YO-harjoituskoe B / fysiikka Mallivastaukset 1. a) Laskuvarjohyppääjän pudotessa häneen vaikuttaa kaksi putoamisliikkeen kannalta merkittävää voimaa: painovoima ja ilmanvastusvoima. Painovoima on likimain vakio koko putoamisen ajan, mutta ilmanvastusvoiman suuruus kasvaa nopeuden kasvaessa. Hypyn alussa, kun hyppääjän nopeus on nolla, ilmanvastusvoima ei vielä vaikuta lainkaan. Tällöin hyppääjän kiihtyvyys on suurimmillaan. Nopeuden kasvaessa ilmanvastusvoima kasvaa ja voimaresultantti painovoiman kanssa pienenee. Nopeuden ollessa riittävän suuri ilmanvastusvoima on yhtä suuri kuin painovoima, jolloin hyppääjä ei enää kiihdy ja hyppääjä on saavuttanut rajanopeuden. b) Voimakkaassa jarrutuksessa auto saa negatiivisen kiihtyvyyden. Matkustaja säilyttää liiketilansa, ellei häneen vaikuta ulkoisia voimia. Jos turvavyö ei ole käytössä, niin matkustajaan ei välity mitään kautta riittävän suurta voimaa, joka hidastaisi hänen nopeutensa samaksi kuin auton nopeus, joten matkustajan nopeus jää suuremmaksi kuin auton ja matkustaja saavuttaa nopeasti auton tuulilasin, eli toisin sanoen lyö päänsä siihen. c) Kuun ja Maan välillä vaikuttaa kaiken aikaa kappaleiden välinen gravitaatiovoima. Maan massa on paljon suurempi kuin kuun, joten Kuu ei suuressa määrin vaikuta maan liikkeeseen, mutta Kuu kiertä maata likimain ympyräradalla. Ympyräradalla liikkuvan kappaleen kiihtyvyys on kohti ympyräradan keskipistettä, eli Maata, ja kiihtyvyys on siis samaan suuntaan kuin mihin gravitaatiovoima vaikuttaa. Kuun etäisyys maasta ja kiertonopeus ovat juuri sen suuruiset, että em. kiihtyvyys ja gravitaatiovoima toteuttavat dynamiikan peruslain F = ma. Siten on mahdollista, että Kuu toistuvasti kiertää Maata. d) Maan ilmakehä vaimentaa avaruudesta tulevaa ionisoivaa säteilyä. Lentokoneessa matkustettaessa ollaan niin korkealla, että merkittävä osa säteilyä vaimentavasta ilmakehästä on koneen alapuolella ja yläpuolelle jäävä kerros vaimentaa säteilyä huomattavasti vähemmän, kuin Maan pinnalla. Lentokoneen kori ja ikkunat vaimentavata säteilyä jonkin verran, mutta eivät niin paljoa, että ero kumoutuisi. 2. a) Liike-energia alussa ja lopussa E ka = 1 2 mv2 a (1) E kl = 1 2 mv2 l (2) 1
Moottorin tekemä työ Lähtöarvot W = P t (3) v a = 18 km/h Mekaniikan energiaperiaate m = 78 kg v l = 23 km/h t = 1,2 s E kl E ka = W Sij. (1), (2) ja (3) 1 2 mv2 l 1 2 mv2 a = P t : t 1 2 P = l va) 2 t [ ( 1 78 kg 23 2 3,6 P = 1,2 s P = 514,08... W Vastaus: Pyöräilijän teho on 0,51 kw. b) Hetkellinen teho Dynamiikan peruslain mukaan P = F v Sijoitetaan (5) yhtälöön (4), saadaan : v ) 2 ( m s 18 3,6 ) ] 2 m s F = P/v (4) F = ma (5) ma = P/v : m a = P mv Kiihtyvyys alussa a = P mv a = 514,08... W 78 kg 18 m 3,6 s = 1,318... m/s 2 2
