Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180 1770 59 f) 1770 180 6 Vastaus: a) 1 4 b) 1 6 c) d) 5 4 e) 7 f) 59 6 180 d) 7 rad 7 160 180 e) 17 rad 17 974, 0 180 f) 60 rad 60 066, 48 Vastaus: a) 90 b) 60 c) 16 d) 160 e) 974,0 f) 0 66,48 171. Kehäpisteen koordinaatit (cos x, sin x). Laskimella: a) (cos 0, sin 0 ) (0,766; 0,64) b) (cos 70, sin 70 ) = (0, 1) c) (cos 100, sin 100 ) ( 0,5; 0,866) 1 1 5 5 cos 17,sin 17 0,5;0,866 f) (cos 1, sin 1) (0,915; 0,404) d) cos, sin 0, 809; 0, 588 e) Vastaus: a) (0,77; 0,64) b) (0, 1) c) ( 0,5; 0,87) d) (0,81; 0,59) e) (0,5; 0,87) f) (0,91; 0,40) 170. Muutetaan radiaanit asteiksi 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad 180 Tällöin 1rad. a) 1 rad 1 180 90 b) 1 rad 1 180 60 6 6 180 c) rad 16 5 5 KERTOMA 8! MAB8 118
17. Piirretään yksikköympyrään kulmaviivaimella kulma ja katsotaan kehäpisteen koordinaatit. c) 00 = 9 60 60 a) Vastaus: sin 5 0,6, cos 5 0,8 ja tan 5 0,7. b) Vastaus: sin 00 0,9, cos 00 0,5 ja tan 00 1,7. Vastaus: sin 10 0,5, cos 10 0,9 ja tan 10 0,6. KERTOMA 8! MAB8 119
d) rad 108 5 e) Kulma vastaa asteina 10890 = 0 60 + 90 eli radiaaneina 0. Vastaus: 11 11 11 sin 1, cos 0 ja tan ei ole määritelty. Vastaus: sin 0,95, cos 0, ja tan,1. 5 5 5 KERTOMA 8! MAB8 10
f) 4 rad 406,4 = 6 60 + 46,4 sin cos 1 sin 0, 6 1 sin 0, 6 1 sin 10, 6 sin 0, 64 sinx 0,64 0,8 Vastaus: sin α = 0,8 tai sin α = 0,8 174. a) y = 4cos x Funktion f(x) = cos tx jakso saadaan kosinin perusjaksosta π jakamalla perusjaksoa muuttujan x kertoimella t. Täten funktion 4cos x jakso on. Tämä on asteina 180. Vastaus: π = 180 Vastaus: sin 4 0,9, cos 4 0,4 ja tan 4,. b) y = tan x Funktion f(x) = tan tx jakso saadaan tangentin perusjaksosta π jakamalla perusjaksoa muuttujan x kertoimella t. Täten funktion 17. (Vrt. teht. 9 s. 48.) cos 0,6 5 Sijoitetaan cos 0,6 yhtälöön sin α. sin cos 1 ja ratkaistaan tan jakso on. Tämä on asteina 90. Vastaus: 90 KERTOMA 8! MAB8 11
c) y = 4sin 0,6x Funktion f(x) = sin tx jakso saadaan sinin perusjaksosta π jakamalla perusjaksoa muuttujan x kertoimella t. Täten funktion 4sin 0,6x jakso on 10. Tämä on asteina 10 180 600. 0,6 c) y = 4sin 0,6x Vastaus: 10 600 175. Hahmotellaan edellisen tehtävän kuvaajat välillä 4π x 4π. a) y = 4cos x Trigonometriset yhtälöt 176. Lasketaan ratkaisut eri n:n arvoilla ja katsotaan, mitkä kuuluvat annetulle välille. b) y = tan x a) Ratkaisut saadaan n = alkaen, koska kun n = 0, niin α = 0 + 0 60 = 0 kun n = 1, niin α = 0 + 1 60 = 90 kun n =, niin α = 0 + 60 = 750 > 70 kun n = 1, niin α = 0 1 60 = 0 kun n =, niin α = 0 60 = 690 kun n =, niin α = 0 60 = 1050 < 70. Vastaus: α = 690, α = 0, α = 0 tai α = 90 KERTOMA 8! MAB8 1
b) Ratkaisut saadaan n = alkaen, koska kun n = 0, niin α = 0 + 0 60 = 0 kun n = 1, niin α = 0 + 1 60 = 0 kun n =, niin α = 0 + 60 = 90 kun n =, niin α = 0 + 60 = 150 kun n = 4, niin α = 0 + 4 60 = 10 > 00 kun n = 1, niin α = 0 1 60 = 90 kun n =, niin α = 0 60 = 150 kun n =, niin α = 0 60 = 10 < 00. Vastaus: α = 150, α = 90, α = 0, α = 0, α = 90 tai α = 150 c) Ratkaisut saadaan n = 5 alkaen, koska kun n = 0, niin x = π + 0 π = π kun n = 1, niin x = π + 1 π = π kun n =, niin x = π + π = π kun n =, niin x = π + π = 4π kun n = 4, niin x = π + 4 π = 5π > 4π kun n = 1, niin x = π 1 π = 0 kun n =, niin x = π π = π kun n =, niin x = π π = π kun n = 4, niin x = π 4 π = π kun n = 5, niin x = π 5 π = 4π kun n = 6, niin x = π 6 π = 5π < 4 π. d) Ratkaisut saadaan n = 1 alkaen, koska kun n = 0, niin x 0 5 5 1 kun n = 1, niin x 1 5 15 kun n =, niin x 5 15 7 kun n = 1, niin x 1 5 15 17 kun n =, niin x 5 15 Vastaus: 7 1 x, x tai x 15 5 15 177. a) Hahmotellaan kuvaaja graafisella laskimella tai tietokoneella. Ratkaisu löytyy käyrien y = tan x ja y = leikkauspisteiden x-koordinaatista. Ratkaisussa voidaan käyttää myös tangentin jaksoa apuna, jolloin riittää löytää vain yksi ratkaisu graafisesti. Tämä on järkevä tapa, jos käytössä ei ole graafista laskinta tai tietokonetta. Ensimmäinen kuvaaja on piirretty x-akselin asteikolla radiaanit, jossa näkyvät piin monikerrat. Siitä voidaan päätellä ratkaisujen lukumäärä annetulla välillä. Vastaus: x = 4π, x = π, x = π, x = π, x = 0, x = π, x = π tai x = 4π KERTOMA 8! MAB8 1
