. Kun kielen syntaksi on tarkasti määritelty, voidaan myös määritellä täsmällisesti, mitä pätevällä päättelyllä tarkoitetaan.

Ongelma 1: Miten luonnollisen kielen ilmaisut muutetaan määrämuotoisiksi eli formalisoidaan?

811120P Diskreetit rakenteet

Yhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).

Vastaoletuksen muodostaminen

Modus Ponens. JosAjaA B ovat tosia, niin välttämättä myösb on tosi 1 / 15. Modus Ponens. Ketjusääntö. Päättelyketju.

KNM:ien toteutumattomuuden todistaminen paikallisesti

Juuri 11 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Tietojenkäsittelytieteen ja tilastotieteen matematiikkaa 1/137

Taulun avoimista haaroista saadaan kelvolliset lausejoukot

(mod 71), 2 1(mod 71) (3 ) 3 (2 ) 2

Induktio kaavan pituuden suhteen

Ratkaisu. Ensimmäinen kuten P Q, toinen kuten P Q. Kolmas kuten P (Q R):

T Kevät 2003 Logiikka tietotekniikassa: erityiskysymyksiä I Laskuharjoitus 11 Ratkaisut

1. Primitiivirekursiiviset funktiot muodostetaan kolmesta perusfunktiosta käyttäen. succ(n) = n + 1

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

13. Loogiset operaatiot 13.1

Johdatus matematiikkaan

Predikaattilogiikan malli-teoreettinen semantiikka

Matematiikan perusteista logiikkaa ja joukko-oppia LaMa 1U syksyllä 2010

missä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!

= k 0 NTIME(n k + k) Siis polynomisessa ajassa epädeterministisellä Turingin koneella tunnistettavien kielten joukko

Ratkaisu: (b) A = x 0 (R(x 0 ) x 1 ( Q(x 1 ) (S(x 0, x 1 ) S(x 1, x 1 )))).

815338A Ohjelmointikielten periaatteet

3 Lukujonon raja-arvo

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

4 Matemaattinen induktio

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuhahmotelmia viikko 1. ( ) Jeremias Berg

Transkriptio:

T-79.3001 Logiikka tietotekniikassa: perusteet Kevät 2008 Laskuharjoitus 5 (lauselogiikka 6.1 7.2) 27. 29.2.2008 Ratkaisuja demotehtäviin Tehtävä 6.1 a) A (B C) Poistetaan lauseesta ensin implikaatiot. A (B C) A ( B C) A B C. Näin syntynyt muoto on sekä konjunktiivinen että disjunktiivinen normaalimuoto. Haettaessa disjunktiivista normaalimuotoa semanttisen taulun avulla lähdetään liikkeelle solmusta, jossa lause esiintyy totena: T(A (B C)) E(A) T(B C) E(B) T(C) Nyt avoimista haaroista saadaan luettua disjunktit. Tässä tapauksessa niissä kussakin on vain 1 literaali. Saadaan siis A B C, joka on sama kuin muunnossäännöillä. Konjunktiivinen normaalimuoto haetaan taulusta, jossa juurena on lause epätotena: E(A (B C)) T(A) E(B C) T(B) E(C)

Avoimesta haarasta saadaan lause A B C, joka on alkuperäisen lausee negaation disjunktiivinen normaalimuoto. Negatoidaan tämä, jolloin päästään takaisin alkuperäiseen lauseeseen, ja sen konjunktiivinen normaalimuoto saadaan de Morganin sääntöä soveltamalla: A (B C) (A (B C)) ( (A (B C))) (A B C) A B C. b) A ((A B) B) Poistetaan lauseesta ensin ekvivalenssi ja implikaatiot, sitten siirretään negaatiot atomisten lauseiden eteen ja lopulta sovelletaan disjunktion distributiivisuutta konjunktion yli (eli konjunktiot ulos). A ((A B) B) ( A ((A B) B)) (((A B) B) A) [ e] (A ( (A B) B)) ( ( (A B) B) A) [ e] (A (( A B) B)) (((A B) B) A) [ s] (A (( A B) (B B))) ((A B A) ( B A)) [ u] (A A B) (A B) (A A B) ( A B) [ u] (A B) ( A B). Tämä on konjunktiivinen normaalimuoto. Viimeisessä vaiheessa on sievennetty aina todet disjunktiot A A B. Käytetään seuraavaksi konjunktion distributiivisuutta disjunktion yli, jolloin päädytään disjunktiiviseen normaalimuotoon: (A B) ( A B) (A ( A B)) (B ( A B)) [ u] (A A) (A B) ( A B) (B B) [ u] (A B) ( A B) Viimeisessä vaiheessa on käytetty sievennyssääntöjä, joissa moninkertaiset esiintymät samassa konjunktissa on eliminoitu samoin kuin aina epätodet konjuntit, joissa on esiintyy sekä literaali että sen komplementti.