Kiihtyvyys lopussa a = P mv l = 514,08... W 78 kg 23 m 3,6 s = 1,031... m/s 2 Vastaus: Kiihtyvyys vaihtelee välillä 1,0 m/s 2 ja 1,3 m/s 2. 3. a) Levykondensaattorin kapasitanssi on suoraan verrannollinen kondensaattorilevyjen pinta-alaan, sekä levyjen välissä olevan eristeen permittiivisyyteen. Kasitanssi on kääntäen verrannollinen levyjen väliseen etäisyyteen. b) Kuvien esittämä säätökondensaattori on levykondensaattori, jossa levyjen toiminnassa olevaa pinta-alaa voidaan säätää. Vain ne osat kondensaattorilevyistä, jotka ovat vastakkain ja lähellä toisiaan toimivat kondensaattorilevyinä ja kuvan säätökondensaattorissa levyjä voidaan liu uttaa toisiinsa nähden siten, että tämä toimiva pinta-ala muuttuu ja siten kondensaattorin kapasitanssi muuttuu. c) Anturi on levykondensaattori, jossa kondensaattorilevyjen välissä on eristeenä hygroskooppinen polymeerikalvo. Hygroskooppisuuden vuoksi eristekalvo kerää ilmasta kosteutta ja toisaalta luovuttaa sitä. Tasapainokosteuden määrä riippuu ilman kosteudesta. Toisaalta kalvoon sitoutuneen kosteuden määrä vaikuttaa kalvon permittiivisyyteen ja siten kondensaattorina toimivan anturin kapasitanssi muuttuu. 4. a) Luetaan kuvaajasta lyijyn matkavaimennuskerroin 2,6 MeV:n säteilylle, saadaan µ 45 1. Heikennyslaista saadaan m I = I 0 e µx Sij. I = 0,1I 0 0,1I 0 = I 0 e µx : I 0 0,1 = e µx ln() ln 0,1 = µx : ( µ) ln 0,1 x = µ ln 0,1 x = 45 1 m x = 0,05116... m Vastaus: Tarvitaan 51 mm paksu lyijykerros. 3
b) Kuvaajasta saadaan vastaavasti alumiinille µ 11 1. Heikennyslain mukaan m Absorboituva osa I = I 0 e µx : I 0 I = e µx I 0 I 1 m 0,05116... m = e 11 I 0 I = 0,5696... I 0 1 0,5696... = 0,4303... Vastaus: Säteilystä absorboituisi alumiinissa 43 %. 5. Kuva 1. Punnuksen vapaakappalekuva. Punnus etenee tasaisella nopeudella, joten sen täytyy olla voimatasapainossa. Kuvasta 1 saadaan G + T = 0 mg T = 0 T = mg (6) Kuva 2. Indusoituva jännite ja virta systeemissä. 4
Johdinsauvaan (kuva 2) indusoituu jännite Toisaalta Ohmin lain mukaan e = lvb. (7) e = RI Sij. (7) lvb = RI I = lvb R : R Liike kasvattaa silmukan alaa ja siten myös magneettivuotta silmukan läpi. Lenzin lain mukaan indusoituneen virran synnyttämä magneettikenttä vastustaa magneettivuon muutosta, joten virta kiertää myötäpäivään. Johtimessa kulkevan virran vuoksi magneettikenttä aiheuttaa johdinsauvaan voiman F B = IlB. (9) Voiman suunta saadaan oikean käden säännöstä. (8) Kuva 3. Johdinsauvaan vaikuttavat voimat. Johdinsauvan liike on tasaista, joten sauva on voimatasapainossa. T + F B = 0 T F B = 0 Sij. (6) ja (9) mg IlB = 0 Sij. (8) mg lvb R lb = 0 l2 vb 2 = mg ( R) R l 2 vb 2 = mgr : (mg) R = B2 l 2 v mg R = (0,22 T)2 (1,5 m) 2 5,0 m/s 0,25 kg 9,81 m/s 2 R = 0,22201... Ω 5
Vastaus: Säätövastuksen resistanssiksi on valittava 0,22 Ω. b) Vastuksessa kuluva sähköteho on Joulen lain mukaan Matka-aika P = RI 2 Sij. (8) ( ) 2 lvb = R R = l2 v 2 B 2 R t = s v (10) (11) Vastuksen tekemä lämmitystyö W = P t Sij. (10) ja (11) = l2 v 2 B 2 R s v = l2 vb 2 s R = (1,5 m)2 5,0 m/s (0,22 T) 2 0,6 m 0,22201... Ω = 1,539... J Vastaus: Vastuksessa vapautuu lämpöenergiaa 1,5 J. 6
6. a) Käytetään graafista integrointia. Nopeus hetkellä 0,8 s on sama kuin (t, a)-kuvaajan fysikaalinen pinta-ala välillä 0 s... 0,8 s. v = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5 + A 6 Sij. A 4 + A 5 0 m s v = A 1 + A 2 + A 3 + A 6 v = 1 2 0,11 s 3,0 m s + (0,27 s 0,11 s) 3,0 m 2 s... 2 + 1 2 (0,35 s 0,27 s)(3,0 m s + 1,45 m 2 s )... 2 + (0,8 s 0,4 s) ( 1,2 m s ) v = 0,343 m s Vastaus: Parrun nopeus hetkellä 0,8 s on 0,34 m/s. 7