Vaihdetaan x-akselin asteikoksi radiaanit ilman piitä. Vaihdetaan x-akselin asteikko. Luetaan kuvaajasta ratkaisut. Vastaus: x 8, tai x 5,0 tai x 1,9 tai x 1,5 (tai 1,) tai x 4,4 tai x 7,5 b) Hahmotellaan kuvaaja graafisella laskimella tai tietokoneella. Ratkaisu löytyy käyrien y = sin x ja y = leikkauspisteiden x-koordinaatista. Ratkaisussa voidaan käyttää myös sinin jaksoa apuna, jolloin riittää löytää vain yksi ratkaisu graafisesti. Tämä on järkevä tapa, jos käytössä ei ole graafista laskinta tai tietokonetta. Ensimmäinen kuvaaja on piirretty radiaaniasteikolla, jossa näkyvät piin monikerrat. Tästä voidaan päätellä ratkaisujen määrä. Luetaan kuvaajasta ratkaisut. Vastaus: x 11,8 tai x 10, tai x 5,6 tai x,9 tai x 0,7 tai x,4 tai x 7,0 tai x 8,7 c) Hahmotellaan kuvaaja graafisella laskimella tai tietokoneella. Ratkaisu löytyy käyrien y = cos x ja y = 0,5 leikkauspisteiden x-koordinaatista. Ratkaisussa voidaan käyttää myös kosinin jaksoa apuna, jolloin riittää löytää vain yksi ratkaisu graafisesti. Tämä on järkevä tapa, jos käytössä ei ole graafista laskinta tai tietokonetta. Ensimmäinen kuvaaja on piirretty radiaaniasteikolla, josta voidaan päätellä ratkaisujen määrä. KERTOMA 8! MAB8 14
d) Hahmotellaan kuvaaja graafisella laskimella tai tietokoneella. Ratkaisu löytyy käyrien y = sin x ja y = x 1 leikkauspisteiden x- koordinaatista. Vaihdetaan x-akselin asteikko. Tästä kuvaajasta havaitaan, että ratkaisuja on vain yksi. Ratkaisu on likimain x 1,9. Tarkennetaan kuvaajaa. Luetaan kuvaajasta ratkaisut. Vastaus: x 5,8 tai x,7 tai x,6 tai x 0,5 tai x 0,5 tai x,6 tai x,7 tai x 5,8. Kuvaajan perusteella ratkaisu on yhden desimaalin tarkkuudella x 1,9. Vastaus: x 1,9 KERTOMA 8! MAB8 15
178. a) sin α = Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska sini ei voi saada arvoa, joka on suurempi kuin 1. Vastaus: Yhtälöllä ei ole ratkaisua. b) sin α = 1 Sini saa arvon yksi, kun kulma on 90. Huomioidaan vielä sinin jakso 60 astetta. sin 1 sin sin90 90n60 :, n0, 1,, 45n180, n0, 1,, Vastaus: α = 45 + n 180, n = 0, ±1, ±, c) tan α = Määritetään laskimella yksi ratkaisu kulmalle: α = 6,44 6, 4. Tangentin jakso on 180, minkä perusteella saadaan kaikki ratkaisut. tan tan tan6,44! Laskimella 6,44n180, n0, 1,, 6, 4n180, n 0, 1,, Vastaus: α 6,4 + n 180, n = 0, ±1, ±, d) 6cos :6 cos 0,5 Määritetään laskimella yksi ratkaisu kulmalle: α = 60. Kosinin parillisuuden perusteella toinen ratkaisu on: α = 60. Kosinin jakso on 60, minkä perusteella saadaan kaikki ratkaisut. 6cos :6 cos 0,5 cos cos 60! Laskimella 60n60, n0, 1,, Etsitään kakista ratkaisuista annetulle välille kuuluvat. Kun n = 0, niin α = 60 + 0 60 = 60 tai α = 60 + 0 60 = 60. Kun n = 1, niin α = 60 + 1 60 = 40 tai α = 60 + 1 60 = 00. Kun n =, niin α = 60 + 60 = 780 tai α = 60 + 60 = 660. Kun n = 1, niin α = 60 + ( 1) 60 = 00 tai α = 60 + ( 1) 60 = 40. Vastaus: α = ±60 tai α = ±00 e) cos 1 : cos 0,5 Määritetään laskimella yksi ratkaisu kulmalle α = 60. Kosinin parillisuuden perusteella toinen ratkaisu on α = 60. Kosinin jakso on 60, mistä saadaan kaikki ratkaisut. cos 1 : cos 0,5 cos cos60! Laskimella 60n60 :, n 0, 1,, 0n10, n 0, 1,, Välille 60 α 60. Kun n = 0, niin α = 0 + 0 10 = 0 tai α = 0 + 0 10 = 0. Kun n = 1, niin α = 0 + 1 10 = 100 tai α = 0 + 1 10 = 140. Kun n =, niin α = 0 + 10 = 0 tai α = 0 + 10 = 60. KERTOMA 8! MAB8 16
Kun n =, niin α = 0 + 10 = 40 tai α = 0 + 10 = 80. Kun n = 4, niin α = 0 + 4 10 = 460 tai α = 0 + 10 = 500. Kun n = 1, niin α = 0 1 10 = 140 tai α = 0 1 10 = 100. Kun n =, niin α = 0 10 = 60 tai α = 0 10 = 0. Kun n =, niin α = 0 10 = 80 tai α = 0 10 = 40. Kun n = 4, niin α = 0 4 10 = 500 tai α = 0 4 10 = 460. Vastaus: α = 40 tai α = 60 tai α = 0 tai α = 140 tai α = 100 tai α = 0 tai α = 0 tai α = 100 tai α = 140 tai α = 0 tai α = 60 tai α = 40 f) tan 0,7α = 7 Määritetään laskimella yksi ratkaisu kulmalle: 0,7α = 81,86. Tangentin jakso on 180, mistä saadaan kaikki ratkaisut. tan0,7 7 tan0,7 tan81,86! Laskimella 0,7 81,86n 180 : 0,7, n 0, 1,, 116,9569n57,148, n 0, 1,, Vastaus: α 116,96 + n 57,14, n = 0, ±1, ±, 179. a) sinx sinx sin! Taulukkokirjasta x n tai x n, x n : tai x n :, x n tai x n, 6 Vastaus: x n tai x n, n0, 1,, 6 b) cosx : cosx cosx cos 6 x n :, 6 x n, 1 n 0, 1,, n 0, 1,, Vastaus: x n, n0, 1,, 1 n 0, 1,, n 0, 1,, n 0, 1,, KERTOMA 8! MAB8 17
