Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta
Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion muutosnopeudesta Kuinka nopeasti lainapääoma kasvaa ajan suhteen? Mikä on kysynnän herkkyys muutoksille nykyisestä hintatasosta? Kuinka nopeasti yksikkötuotantokustannus pienenee tuotannon koon kasvaessa? Tällä luennolla tarkastelemme funktion muutosnopeutta eli derivaattaa Derivaatta liittyy läheisesti edellisellä luennolla käsiteltyihin asioihin: Derivaatta määritellään raja-arvona Derivaatan olemassaolo edellyttää funktion jatkuvuutta Funktion hahmottaminen yhdistettynä funktiona helpottaa usein derivointia 2
Funktion arvojen muutosnopeus Esim. Luomuturnipsin tuottajat aikovat tehdä kartellin. Tuottajat tietävät, että turnipsin kysyntä f kilohinnan x funktiona on f x = 15.9x + 810.2 Kun tuotantokustannus on 5 /kg, voittoa/tappiota kuvaava funktio on v x = f x x 5 = 15.9x 2 + 889.7x 4051 Mikä on voiton/tappion muutosnopeus kilohinnan suhteen hinnan ollessa 20 /kg? Eli kuinka paljon jokainen kilohintaan lisätty euro vaikuttaa voittoon / tappioon lähtöhinnan ollessa 20 /kg? 3
Funktion arvojen muutosnopeus pisteessä x 0 Voittofunktion muutosnopeutta ( /kg) kilohinnan ollessa x 0 = 20 voidaan likimääräisesti kuvata laskemalla voiton suuruuden eroja, kun hinta kasvaa h /kg: Arvio muutosnopeudelle: Jos kilohinta 20 /kg 25 /kg, voitto kasvaa v 25 v 20 = 871 k, eli muutosnopeus on arviolta 871 k /5= 174. 2 k kutakin kilohintaan lisättyä euroa kohden Tarkempi arvio muutosnopeudelle: Jos kilohinta 20 /kg 21 /kg, voitto kasvaa v 21 v 20 = 237.8 k, eli muutosnopeus on arviolta 237. 8 k kutakin kilohintaan lisättyä euroa kohden Vielä tarkempi arvio muutosnopeudelle: Jos kilohinta 20 /kg 20.05 /kg, voitto kasvaa v 20.05 v 20 = 12.65 k, eli muutosnopeus on arviolta 12.65 k /0.05=252. 9 k kutakin kilohintaan lisättyä euroa kohden 4
Derivaatta pisteessä x 0 Funktion f muutosnopeutta pisteessä x 0 voidaan siis arvioida erotusosamäärällä: Funktion arvon muutos, kun x 0 x 0 + h (x 0 + h, f(x 0 +h)) f x 0 + h f(x 0 ) = f x 0 + h f(x 0 ) x 0 + h x 0 h (x 0, f(x 0 )) = h = f x 0 + h f(x 0 ) x:n muutos x 0 x 0 + h Tämä erotusosamäärä vastaa pisteiden (x 0, f(x 0 )) ja (x 0 + h, f(x 0 +h)) kautta kulkevan suoran kulmakerrointa 5
Derivaatta pisteessä x 0 Erotusosamäärän f x 0 + h f(x 0 ) h antamaa arviota funktion muutosnopeudesta pisteessä x 0 voidaan tarkentaa pienentämällä muutostermiä h (x 0, f(x 0 )) = h (x 0 + h, f(x 0 +h)) = f x 0 + h f(x 0 ) 6
Derivaatta pisteessä x 0 Täsmällinen muutosnopeus eli funktion derivaatta f x 0 pisteessä x 0 saadaan, kun muutostermi h kutistuu nollaan f x 0 = lim h 0 f x 0 + h f(x 0 ) h (x 0, f(x 0 )) y = f(x 0 ) + f x 0 (x x 0 ) Derivaatta f x 0 vastaa funktion tangentin kulmakerrointa pisteessä x 0 7