Tarkastelu tauluilla: T( A ((A B) B)) T( A) T((A B) B) E(A) E( A) E((A B) B) T(A) E(A B) E(A) T(B) T(A B) E(B) E( B) T(B) T(A) T( B) E(B) Taulusta avoimia haaroja lukemalla saadaan muoto (A B) ( A B), joka on sama kuin muunnossäännöillä. Konjuntiivinen normaalimuoto samalla periaatteella kuin a)-kohdassa. c) ((A B) C) ((A B) C) ((A B) ( B A) C) [ e] ( (( A B) ( B A)) C) [ e] ( A B) (A B) C ( ) [ s] Tämä onkin jo konjuntiivinen normaalimuoto. Käytetään seuraavaksi konjunktion distributiivisuutta disjunktion yli: ( ) ( A B) ((B C) (A C)) [ u] ( A ((B C) (A C))) ( B ((B C) (A C))) [ u] ( A B C) ( A A C) ( B B C) ( B A C) [ u] ( A B C) (A B C). Lause on disjunktiivisessa normaalimuodossa. Viimeisessä vaiheessa on jätetty pois aina epätodet konjunktiot, eli ne, joissa esiintyy jokin atominen lause ja sen negaatio.

d) P 1 P 2 (P 1 P 2 ) (P 2 P 3 ) Tehtävän laadinnassa kävi sikäli mielenkiintoisesti, että ekvivalenssin oikealla puolella oleva termi on pätevä (tarkista!). Nyt analyysi voidaan tehdä, korvaamalla se aina todella lauseella. Saadaan: P 1 P 2 (P 1 P 2 ) ( P 1 P 2 ) [ e] ( (P 1 P 2 ) ) ( (P 1 P 2 )) [ e] ( P 1 P 2 ) ( P 1 ) ( P 2 )[ s] P 1 P 2. Sievennyssäänntöjä voi soveltaa siten, että ensimmäinen konjunkti on aina tosi ja kahdessa viimeisessä ensimmäiset termit voi poistaa, koska ne ovat aina epätosia. Syntynyt tulos on sekä KNM että DNM. Tehtävä 6.2 Tarkastele semanttisella taululla lauseiden (α β) ((α β) (β α)), (α β) ( α β), α α, jne. pätevyyttä. Tehtävä 6.3 a) Muuntamisessa käytetään disjunktion distributiivisuutta konjunktion yli: (P P) (Q Q) ((P P) Q) ((P P) Q) (P Q) ( P Q) (P Q) ( P Q) Semanttisella taululla samoin kuin 4. tehtävässä, kts. a)-kohta. b) Muuntaminen etenee samoilla säännöillä. Kuten a)-kohdassakin, lopputulokseen tulevat kaikki kombinaatiot (2 n ) totuusarvoille: (P 1 P 1 ) (P n P n ) (P 1 P n ) ( P 1 P 2 P n ) ( P 1 P n ) Tehtävä 6.4 Osoittaminen tapahtuu lähtemällä liikkeelle semanttisesta taulusta, jonka juuressa on lause todeksi asetettuna. Jos lause on toteutumaton, taulu on ristiriitainen.