c) x tan x tan tan x n, n0, 1,, x n, n0, 1,, Vastaus: x n, n 0, 1,, 180. a) f(x) = 5sin (x + ) Sinifunktio saa suurimman arvonsa yksi, kun kulma x + saa arvokseen. Kun huomioidaan sinin jakso π, niin saadaan kaikki ratkaisut. sin( x ) 1 sin( x ) sin x n, n 0, 1,, x n, n 0, 1,, cos(x ) 1 cos(x ) cos 0 x0n, n 0, 1,, x 0n :, n 0, 1,, x n, n 0, 1,, Vastaus: x n, n0, 1,, c) f(x) = 5cos (x 1) Kosinifunktio saa suurimman arvonsa yksi, kun kulma on 0. Kun huomioidaan kosinin jakso π, niin saadaan kaikki ratkaisut. cos( x 1) 1 cos( x 1) cos 0 x 10n, x 01n n 0, 1,,, n 0, 1,, x 1n, n 0, 1,, Vastaus: x 1n, n0, 1,, Vastaus: x n, n0, 1,, b) f(x) = 5cos (x + ) Kosinifunktio saa suurimman arvonsa yksi, kun kulma on 0. Kun huomioidaan kosinin jakso π, niin saadaan kaikki ratkaisut. KERTOMA 8! MAB8 18
181. Tehtävä ei ole kurssin MAB8 keskeistä sisältöä. Vrt. esim. 6 s. 64. s a) sin x sinx x xn tai x xn, n 0, 1,, xx n x n tai tai x x n, x n :, n 0, 1,, n 0, 1,, x n x n x n tai tai tai x n, x n, x n, n 0, 1,, n 0, 1,, n 0, 1,,! Kulmia x = nπ voidaan merkitä muodossa x = nπ, koska n = 0, ±1, ±, Tällöin saadaan kuitenkin kaikki samat ratkaisut. Ks. esim. 6 s. 64. Vastaus: x n tai x n, n0, 1,,. b) cos x cos(x 1) x x1n tai xx 1n tai x 1n tai x 1n tai x 1n tai x (x 1) n, n 0, 1,, x x 1n, xx 1n, n 0, 1,, n 0, 1,, 5x 1n :5, n 0, 1,, 1 x n, 5 5 n 0, 1,, Vektorien peruskäsitteet ja peruslaskutoimitukset 18. a) BC CA BA b) BE EC CD BC CD BD c) ED DA AC EA AC EC d) DA BA BD DA AB BD DD 0 Vastaus: a) BA b) BD c) EC d) 0 18. Jaetaan puolittain kahdella. a 4 b : a b Koska vektorit saadaan toisistaan kertomalla positiivisella luvulla, ovat ne samansuuntaiset. Koska vektori a b, niin a on kaksi kertaa niin pitkä kuin vektori b. Vastaus: Vektorit ovat samansuuntaiset ja vektorin a pituus on kaksinkertainen. 184. a) Vektorin yksikkövektori määritetään a pituus on a, joten 0 a a 1 a a. a Vastaus: a 0 1 a 0 a. Vektorin a Vastaus: 1 x 1n tai x n, n0, 1,, 5 5 KERTOMA 8! MAB8 19
b) Vektori on vastakkaissuuntainen ja pituudeltaan 4, joten 0 1 4 b 4a 4 a a. 4 Vastaus: b a 185. Uimarin on uitava kohtisuoraan vastarantaa kohti, kun huomioidaan joen virtaus. Toisin sanoen uimarin summanopeusvektorin v on oltava joen vastarantaa kohti kuvan mukaisesti. Uimari ui vektorin x suuntaisesti, ja joki virtaa vektorin v mukaisesti. joki x x 5 9 oltava x 0 x 9 5,85 5, 4 Lasketaan uimarin kulma α suorakulmaisesta kolmiosta. tan 5 1,801 Tapa : luvun 7 tietojen perusteella. Valitaan tavallinen xy-koordinaatisto, jossa kantavektorit ovat i ja j. Tällöin v 5j ja v joki i. Vektori x v v joki 5j i i 5 j. Uimarin nopeus (km/h) on vektorin x pituus x ( ) 5 9 5,85 5, 4. Tapa 1: luvun 6 tietojen perusteella (vrt. teht. 109). Uimarin nopeus x (km/h) saadaan suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseella. Uintikulma on vektoreiden ab kaavalla cos. a b x ja v välinen kulma α, joka saadaan Pistetulo on x v ( ) 055 5 ja pituudet ovat x 9 ja v 5. x v 5 cos x v 9 5 1,801 Vastaus: Uimarin on uitava nopeudella 5,4 km/h kulmassa astetta poikkisuuntaan vastavirtaan. KERTOMA 8! MAB8 10
186. Piirretään kolmio ABC. Koska piste D puolittaa kannan BC, on janan CD pituus puolet kannan CB pituudesta. c) Merkitään janan AB keskipistettä kirjaimella C. Pisteen C paikkavektori on 1 1 OC OA AB 5i 4j 8i 6j 5i 4j 4i j i j. Pisteen C koordinaatit ovat (1, 1). Vastaus: (1, 1) Tällöin 1 1 AD AC CB CA BC. 1 Vastaus: AD CA BC Vektorit koordinaatistossa 187. A = (5, 4) ja B = (, ) a) AB ( 5) i ( ( 4)) j 8i 6j Vastaus: AB 8i 6j 188. (Vrt. esim. 8 s. 114.) Esitetään vektori c i 6j vektoreiden a i j ja b i j avulla käyttämällä vakioita x ja y. c xayb i 6 j x( i j) y( i j) i 6j xi xj yi yj i 6 j ( x y) i ( x y) j Komponenttiesitys on yksikäsitteinen. Yhtäsuuruus toteutuu, kun komponenttien i ja j kertoimet ovat samat. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan siitä vakioiden x ja y arvot. x y x y 6 x y 4 : x b) Vektorin pituus on Vastaus: 10 AB ( 8) 6 100 10. Sijoitetaan ylempään yhtälöön ja saadaan + y =, josta y = 4. Tällöin pyydetty komponenttiesitys on c xayb a 4 b. Tarkistetaan saatu tulos laskemalla ja piirtämällä. Lasketaan vektori a4b i j 4 i j i j 4i 4j i 6 j, joka on sama kuin pyydetty vektori c. Piirretään vektorit. KERTOMA 8! MAB8 11