Derivaatta pisteessä x 0 Esim. Voittofunktion v x = 15.9x 2 + 898.7x 4051 muutosnopeus pisteessä x = 20 on v 20 = lim h 0 v 20 + h v(20) h = lim h 0 15.9 20 + h 2 + 889.7 20 + h 4051 + 15.9 20 2 889.7 20 + 4051 h = lim h 0 15.9h 2 + 253.7h h = lim h 0 15.9h + 253.7 = 253.7. Kilohinnan ollessa 20 voitto kasvaa 253.7 k jokaista kilohintaan lisättyä euroa kohden 8
Derivoituvuus pisteessä x 0 ja välillä (a,b) Jos erotusosamäärällä f x 0 = lim h 0 f x 0 + h f(x 0 ) h on äärellinen raja-arvo (eli funktiolla on derivaatta) pisteessä x 0, sanotaan että funktio on derivoituva pisteessä x 0. Jatkuvuus pisteessä x 0 on välttämätön edellytys derivoituvuudelle pisteessä x 0 Pisteessä x 0 jatkuva funktio ei kuitenkaan välttämättä ole derivoituva tässä pisteessä Esim. Funktio f x = x on jatkuva muttei derivoituva pisteessä x = 0. f h f(0) lim = lim h 0+ h h 0+ f h f(0) lim = lim h 0 h h 0 h 0 h h 0 h = 1, = 1, Funktio on derivoituva välillä (a, b), jos se on derivoituva kaikissa pisteissä x (a, b) f h f(0) f h f(0) lim lim h 0+ h h 0 h Raja-arvoa ei ole olemassa. 9
Derivaattafunktio Funktion f(x) muutosnopeus on usein erisuuri eri pisteissä x Esimerkiksi turnipsituottajien voitto Kasvaa ensin voimakkaasti kilohinnan kasvaessa, mutta kasvu hidastuu kunnes voiton maksimoivan kilohinnan x 28.00 /kg jälkeen voitto alkaa vähentyä ensin hitaasti ja sitten voimakkaasti. Tarvitaan sääntö (eli funktio), jolla funktion muutosnopeus voidaan laskea missä tahansa pisteessä x 10
Derivaattafunktio Derivaattafunktion avulla voidaan lausua f:n muutosnopeus x:n funktiona f x = lim h 0 f x + h f(x) h Esim. f: R R, f x = x 2 : f (x + h) 2 x 2 x = lim h 0 h = lim h 0 2x + h = 2x = lim h 0 x 2 + 2xh + h 2 x 2 h Derivaattafunktiosta käytetään f x :n lisäksi myös merkintöjä Df x, df(x), dy, y, dx dx x y x, y 11
Derivaatta ja funktion kasvavuus / vähenevyys Derivaattafunktion f x perusteella voidaan tehdä päätelmiä funktion f x kasvavuudesta / vähenevyydestä Jos f x < 0, funktion tangentti pisteessä x on laskeva suora funktio vähenee Jos f x > 0, funktion tangentti pisteessä x on nouseva suora funktio kasvaa Jos f x = 0, kyseessä on joko funktion (lokaali) ääriarvo tai nk. satulapiste Esim. funktio f(x) = x 2 on Vähenevä, kun x < 0, sillä tällöin f x = 2x < 0 Kasvava, kun x > 0, sillä tällöin f x = 2x > 0 Saavuttaa miniminsä, kun x = 0, sillä tällöin f 0 = 2 0 = 0 Esim. funktio f(x) = x 3 on Kasvava, kun x 0, sillä tällöin f x = 3x 2 > 0 Saavuttaa satulapisteensä, kun x = 0, sillä tällöin f 0 = 3 0 2 = 0 12
Derivaatta ja funktion kasvavuus / vähenevyys Luomuturnipsin muutosnopeutta kuvaa derivaattafunktio v (x) = 31.8x + 889.7 Voittofunktio v x = 15.9x 2 + 889.7x 4051 on Kasvava, kun v x > 0 eli x < 889.7 31.8 = 27.98. Vähenevä, kun v x < 0 eli x > 27.98 Saavuttaa ääriarvonsa/satulapisteen, kun v x = 0 eli x = 27.98 Kuvan perusteella pisteessä x = 27.98 on ääriarvo, tarkemmin maksimi. 13