T((P Q) ( P Q) (P Q) ( P Q)) T(P Q) T( P Q) T(P Q) T( P Q) T(P) T(Q) T(Q) T(Q) T(P) T(P) Tehtävä 7.1 Lähdetään poistamaan implikaatiot: (A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)) (A ((A A) A)) ((A (A A)) (A A)) ( A ((A A) A)) (( A (A A)) (A A)) ( A ( ( A A) A)) ( ( A ( A A)) ( A A)) Edelleen viedään negaatiot atomilauseiden eteen: ( A ( ( A A) A)) ( ( A ( A A)) ( A A)) ( A ( ( A A) A)) (( A ( A A)) ( A A)) (A ( ( A A) A)) ((A ( A A)) ( A A)) (A (( A A) A)) ((A (A A)) ( A A)) Siirretään distribuutiosäännöillä disjunktiot sisään ja konjunktiot ulos: (A (( A A) A)) ((A (A A)) ( A A)) (A (( A A) A)) ((A ( A A)) ((A A) ( A A))) (A (( A A) A)) ((A A A) (A A A) ( A A A)) (A ((A A A) (A A A) ( A A A)) ( A A) A) ((A A A) (A A A) ( A A A)) (A A A A) (A A A A) (A A A A) ( A A A A A) ( A A A A A) ( A A A A A) ( A A A A) ( A A A A) ( A A A A)

Kun tulokseen sovelletaan normaalimuotojen sievennyssääntöä, jossa poistetaan disjunktiot, joissa esiintyy literaali ja sen komplementti, havaitaan, että kaikki syntyneet 9 klausuulia eliminoituvat. Tuloksena saatava klausuulijoukko on siis tyhjä (/0), ja on siten aina tosi. Näin pitääkin olla, sillä annettu lause on pätevä (tarkista esimerkiksi semanttisella taululla). Tehtävä 7.2 Tarkastellaan joukon S kahta ensimmäistä klausuulia. Ne voidaan lauseena kirjoittaa muodossa (A 0 A 1 ) ( A 0 A 1 ). Tällä lauseella on mallit A 1 = {A 0 } ja A 2 = {A 1 }, eli se kuvaa ehdoton-tai operaatiota (XOR). Näin ollen koko klausuulijoukko S kuvaa lausetta: (A 0 A 1 ) (A 1 A 2 ) (A n A 0 ) Tarkastellaan lausetta n:n kahdella arvolla. Kun n = 1 lause saa muodon (A 0 A 1 ) (A 1 A 0 ). Kun tässä valitaan A 0 todeksi, seuraa siitä, että A 1 on epätosi. Nyt molemmat konjunktit toteutuvat. Vastaavasti kun valitaan A 0 epätodeksi. Klausuulijoukon mallit ovat siis {A 0 } ja {A 1 }. Nyt jos n = 2, kaava on muotoa (A 0 A 1 ) (A 1 A 2 ) (A 2 A 0 ). Jos tässä valitsee A 0 :n todeksi, seuraa siitä, että A 1 on epätosi ja taas A 2 tosi. Nyt viimeinen ehdoton-tai kuitenkin edellyttäisi toteutuakseen, että A 0 on epätosi. Tämä aiheuttaa ristiriidan ja näin ei saada mallia. Jos A 0 valittiin aluksi epätodeksi, syntyy samanlainen ristiriita. Tässä tapauksessa klausuulijoukolla ei ole yhtään mallia. Tarkastelun voi yleistää siten, että jos n on pariton saadaan edellämainitulla tekniikalla 2 mallia {A 0,A 2,...,A n 1 } ja {A 1,A 3,...,A n }, ja jos n on parillinen, ei malleja ole (todista!). Tehtävä 7.3 Tehdään vastaoletus A = S. Tällöin joukossa S on klausuuli {A, B 1,..., B n }, joka ei toteudu. Jotta näin on, pitää olla {B 1,...,B n } A (eli A = B i kaikilla 1 i n) ja A A (eli A = A). Joukko-opillisen leikkauksen määritelmän mukaan pitää myös olla {B 1,...,B n } A 1 ja {B 1,...,B n } A 2. Koska A 1 ja A 2 ovat klausuulijoukon S malleja, pitää olla myös A A 1 ja A A 2. Tällöin kuitenkin A A leikkauksen määritelmän perusteella, ja tämä aiheuttaa ristiriidan. Näin ollen A = S.