Vastaus: c a 4b 189. A = (, 4), B = (, 4) ja B = (4, 4) Pisteen paikkavektorin komponenttien kertoimet ovat pisteiden x ja y koordinaatit. OA i 4 j, OB i 4j ja OC 4i 4j Näiden summa OA OB OC i 4j i 4j 4i 4 j ( 4) i ( 444) j i 4 j. Tämän vektorin pituus on ( 4) 5 5. Tarkistetaan vielä piirtämällä. Summavektori on piirretty vihreällä. Vastaus: Summavektori on i 4j ja sen pituus on 5. 190. Lasketaan vektori c. c 4a5b 4(5i j) 5(i 4 j) 0i 8j 15i 0j 5i 1j Vektorin pituus on c 5 ( 1) 169 1. Vektorit a ja c ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos niiden pistetulo on nolla. ac (5i j) (5i 1 j) 55 ( 1) 1 Pistetulo ei ole nolla, joten vektorit eivät ole kohtisuorassa. Vastaus: Vektorin c pituus on 1. Vektorit a ja c eivät ole kohtisuorassa. KERTOMA 8! MAB8 1
191. 1) Vektorit u ja v ovat samansuuntaiset, jos u tv, missä t > 0. ( ai ) 4 jt(5 i( a5) j) ( ai ) 4 j5 tita ( 5) j ( ai ) 4 j5 ti( ta5 t) j Komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöpari. a5t 4 ta 5t Ratkaistaan ylemmästä t ja sijoitetaan se alempaan yhtälöön. a5t 5t a :( 5) t 0,6a0, 4 Sijoitus alempaan 4 (0,6a0, 4) a5(0,6a0, 4) 40,6a 0,4aa 0,6a,6a 0 Ratkaistaan toisen asteen yhtälö. 0, 6a,6a 0,6 (, 6) 40,6,6 1,96,6 1, 4 a 0,6 1, 1, 10 a1 tai a Tämä toteuttaa myös ylemmän yhtälön + 1 = 5, joten vektorit ovat samat, kun a = 1. Vastaus: a = 1 19. Vektorit a ja c ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos niiden pistetulo on nolla. Muodostetaan pistetulo. uv (( a) i 4 j) (5 i ( a5) j) ( a) 5 ( 4) ( a5) 10 15a4a0 11a0 Pistetulon on oltava nolla, joten saadaan yhtälö, josta ratkaistaan vakion a arvo. 11a 0 0 11a 0 :11 0 a 11 Vastaus: 0 a 11 10 Vastaus: a1 tai a ) Jos vektorit ovat samoja, niin ( ai ) 4 j5 i( a 5) j. Komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten a 5 4 a 5. Alemmasta saadaan 4 = a 5, josta a = 1. KERTOMA 8! MAB8 1
19. Piirretään tilanne alussa. OA (i 4 j ) (4i j ) 6i j OB 8 i ( i j ) 7i j (Vektorit i 4j ja 8i ovat lähtöpisteiden paikkavektorit.) a) Purjeveneiden etäisyys on pisteiden (, 4) ja (8, 0) välinen etäisyys. 1 1 d ( x x ) ( y y ) (8 ) (0 4) 5 7,1110 7, Vastaus: Veneiden etäisyys on 7, km. b) Veneiden nopeus (km/h) kulkusuuntaan saadaan nopeusvektoreiden pituudesta. Ensimmäisen veneen nopeusvektori on v1 4i j, jonka pituus on v 1 4 ( ) 5. Toisen veneen nopeusvektori on v i j, jonka pituus on v ( 1) 10,16,. Vastaus: Ensimmäisen veneen nopeus on 5 km/h ja toisen, km/h c) Määritetään veneiden paikka tunnin kuluttua paikkavektoreiden avulla. Tunnin aikana molemmat etenevät nopeusvektorinsa verran. Merkitään ensimmäisen veneen paikkaa tunnin kuluttua pisteellä A ja toisen veneen paikkaa pisteellä B. Lasketaan näiden pisteiden paikkavektorit. Pisteiden koordinaatit ovat tällöin A=(6, 1) ja B=(7, ). Pisteiden etäisyys on 1 1 d ( x x ) ( y y ) (7 6) ( 1) 5,,. Vastaus: Veneet ovat, km:n päässä toisistaan. d) Kolmessa tunnissa veneet etenevät kolme kertaa nopeusvektorinsa pituisen matkan. Veneet ovat nyt pisteissä A ja B. Täten kolmen tunnin päästä veneet ovat pisteissä X ja Y, joiden paikkavektorit ovat OX OA v1 (6 i j ) (4i j ) 6i j 1i 9j 18i 8j OY OA v (7i j ) ( i j ) 7i j i 9j 4i 1 j. Ensimmäinen vene on pisteessä (18, 8) ja toinen vene pisteessä (4, 1). Hahmotellaan reitti. KERTOMA 8! MAB8 14
Vektorit avaruudessa 194. a) AB (4) i ( ( )) j (1) k i j k b) Vektorin pituus on AB 1 ( 1) 1. c) Merkitään janan AB keskipistettä kirjaimella C. Pisteen C paikkavektori 1 1 OC OA AB i j k i j k 1 1 1 7 5 i j k i j k i j k. 7 5 Pisteen C koordinaatit ovat,,. Vastaus: a) AB i j k b) c) 7 5,, 195. a) Lasketaan lävistäjävektorin i j 6k pituus: ( ) 6 49 7. Vastaus: 7 Vastaus: Ensimmäinen vene on pisteessä (18, 8) ja toinen vene pisteessä (4, 1). b) Lävistäjävektorin komponentit antavat särmiön sivujen pituudet. Pituus: i. Leveys: j. Korkeus: 6k 6. Tällöin särmiön tilavuus on 6 = 6. Vastaus: 6 tilavuusyksikköä KERTOMA 8! MAB8 15