b) Parrun vapaakappalekuva liu un aikana Parruun vaikuttavat voimat noudattavat dynamiikan peruslakia. Vaakasuunnassa saadaan F µ = ma F µ = ma µmg = ma Sij. F µ = µn = µg = µmg : (mg) µ = a/g (12) Luetaan kuvaajasta a 1,2 m/s 2 välillä 0,4 s... 1,15 s, jolloin parru liukuu. Sijoitetaan arvot yhtälöön (12), saadaan 1,2 m/s2 µ = 9,81 m/s 2 = 0,12232... Vastaus: Parrun ja lattian välinen liukukitkakerroin on 0,12. 7. a) Lämpömittari asennetaan pullon sisään niin, että mittari on samassa lämpötilassa pullossa olevan nesteen kanssa. Pullo täytetään nesteellä siten, että nestepinta nousee pullon kaulassa olevaan merkkiviivaan asti, joka on sijoitettu siten, että nestepinnan nousulle jää vielä tilaa. Lähtötilanteen lämpötila kirjataan ylös. Pullo asetetaan suurempaan vedellä täytettyy astiaan. Suuremmassa astiassa olevaa vettä lämmitetään lämmitysvastuksessa ja sekoitetaan, jotta lämpötilajakauma saadaan tasaiseksi ja siten myös pullossa olevan nesteen lämpötila nousee vakaasti. (Huom! tämä on vain yksi mahdollinen tapa järjestää pullossa olevan nesteen lämmitys ja muitakin tapoja voidaan käyttää.) Pullossa olevan nesteen lämpötila ja sitä vastaava nestepinnan korkeuden muutos pullon kaulassa taulukoidaan (t, h)-taulukkoon. b) Määritetään teoreettinen yhteys nestepinnan korkeuden h ja lämpötilan t välille. 8
r = 5,15 mm/2 V 0 = 250,6 ml Kuva 1. Lämpötilan noustessa nestepatsas pullon kaulassa kohoaa matkan h. Merkitään nesteen tilavuutta alussa V 0 :lla. Myös nollaviivan alapuolisen lasipullon osan tilavuus on siten alussa V 0. Kun lämpötila nousee t:n verran, niin sekä pullo että neste laajenevat. Neste laajenee enemmän kuin pullo, ja ylivuotava neste nousee pullon kaulaan. Käytetään laskelmissa alaindeksejä n nesteelle ja p pullolle. Kaulaan nousevan nestepatsaan tilavuus on V patsas = V n V p Sijoitetaan edelliseen V patsas = Ah ja sovelletaan tilavuuden lämpölaajenemisen kaavaa V = γv 0 t, saadaan Ah = γ n V 0 t γ lasi V 0 t Ah = (γ n γ lasi ) V 0 t h = (γ n γ lasi ) V 0 t A : A Sijoitetaan edelliseen A = πr 2, γ lasi = 3α lasi ja t = t t 0, saadaan h = (γ n 3α lasi ) V 0 πr 2 (t t 0 ) (13) Merkitään Yhtälöstä (13) tulee nyt k = (γ n 3α lasi ) V 0 πr 2 (14) h = k (t t 0 ) h = kt kt 0 Saatu yhteys h:n ja t:n välillä on suora (t, h)-koordinaatistossa. Sovitetaan suora mittaustuloksiin. 9
Suoran fysikaalinen kulmakerroin on k = h/ t. Sijoitetaan edellinen yhtälöön (14), saadaan (γ n 3α lasi ) V 0 πr 2 = h t γ n 3α lasi = hπr2 tv 0 γ n = hπr2 tv 0 πr2 V 0 + 3α lasi Sijoitetaan edelliseen α lasi = 8 10 6 1/ ja muut annetut arvot, sekä kuvaajasta luetut arvot t = 14,0 ja h = 137 mm, saadaan γ n = 0,137 m π (5,15 10 3 m/2) 2 14,0 250,6 10 6 m 3 + 3 8 10 6 1/ = 8,3742... 10 4 1/ Vastaus: Pakkasnesteen tilavuuden lämpötilakerroin on 8,4 10 4 1/. Huom! Jos lasipullon laajeneminen jätetään huomiotta, saadaan tulokseksi 8,1 10 4 1/. Tällöin tehtävästä ei kuitenkaan saa täysiä pisteitä kokeessa. 10