Presemo-kysymys Derivaattafunktion f kuvaaja on kuvassa A. Mikä kuvista 1-3 on funktion f kuvaaja? Kuva A Kuva 1 Kuva 2 Kuva 3 14
Derivointisääntöjä Minkä tahansa derivoituvan funktion derivaattafunktio voidaan muodostaa erotusosamäärän raja-arvon kautta f x = lim h 0 f x + h f(x) h Usein on kuitenkin kätevämpää hyödyntää eri funktiotyypeille johdettuja derivointisääntöjä 15
Derivointisääntöjä D1: Vakiofunktion derivaatta Olkoon f: R R, f x = a (vakio). Tällöin f x = D(a) = 0. Perustelu: Vakiofunktio ei kasva eikä vähene, eli sen muutosnopeus on nolla kaikilla x. Täsmällinen todistus erotusosamäärän raja-arvolla: f f x+h f(x) x = lim h 0 h aa = lim = 0. h 0 h 16
Derivointisääntöjä D2: Yksinkertaisen polynomifuktion derivaatta Olkoon f: R R, f x = x n, n N. Tällöin f x = D x n = nx n1 Todistus erotusosamäärän kautta (kuten kalvolla 11) Esim. f x = x 4 f (x) = 4x 3 f x = x 6 f (x) = 6x 5 17
Derivointisääntöjä D3: Vakiolla kerrotun funktion derivaatta Olkoon f(x):n derivaattafunktio f x. Tällöin funktion a f x derivaatta D a f x = a f x Funktion f arvot a- kertaistetaan Funktion f muutosnopeus a-kertaistuu Todistus: D a f x a f x+h a f(x) = lim h 0 h f x+h f x = a lim h 0 h = af (x). 18
Derivointisääntöjä D4: Summan derivointi Jos funktiot f ja g ovat derivoituvia pisteessä x, niin D f x + g x = Df x + Dg x = f x + g (x) Kokonaismuutosnopeus = Osamuutosnopeuksien summa 19
Derivointisääntöjä Sääntöjen D1-D4 perusteella saadaan kaikkien polynomifunktioiden f: R R, f x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n derivaatat. Esim. Luomuturnipsista saatavan voiton ja kilohinnan yhteyttä kuvaa funktio v: R + R v x = 15.9x 2 + 889.7x 4051 Säännöillä D1-D4 saadaan voiton muutosnopeuden ja kilohinnan yhteyttä kuvaava funktio v (x) = D 15.9x 2 + 889.7x 4051 = D 15.9x 2 ) + D(889.7x) + D(4051 = 15.9D x 2 ) + 889.7D(x) + D(4051 = 15.9 2x + 889.7 1 + 0 = 31.8x + 889.7 Nyt esim. muutosnopeus hintatasolla 20 /kg saadaan helposti: v (20) = 31.8 20 + 889.7 = 253.7. 20
Toinen derivaatta Luomuturnipsista saatavan voiton tasoa yksikköhinnalla x kuvaa funktio v x = 15.9x 2 + 889.7x 4051 Voiton muutosnopeutta kuvaa derivaattafunktio v (x) = 31.8x + 889.7, jonka perusteella Voittofunktio kasvaa nopeimmin (889.7 kutakin lisättyä kilohintaeuroa kohden), kun kilohinta x=0 Kasvu hidastuu tasaisesti kilohinnan kasvaessa (31.8 / lisätty kilohintaeuro / lisätty kilohintaeuro) Kasvu kääntyy vähenemiseksi ääriarvokohdassa x = 27.98 /kg Tämän jälkeen väheneminen kiihtyy tasaisesti kilohinnan kasvaessa (31.8 / lisätty kilohintaeuro / lisätty kilohintaeuro) Funktion kiihtyvyyttä eri x:n arvoilla kuvaa sen toinen derivaatta v (x), joka saadaan derivoimalla derivaattaa v (x): v x = D 31.8x + 889.7 = 31.8 Tässä esimerkissä voiton kiihtyvyys (tai oikeammin hidastuvuus) kilohinnan suhteen on vakio 21