c) Särmiöllä on kahdeksan kärkipistettä, joista yksi on annetun lävistäjän loppupiste G(1, 1, 1). Kuvassa AB i AD j AF 6 k. Vastaavasti takatahkolle ADEF: OA OG GA i j k i 6k i j 5k OD OG GD i j k i j 6k i 4j 5k OE OG GE i j k i j i 4j k OF OG GF i j k i i j k Pisteet: A( 1, 1, 5), D( 1, 4, 5), E( 1, 4, 1) ja F( 1, 1, 1). Vastaus: A( 1, 1, 5), B(1, 1, 5), C(1, 4, 5), D( 1, 4, 5), E( 1, 4, 1), F( 1, 1, 1), G(1, 1, 1) ja H(1, 4, 1) Sanotaan muut pisteet pisteen G paikkavektorin OG i j k avulla. Määritetään ensin kuvan etutahkon BCHG kärkipisteet. OB OG GB i j k 6k i j 5k OC OG GC i j k j 6k i 4j 5k OH OG GH i j k j i 4j k Pisteet: B(1, 1, 5) C(1, 4, 5) ja H(1, 4, 1). 196. Määritetään yksikkövektori, joka on lentokoneen etenemissuunnan suuntainen. 0 a Vektorin yksikkövektori määritetään a. a a i j 6k 0 a i j 6k i j 6k i j 6k a a ( ) 6 49 7 Tällöin koneen nopeusvektori on 0 i j 6k v 800a 800 800 i j 6 k. 7 7 Lentokone etenee maan suhteen vektorin b i j suuntaisesti. Lentokoneen nousukulma on tämän ja lentokoneen suuntavektorin välinen kulma. Nousukulma on vektoreiden a ja b välinen kulma α, joka saadaan ab kaavalla cos. a b Määritetään vektorien pistetulo ja pituudet. ab ( )( ) 60 1 a 7 b ( ) 1 KERTOMA 8! MAB8 16
Lasketaan vektorien välinen kulma. 1 cos 7 1 58,99759 1 A 7 116 sin(15,5 ) 7,48 7,. Vastaus: Kolmion pinta-ala on 7, pinta-alayksikköä. 800 6, ja kone nousee 59 7 Vastaus: Nopeusvektori v i j k asteen kulmassa. 199. 197. Kysytty kulma on vektoreiden a AB ja b AC välinen kulma. Määritetään vektorit. a AB (4 1) i (5 ) j (6 ) k i j k b AC (9 1) i (8 ) j (7 ) k 8i 6 j 4k ab Vektoreiden välinen kulma α määritetään kaavalla cos. a b Määritetään pistetulo ja vektoreiden pituudet. ab8 6 4 54 a 7 b 8 6 4 116 54 cos 7 116 15,515 Vastaus: 15 1 198. Kolmion ABC pinta-ala voidaan laskea kaavalla A acsin. Tässä a AB ja c AC kulma on vektoreiden AB ja AC välinen kulma. Molemmat on laskettu edellisessä tehtävässä, joten Sijoitetaan särmiö kuvan mukaisesti koordinaatistoon. Tällöin a OA, i b AD OC 5 j ja c OF 4 k. Kysytty särmiön kulma ABC on vektoreiden BA ja BC välinen kulma α. Määritetään vektorit. BA a b c i 5j 4k 1 1 BC a c i 4k i 4k BA BC Kulma määritetään kaavalla cos. BA BC Määritetään pistetulo ja vektoreiden pituudet. KERTOMA 8! MAB8 17
41 BA BC ( 5) 0 ( 4) ( 4) BA ( 5) ( 4) 50 BC 7 0 ( 4) 4 41 cos 7 50 4 47,67 47, Vastaus: 47, KERTOMA 8! MAB8 18
PIKAOSIO 57 19 19 1. 57 rad 0,9948 0,995 180 60 60 Vastaus: 0,995 180 88. 1, 6 rad 1, 6 91, 67 91, 67 Vastaus: 91,67. Laskimella sin 0,5 = 0,00876 0,009 Vastaus: 0,009 4. Olkoon a 5i 6 j. Tällöin vektorin pituus on a 5 6 5 6 61 ( 7,810 ). Vastaus: 61 5. Olkoon a i 6j ja b i j. Tällöin pistetulo on ab11 6( ) 11 11. Vastaus: 11 6. Olkoon a i 6j ja b i j. Tällöin pistetulo on 11 (ks. edellinen tehtävä). Vektorien pituudet ovat a 1 6 16 7 ja b 1 ( ) 14 5. Vektorien välinen kulma α saadaan ab 11 cos 0,8087 a b 7 5 14,97144. Vastaus: 144 7. Vektorit a xi j ja b 4i j ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun niiden pistetulo on nolla. Pistetulo on abx4 ( ) 4x 6. 4x 60 4x 6 6 1 x 1 1,5 4 Vastaus: x = 1,5 8. Olkoon a i j 5 k. Tällöin vektorin pituus on a 1 ( 5) 145 0 ( 5,477 ). Vastaus: 0 9. Ratkaistaan yhtälö radiaaneina taulukkokirjan avulla. sin x 1 sin x sin x n, n0, 1,, Vastaus: x n, n0, 1,, KERTOMA 8! MAB8 19 PIKAOSIO
10. A = (0,, 1) ja B = (,, 1), joten AB ( 0) i ( ) j (1 1) k i 1j 0k i j. Kuvaaja tehtäviin 1 18. Vastaus: AB i j. 11. Ratkaistaan yhtälö asteina laskimen avulla. cos 0,7 cos cos 45,57 45,57n60, n0, 1,, 45,6n60, n0, 1,, Vastaus: 45,6n60, n 0, 1,, 1. Ratkaistaan yhtälö asteina laskimen avulla. sin 0, 5 sin sin0 0n60 tai 1800n60, n 0, 1,, 0n60 : tai 150n 60 :, n 0, 1,, 15n180 tai 75n180, n 0, 1,, Etsitään, mitkä arvoista ovat välillä [400, 600 ] Kun n = 0, niin α = 15 (ei kelpaa) tai α = 75 (ei kelpaa) Kun n = 1, niin α = 195 (ei kelpaa) tai α = 55 (ei kelpaa) Kun n =, niin α = 75 (ei kelpaa) tai α = 45 (kelpaa) Kun n =, niin α = 555 (kelpaa) tai α = 615 (ei kelpaa) Kun n = 4, niin α = 75 (ei kelpaa) tai α = 795 (ei kelpaa) Kun n = 1, niin α = 165 (ei kelpaa) tai α = 105 (ei kelpaa) Ratkaisuista välillä 400 α 600 ovat arvot α = 45 ja α = 555. Vastaus: α = 45 tai α = 555. Punainen käyrä on funktion f(x) = 4cos x kuvaaja. Vihreä suora on vakiofunktion g(x) = kuvaaja. Sininen suora on funktion h(x) = 0,5x kuvaaja. 1. Luetaan kuvasta punaiselta käyrältä: kun x = 0, niin y = 4, joten f(0) = 4. Vastaus: f(0) = 4 14. Luetaan kuvasta punaiselta käyrältä: kun x =, niin y 1,7, joten f( ) 1,7. Vastaus: f( ) 1,7 15. Luetaan kuvasta punaiselta käyrältä funktion nollakohdat: kun y = 0, niin x 4,7 tai x 1,6 tai x 1,6 tai x 4,7. Vastaus: f(x) = 0, kun x 4,7 tai x 1,6 tai x 1,6 tai x 4,7 16. Luetaan kuvasta punaiselta käyrältä: kun y =, niin x 1,1 tai x 1,1 (punaisen ja vihreän leikkauspisteet). Vastaus: f(x) =, kun x 1,1 tai x 1,1 KERTOMA 8! MAB8 140 PIKAOSIO
17. Luetaan kuvasta punaisen ja sinisen käyrän leikkauspisteiden x-koordinaatit: x 4, tai x 1,8 tai x 1,4. Vastaus: f(x) = h(x), kun x 4, tai x 1,8 tai x 1,4 18. Luetaan kuvasta vihreän ja sinisen käyrän leikkauspisteen x-koordinaatti: x 4,0. Vastaus: g(x) = h(x), kun x 4,0 KERTOMA 8! MAB8 141 PIKAOSIO
HARJOITUSKOE 1 1. a i j jab i j b) tan 1 : tan 0,5 Laskimella yksi kulma α = 6,565. Kaikki ratkaisut: α = 6,565 + n 180 α 6,57 + n 180. Vastaus: α 6,57 + n 180, n = 0, ±1, ±, Pituudet: a ( 1) 5,4 b ( ) ( ) 1, 61. Vektoreiden välinen kulma α: ab ( ) ( 1)( ) 1 cos a b 1 5 1 5 97,1597. c) cosx 1 cosx cos0 x 0 n60 : x n180 Vastaus: x = n 180, n = 0, ±1, ±,. Piirretään mallikuva. Vastaus: a 5,4, b 1,61 ja 97. a) sin α = 0,7 Laskimella yksi ratkaisu α = 44,47. Kaikki ratkaisut: α = 44,47 + n 60 tai α = (180 ( 44,47 )) + n 60 α 44,4 + n 60 tai α 4,4 + n 60. Vastaus: α 44,4 + n 60 tai α 4,4 + n 60, n = 0, ±1, ±, Kolmion kulma A on vektoreiden 6 AB i j ja AC i j välinen kulma. Merkitään kulmaa α:lla. KERTOMA 8! MAB8 14 HARJOITUSKOE 1
ab 1 6 8 cos a b 6 1 1 40 6,5656,6 Kulma C on vektoreiden CA AC i j ja CB ( 1) i (6 1) j i 5 j välinen kulma. Merkitään kulmaa β:lla. 11 ( 1)5 6 cos ( 1) ( 1) 1 5 6 146,09146, Kolmion kulmien summa on 180 astetta, joten kolmas kulma γ = 180 (α + β) = 7,15 7,1. Vastaus: 7,1, 6,6 ja 146, 4. Populaation koko (tuhansina) on Pt () 5sin t, missä t on aika kuukausina. a) Alussa t = 0, joten koko on P(0) 5 sin 0 5. Tulos on tuhansia, joten populaation koko alussa on 5000. Lopussa t = 10, joten koko on P(10) 5 sin 10 7,598 7,6. Tulos on tuhansia, joten populaation koko lopussa on 7600. Kuva malliksi. Vastaus: Alussa 5000 ja lopussa 7600 yksilöä. b) Populaatio on pienimmillään, kun sin 1, t koska sinin pienin arvo on 1. Populaation koko on tällöin tuhansissa 5 + ( 1) =, eli pienin koko on 000. Ajankohta saadaan selville ratkaisemalla yhtälö. sin t 1 t n 1 t n Lasketaan, kuinka moni ratkaisu sopii tarkasteluvälille. n = 0, t = 0, (ei käy) n = 1, t = 0, + 1 =,666 n =, t = 0, + = 5,666 n =, t = 0, + = 8,666 n = 4, t = 0, + 4 = 11,666 (ei käy) Vastaus: Populaatio on 000 yksilöä kolmannella, kuudennella ja yhdeksännellä kuukaudella. KERTOMA 8! MAB8 14 HARJOITUSKOE 1
c) Yhtälöstä 5sin t 6 sin t 1 : 1 sin t Laskimella yksi arvo ja sinin ominaisuuksista kaikki ratkaisut. t 0,98... n tai t ( 0,98...) n t 0,98... n tai t,801... n t 0,16... n tai t 1,7... n Lasketaan, kuinka moni ratkaisu sopii tarkasteluvälille. n = 0, t = 0,16 n = 1, t = 0,16 + 1 =,16 n =, t = 0,16 + = 6,16 n =, t = 0,16 + = 9.16 n = 4, t = 0,16 + 4 = 1,16 (ei käy) n = 0, t = 1,7 n = 1, t = 1,7 + 1 = 4,7 n =, t = 1,7 + = 7,7 n =, t = 1,7 + = 10,7 (ei käy) Vastaus: Populaatio on 6000 yksilöä ensimmäisellä, toisella, neljännellä, viidennellä, seitsemännellä kahdeksannella ja kymmenennellä kuukaudella. 5. a) Vektorit ovat samansuuntaisia, jos löytyy reaaliluku r > 0 siten, että u rv, r 0. ( ai ) 4 jk r 5 i( a5) jk ( ai ) 4 jk 5 rira ( 5) jrk () ai4jk5 ri( ra5) r jrk Vektoriesitys on yksikäsitteinen. Saadaan yhtälöryhmä. a5r 4 ra 5r r Alimmasta yhtälöstä saadaan r =. Koska luvun r piti olla positiivinen, eivät vektorit voi olla samansuuntaisia. Vastaus: Ei millään vakion a arvolla. b) Vektorit ovat kohtisuorassa, jos niiden pistetulo on nolla. uv ( a) i 4 j k5 i ( a5) j k 5( a) 4( a5) ( 1) 10 15a4a0 11a 8 Tämä saa arvon nolla, kun 11a 8 0 11a 8 :11 8 a. 11 Vastaus: 8 a 11 KERTOMA 8! MAB8 144 HARJOITUSKOE 1
6. Suunnikkaan yhtenä sivuna on origosta lähtevä vektori i j ja yksi 1 1 kärki on pisteessä, 1. 4 Määritä muut kärjet. Suunnikkaita on kaksi, joko tai Molemmilla suunnikkailla on kolme yhteistä pistettä: (0, 0), (1, ) ja 1 1, 1. 4 Neljännen pisteen paikkavektori on ensimmäisessä tilanteessa 10 5 1 7 OX OB ( i j ) i j i j i j. 4 4 1 Joten piste on 4,1. 4 Toisessa 10 5 7 17 OY OB ( i j ) i j i j i j, 4 4 1 1 joten piste on, 4. 4 1 1 Vastaus: Muut kärjet ovat joko (0, 0), (1, ) ja, 4 4 tai 1 (0, 0), (1, ) ja 4,1. 4 7. a) 1 cosx x n :, 4 x n, 8 n 0, 1,, n 0, 1,, Ensimmäisessä suunnikaan määräävät sivuvektorit i j ja 10 5 i j. 4 10 5 7 17 Toisessa vektorit i j ja 1 i j i j. 4 4 Vastaus: x n, n0, 1,, 8 KERTOMA 8! MAB8 145 HARJOITUSKOE 1