Toinen derivaatta ja ääriarvon laatu Aiemmin nähtiin, että voittoa kuvaavalla funktiolla v on maksimi, kun x = 27.98 /kg Tässä maksimipisteessä Derivaatta (muutosnopeus) v 27.98 = 0 Derivaatan arvot muuttuvat positiivisista negatiivisiksi Voiton kiihtyvyys on negatiivinen: v 27.98 = 31.8 < 0 22
Toinen derivaatta ja ääriarvon laatu Yleisesti: Piste x 0 on funktion f lokaali ääriarvopiste, jos 1. f x 0 = 0 ja 2. Derivaatan f merkki muuttuu x 0 :n ohi mentäessä o Jos derivaatan merkki ei muutu, x 0 on funktion satulapiste Ääriarvopiste x 0 on lokaali minimi, jos f muuttuu negatiivisesta positiiviseksi, Eli väheneminen muuttuu kasvuksi, Eli kiihtyvyys f x 0 > 0. Ääriarvopiste x 0 on lokaali maksimi, jos f muuttuu positiivisesta negatiiviseksi, Eli kasvu muuttuu vähenemiseksi, Eli kiihtyvyys f x 0 < 0. Esim. Funktiolla f x = x 3 + 3x 2 + 5 on kaksi lokaalia ääriarvopistettä: f x = 3x 2 + 6x = 0 3x x + 2 = 0 x = 0 x = 2 Funktion toinen derivaatta on f x = 6x + 6. Piste x = 2 on lokaali maksimi, sillä f 2 = 6 (2) + 6 = 6 < 0. Piste x = 0 on lokaali minimi, sillä f 0 = 6 0 + 6 = 6 > 0. 23
Toinen derivaatta ja ääriarvon laatu Joissakin tapauksissa funktion f muutos on niin hidasta ääriarvopisteessä x 0, ettei 2. derivaatta f reagoi siihen, vaan f x 0 = 0 Esim. Funktio f: R R +, f x = x 4 saavuttaa miniminsä pisteessä x = 0, mutta f x = 12x 2 f 0 = 0. Tällaisissa tapauksessa ääriarvon laatua ei voi päätellä toisen derivaatan etumerkistä Toisella derivaatalla on kuitenkin tärkeä merkitys usean muuttujan ääriarvotehtävissä (tähän palataan myöhemmin kurssilla) 24
Yhteenveto derivoinnista Funktion Derivaatta f (x) kuvaa funktion muutosnopeutta Toinen derivaatta f x = D f x kuvaa muutosnopeuden muutosnopeutta eli kiihtyvyyttä Derivointisäännöt joillekin tavallisille funktiotyypeille Vakiofunktio: D(a) = 0 Yksinkertainen polynomifunktio: D x n = nx n1 Yleisiä sääntöjä funktioiden yhdistelmien käsittelyyn Vakiolla kerrotun funktion derivaatta on derivaatta kerrottuna vakiolla: D a f x = a f x Summan derivaatta on derivaattojen summa: D f x + g x = f x + g (x) 25
Yhteenveto derivoinnista Funktio on Kasvava, kun f x > 0 Vähenevä, kun f x < 0 Piste x 0 on funktion f lokaali ääriarvopiste, jos 1. f x 0 = 0 (eli x 0 on derivaatan nollakohta) ja 2. Derivaatan f merkki muuttuu x 0 :n ohi mentäessä muuten x 0 on satulapiste Ääriarvopiste x 0 on Lokaali minimi, jos f x 0 > 0 (eli väheneminen muuttuu kasvuksi) Lokaali maksimi, jos f x 0 < 0 (eli kasvu muuttuu vähenemiseksi) 26
Presemo-kysymys Mikä on funktion f x = 3x 2 + 2x + 4 maksimiarvo? 1 1. 3 2. 4 3. 4 1 3 27