b) 1 sinx 0 1 sinx sinx sin 6 x n 6 x n 6 x n tai tai tai x n, 6 n 0, 1,, 5 x n, n 0, 1,, 6 x n, n 0, 1,, 6 Kun n 0, niin x 0 tai x 0 6 6 Kun n1, niin 1 x 1 tai x 1 6 6 Kun n, niin 7 5 x tai x 6 6 Kun n1, niin 5 11 x 1 tai x 1 6 6 Kun n, niin 9 x tai x 6 6 Vastaus: 5 11 1 x tai x tai x tai x tai x tai x 6 6 6 KERTOMA 8! MAB8 146 HARJOITUSKOE 1
HARJOITUSKOE 1. a) Sini on yksikköympyrän y-koordinaatti, joten sin α = 0,5. b) Kosini on yksikköympyrän x-koordinaatti, joten cos α = 0,87. sin 0, 5 c) tan 0,5747 0,57 cos 0,87 Vastaus: a) 0,5 b) 0,87 c) 0,57. Esitetään vektori c vektoreiden a b ja a b komponenttina. c x( ab) y( ab) a6 b x( ab) y( ab) Selvitetään luvut x ja y. Komponenttiesitys on yksikäsitteinen. a6 b x( ab) y( ab) a6b xaxb yayb a6 b ( xy) a( xy) b Komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten x y x y 6. Lasketaan yhtälöt puolittain yhteen, jolloin saadaan x 4 : x. Sijoitetaan ylempään yhtälöön. y y 4 Tällöin pyydetty komponenttiesitys on c ( ab) 4( a b). ab xx6 6 x 6. Pistetulo on oltava 11, joten saadaan yhtälö x 6 11 x 5 x 5.. Muodostetaan pistetulo Vastaus: x = ±5. 4. a) xcos x = x Yhtälöllä on ratkaisu, kun x = 0. xcos x x : x cos x 1 cos x 1, kun x 0 Kun huomioidaan kosinin jakso π, niin kaikki ratkaisut ovat x = nπ, n = 0, ±1, ±, Vastaus: x = nπ, n = 0, ±1, ±, b) sin 0,5x = 1 Sini saa arvon 1, kun kulma on. Kun huomioidaan sinin jakso π, niin kaikki ratkaisut kulmalle 0,5x ovat 0,5x n : 0,5 x n4. Vastaus: x = π + n4π, n = 0, ±1, ±, Vastaus: c ( ab) 4( a b) KERTOMA 8! MAB8 147 HARJOITUSKOE
5. a) tan x = Määritetään laskimella yksi ratkaisu kulmalle radiaaneina (asteet käyvät yhtä hyvin). x = 1,107 1,11 (x = 6,4 6,4 ) Tangentin jakso on π (180 ), joten saadaan kaikki ratkaisut kahden desimaalin tarkkuudella:. x 1,11 +nπ, n = 0, ±1, ±, (x 6,4 + n 180 ) Vastaus: x 1,11 +nπ, n = 0, ±1, ±, b) Tässä on käytettävä radiaaneja. a-kohdan perusteella: x 1, 1,107 n x 0,098 n. Vastaus: x 0,09 + nπ, n = 0, ±1, ±, c) cos x 1 cos x 1 cos x 1 tai cos x 1 Ratkaistaan molemmat yhtälöt erikseen: cos x = 1 cos x = 1, kun x = π. Kun huomioidaan kosinin jakso π, niin kaikki ratkaisut ovat x = π + nπ, n = 0, ±1, ±, cos x = 1 cos x = 1, kun x = 0. Kun huomioidaan kosinin jakso π, niin kaikki ratkaisut ovat x = nπ, n = 0, ±1, ±, Koko ratkaisu on täten x = π + nπ, n = 0, ±1, ±, tai x = nπ, n = 0, ±1, ±, Nämä voidaan yhdistää, jolloin saadaan x = nπ, n = 0, ±1, ±, Vastaus: x = nπ, n = 0, ±1, ±, 6. Määritetään vektorit komponenttimuodossa. p AB ( ( 1)) i ( 11) j i j q BC ( ) i ( ( 1)) j i 4 j r CA ( 1) i (1 ) j 4i j Lasketaan summat. p q r i j i 4j 4i j i j i 4j 4i j ( 14) i ( 4 ) j 0 p q r i j i 4j 4i j 9i 6j i 4j 8i 4j (918) i ( 644) j 14 j Vastaus: p i j, q i 4 j, r 4i j, pq r 0 ja p q r 14 j. KERTOMA 8! MAB8 148 HARJOITUSKOE
7. a) Päätellään kuvaajasta jakso, joka on π. Kun x = 0, saa funktio suurimman arvon, joka on 4. Myös kosinifunktion jakso on π, ja se saa suurimman arvon yksi kohdassa x = 0. Tästä voidaan päätellä, että funktion lauseke on f(x) = 4cos x. Vastaus: f(x) = 4cos x b) Päätellään kuvaajasta jakso, joka on π. Kun x = 0, saa funktio pienimmän arvon, joka on 1. Myös kosinifunktion jakso on π, ja se saa suurimman arvon yksi kohdassa x = 0 ja pienimmän kohdassa x = π. Funktion suurin arvo on kolme, joka saadaan kohdassa x = π. Funktiolle cos (π x) pätee funktion ehdot, jos ei huomioida arvoja. Kun lisätään luku kaksi, niin saadaan pienin ja suurin arvo oikein. Kysytty funktio on täten f(x) = cos (π x) +. Toinen vaihtoehto on kääntää funktio muotoon cos x. Vastaus: f(x) = cos (π x) + KERTOMA 8! MAB8 149 HARJOITUSKOE
HARJOITUSKOE 1. a) Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset ja yhtä pitkät, joten AB DC a ja AD BC b a AB (0 4) i (5 ) j 16i j b AD (7 4) i (1 ) j i 9 j. Määritetään pisteen C paikkavektori, josta voidaan lukea pisteen C koordinaatit. OC OA AB BC OA a b 4i j 16i j i 9j (4 16 ) i ( 9) j i 14 j Piste C = (, 14). Vastaus: (, 14) b) Vektoreiden välinen kulma on kysytty kulma α ab cos. a b Määritetään pistetulo ja vektoreiden pituudet. ab16 9 66 a 16 60 b 9 90 ab 66 cos a b 60 90 64,440064,4 c) Lävistäjävektorit AC a + b 16i j i 9j 19i 11j BD a + b 16i j i 9j 1i 7 j Vastaukseksi käy luonnollisesti myös näiden vastavektorit. Vastaus: AC 19i 11 j, BD 1i 7 j. a) cos α = cos 10 Kosinin parillisuuden ja jaksollisuuden nojalla α = 10 + n 60 tai α = 10 + n 60. Vastaus: α = 10 + n 60 tai α = 10 + n 60, n = 0, ±1, ±, b) sin α = sin 70 Saman kulman ja suplementtikulmien sini on sama. Huomioidaan lisäksi sinin jakso. 70n 60 : tai (18070 ) n 60 : 15n180 tai 45n180 Toinen ratkaisu sisältyy ensimmäiseen, sillä α = 45 + 1 180 = 15. Vastaus: α = 15 + n 180, n = 0, ±1, ±, Vastaus: 64,4 KERTOMA 8! MAB8 150 HARJOITUSKOE
c) tan sin0 tan 0,5 Määritetään laskimella yksi ratkaisu kulmalle. α = 6,565 6,6 Tangentin jakso on 180, joten kaikki ratkaisut yhden desimaalin tarkkuudella ovat α 6,6 + n 180, n = 0, ±1, ±, Vastaus: α 6,6 + n 180, n = 0, ±1, ±, c) i j 10i 15j 10 15 a b i j i j 1 1 1 1 1 1 10 15 0 45 65 1 1 1 1 1 1 1 Vastaus: 65 1. a) Vektorin yksikkövektori määritetään a lasketaan kaavalla d a b. 0 a i j i j a a ( ) 1 0 a. Vektorin pituus a Vastaus: 0 i j a 1 b) Vektori b on vastakkaissuuntainen ja pituudeltaan viisi kertaa vektorin a yksikkövektori, joten 0 i j 5(i j) 10i 15j b 5a 5. ( ) 1 1 Vastaus: b 10i 15j 1 KERTOMA 8! MAB8 151 HARJOITUSKOE
4. Lasketaan funktion arvoja taulukkoon. Aloitetaan π:stä ja lopetetaan π:hin. Jos funktion jakso ei ole löytynyt, niin laajennetaan aluetta. x y = + sin x x y = + sin x 15 8,707 7 4 4 5 8 4 7 8 1,9 1 1,9 4 5 4 1 4 7 1,9 8 4 1 0 15 8 1,9 8,707 a) Kuvaajasta voidaan päätellä, että funktion jakso on π. Vastaus: Funktion jakso on π. b) Suurin arvo saadaan kuvaajan huipussa, ja arvo on kolme. Pienin arvo saadaan alimmassa paikassa, ja se on yksi. Vastaus: Suurin arvo on kolme ja pienin arvo yksi. Hahmotellaan pisteiden avulla kuvaaja. Taulukosta voi päätellä, että jakso saadaan määritettyä, koska samat arvot toistuvat. KERTOMA 8! MAB8 15 HARJOITUSKOE
c) Piirretään suora y = 1,5 samaan koordinaatistoon funktion kuvaajan kanssa ja saadaan yhtälön + sin x = 1,5 ratkaisut leikkauspisteistä. Kaikki ratkaisut saadaan huomioimalla jo määritetty funktion jakso π. 7 Lasketaan likiarvot x 1,8 1 ja x 0,61, jolloin 1 ratkaisu saadaan likiarvona muotoon x 1,8 + nπ tai x 0, + nπ, n = 0, ±1, ±,, mikä on sama kuin kuvasta määritettynä. Ensimmäinen ratkaisu on likimain x 0, ja seuraava x 1,8. Kaikki ratkaisut toistuvat jakson mukaisesti. x 0, + nπ tai x 1,8 + nπ, n = 0, ±1, ±, Tarkistetaan ratkaisemalla yhtälö algebrallisesti. sinx 1,5 sinx 0,5 7 x sin sin 6 7 x n 6 7 x n : 6 7 x n 1 7 ( x n 1 tai tai tai tai 7 x, 6 n n 0, 1,, x n 6 :, n 0, 1,, x n, 1 n 0, 1,, 11 x n, 1 n 0, 1,, ) KERTOMA 8! MAB8 15 HARJOITUSKOE
(Tai ratkaistaan suoraan laskimen arvoilla ilman piitä. Määritetään yksi ratkaisu laskimella. x = 0,5598775598 Toinen ratkaisu on tämän kulman suplementtikulma. x = π ( 0,5598775598 ) =,66519149188 Huomioidaan sinin jakso ja saadaan kaikki ratkaisut. x 0,5598775598n : tai x,66519149188 n :, x 0,61799n tai x 1,85957 n, Pyöristetään vastaus yhden desimaalin tarkkuuteen. x 0, + nπ tai x 1,8 + nπ, n = 0, ±1, ±, ) n 0, 1,, n 0, 1,, Vastaus: 7 x n tai 1 1, 8 n tai x n, 1 n0, 1,, 0, n, n 0, 1,, KERTOMA 8! MAB8 154 HARJOITUSKOE
5. Merkitään pisteet A(, 5, 7), B(4, 1, 6) ja C(1, 1, 0). a) b) Kolmion pienin kulma on lyhyimmän sivun vastainen kulma. Lasketaan kolmion sivuvektorit. AB (4 ) i ( 15) j ( 6 7) k i 6j 1k AC (1) i (15) j (0 7) k i 4 j 7k BC (14) i (1 ( 1)) j (0 ( 6)) k i j 6k Lasketaan vektoreiden pituudet: AB 1 ( 6) ( 1 ) 06 AC BC ( ) ( 4) ( 7) 69 ( ) 6 49 7 lyhyin. Kysytty pienin kulma on vektoreiden AB ja AC välinen kulma. Vektorien välinen kulma lasketaan ab cos. a b Määritetään pistetulo. AB AC 1 ( ) ( 6) ( 4) ( 1) ( 7) 11 11 cos 06 69 18,59918,6 Vastaus: Kolmion pienin kulma on 18,6 ja lyhyin sivu on 7. 1 c) Kolmion pinta-ala A acsin. 1 A 06 69 sin18,59919,0065 19,0 Vastaus: 19,0 KERTOMA 8! MAB8 155 HARJOITUSKOE
6. Vektorit ovat kohtisuorassa, jos ab 0. ab xi j ( x1) i j x( x1) ( 1) x x Ratkaistaan yhtälö. x x0 1 1 41 ( ) x 1 1 9 x x tai x 1 Vastaus: x = tai x = 1 7. ht () cos t A b) Yhden kierroksen aika on sama kuin funktion ht () cos t 4 jakso. Funktion jakso on 4. Vastaus: Yksi kierros kestää neljä sekuntia. c) Lasketaan funktion arvo, kun t = 1,5. h(1,5) cos 1,5 4 1,878 1,9 Vastaus: 1,9 m a) Pyörän säde on kolme metriä, ja pisteen etäisyys pohjasta on pienimmillään 1 m. Funktion h(t) pienin arvo on oltava täten yksi. Kosinin arvojoukko on [ 1, 1]. Funktion h pienin arvo on tällöin ( 1) + A = + A. Yhtälöstä A 1 A 4. Vastaus: A = 4 KERTOMA 8! MAB8 156 HARJOITUSKOE